Cap 19 - A Teoria Cinetica dos Gases

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A Teoria Cinética dos Gases 
 Número de Avogadro; 
 Gases Ideais; 
 Pressão Temperatura e Velocidade Média Quadrática; 
 Energia Cinética de Translação; 
 Livre Caminho Médio; 
 Distribuição de Velocidades; 
 Calores Específicos Molares de um Gás Ideal; 
 Graus de Liberdade e Calores Específicos Molares; 
 A Expansão Adiabática de um Gás Ideal; 
Cap.19 – A Teoria Cinética dos Gases 
Cap.19 – A Teoria Cinética dos Gases 
Exemplo: 
1 mol de Carbono consiste no número de átomos (6,02 x 1023) que resultará 
em uma massa de 12 g de carbono 12. 
 
1 mol de água: H2O: 2(1g) + 1(16g) = 18 g de água. 
NA = 6,02 x 10
23 mol-1 
Definição - Número de Avogadro: 
Número de átomos ou moléculas existente em um mol. 
AN
N
n 
Quantos mols (n) tem uma amostra? 
AmNM 
N: número de moléculas da amostra. 
Mam: massa da amostra. 
M: Massa molar (massa de 1 mol). 
m: massa de uma molécula. 
M
M
n am
Cap.19 – A Teoria Cinética dos Gases 
Definição – Gás Ideal: 
Um gás ideal é definido por um grande número de partículas não 
interagentes. 
nRTpV 
J/mol.K 31,8R
Equação de Estado do Gás Ideal 
Constante de gases ideais. 
J/K 10x38,1
N
R 23
A
k
Constante de Boltzmann 
NkTpV 
p = pressão (Pa) 
V = volume (m3) 
n = número de mols 
N = número de moléculas 
T = temperatura (K) 
Cap.19 – A Teoria Cinética dos Gases 
Trabalho Isotérmico: Temperatura Constante. 
i
f
V
V
nRTW ln
Processo isotérmico 
Trabalho Isovolumétrico: Volume Constante 
0W
Processo isocórido 
VpW 
Processo isobárico 
Trabalho isobárico: Pressão Constante 
Três isotermas cada uma correspondendo 
a um valor diferente de temperatura. 
(Isotermas nunca se cruzarão). 

f
i
pdVW 
f
i
dV
V
nRT
W
nRTpV 
Cap.19 – A Teoria Cinética dos Gases 
Exemplos 
1. Um cilindro contém 12 L de oxigênio a 20 °C e 15 atm. A temperatura é 
aumentada para 35 °C e o volume é reduzido para 8,5 L. Qual é a pressão final 
do gás em atmosferas? Suponha que o gás é ideal. (22 atm) 
 
2. Uma bolha de ar com 20 cm3 de volume está no fundo de um lago de 40 m de 
profundidade, onde a temperatura é 4 °C. A bolha sobe até a superfície, que 
está à temperatura de 20 °C. Considere a temperatura da bolha com sendo a 
mesma da água em volta. Qual é o volume da bolha no momento em que 
chega à superfície? 
 
3. Um mol de oxigênio (trate como um gás ideal) se expande a uma temperatura 
constante T de 310 K de um volume inicial de 12 L para um volume final de 19 
L. Qual é o trabalho realizado pelo gás durante a expansão? (1180 J) 
 
4. Uma certa quantidade de gás ideal a 10 °C e 100 kPa ocupa um volume de 2,5 
m3. (a) Quantos mols de gás estão presentes? (b) Se a pressão é aumentada 
para 300 kPa e a temperatura é aumentada para 30 °C, que volume o gás passa 
a ocupar? Suponha que não há vazamentos. (106 mols; 0,892 m3) 
Cap.19 – A Teoria Cinética dos Gases 
Velocidade Média Quadrática: (v2)méd 
Considerar um gás ideal, monoatômico, cuja as 
moléculas se movimentam igualmente em todas as 
direções. Podemos analisar as colisões das moléculas do 
gás contra a parede. 
𝐹 =
∆𝑝 
∆𝑡
 𝐹 =
𝑚(𝑣𝑓 − 𝑣𝑖)
2𝐿
𝑣𝑥
 
