Cálculo Diferencial Integral I

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CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL I 
 
 
 
PROF. ROBERTO CARLOS LOURENÇO 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
SUMÁRIO 
BLOCO 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS E FUNÇÕES........................................................... 3 
BLOCO 2: LIMITES.......................................................................................................... 31 
BLOCO 3: DERIVADAS – PARTE I.................................................................................... 48 
BLOCO 4: DERIVADAS – PARTE II................................................................................... 62 
BLOCO 5: DERIVADAS – PARTE III................................................................................... 72 
BLOCO 6: DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE............................................................... 84 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
BLOCO 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS E FUNÇÕES 
Este material foi elaborado com o objetivo de fornecer ferramentas para auxiliar no 
nivelamento dos conhecimentos necessários para um ótimo desempenho de cada 
aluno(a) neste curso. 
Com a expectativa de colaborar com o seu processo de aprendizagem, o bloco 1 é 
composto por conteúdos estudados ao longo dos ensinos fundamental e médio, sendo 
assim, uma revisão que irá contribuir como base ao longo de todo o curso. 
Neste bloco, estudaremos os conjuntos numéricos, revendo as definições dos 
conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. Ainda neste 
bloco, teremos um estudo sobre as funções, tais como: função afim, função 
quadrática, função modular, função exponencial, função logarítmica e funções 
trigonométricas. 
 
1.1 Conjuntos numéricos 
A noção de conjuntos é fundamental para ser possível expressar todos os conceitos da 
Matemática. Para termos um conjunto, é necessário que tenhamos primeiramente 
seus elementos, pois um conjunto é uma coleção qualquer de objetos. Seguem alguns 
exemplos: 
• conjunto das regiões brasileiras: Norte, Nordeste, Centro-Oeste, Sul e Sudeste. 
• conjunto dos países integrantes dos BRICS: Brasil, Rússia, Índia, China e África 
do Sul. 
• conjunto dos jogadores do time G: Alex, Dedinho, Tonhão, Zé Bravo, Careca e 
Salvador. 
• conjunto dos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13 17,... 
Um elemento x qualquer pode ou não ser elemento de um determinado conjunto A. 
Quando o elemento pertence, escrevemos: Ax∈ 
Quando o elemento não pertence, escrevemos: Ax∉ 
Exemplo: 
Se P é o conjunto dos países integrantes dos BRICS, temos que: 
Brasil P∈ 
 
4 
Alemanha P∉ 
Agora, consideremos a propriedade p: 
p: x é um número natural par. 
Essa propriedade pode ser expressa pelo conjunto B = {0, 2, 4, 6, 8, 10,...} 
Dessa maneira, é indiferente dizer que x possui a propriedade p ou Bx∈ . 
 
1.1.1 Igualdade de conjuntos 
Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Por exemplo: 
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} e B = {números naturais ímpares menores que 16}. 
Então, A = B. 
Se A não é igual a B, então A é diferente de B e escrevemos BA ≠ . 
 
1.1.2 Conjuntos vazio, unitário e universo 
O conjunto vazio é definido como um conjunto que não possui elementos e pode ser 
representado por { } ou . 
Exemplo: A = {x: x é um número negativo maior que 2} 
 A = { }, pois não existe número negativo maior que 2. 
 
O conjunto formado por um único elemento é chamado de conjunto unitário. 
Exemplo: 
B = {x: x é um número primo e par}, temos que B = {2}. 
 
O conjunto universo, de notação U, é o conjunto formado por todos os elementos com 
os quais estamos trabalhando num determinado assunto. É fundamental saber em 
qual universo estamos trabalhando. 
Por exemplo, se U é definido por U = {0, 1, 2, 7, 9}, então a equação x + 9 = 8 não tem 
solução; porém, se U é definido por U = {-1, 0, 1, 2, 7, 9}, então a equação tem como 
solução x = -1. 
 
1.1.3 Números naturais (N) 
O conjunto dos números naturais é representado por: 
 
5 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...} 
O sucessor de um número natural é o número natural que vem imediatamente depois 
dele. Assim, o sucessor de 2 é 3, de 3 é 4, de 5 é 6 etc. 
Observe que o zero é o único natural que não é sucessor de outro natural. 
Para o subconjunto N*, temos que o elemento zero foi retirado do conjunto N, sendo 
assim: 
 
N* = N – {0} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} 
 
Em N é sempre possível efetuar a adição e a multiplicação, ou seja, a soma e o produto 
de dois elementos naturais resultam sempre um número natural. Já a subtração entre 
dois números naturais nem sempre é um número natural. Exemplo: De 7 – 9 não é 
possível obter uma solução no conjunto dos números naturais, surgindo a necessidade 
de trabalhar com os números negativos. 
 
