Deflexão de vigas

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DEFLEXÃO DE VIGAS
Prof. Daniela Silva Tamwing
Engenheira Civil
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ACRE
CURSO DE ENGENHERIA CIVIL
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DEFLEXÃO DE VIGAS
Frequentemente é preciso
estabelecer limites para o valor da
deflexão em que uma viga ou um
eixo podem suportar; por conta
disso, aqui discutiremos diversos
métodos para determinar a
deflexão e a inclinação em pontos
específicos de vigas e eixos.
O carregamento das prateleiras provoca 
deflexão considerável nas vigas de 
suporte.
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A LINHA ELÁSTICA
• Para a determinação da linha elástica, deve-se, primeiramente,
esquematizar a forma defletida para visualizar todos os resultados
calculados.
• A linha elástica será o diagrama de deflexão do eixo longitudinal.
• Para obter-se o diagrama é necessário saber como os diversos tipos
de apoio limitam o deslocamento ou a rotação.
• Em geral, os apoios que resistem a forças, limitam deslocamento e os
apoios que resistem a momento, limitam a rotação, bem como o
deslocamento.
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A LINHA ELÁSTICA
Vemos na figura ao lado, dois exemplos típicos de linhas elásticas em
vigas (ou eixos) com carga, traçadas em escala exagerada
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A LINHA ELÁSTICA
• Quando há uma certa dificuldade em traçar a
linha elástica, sugere-se desenhar antes o
diagrama do momento fletor interno.
• Segundo a convenção de sinal já estabelecida,
o momento fletor interno positivo tende a
tracionar as fibras inferiores da viga e o
momento fletor interno negativo tende a
comprimir as fibras inferiores da viga, como
mostrado nas figuras ao lado.
• Assim será mais fácil construir a linha elástica.
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A LINHA ELÁSTICA
• Como exemplo, consideremos a viga e o
diagrama de momento fletor mostrados ao
lado.
• Com os apoios de rolete e de pino, não há
deslocamento vertical nos pontos B e D.
• Na região de momento negativo, AC, a linha
elástica deve ser côncava para baixo; na região
de momento positivo, CD, ela deve ser
côncava para cima. Portanto deverá haver um
ponto de inflexão, que será onde o momento
fletor é nulo.
• Com base nesses fatos, determina-se a linha
elástica, ilustrada em escala exagerada.
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A LINHA ELÁSTICA
• Nota-se que os deslocamentos
∆A e ∆E são críticos e que no
ponto E, a inclinação é nula e a
deflexão é máxima.
• O fato de um deslocamento ser
maior que o outro, depende das
intensidades relativas de P1 e P2
e da localização dos apoios.
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RELAÇÃO MOMENTO-CURVATURA
Será desenvolvida agora uma relação importante entre o momento fletor interno de
uma viga e o raio de curvatura ρ da linha elástica em determinado ponto, que
resultará uma equação, cuja a finalidade é determinar a inclinação e o deslocamento
da linha elástica.
A análise que segue requer o uso de três coordenadas.
O eixo x é positivo para a direita, e é usado para localizar o elemento infinitesimal que 
tem largura não deformada dx.
O eixo v é positivo para cima a partir do eixo x, e mede o deslocamento do centróide
da área da seção transversal do elemento.
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RELAÇÃO MOMENTO-CURVATURA
• Com essas duas coordenadas, definiremos mais tarde a 
equação da linha elástica, v, em função de x.
• Finalmente, uma coordenada y localizada é usada para 
especificar a posição de uma fibra no elemento da viga.
• Ela é positiva para cima a partir do eixo neutro. As figura 
a seguir mostram essas disposições de eixos.