 
𝐹 =
𝑚2𝑣𝑥
2𝐿
𝑣𝑥
 
 
Considerar colisões elásticas de uma 
molécula: vi = - vf = vx 
𝐹 =
𝑚𝑣𝑥
2
𝐿
 
𝑝 =
𝐹
𝐴
=
𝐹
𝐿2
=
𝑚𝑣2𝑚é𝑑
3𝐿3
=
𝑚𝑣2𝑚é𝑑
3𝐿3
 
Considerar velocidades iguais em todas as 
direções: vx = vy = vz 
𝑣2𝑚é𝑑 = 𝑣𝑥
2+ 𝑣𝑦2+ 𝑣𝑧2 
𝑣2𝑚é𝑑
3
= 𝑣𝑥2 
Considerar n mol do gás: mt = nM 
𝑝 =
𝑛𝑀𝑣2𝑚é𝑑
3𝑉
 𝑝𝑉 =
𝑛𝑀𝑣2𝑚é𝑑
3
 𝑛𝑅𝑇 =
𝑛𝑀𝑣2𝑚é𝑑
3
 𝑣𝑟𝑚𝑠 =
3𝑅𝑇
𝑀
 𝑣
2
𝑚é𝑑= 𝑣𝑟𝑚𝑠 
Cap.19 – A Teoria Cinética dos Gases 
Exemplo 
Suponha a distribuição de velocidades para cinco moléculas: 5 m/s, 8 m/s, 9 m/s, 14 
m/s e 16 m/s. a) Determine a velocidade média. b) Determine a velocidade média 
quadrática. (a) 10,4 m/s; b) 11,15 m/s) 
Cap.19 – A Teoria Cinética dos Gases 
Velocidade Média Quadrática: (v2)méd 
Por que a velocidade média quadrática é uma grandeza física relevante nesse assunto? 
Para uma molécula temos: 
𝐾 =
1
2
𝑚𝑣2𝑚é𝑑 𝐾 =
1
2
𝑚
3𝑅𝑇
𝑀 
𝐾 =
3𝑅𝑇
2𝑁𝐴 
𝐾 =
3
2
𝑘𝐵𝑇 
Sabendo que para um gás ideal, monoatômico, a energia interna depende apenas da 
energia cinética, temos: 
𝐸𝑖𝑛𝑡 =
3
2
𝑘𝐵𝑇 𝐸𝑖𝑛𝑡 =
3
2
𝑛𝑅𝑇 
Energia interna para uma molécula 
de um gás ideal 
Energia interna para n mols de um 
gás ideal 
A Energia Interna é função de ponto, depende apenas da temperatura, ou seja, 
do estado final e do estado inicial do gás. 
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Livre Caminho Médio: λ 
Quanto espaço uma molécula percorre entre duas colisões 
sucessivas? 
𝜆 =
𝐷𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑚 Δ𝑡
𝑁° 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑠õ𝑒𝑠 𝑒𝑚 Δ𝑡 
𝜆 =
𝑣Δ𝑡(𝑉)
𝑁(𝜋𝑑2𝑣Δ𝑡) 
Cada molécula percorrerá uma 
comprimento igual ao de uma 
cilindro de comprimento λ, 
diâmetro 2d, até que todo o 
volume do gás seja percorrido. 
(Uma colisão por molécula). 
𝜆 =
𝑉
𝑁(𝜋𝑑2) 
Considerando que todas as 
moléculas se movem, uma em 
relação ao outra, temos. 
𝜆 =
𝑉
2𝑁(𝜋𝑑2) 
 