1.1.4 Números inteiros (Z) 
Explicação: Acrescentando os números inteiros negativos no conjunto N, obtemos o 
conjunto Z, representado como: 
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
Além de N, temos outros subconjuntos de Z: 
Z* = Z – {0} 
Conjunto dos números inteiros não negativos: +Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
Conjunto dos números inteiros não positivos: −Z = {...-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0} 
Conjunto dos inteiros positivos: *+Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
Conjunto dos inteiros negativos: *−Z = {... -6, -5, -4, -3, -2, -1} 
 
No conjunto Z, é sempre possível efetuar adição, subtração e multiplicação de dois 
números inteiros que sempre resultam em número inteiro. 
Já a divisão de dois números inteiros nem sempre resulta em um número inteiro: 
6 : 3 = 2 é possível em Z. 
(-8) : 2 = -4 é possível em Z 
 
6 
5 : 3 = ? não é possível em Z, existindo a necessidade de conhecer as frações. 
 
1.1.5 Números racionais (Q) 
Explicação: Todo número racional pode ser escrito na forma 
b
a , com Za∈ , *Zb∈ . 
Exemplo: -3, 7, 21, 
2
4 , 
3
7 , 
2
9 etc. 
Assim, escrevemos: 





 ≠∈∈== 0,,: beZbZacom
b
axxQ 
No conjunto Q, as quatro operações fundamentais são possíveis e valem todas as 
propriedades que valem para os inteiros. Certamente, devemos lembrar que a divisão 
por zero é impossível e o símbolo 
0
a não tem significado. 
Desafio: Pesquise a representação decimal dos números racionais, determinação da 
geratriz da decimal e número racional na forma mista. 
 
1.1.6 Números irracionais (I) 
Número irracional é todo número que está ou pode ser escrito na forma decimal 
infinita e não periódica. 
Um dos números irracionais mais conhecidos é o π, que é a razão entre o 
comprimento de uma circunferência e a medida do seu diâmetro (π = 
3,1415926535898...). 
As raízes quadradas não exatas de números naturais também são números irracionais. 
Utilizando uma calculadora determine os valores de: 
21
17
5
3
2
−
− 
 
 
 
7 
1.1.7 Números reais (R) 
Da reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números 
irracionais, obtemos o conjunto dos números reais (R). 
R = {x: x é racional ou x é irracional} 
Com o conjunto R dos números reais, a reta fica completa, ou seja, a cada ponto da 
reta corresponde um único número real e, reciprocamente, a cada número real 
corresponde um único ponto da reta. 
Temos, assim, a reta real com apenas alguns números reais: 
 
O diagrama, a seguir, relaciona os conjuntos numéricos estudados até aqui: 
 
 
Importante: Além dos números reais, existem os números complexos. A raiz de índice 
par e radicando negativo é impossível em R, pois, por exemplo, não existe número real 
que, elevado ao quadrado, dê um número negativo.Assim, 9− não é um número 
real. 
 
 
 
 
 
8 
1.1.8 Intervalos reais 
Podemos fazer as operações usuais de conjuntos para intervalos reais, uma vez que 
são subconjuntos de R. Lembrando que para a e b reais, com a < b, temos as seguintes 
notações para intervalos: 
I. Intervalo fechado 
{x: x Є R e a ≤ x ≤ b} = [a; b] 
 
II. Intervalo aberto 
{x: x Є R e a < x < b} = ]a; b[ = (a; b) 
 
III. Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita 
{x: x Є R e a < x ≤ b} = ]a; b] = (a; b] 
 
IV. Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita 
{x: x Є R e a ≤ x < b} = [a; b[ = [a; b) 
 
V. Intervalo ilimitado à direita e fechado de origem a 
{x: x Є R e x ≥ a} = [a; +∞[ = [a; +∞) 
 
VI. Intervalo ilimitado à direita e aberto de origem a 
{x: x Є R e x > a} = ]a; +∞[ = (a; +∞) 
 
VII. Intervalo ilimitado à esquerda e fechado de origem a 
{x: x Є R e x ≤ a} = ]-∞; a] = (-∞; a] 
 
VIII. Intervalo ilimitado à esquerda e aberto de origem a 
 
9 
{x: x Є R e x < a} = ]-∞; a[ = (-∞; a) 
 
 
1.2 Par Ordenado, Produto Cartesiano e Relação 
1.2.1 Sistema cartesiano ortogonal 
Consideremos num plano os eixos x e y, perpendiculares, que se cruzam num ponto O, 
chamado origem. Eles determinam quatro quadrantes: I, II, III e IV. 
 
1.2.2 Par ordenado 
Cada ponto do plano é determinado por um par ordenado de números, conforme 
mostra a figura a seguir: 
 
 
1.2.3 Produto cartesiano 
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B, não vazios, é definido por: 
A . B = A x B = {(a; b): a Є A e b Є B}. 
Exemplo: 
Dados os conjuntos A = {2, 4, 6} e B = {1, 3, 5}, determine A . B. 
 
10 
Temos que A . B = {(2; 1), (2; 3), (2; 5), (4; 1), (4; 3), (4; 5), (6; 1), (6; 3), (6; 5)}. 
 
Reflita: será que A . B = B . A? 
 