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RELAÇÃO MOMENTO-CURVATURA
Se o material é homogêneo e comporta-se de maneira linear-elástica, aplica-se a lei de
Hooke (є=σ/E). Além disso, aplica-se a fórmula da flexão, σ=-My/I. Combinando essas
duas equações e substituindo na equação anterior, temos:
(1/ρ)= (-є/y) 
(𝟏/𝝆) = (𝑴/𝑬𝑰)
onde:
ρ= raio de curvatura em um ponto específico da curva elástica (1/ ρ seria a própria
curvatura);
M= momento fletor interno na viga no ponto em que ρ deve ser determinado;
E= módulo de elasticidade do material;
I= momento de inércia da viga calculado em torno do eixo neutro.
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RELAÇÃO MOMENTO-CURVATURA
O produto de EI nessa
equação, denominado rigidez
à flexão, é sempre uma
quantidade positiva, portanto
o sinal de ρ depende da
direção do momento fletor.
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INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO PELO MÉTODO DA 
INTEGRAÇÃO DIRETA
Para a solução de mais casos de deflexão, a equação 1.4 pode ser modificada. As
deflexões da elástica para a maioria das vigas e dos eixos formam uma curva
rasa. Devido a inclinação da curva a elástica, determinada por dv/dx ser muito
pequena, a curvatura definida anteriormente, pode ser aproximada por
1/ρ=d²v/dx². Com isso, a equação 1.4 pode ser escrita como:
(d²v/dx²)=M/EI (1.5)
Também é possível escreve-la de duas formas alternativas:
• Substituindo V=dM/dx 
•
𝑑
𝑑𝑥
(𝐸𝐼𝑑²𝑣/𝑑𝑥²) = 𝑉(𝑥) (1.6)
• Usando –w=dV/dx) 
•
𝑑²
𝑑𝑥²
(𝐸𝐼𝑑²𝑣/𝑑𝑥²) = −𝑤(𝑥) (1.7)
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INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO PELO MÉTODO DA 
INTEGRAÇÃO DIRETA
Na maioria dos problemas, a rigidez a flexão é constante ao longo do comprimento da
viga. Nesse caso, os resultados anteriores podem ser reordenados no seguinte conjunto
de equações:
𝐸𝐼
𝑑4𝑣
𝑑𝑥4
= −𝑤(𝑥) (1.8) 
EI
𝑑³𝑣
𝑑𝑥³
=V(x) (1.9)
EI
𝑑²𝑣
𝑑𝑥²
=M(x) (1.10)
A solução de qualquer uma dessas equações requer integrações sucessivas para se
obter a deflexão v da linha elástica. Em cada integração é preciso introduzir uma
“constante de integração” e depois resolver todas as constantes para obter a solução
única de um problema em particular.
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INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO PELO MÉTODO DA 
INTEGRAÇÃO DIRETA
Convenção de Sinais e Coordenadas
Ao aplicar as equações anteriores, é necessário saber os sinais adequados de M,
V e w. A título de recordação, a Figura 1.2a mostra os termos com suas direções
positivas. Observar nas Figuras a seguir, que os valores positivos da inclinação
serão no sentido anti-horário se a direção do eixo x for positiva para a direita, e
no sentido horário se a direção do eixo x for positiva para a esquerda. Em
qualquer caso, o deslocamento é positivo para cima.
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INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO PELO MÉTODO DA 
INTEGRAÇÃO DIRETA
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INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO PELO MÉTODO DA 
INTEGRAÇÃO DIRETA
Para o cálculo das constantes de
integração, usa-se as condições de
contorno. Na tabela ao lado estão
várias condições de contorno
usadas frequentemente.
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INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO PELO MÉTODO DA 
INTEGRAÇÃO DIRETA
A viga em balanço mostrada na Figura 1.3a está submetida a uma carga P na
extremidade. Determinar a equação da linha elástica. EI é constante.
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INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO PELO MÉTODO DA 
INTEGRAÇÃO DIRETA
Linha Elástica. A carga tende a
defletir a viga. Por inspeção,
vemos que o momento fletor
interno pode ser representado em
toda a viga por meio de uma
coordenada x.
