Aula13_EquacaoContinuidade (2)

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EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Em física, uma equação de continuidade expressa uma lei de conservação de forma matemática, tanto de forma integral como de forma diferencial. Em mecânica de fluidos, uma equação de continuidade é uma equação de conservação da massa.
Forma Integral
Considere o volume de controle (VC) não deformável em repouso em relação a eixos de referência x, y, z, conforme apresentado na Figura 1. O volume de controle é escolhido de tal maneira que ele seja sempre uma parte do sistema. 
Figura 1 – Sistema e volume de controle: (a) no instante t; (b) no instante 
Um campo arbitrário de velocidade (x, y, z, t ) conduz a massa da região I para dentro do volume de controle CV (Figura 1a) enquanto a massa deixa o VC para a região III (Figura 1b). A região II define o volume de controle (VC). A região I é definida de tal forma que sua massa entra no volume de controle no intervalo de tempo t. Analogamente, a região III é definida de tal forma que a sua massa deixa o volume de controle no tempo t. Logo, quando t tende a zero, a região I e a região III diminuem até que, no limite, o sistema e o volume de controle ocupam o mesmo espaço. 
Pela Lei da Conservação de massa (), tem-se que: 
A massa que sai da região I, no intervalo de tempo t, é igual a massa que deixa o VC para a região III no mesmo intervalo de tempo. Portanto, se t 0 também mI e mIII tendem a zero. 
Então:
O lado esquerdo torna-se:
Onde mVC é a massa instantânea dentro do volume de controle e o índice VC da integral indica o volume de controle. 
Desenvolvendo-se, agora o lado direito da equação em termos do vetor área dA temos a Forma Integral da Equação da Continuidade. Ou seja,
											(1)
O primeiro termo representa a taxa da variação de massa dentro do volume de controle VC; o segundo, a vazão líquida em massa saindo pela superfície de controle (SC). A conservação da massa exige que a soma dois termos seja nula.
Ela afirma que a taxa de decréscimo da massa dentro do VC é igual a taxa de fluxo líquido da massa através da superfície de controle Cegiões I e III). Esta equação é válida para qualquer fluido: viscoso ou ideal, compressível ou incompressível, puro ou multicomponente, escoamento com transferência de calor ou sem, etc.
A velocidade é medida em relação ao volume de controle, uma vez que o volume está fixo em x, y, z. Deve-se tomar cuidado na avaliação do produto escalar :
Pode ser positivo (escoamentos para fora, </2) 
Pode ser negativo (escoamentos para dentro, >/2) 
Pode ser zero (=/2)
Na Figura 2 é ilustrado os casos gerais, bem como os casos convenientes (=0 e =)
Figura 2 - Avaliação do produto escalar.
Equação da continuidade para escoamento permanente
Escoamento permanente numa seção implica em velocidade constante através de toda a área da seção. Sendo a massa total dentro de um volume de controle, independente do tempo, a equação da continuidade (eq. 1) fica:
Quando a densidade é constante numa seção, a integral da vazão em massa pode ser substituída por um produto. Assim, quando se supõe escoamento uniforme numa seção:
Equação da continuidade para escoamento incompressível
Para um fluido incompressível , e a equação (1) se reduz a 
Equação da continuidade para escoamento permanente unidimensional 
Um escoamento é unidimensional quando as propriedades do fluido e todas as características do escoamento puderem ser expressas em função de uma coordenada espacial e do tempo; as propriedades são uniformes numa direção perpendicular ao escoamento.
Para um fluido num escoamento estacionário unidimensional, a equação da continuidade é expressa por
Para um fluido incompressível ():	
Forma Diferencial
Considere o volume de controle infinitesimal fixo no espaço xyz, conforme indicado na Figura 3. Como a equação da continuidade na forma integral não possui limite de tamanho, ela pode ser aplicada para este volume de controle infinitesimal. 
Figura 3 – Volume de controle infinitesimal.
Usando-se um valor médio da densidade tomado sobre o elemento de volume, a integral de volume fica sendo (lado esquerdo da equação integral da continuidade):
Supondo que o fluxo de massa em cada face seja uniforme, tem-se (para o lado direito da equação integral da continuidade):
Somando sobre todas as faces, substituindo esta equação na primeira apresentada e fazendo x, y e z tenderem a zero, obtém-se a Forma Diferencial da Equação da Continuidade. 
			(2)
De forma mais geral:
					(3)
Neste caso, a divergência pode ser expressa em qualquer sistema de coordenadas conveniente. 
Para o sistema cartesiano: 
Equação da continuidade para escoamento permanente
Em escoamento permanente, todas as propriedades do fluido são independentes do tempo. Então: /t=0, e no máximo =(x,y,z). A equação da continuidade na forma diferencial torna-se:
Fluido incompressível
E, se o fluido for incompressível, a equação fica 
 ou, 
Ou seja, o campo de velocidade deve satisfazer a equação acima.