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Exemplo: 
Qual é o livre caminho médio de moléculas de oxigênio a uma temperatura T = 300 
K e uma pressão p = 1 atm? Suponha que o diâmetro das moléculas seja d = 290 pm 
e que o gás seja ideal. Se a velocidade média das moléculas de oxigênio é v = 450 
m/s, qual é o tempo entre duas colisões para qualquer molécula? Qual a frequencia 
de colisões? (1,1x10-7 m; 0,24ns; 4,1x109 Hz). 
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Lei de Distribuição de Velocidades de Maxwell 
𝑃(𝑣) = 4𝜋
𝑀
2𝜋𝑅𝑇
3
2 
𝑣2𝑒
−𝑀𝑣2
2𝑅𝑇 
 
A área P(v)dv: representa 
a fração percentual de 
moléculas do gás que 
apresentam velocidades 
no intervalo dv. 
 𝑃(𝑣)
∞
0
𝑑𝑣 = 1 
100% das moléculas estão contidas no 
intervalo de velocidades entre ∞ e 0. 
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Velocidade Média 
𝑃(𝑣) = 4𝜋
𝑀
2𝜋𝑅𝑇
3
2 
𝑣2𝑒
−𝑀𝑣2
2𝑅𝑇 
 
𝑣𝑚é𝑑 = 𝑣𝑃 𝑣 𝑑𝑣
∞
0
 
𝑣𝑚é𝑑 = 4𝜋
𝑀
2𝜋𝑅𝑇
3
2 
𝑣3𝑒
−𝑀𝑣2
2𝑅𝑇 𝑑𝑣
∞
0
 
 𝑣2𝑛+1𝑒−𝐴𝑣
2
𝑑𝑣
∞
0
=
𝑛!
2𝐴𝑛+1 
SOLUÇÃO: 
𝑣𝑚é𝑑 = 4𝜋
𝑀
2𝜋𝑅𝑇
3
2 1
2 𝑀 2𝑅𝑇 
2 
𝑣𝑚é𝑑 =
8𝑅𝑇
𝜋𝑀 
Cap.19 – A Teoria Cinética dos Gases 
Velocidade Média Quadrática 
𝑃(𝑣) = 4𝜋
𝑀
2𝜋𝑅𝑇
3
2 
𝑣2𝑒
−𝑀𝑣2
2𝑅𝑇 
 
𝑣𝑟𝑚𝑠
2 = 𝑣2𝑃 𝑣 𝑑𝑣
∞
0
 
𝑣𝑟𝑚𝑠
2 = 4𝜋
𝑀
2𝜋𝑅𝑇
3
2 
𝑣4𝑒
−𝑀𝑣2
2𝑅𝑇 𝑑𝑣
∞
0
 
 𝑣2𝑛𝑒−𝐴𝑣
2
𝑑𝑣
∞
0
=
(1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ (2𝑛 − 1)
2𝑛+1𝐴𝑛
𝜋
𝐴 
SOLUÇÃO: 
𝑣𝑟𝑚𝑠
2 = 4𝜋
𝑀
2𝜋𝑅𝑇
3
2 1 ∙ 3
23 𝑀 2𝑅𝑇 
2
𝜋
𝑀
2𝑅𝑇 
 
𝑣𝑟𝑚𝑠 =
3𝑅𝑇
𝑀 
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Velocidade mais Provável 
𝑃(𝑣) = 4𝜋
𝑀
2𝜋𝑅𝑇
3
2 
𝑣2𝑒
−𝑀𝑣2
2𝑅𝑇 
 
𝑑𝑃(𝑣)
𝑑𝑣
= 0 
4𝜋
𝑀
2𝜋𝑅𝑇
3
2 
2𝑣𝑒
−𝑀𝑣2
2𝑅𝑇 + 𝑣2 𝑒
−𝑀𝑣2
2𝑅𝑇 −2𝑀𝑣
2𝑅𝑇 = 0 
𝑣𝑚𝑝 =
2𝑅𝑇
𝑀 
2𝑣 + −2𝑀 2𝑅𝑇 𝑣
3 = 0 
2 = 𝑀 𝑅𝑇 𝑣
2 
Cap.19 – A Teoria Cinética dos Gases 
Exemplo: 
 
Um cilindro contém 1 mol de oxigênio mantido à temperatura ambiente (300 K). 
Qual a fração das moléculas que apresentam velocidades no intervalo de 599 a 601 
m/s? A massa molar do oxigênio é 0,032 kg/mol. (2,62x10-3). 
 