Representação gráfica do produto cartesiano 
Exemplo: Dados os conjuntos A = {2, 4, 6} e B = {1, 3, 5}, determine A . B. 
A . B = {(2; 1), (2; 3), (2; 5), (4; 1), (4; 3), (4; 5), (6; 1), (6; 3), (6; 5)}. 
 
1.2.4 Relação 
Denominamos relação de A em B todo subconjunto R de A x B. 
R é uma relação de A em B  AxBR ⊂ 
 
Exemplo 1: 
Se A = {1, 2} e B = {0, 3, 7}, determine R, sendo R = {(x; y) Є A . B: x > y} 
Resolução: 
A . B = {(1; 0), (1; 3), (1; 7), (2; 0), (2; 3), (2; 7)} 
R = {(x; y) Є A . B: x > y} 
x > y 
R = {(1; 0), (2; 0)} 
 
Exemplo 2: 
Se A = {1, 2} e B = {0, 1, 2}, determine R, sendo R = {(x; y) Є A . B: x = y} 
Resolução: 
A . B = {(1; 0), (1; 1), (1; 2), (2; 0), (2; 1), (2; 2)} 
 
11 
R = {(x; y) Є A . B: x = y} 
x = y 
R = {(1; 1), (2; 2)} 
 
Exemplo 3: 
Se A = {1, 2} e B = {0, 1, 3}, determine R, sendo R = {(x; y) Є A . B: x + y = 5} 
Resolução: 
A . B = {(1; 0), (1; 1), (1; 3), (2; 0), (2; 1), (2; 3)} 
R = {(x; y) Є A . B: x + y = 5} 
x + y = 5 
R = {(2; 3)} 
 
1.3 Funções 
1.3.1 Definição e notação de função 
Sendo A e B conjuntos não vazios, temos: 
Uma função de A em B é uma relação que a todo elemento x de A faz corresponder um 
único elemento y de B. 
f: A → B (f de A em B), para indicar uma função de A em B. 
A é Domínio de f: D(f) 
B é Contradomínio de f 
y = f(x) é Imagem de f: Im(f) 
 
1.3.2 Domínio de uma função real 
Numa função real f, o domínio D é o maior subconjunto de R tal que a fórmula y = f(x) 
defina uma função f: D em R. 
Exemplos: 
Apresente o domínio de cada função real: 
a) 7²³)( −+−= xxxxf 
Resolução: Existe alguma restrição para x? Nesse caso, não! 
Sendo assim, D (f) = R. 
 
 
12 
b) 
x
xf 3)( =
 
Resolução: Existe alguma restrição para x? 
x ≠ 0 
Sendo assim, D (f) = R*. 
 
 
c) 
123
1)(
−
=
x
xf
 
Resolução: Existe alguma restrição? Sim. É: 3x - 12 > 0 
 3x – 12 > 0 
3x > 12 
x > 4 
Sendo assim, D (f) = ]4; +∞[. 
 
1.3.3 Imagem de uma função 
 
 
1.3.4 Função crescente e função decrescente 
Consideremos dois elementos quaisquer 21 xex de um subconjunto A do domínio 
de uma função f, dizemos que: 
• f é uma função crescente em A, quando para: 
 
13 
 21 xx < temos )()( 21 xfxf < 
• f é uma função decrescente em A, quando para: 
 21 xx < temos )()( 21 xfxf > 
 
Exemplos: 
1. Os gráficos representam funções. Identifique cada função como crescente ou 
decrescente. 
 
2. Considere o gráfico a seguir, que representa uma função, responda para que valores 
reais de x a função é crescente e decrescente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
1.3.5 Função composta 
 
Exemplos: 
Sejam f(x) = 3x + 1 e g(x) = 4x – 2, determine: 
 
a) g(f(3)) 
Resolução: 
f(3) = 3 . 3 + 1 = 10 
g(f(3)) = g(10) = 4 . 10 – 2 = 38 
g(f(3)) = 38 
 
b) f(g(3)) 
Resolução: 
g(3) = 4 . 3 – 2 = 10 
f(g(3)) = f(10) = 3 . 10 + 1 = 31 
f(g(3)) = 31 
 
c) g(f(x)) 
Resolução: 
f(x) = 3x + 1 
g(f(x)) = g(3x+1) = 4. (3x +1) – 2 = 12x + 4 – 2 
 g(f(x)) = 12x + 2 
 
 
 
 
15 
1.4 Funções afim e quadrática 
1.4.1 Função afim ou função do 1o. grau 
Uma função f: R em R chama-se função afim quando existem dois números reais a e b 
tais que f(x) = a x + b, para todo x Є R. 
a: coeficiente angular 
b: coeficiente linear 
 