Função do Momento Fletor. Pelo
Diagrama de corpo livre, com M
atuando na direção negativa,
temos:
M=-Px
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INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO PELO MÉTODO DA 
INTEGRAÇÃO DIRETA
Inclinação e Linha Elástica. Aplicando a equação 1.10 e integrando duas vezes,
temos:
𝐸𝐼
𝑑²𝑣
𝑑𝑥²
= −𝑃𝑥 (1)
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −(𝑃𝑥²/2) + 𝐶1 (2)
𝐸𝐼𝑣 = −(𝑃𝑥³/6) + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 (3)
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INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO PELO MÉTODO DA 
INTEGRAÇÃO DIRETA
Se usamos as condições de contorno 𝑑𝑣/𝑑𝑥 = 0 em x=L e 𝑣 = 0 em
x=L, as equações 2 e 3 tornam-se:
0 = -(PL²/2)+C1
0 = -(PL³/6)+C1L+C2
Assim, C1 = PL²/2 e C2 = -PL³/3. Substituindo esses resultados nas
equações 2 e 3 com θ = 𝑑𝑣/𝑑𝑥, temos:
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −(𝑃𝑥²/2) + 𝐶1 (2) 𝐸𝐼𝑣 = −(𝑃𝑥³/6) + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 (3)
θ = (P/2EI)(L²-x²)
V = (P/6EI)(-x³+3L²x-2L³) Resposta
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INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO PELO MÉTODO DA 
SUPERPOSIÇÃO
As deflexões para uma série de cargas separadas que agem sobre uma viga podem ser
superpostas. Por exemplo, se 𝑣1, for a deflexão parauma carga e 𝑣2 for a deflexão para
outra, a deflexão total para ambas as cargas agindo em conjunto será a soma algébrica
𝑣1+ 𝑣2.
Portanto, utilizando resultados tabulados para várias cargas de vigas. como os
relacionados no Apêndice C ou os encontrados em vários manuais de engenharia, é
possível determinar a inclinação e o deslocamento em um ponto sobre uma viga
submetida a várias cargas diferentes efetuando a soma algébrica dos efeitos de suas
várias partes componentes.
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INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO PELO MÉTODO DA 
SUPERPOSIÇÃO
EXEMPLO 01
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INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO PELO MÉTODO DA 
SUPERPOSIÇÃO
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INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO PELO MÉTODO DA 
SUPERPOSIÇÃO
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INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO PELO MÉTODO DA 
SUPERPOSIÇÃO
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INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO PELO MÉTODO DA 
SUPERPOSIÇÃO
EXEMPLO 02
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INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO PELO MÉTODO DA 
SUPERPOSIÇÃO
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INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO PELO MÉTODO DA 
SUPERPOSIÇÃO
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INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO PELO MÉTODO DA 
SUPERPOSIÇÃO
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INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO PELO MÉTODO DA 
SUPERPOSIÇÃO
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INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO PELO MÉTODO DA 
SUPERPOSIÇÃO
EXEMPLO 03
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INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO PELO MÉTODO DA 
SUPERPOSIÇÃO
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INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO PELO MÉTODO DA 
SUPERPOSIÇÃO
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VIGAS E EIXOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS –
MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO
Para aplicar esse método à solução de vigas (ou eixos) estaticamente
indeterminadas, em primeiro lugar é necessário identificar as reações de apoios
redundantes.
Ao remover essas reações da viga, obtemos a denominada viga primária, que é
estaticamente determinada e estável e submetida somente a carga externa.
Se adicionarmos a essa viga uma sucessão de vigas apoiadas de maneira
semelhante, cada qual carregada com unta reação redundante separada, pelo
princípio da superposição, obtemos a viga carregada propriamente dita.
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VIGAS E EIXOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS –
MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO
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VIGAS E EIXOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS –
MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO
EXEMPLO 04
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VIGAS E EIXOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS –
MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO
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VIGAS E EIXOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS –
MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO
EXEMPLO 05
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VIGAS E EIXOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS –
MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO
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VIGAS E EIXOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS –
MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO
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VIGAS E EIXOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS –
MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO