lista 4 Algebra Linear

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UNIFACS – Universidade Salvador 
Disciplina: GAAL 
Curso: Engenharias 
Professor: Ana Matos 
 
4a Lista de Exercícios – Espaços Vetoriais ( subespaços; combinação linear; espaço gerado; base e dimensão) 
 
Lembre que para termos um subespaço vetorial W⊂ V é necessário três condições: 1) O elemento neutro pertencer a W ; 
2) W ser fechado para a operação de adição; 3) W ser fechado para a operação de multiplicação por um escalar. 
O subespaço gerado por n vetores v1, v2, v3,..., vn é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. 
1. Verifique quais dos seguintes subconjuntos W são subespaços do R3 . Justifique. 
 
 a)
 32zy- ; ),,( 3  xRzyxW
 b) 
 1y.x ; R)z,y,x(W 3 
 
 c)
 0z ; R)z,y,x(W 3 
 d) 
 223 x ; ),,( yzRzyxW 
 
 e) 
 0zyx ; R)z,y,x(W 3 
 
1. 1. Dados os espaços vetoriais V abaixo verifique, em cada caso, se W é subespaço vetorial de V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Verifique quais dos seguintes subconjuntos W são subespaços do M2(R). Justifique: 
 
a)












 02 e 0 ; (R)
 
 
2 wzyxM
wz
yx
W
 b)












 0wz e 0yx ; (R)M
 wz
y x
W 2
 
3) Verifique quais dos seguintes vetores são combinações lineares de u = ( 0, 2, 2 ) e v = (1, 3, 1 ) 
 
a) ( 2, 2, 2 ); b) ( 0, 4, 5 ); c) ( 2, 0, 4 ); d) ( 2, 0, 1 ) 
 
3.1) Expresse os seguintes vetores como combinação linear de u = ( 1, 0, 0 ): v = ( 1, 1, 0 ) e w = ( 1, 1, 1 ) 
 
a) ( 1, 1, 1); b) ( 0, 1, 0 ); c) (2, 3, 4 ) 
 
a) ( 1, 1, 1) = 0u + 0v + w; b) ( 0, 1, 0 ) = u + v + 0w; c) ( 2, 3, 4 ) = u – v + 4 w 
3.2) Escreva, se possível, cada vetor v como combinação linear dos elementos do conjunto S, sendo: 
 
 
 
a.1) sim a.2) não a.3) não a.4) não 
b.1) não b.2) sim b.3) não b.4) não 
c.1) sim c.2) não c.3) sim c.4) não 
 
 
3.3) Verifique quais das seguintes matrizes são combinações lineares de 











 








41
20
32
11
;
22
04
121 MeMM
 
a) 








81
86
 b) 






17
51
 
 
3.4 Considere os vetores v = (1,2,1), w = (1,2,1). 
 
a) Escreva uma combinação linear de v e w. 
b) Determine o conjunto de todas as combinações lineares de v e w, ou seja, o subespaço gerado por v e w. 
c) Verifique se o vetor u = (−1,0,1) ϵ [v,w]. 
 
 
 
3.5 Considere os vetores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4a) Verifique se os seguintes conjuntos de vetores são L.I. ou L.D. 
 
a) { ( 4, 1, 2 ) , ( 4, 10, 2 ) } em R3; 
b){ ( 3, 0, 4 ), (5, 1, 2 ) , (1,1,3 ) } em R3; 
c) { ( -2, 0, 1 ), ( 3, 2, 5 ), (6, 1, 1 ), (7, 0, 2 ) } em R3; 
d) { (0, 0, 2, 2 ), (3, 3, 0, 0 ), (1, 1, 0, 1 ) } em R4; 
e) { ( 3, 0, 3, 6), (0, 2, 3, 1 ) , ( 0, 2, 2, 0 ), ( 2, 1, 2. 1 ) } em R4 
f) 









4 2- 3
1- 1 2
,






7- 0 2-
1 2- 2 
,









3- 2- 1
0 1- 4
 em M (R)2 3x 
4b) Suponha que v1, v2 e v3 são vetores do R3 localizados na origem. Verifique se os três vetores estão num mesmo plano. 
 
a) { ( 2, 2, 0 ), (6, 1, 4 ) , (2, 0, 4 ) }; b) { ( 6, 7, 2 ), (3, 2, 4 ) , (4, 1, 2 ) } 
 
a) Os vetores são L.I., logo não estão sobre o mesmo plano; 
b) os vetores são L.D. logo estão sobre o mesmo plano 
 
4c) Considere os vetores de R 3 : v =1 ( 0, 1, 0 ) ,v2 = ( 0, 1, 1 ) ,v3 = ( 0, 2, 2 ), v4 = ( 1, 0, 0 ) e v =5 ( 1 , 2, 3 ).Verifique 
quais dos conjuntos abaixo são L.I. 
 
a) { v1 }; b) { v1, 0 }; c) { v1, v3 }; d) { v1, v2, v3 }; 
e) { v1, v2, v4 }; f) { v1, v2 }; g) { v1, v2, v4, v5 }; São L.D. b) ; d) e g) 
 
 
 
a) 








81
86
 = M1 + 2M2 3M3; b) Não é combinação 
4a) São L.D. c) e f). 
 