Exemplos: 
f(x) = 3 x + 7 
f(x) = x, a = 1 e b = 0 (função identidade) 
f(x) = - 5 x, a ≠ 0 e b = 0 (função linear) 
f(x) = x – 3, a = 1 e b ≠ 0 (função translação) 
 
Valor da função afim 
Exemplos: 
Dada a função afim f(x) = -2 x + 3, determine: 
a) f(4) = - 2 . 4 + 3 = - 5 
b) f(1) = - 2 . 1 + 3 = 1 
c) f(5) = - 2 . 5 + 3 = - 7 
d) f(0) = - 2 . 0 + 3 = 3 
e) 2
5
2
613
2
13
4
1.2
4
1
=
+−
=+−=+−=




f
 
 
Função constante 
Se na função afim y = a x + b tivermos a = 0, teremos a função constante, que é uma 
aplicação de R em R e que associa a cada elemento x Є R sempre o mesmo elemento b 
Є R. 
 
 f: R em R, y = f(x) = b 
Exemplos: 
a) y = 2 b) f(x) = -5 
 
16 
c) Na contratação de um serviço como um pacote de serviço de telefonia, onde a 
pessoa paga um valor fixo mensal independentemente da quantidade de ligações 
realizadas. 
 
Outras representações: 
 
 
 
 
 
17 
 
 
1.4.2 Função quadrática ou função do 2º grau 
Uma função f: R em R chama-se quadrática quando existem números reais a, b, c, com 
a ≠ 0, tais que f(x) = a x² + b x + c para todo x Є R. 
Exemplos: 
a) y = 3x² + 7x – 9 
b) f(x) = - x² + 8x + 10 
c) g(x) = 5x² + 100 
 
Valor da função quadrática 
Exemplos: 
Dada a função f(x) = 3x² - 5x + 1, determine: 
a) f(0) = 3 . 0² - 5 . 0 + 1 = 1 
b) f(1) = 3 . 1² - 5 . 1 + 1 = -1 
c) f(-2) = 3 .(-2)² - 5 . (-2) + 1 = 23 
d) f(4) = 3 . 4² - 5 . 4 + 1 = 29 
 
 
18 
 
 
 
 
Situação-problema: 
Os diretores de um centro esportivo desejam cercar uma quadra de basquete 
retangular e outros aparatos esportivos que estão à sua volta com tela de alambrado. 
Tendo recebido 200 metros de tela, os diretores desejam saber quais devem ser as 
dimensões do terreno a cercar com tela para que a área seja a maior possível. 
 
19 
 
 
1.5 Funções exponencial, logarítmica, modular e trigonométrica 
1.5.1 Função exponencial 
Dado um número real a (a > 0 e a ≠ 1), denomina-se função exponencial de base a 
uma função *: +→ RRf definida por 
xx ayouaxf ==)( . 
Exemplos: 
a) xxf 3)( = 
b) xxf 5)( = 
c) 
x
xf 




=
2
1)( 
d) ( )xxf 7)( = 
e) 13)( += xxf 
 
Reflita: Diante da definiçãodada, o que aconteceria: 
i) se a = 0 e x negativo? 
ii) se a < 0 e x = ½ ? 
iii) se a = 1 e x um real qualquer? 
 
 
 
 
 
 
20 
Gráfico da função exponencial: 
 
Como podemos observar, para a > 1 a função é crescente e para 0 < a < 1 a função é 
decrescente. 
Exemplos: 
a) xxf 2)( = 
 
 
b) 
x
xf 




=
2
1)( 
 
21 
 
 
1.5.2 Função logarítmica 
A função g que associa a cada número real x > 0 o número real xalog , com a > 0 e a ≠ 
1, é chamada de função logarítmica de base a, e é indicada por xxg alog)( = , em que 
( ) xaxgeRgD == −+ 1*)( . 
São exemplos de função logarítmica as funções de *+R em R definidas por: 
a) xxg 7log)( = 
b) xxf 5log)( = 
c) xxg
2
1log)( = 
 
Gráfico da função logarítmica 
Função crescente quando a > 1. 
 
 
 
 
 
 
22 
Função decrescente quando 0 < a < 1 
 
Exemplos 
a) xxf 2log)( = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
b) xxf
2
1log)( = 
 
 
1.5.3 Função modular 
A função f, de R em R, que a todo número x associa o seu módulo é denominada 
função modular. 
xyx
RRf
=
→
a
:
 
Tendo em vista a definição de x , podemos descrever a função modular por: 



<
≥
=
0
0
xparax
xparax
y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
Gráfico da função modular 
 
 
 
25 
 
 
 
 
1.5.4 Funções seno e cosseno 
Função seno (sen) é a função, de R em R, que a todo número α associa a ordenada do 
ponto P, imagem de α no círculo trigonométrico. 
 
Eixo dos cossenos 
 
26 
 
 
2OP é a medida algébrica do segmento 2OP quando o raio é tomado como unidade. 
Dizemos também que 2OP é o seno de AÔP ou do arco AP e indicamos: 
sen AÔP = senα = 2OP 
O eixo Oy passa a ser denominado eixo dos senos. 
 