Sabendo que a massa molar do oxigênio vale 0,032 kg/mol, determine: a) A 
velocidade médiadas moléculas de oxigênio à temperatura ambiente (300K). b) A 
velocidade média quadrática. c) A velocidade mais provável. (445 m/s; 483 m/s e 
395 m/s). 
 
Cap.19 – A Teoria Cinética dos Gases 
Calores Específicos Molares de um Gás Ideal. 
Para um gás ideal, monoatômico, ideal, a energia interna depende apenas da energia 
cinética (U = 0). 
𝐸𝑖𝑛𝑡 =
3
2
𝑛𝑅𝑇 
Energia interna para n mols de um 
gás ideal 
A Energia Interna é função de ponto, depende apenas da temperatura, ou seja, 
do estado final e do estado inicial do gás. 
𝐾 = 𝐸𝑖𝑛𝑡 
Considerando um processo isovolumétrico (V = cte, portanto W = 0), a primeira lei da 
termodinâmica pode ser reescrita como: 
∆𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝑄 = 𝑛𝐶𝑣∆𝑇 
Nesta situação o Calor Específico Molar a Volume Constante, Cv, é definido como: 
∆𝐸𝑖𝑛𝑡 =
3
2
𝑛𝑅∆𝑇 
𝐶𝑣 =
3
2
𝑅 =
3
2
8,31 = 12,5 𝐽/𝑚𝑜𝑙𝐾 
Não vale para gases diatômicos 
ou poliatômicos! 
Cap.19 – A Teoria Cinética dos Gases 
Calores Específicos Molares de um Gás Ideal. 
Considerando um processo isobárico (p = cte), a primeira lei da termodinâmica pode ser 
reescrita como: 
∆𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝑛𝐶𝑣∆𝑇 =
3
2
𝑛𝑅∆𝑇 
∆𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝑄 −𝑊 
Nesta situação o Calor Específico Molar a Pressão Constante, Cv, para um gás 
monoatômico, ideal, é definido como: 
𝐶𝑝 = 𝐶𝑣 + 𝑅 =
5
2
𝑅 = 20,8 𝐽/𝑚𝑜𝑙𝐾 
Não vale para gases diatômicos 
ou poliatômicos! 
𝑊 = 𝑝∆𝑉 Gás Ideal: 𝑝∆𝑉 = 𝑛𝑅∆𝑇 𝑊 = 𝑛𝑅∆𝑇 
Por definição: 𝑄 = 𝑛𝐶𝑝∆𝑇 
Substituindo: 𝑛𝐶𝑣∆𝑇 = 𝑛𝐶𝑝∆𝑇 − 𝑛𝑅∆𝑇 𝐶𝑝 = 𝐶𝑣 + 𝑅 
Cap.19 – A Teoria Cinética dos Gases 
Exemplo: 
Uma bolha de 5 mols de Hélio, está submersa em água em uma certa profundidade 
quando a água, e portanto o Hélio, sofre uma aumento da temperatura ΔT de 20°C 
a pressão constante. O Hélio é um gás monoatômico ideal. Determine: a) O calor 
recebido pelo Hélio. b) A variação de energia Interna do Hélio devido a variação de 
temperatura. c) O trabalho realizado pelo Hélio ao se expandir. (a) 2080 J; b) 1250 J; 
c) 831 J). 
Cap.19 – A Teoria Cinética dos Gases 
Como uma molécula de uma gás pode armazenar 
energia térmica? 
Graus de Liberdade. 
• Gás Monoatômico: 
 
f = 3 (translação: x, y e z) 
 