4b. Verifique em cada item a seguir se os vetores dados geram o R3 
 
a) v1 = ( 2, 2, 2 ), v2 = ( 0, 0, 3 ) e v3 = ( 0, 1, 1) 
b) v1 = ( 2, 1, 3 ), v2 = ( 4, 1, 2 ) e v3 = ( 8, 1, 8 ) 
c) v1 = ( 2, 2, 2 ), v2 = ( 1, 1, 1 ) e v3 = ( 0, 1, 1) 
 
4b.1 Diga quais dos seguintes vetores pertencem a W = [ (2, 1, 0, 3), (3, 1, 5, 2 ), ( 1, 0, 2, 1 ) ] 
 
a) (2, 3, 7, 3 ); b) ( 0, 0, 0, 0 ); c) ( 1, 1, 1 ,1 ) 4b) a); 4b.1) a) e b); 
 
 
4. Determine a dimensão dos seguintes subconjuntos e escreva-os com o menor número de vetores possível. 
Verifique se eles geram o R2 e se formam uma base do R2. 
 
a) W = [(1,2), (2,4),(3,6)] 
b) W = [(1,3), (3,5), (-2,-6)] 
c) W = [(2,5), (4,8)] 
d) W = [(1,-2), (2,-3), (5,-9)] 
e) W= [(1,-5), (-2,10)] 
 
5. Determine a dimensão dos seguintes subconjuntos e escreva-os com o menor número de vetores possível. Em 
seguida,verifique se eles geram o R3 e se formam uma base do R3. 
 
a) W = [(1,1,-3),(2,0,1)] 
b) W = [(1,1,-3),(-2,-2,6)] 
c) W = [(1,1,-3),(2,3,-2),(8,11,-12)] 
d) W = [(1,1,-2),(2,-3,0),(0,2,1)] 
e) W= [(2,-1,4),(1,0,3),(-1,2,1), (4,-2,8)] 
f) W= [(3,-1,1),(2,1,2),(2,-4,-2), (1,0,3)] 
g) W= [(2,1,0),(3,0,1),(-3,-3,1), (0,-6,4), (2,-5,4)] 
 
6. Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços: 
 
a) 
 zyx;R)z,y,x(W 3 
 
b) 
 0x;R)z,y,x(W 3 
 
c) 
 0y2x e 0zx ; R)z,y,x(W 3 
 
d)
 0z3y2x ; R)z,y,x(W 3 
 
e)












 0d e 0ca ; )R(M
d c
b a
W 2
 
6.1. Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
 
 
 
 
7. Determine as equações que caracterizam os seguintes subespaços , se possível. Verifique se é um subespaço 
próprio de . 
 a)
 )1 ,1(,)2,2(W, RV 2 
 b)
 )1,2,1(,)1,0,1(,)1,0,1(W, RV 3 
 
W
i
V
i
 c)
 )1,0,0(,)0,1,0(,)0,1,1(W, RV 3 
 d)

























0 2
0 0
,
1 0
3 0
,
1 0
2 1
W, )R(MV 2
 
 e)

































1 0
0 0
,
0 1
0 0 
,
0 0
1 0
,
0 0
0 1
W ,)R(MV 2
 
 
8. Determine k de modo que o conjunto 
 
9. Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D.: 
 
 
 
10. Verifique quais dos seguintes conjuntos abaixo: 
 
 
 
11. Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais: 
 
 
 
11a) Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais: 
 
a) W = [( 1, 0, 0 ), ( 0, 5, 2 ), ( 7, 0, 2 ), ( 3, 3, 2 )] ; 
b) W = [( 1, 0, 3 ), (0, 1 , 2 ), ( 1, 1, 5 )] 
c) W = 









 wz
y x 
 
  M ( R)2 ; x + z – y = 0



 
d) W = { ( x, y, z )  R3; x 2y + 5z = 0 } 
e) W = { ( x, y, z, w )  R4; z = w e y = 2x } 
 
11b) Determine uma base para os espaços dados a seguir, contendo os respectivos conjuntos S de vetores. 
 
a) V = R2 e S = { ( 1, 1 ) } ; 
b) V = R3 e S = { ( 1, 2, 0 ), (0, 1, 1 )} 
 
 
 
11c) Encontre um vetorda base canônica que pode ser acrescentado ao conjunto { v1, v2 } para formar uma base para o R3. 
 