Gráfico da função seno 
y = sen(x) 
 
 
Já a função cosseno (cos) é a função, de R em R, que a todo número α associa a 
ordenada do ponto P, imagem de α no círculo trigonométrico. 
 
 
 
1OP é a medida algébrica do segmento 1OP quando o raio é tomado como unidade. 
Dizemos também que 1OP é o cosseno de AÔP ou do arco AP e indicamos: 
Eixo dos cossenos 
 
27 
cos AÔP = cosα = 1OP 
O eixo Ox passa a ser denominado eixo dos cossenos. 
 
Gráfico da função cosseno 
y = cos(x) 
 
 
Círculo trigonométrico: 
 
Para as funções seno e cosseno, onde para cada par ordenado primeiro é o valor do 
cosseno e depois do seno. 
 
28 
 
 
 
1.5.5 Funções tangente e cotangente 
A definição da função tangente de x para x Є R, desde que cosx ≠ 0, é dada por: 
0cos,
cos
≠= x
x
senxtgx 
Assim, o domínio D da função f definida por f(x) = tgx é dada por todos os x Є R tais que 
cosx ≠ 0, isto é: 





 ∈+≠∈= ZkkxeRxxD ,
2
: ππ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
Gráfico da função tangente 
 
 
 
 
 
A definição da função cotangente de x para x Є R, desde que sen x ≠ 0, é dada por: 
0,coscot ≠= senx
senx
xgx 
Assim, o domínio D da função f definida por f(x) = cotgx é dada por todos os x Є R tais 
que sen x ≠ 0, isto é: 
{ }ZkkxeRxxD ∈≠∈= ,: π 
 
 
 
 
 
 
 
30 
Gráfico da função cotangente 
 
 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos os conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais, 
irracionais e reais), intervalos numéricos, as funções afim, constante, quadrática, 
exponencial, logarítmica, modular e trigonométricas (seno, cosseno, tangente e 
cotangente). 
Essa revisão é fundamental para um melhor desempenho nos próximos blocos e assim 
ser possível consolidar as expectativas de aprendizagem. 
 
Referências 
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron Books, 1999. v. 1. 
DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática, 2005. 
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos da matemática elementar 1: conjuntos e 
funções. São Paulo: Atual, 2004. 
 
31 
BLOCO 2. LIMITES 
As ideias centrais do Cálculo surgiram no século XVII, mais ou menos simultaneamente 
com os trabalhos de Newton (Isaac Newton, 1642-1727) e Leibnitz (Gottfried Wilhelm 
Leibnitz, 1646-1716) objetivando a resolução de determinados problemas de Mecânica 
e Geometria. Rapidamente, porém, o Cálculo Diferencial tornou-se um instrumento 
poderoso em muitos outros ramos da Matemática e da Física e em outras ciências, 
como a Economia, a Biologia e a Psicologia. 
Para uma introdução ao Cálculo Diferencial que estudaremos nesta disciplina, 
começamos agora com a ideia de limite de uma função, aproveitando antes o lado 
intuitivo, e chegaremos à elaboração de uma definição de limite. Veremos, ainda, as 
propriedades dos limites, limites das funções racionais, limites infinitos e limites no 
infinito. 
 
2.1 Conceito intuitivo de limite/ a ideia de limite 
A definição de limite é utilizada no intuito de expor o comportamento de uma função 
nos momentos de aproximação de determinados valores. Vamos observar a tabela e o 
gráfico de uma função. 
 
 
2 
 
32 
 
Definição 
Dada uma função f, definida num intervalo D, dizemos que o limite de f(x), quando x 
tende a t, é L: 
Lxf
tx
=
→
)(lim
 
se é possível tomar valores de f(x) arbitrariamente próximos de L tomando x suficiente 
próximo de t, mas não igual a t. 
O limite de f(x) para x tendendo a t é igual a L se, e somente se, o limite lateral de f(x) 
para x tendendo a t pela esquerda for igual ao limite lateral de f(x) para x tendendo a t 
pela direita e estes forem iguais a L. 
Exemplos: 
 
1. Considere o gráfico que representa a função f: 
 
 
 
 
33 
a) Quando x se aproxima de 2 pela esquerda, o f(x) se aproxima de qual o valor? 
2)(lim
2
=
−→
xf
x 
b) Quando x se aproxima de 2 pela direita, o f(x) se aproxima de qual o valor? 
2)(lim
2
=
+→
xf
x 
c) Quando x tende a 2, o f(x) assume qual valor? 
2)(lim
2
=
→
xf
x 
 
2. Consideremos a função definida em R por: 







=
≠
−
−−
=
2,5
2,
2
)2)(12(
)(
xse
xse
x
xx
xf
 
Qual o limite de f quando x tende a 5? 
 