• Gás Diatômico: 
 
f = 3 (translação: x, y e z) 
f = 2 (rotação: 2 eixos) 
f = 2 (vibração: axial e transversal) 
Toda molécula tem um certo número f de graus de 
liberdade, que são formas independentes pelas quais 
a molécula pode armazenar energia. A cada grau de 
liberdade está associada (em média) uma energia de 
½kT por molécula (ou ½RT por mol). 
• Gás Poliatômico: 
 
translação: f = 3 
rotação: f = 3 
vibração: f = 3 
𝐶𝑣 =
𝑓
2
𝑅 
𝐶𝑝 = 𝐶𝑣 + 𝑅 
Cap.19 – A Teoria Cinética dos Gases 
Comportamento de Cv/R para o 
hidrogênio (gás diatômico) em 
função da temperatura, 
mostrando as mudanças no 
calor específico conforme 
novos graus de liberdade são 
solicitados. 
Cap.19 – A Teoria Cinética dos Gases 
Exemplo: 
Transferimos 1000 J na forma de calor Q para um gás diatômico, permitindo que se 
expanda com pressão mantida constante. As moléculas do gás podem girar mas não 
oscilam. a) Que parte dos 1000 J é convertida em energia interna do gás? b) Dessa 
parte, que parcela corresponde à energia cinética de translação? c) Que parcela 
corresponde a energia cinética de rotação? 
(a) 714,3J; b) 428,6J; c) 285,7 J). 
Cap.19 – A Teoria Cinética dos Gases 
Processo Adiabático (Q = 0) 
Cap.19 – A Teoria Cinética dos Gases 
Processo Adiabático (Q = 0) 
𝑃𝑉𝛾 = 𝑐𝑡𝑒 
𝑃𝑖𝑉𝑖
𝛾 = 𝑃𝑓𝑉𝑓𝛾 
Da equação dos gases ideais: 
𝑇𝑖𝑉𝑖
𝛾−1 = 𝑇𝑓𝑉𝑓
𝛾−1 
𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 
𝑝 =
𝑛𝑅𝑇 
𝑉
 
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Expansão Livre de um Gás 
Uma expansão livre de um gás é um processo adiabático que não envolve trabalho 
nem variação da energia interna do gás. 
∆𝐸𝑖𝑛𝑡 = 0 𝑊 = 0 𝑄 = 0 
Em uma expansão livre, o gás está em equilíbrio apenas no ponto inicial e final; 
assim, podemos plotar esses pontos, mas não a expansão propriamente dita, em 
um diagrama p – V. 
Como ΔEint = 0, a temperatura do estado inicial é igual a temperatura do estado 
final (isotérmico). 
𝑇𝑖 = 𝑇𝑓 
Sendo assim, da equação dos gases ideais: 
𝑝𝑖𝑉𝑖 = 𝑝𝑓𝑉𝑓 
Cap.19 – A Teoria Cinética dos Gases 
Exemplo: 
Inicialmente, 1 mol de oxigênio (considerado um gás ideal, diatômico) está a uma 
temperatura de 310 K com volume de 12 L. Permitimos que o gás se expanda para 
um volume final de 19 L. a) Qual a temperatura final do gás considerando que o gás 
se expanda adiabaticamente e que o mesmo possua apenas graus de liberdade de 
rotação e translação? b) Qual será a temperatura final e a pressão final se o gás se 
expandir livremente para o novo volume a partir de uma pressão de 2 Pa? (a) 258 K; 
b) Tf = 310 K; Pf = 135,6 kPa). 
Cap.19 – A Teoria Cinética dos Gases 
Revisão dos Processos Termodinâmicos 
Lista de Exercícios: 
 
1, 3, 5, 9, 11, 13, 17, 21, 23, 25, 29, 31, 33, 37 
41, 43, 45, 51, 53, 55, 57, 61. 
Referências 
 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Física: Eletromagnetismo. 8a 
ed. Rio de janeiro: LTC, 2009. Vol.2. 
 
TIPLER, P. A.; Física para Cientistas e Engenheiros. 4a ed, LTC, 2000. v.1. 
 
SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Física: Eletromagnetismo. 
12a ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. v.2. 
Cap.19 – A Teoria Cinética dos Gases