a) v1 = ( 1, 2, 3 ) e v2 = ( 1, 2, 2 ); b) v1 = ( 1, 1, 0 ) e v2 = ( 3, 1, 2 ) 
 
a) { v1, v2 , e1 } ou { v1, v2 , e2 }; b) { v1, v2 , e1 }, { v1, v2 , e2 } ou { v1, v2 , e3 }; 
Lembre que: e1 = ( 1, 0, 0 ); e2 = ( 0, 1, 0 ) e e3 = ( 0, 0, 1 ) 
a) dimW = 3. Uma base { ( 1, 0, 0 ), (0, 5, 2 ), ( 7, 0, 2 ) } ( Observe que W = R
3 ) 
 
b) dimW = 2.Uma base { ( 1, 0, 3 ), (0, 1 , 2 ); c) dim W = 3.Uma base 
























10
00
,
01
01
,
00
11
 
d) dim W = 2. Uma base { (2, 1, 0 ), (-5, 0, 1 ) }; e) dim W = 2.Uma base {( 1, 2, 0, 0 ), (0, 0, 1, 1 )} 
 
a) Basta tomar qualquer vetor que não seja múltiplo de ( 1, 1 ) 
b) { ( 1, 2, 0 ), (0, 1, 1), ( x, y, z ) } onde z + y  2x  0 Esta é a garantia que depois de 
escalonada a matriz 











zyx
110
021 não possua linha nula e portanto os vetores são L.I. 
 
12. Sejam os vetores 
 
 
 
 
13. Diga quais dos seguintes vetores abaixo pertencem a W = [(2, 1, 0, 3), (3, −1, 5, 2 ), ( −1, 0, 2, 1 )]. 
 
a) (2, 3, −7, 3 ) b) ( 0, 0, 0, 0 ) c) ( 1, 1, 1 ,1 ). 
 
14. Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo. 
 
a) Dois vetores são L.D. se, e somente se, um deles é múltiplo do outro. ( ) 
b) Um conjunto que contém um subconjunto de vetores L.D. é L.D. ( ) 
c) Um subconjunto de um conjunto L.I. pode ser L.D. ( ) 
d) Se w1 ϵ [w2, w3 ] então {w1 ,w2 ,w3 } é L.D. ( ) 
e) Se [ w1 ,w2 ] = [ w1 ,w2 ,w3 ] então { w1 ,w2 ,w3 } é L.D. ( ) 
f) Se { w1 ,w2 ,w3 } é L.I., então [ w1 ,w2] = [ w1 ,w2 ,w3 ]( ) 
 
15. Dê, se possível, exemplos de conjuntos pedidos abaixo. Caso seja impossível, justifique sua resposta. 
 
a) Um conjunto L.I. com 3 vetores de R2 . 
b) Um conjunto L.I. com 2 vetores que geram o R3. 
c) Um conjunto L.I. de R3 que contenha o conjunto {(1,2,3), (0,0,0)}. 
d) Uma base de R3 contendo os vetores {(2,4,-6), (-1,1,-3)}. 
e) Um subespaço vetorial de M2 (R) de dimensão 3. 
f) Uma base do R3 que contenha o conjunto {(2,2,−2), (− 3,−3,3)} 
 
16. Considere os seguintes subespaços de M2 (R) 
 
 
Determine: 
 
a) uma base para cada subespaço. 
b) Dim(w1) e Dim(w2) 
c) Verifique se é um subespaço próprio ou impróprio de w1 e w2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1) São subespaços c) e e) ; 2) b) é subespaço 
 
3) a) (2, 2, 2 ) = 2u + 2v; b) Não é combinação; c) ( 2, 0 , 4 ) = 3u + 2v; d) Não é combinação 
 
4) a) dim (w) = 1, W = [(1,2)] . Não gera o R2 e não forma base do R2. 
 b) dim (w) = 2, W = [(1,3), (3,5)] . Gera o R2 e não forma uma base do R2. 
 c) dim (w) = 2, W = [(2,5), (4,8)] . Gera o R2 e forma uma base do R2. 
 d) dim (w) = 2, W = [(1,-2), (2,-3)] . Gera o R2 e não forma uma base do R2. 
 e) dim (w) = 1, W = [(1,-5)] . Não gera o R2 e não forma base do R2. 
 
5) a) dim (w) = 2, W = [(1,1,-3), (2,0,1)] . Não gera o R3 e não forma base do R3. 
 b) dim (w) = 1, W = [(1,1,-3)] . Não gera o R3 e não forma base do R3. 
 c) dim (w) = 2, W = [(1,1,-3), (2,3,-2)] . Não gera o R3 e não forma base do R3. 
 d) dim (w) = 3, W = [(1,1,-2), (2,-3,0), (0,2,1)] . Gera o R3 e forma uma base do R3. 
 e) dim (w) = 2, W = [(2,-1,4), (1,0,3)] . Não gera o R3 e não forma base do R3. 
 f) dim(w) = 3, W = [(3,-1,1), (2,1,2), (1,0,3)] . Gera o R3 e não forma uma base do R3. 
 g) dim (w) = 2, W = [(2,1,0), (3,0,1)] . Não gera o R3 e não forma base do R3. 
 
6) a) W = [ ( 1, 1, 1) ] ; b) W = [ ( 0, 1, 0), ( 0, 0, 1 )]; c) W = [ ( 2, 1, 2) ] 
d) W = [ ( 2, 1, 0 ) , ( 3, 0, 1 ) ]; e) 




















00
10
,
01
01
W
 
7) a) W = { (x, y )  R2; x + y = 0 }; b ) W = { (x, y, z )  R3; x = z } c) W = R3 ; 
d) 











 03wxy(R);M
wz
yx
W 2
; e) W = M2(R) 
 
Da questão 8 a questão 16.