Mesmo que f(2) = 5 diante da sentença, isso não determina que o limite para essa 
função quando x tende a 2 será o mesmo que f(2). 
O correto é: 
3)(lim
2
=
→
xf
x 
 
34 
2.2 Propriedades dos limites 
A definição de limite permite provar que 
Lxf
tx
=
→
)(lim
 
mas não indica como obter L. Além disso, são grandes as dificuldades que surgem ao 
aplicá-la para funções um pouco mais elaboradas. Veremos agora as propriedades que 
eliminaram parte dessas dificuldades. 
 
 
 
35 
 
 
 
 
36 
 
 
 
 
37 
 
 
 
2.3 Limites das funções racionais 
2.3.1 Função Racional 
Temos uma função racional quando: 
)(
)()(
xQ
xPxf =
 sendo Q(x)≠0 
 
 
38 
 
Função racional própria ocorre quando o grau de P(x) é menor que o grau de Q(x). 
Função racional imprópria ocorre quando o grau de P(x) é maior ou igual o grau de 
Q(x) ou P(x) é função identicamente nula. 
 
2.3.2 Limites de funções racionais 
 
 
 
 
39 
 
 
 
 
 
40 
 
 
2.4 Limites infinitos e limites no infinito 
2.4.1 Limites infinitos 
No tópico anterior, calculamos o limite de f(x) / g(x) para x tendendo a t, onde g(t) ≠ 0 
e também, quando f(t) = 0 e g(t) = 0. 
Agora, vamos estudar quando f(t) ≠ 0 e g(t) = 0. 
 
 
 
 
4142 
 
 
 
 
 
 
43 
 
2.4.2 Limites no infinito 
Estudando limites no infinito, é possível identificar que é a variável independente que 
cresce ou diminui infinitamente. Seja f(x) = P(x) / Q(x) uma função racional e 
)(
)(lim
xQ
xP
x ±∞→ 
Então, a resposta para esse limite pode ser: 
 
 
 
 
 
44 
 
 
 
 
 
 
45 
2.5 Calculando limites 
Nesse momento vamos resolver alguns cálculos de limites. 
Exercícios 
1. Calcule 






+−
−+−
→ 87²
9²2³5lim
1 xx
xxx
x 
Resolução: 
Qual o melhor caminho para calcular esse limite solicitado? 
a) Realizar uma divisão entre os polinômios. 
b) Fazer o gráfico da função. 
c) Substituir o x da função por 1. 
 
Resposta correta 
c) Substituir o x da função por 1. 
2
5
871
9125
81.7²1
91²1.2³1.5
87²
9²2³5lim
1
−=
+−
−+−
=
+−
−+−
=





+−
−+−
→ xx
xxx
x 
 
2. Calcule 






−
−
→ 3
9²lim
3 x
x
x 
 
Resolução: 
Ao substituir o x por 3, está correto afirmar que: 
a) o resultado desse limite é 0. 
b) não existe resultado para esse caso. 
c) é necessário simplificar essa função. 
 
Resolução: 
 
Alternativa c, pois: 
0
0
33
99
33
9²3
=
−
−
=





−
−
 
 
46 
 
3
²3²
3
9²:
−
−
=





−
−
x
x
x
xçãoSimplifica
 
²²)).((: bababaLembrete −=−+ 
3
3
)3).(3(
3
²3²
3
9²
+=
−
+−
=
−
−
=





−
− x
x
xx
x
x
x
x
 
( ) 6333lim
3
9²lim
33
=+=+=





−
−
→→
x
x
x
xx 
 
3. Calcule 






+−
−+−
→ 912²4
2754²36³8lim
2
3 xx
xxx
x 
 
Resolução: 
Ao substituir o x por 3/2, está correto afirmar que: 
a) o numerador dessa função será diferente de 0. 
b) o numerador e denominador dessa função resultam em zero. 
c) o limite resultará em menos infinito. 
 
Alternativa b é a correta, pois: 
0
0
9189
27818127
9)2/3(12)²2/3(4
27)2/3(54)²2/3(36)³2/3(8
=
+−
−+−
=





+−
−+−
 
 
Podemos simplificar trabalhando com divisão de polinômios 
 
 
47 
0333
2
3.2)32(lim
912²4
2754²36³8lim
2
3
2
3
=−=−=−=





+−
−+−
→→
x
xx
xxx
xx 
4. Calcule 






++
+−+
∞→ 243
9³37lim 5
5
xx
xxx
x
 
 
Resolução: 
)243(lim
)9³37(lim
243
9³37lim 5
5
5
5
++
+−+
=





++
+−+
∞→
∞→
∞→ xx
xxx
xx
xxx
x
x
x
 
Qual propriedade foi usada? 
 
a) Soma 
b) Produto 
c) Quociente 
 
Alternativa c é a correta. 
 
 
 
 
 
 
48 
Conclusão 
Neste tópico, foi possível estudar o limite de diversos tipos de funções. 
Compreendemos que o limite é número real e que esse assunto será fundamental para 
o estudo das derivadas e integrais. 
Para conceituar o limite, começamos com a ideia intuitiva, analisando funções, tabelas 
e gráficos, chegando à definição e propriedades, e resolvendo alguns casos para uma 
melhor compreensão do conteúdo estudado. 
 
Referências 
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron Books, 1999. v. 1. 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; TEIXEIRA, J. C.; MACHADO, N. J.; GOULART, M. C.; CASTRO, L. R. S.; 
MACHADO, A. S. Matemática. São Paulo: Atual, 1995. 
LEITHOLD, L. O Cálculo com geometria analítica. Tradução de Cyro de Carvalho 
Patarra. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994 
BLOCO 3. DERIVADAS – PARTE I 
Neste bloco, estudaremos a derivada de uma função, apresentando de forma 
geométrica e algébrica. 
A derivada é uma importante ferramenta da Matemática que pode colaborar com 
diversas áreas da nossa sociedade, sendo, na verdade, uma ferramenta que mede a 
taxa de variação de uma função. 
Com o objetivo de explicar da melhor forma esse conteúdo fundamental de Cálculo, 
estudaremos a derivada como taxa de variação, a definição da derivada de uma 
função, seguindo em inclinação de uma curva, e também conheceremos as derivadas 
de algumas funções elementares e as propriedades operatórias das derivadas. 
 
3.1 Derivada como taxa de variação 
Com o gráfico de y = f(x), podemos identificar algumas propriedades dessa função, 
como: Crescimento; Decrescimento; Valores máximos; Valores mínimos. Em alguns 
casos, a construção do gráfico não é fácil!!! 
Então, podemos utilizar a DERIVADA de uma função. 
3 
 
49 
 
Taxa de variação 
Observando o gráfico da função afim y = 2 x + 3, temos: 
 
Nesse caso, a taxa de variação referente a cada unidade do x é 2. 
Observando a tabela de uma função y = - 3 x + 5, temos: 
 
Nesse caso, a taxa de variação referente a cada unidade do x é -3. 
De um modo geral, dada uma função afim f(x) = ax + b, consideremos dois pontos 
quaisquer x1 e x2, sendo x1 < x2. Quando x varia de x1 até x2, f(x) varia de y1 = f(x1) = a x1 
+ b até y2 = f(x2) = a x2 + b, ou seja, para uma variação de x igual a x2 – x1, temos: 
f(x2) – f(x1) = (a x2+ b) – (a x1 + b) = a . (x2 – x1) 
 
Calculando: 
ar
xx
xxar
xx
xfxfr =⇔
−
−
=⇔
−
−
=
12
12
12
12 ).()()(
 
Então, a é a taxa de variação de f(x) entre x1 e x2. 
Para uma função afim, o estudo do crescimento ou do decrescimento resume-se à 
determinação de sua taxa de variação: 
 
50 
12
12 )()(
xx
xfxfa
−
−
=
 
que é constante em qualquer intervalo [x1, x2]. 
 
Essa taxa também é chamada DERIVADA de f(x) = ax + b. 
Exemplo: 
A temperatura θ de um forno, ao ser desligado, varia com o tempo de acordo com a 
expressão θ = 300 – 12 t (θ em °C e t em minutos) até que se atinja a temperatura 
ambiente que é 16°C. Qual a derivada de θ em relação a t? 
 
Portanto, a derivada de θ em relação a t é -12°C. 
 
3.2 Derivada de uma função 
De modo geral, se uma função y = f(x) não é do 1o. grau, então a taxa de variação em 
relação a x não é um valor constante, dependendo do ponto que se observa. 
Dessa forma, vamos estudar a taxa de variação média entre x1 e x2, generalizando o 
conceito de DERIVADA para as demais funções. 
Observando o gráfico da função quadrática y = x² - 4, temos: 
 
51 
 
Nesse caso, a taxa de variação referente a cada unidade não é constante. 
Observando a tabela de uma função y = - x³ + 10, temos: 
 
Nesse caso, a taxa de variação referente cada unidade não é constante. 
 
A taxa de variação 12
12 )()(
xx
xfxfr
−
−
=
depende do intervalo considerado, sendo r taxa de 
variação média entre x1 e x2. 
Para determinar a taxa de variação de f(x) em um determinado ponto x0, recorremos à 
noção de limite. 
0
0
0
)()(
lim)´(
0 xx
xfxf
xf
xx −
−
=
→
 
Quando os limites indicados não existem ou não são finitos, então dizemos que a 
função f(x) não tem derivada no ponto considerado. 
Exemplo: 
Seja f(x) = x², procure a derivada dessa função no ponto onde x = 3, ou seja, f´(3). 
 
52 
 
Portanto, a derivada dessa função para x = 3 é 6, ou seja, f´(3) = 6. 
 
3.3 Inclinação de uma curva 
A partir do gráfico de uma função, podemos obter uma importante interpretação da 
noção de derivada. Estudando as retas secante e tangente ao gráfico da função, é 
possível identificar a inclinação de uma curva. 
Na figura a seguir, a reta r é secante ao gráfico da função f, pois passa pelos dois 
pontos A e B. 
 
Na figura a seguir a reta t é tangente ao gráfico da função f, pois passa por pelo P. 
 
 
53 
 
3.3.1 Reta secante 
A taxa média de variação de f nointervalo [a, b] é o coeficiente angular da reta r que 
passa pelos pontos P e Q. 
 
 
ab
afbf
x
y
−
−
=
∆
∆ )()(
 
Exemplo: 
Determine a taxa média de variação da função f(x) = 2x² - 5 no intervalo [0, 3]. 
 
54 
 
Portanto, a taxa média de variação de f no intervalo [0, 3] é 6. 
 
3.3.2 Reta tangente 
Reta tangente é a aproximação linear de um gráfico em um ponto, onde o problema da 
determinação da inclinação de um gráfico reduz ao se achar o coeficiente angular da 
tangente naquele ponto. Dessa forma, define-se a inclinação de um gráfico. 
 
x
xfxxfm
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim
0 
Onde m é a inclinação de um gráfico f no ponto (x, f(x0)) 
Equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto (x0, f(x0)): 
y – y0 = m . (x – x0) 
ou 
f(x) – f(x0) = m . (x – x0) 
 
Onde m é o coeficiente angular. 
 
55 
0
0 )()(lim
0 xx
xfxfm
xx −
−
=
→
 
Exemplo: 
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto em que x = 1. 
3)( xxf = 
Resolução: 
Equação da reta tangente tem esse formato: y – y0 = m . (x – x0) 
 
Portanto, a equação da reta tangente é: 
( ) 0
3
2
3
11.
3
11 =+−⇔−=− yxxy
 
 
3.4 Derivada de funções elementares 
3.4.1 Derivada da função constante 
Explicação: 
Seja f(x) = c, c Є R. 
A derivada de f(x) pela definição é: 
x
xfxxfxf
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim)´(
0
 
 
 
56 
Temos: 
00lim0limlim)´(
000
==
∆
=
∆
−
=
→∆→∆→∆ xxx xx
ccxf 
 
Portanto, a derivada de uma função constante é sempre zero. 
Exemplos: 
Apresente a derivada de cada função: 
 
0)('15)()
0)(')()
0)('7)()
=⇒−=
=⇒=
=⇒=
xfxfc
xfxfb
xfxfa
π
 
3.4.2 Derivada da função potência 
Explicação: 
Seja *,)( Znondexxf n ∈= . 
A derivada de f(x) pela definição é: 
x
xfxxfxf
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim)´(
0
 
Temos: 
x
xxxxf
nn
x ∆
−∆+
=
→∆
)(lim)´(
0
 
Aplicando o desenvolvimento binomial, temos: 
 
57 
1
1
2
1
0
1
2
1
0
2
2
1
0
2
2
1
0
.)('
)(...).(
2
)1(lim)´(
)(...).(
2
)1(
lim)´(
)(...).(
2
)1(
lim)´(
)(...).(
2
)1(
lim)´(
−
−
−
−
→∆
−
−
−
→∆
−
−
→∆
−
−
→∆
=⇔






∆++∆
−
+=⇔
∆






∆++∆
−
+∆
=⇔
∆
∆++∆
−
+∆
=⇔
∆
−∆++∆
−
+∆+
=
n
n
n
x
x
n
n
x
x
n
n
x
x
nn
n
xn
x
xnxf
xxxnnnxxf
x
xxxnnnxx
xf
x
xxxnnxnx
xf
x
xxxxnnxnxx
xf
 
 
Exemplos: 
Apresente a derivada de cada função: 
 
76
45
).6()(')()
.5)(')()
−− −=⇒=
=⇒=
xxfxxfb
xxfxxfa
 
Portanto, a derivada da função potência é 
*,)( Znondexxf n ∈=
 
é ..)(' 1−= nxnxf 
 
3.4.3 Derivada da função múltiplo constante 
Explicação: 
Para h(x)=C . f(x), onde C é um número real e f(x) uma função, temos: 
h(x)=C . f(x) => h’(x) = C . f’(x) 
Portanto, a derivada de uma função (h) onde existe um número real (C) multiplicando 
com uma outra função (f), basta multiplicar a constante (C) com a derivada da função 
(f’). 
 
58 
Exemplos: 
Apresente a derivada de cada função: 
 
776
445
.12)(').6.(2)('.2)()
.35)('.5.7)('.7)()
−−− −=⇔−=⇒=
=⇔=⇒=
xxfxxfxxfb
xxfxxfxxfa
 
3.4.4 Derivada da função exponencial 
Explicação: 
)ln(.)(')10(,)( aaxfentãoaeaaxfSe xx =≠>= 
Portanto, a derivada da função exponencial é: 
)ln(.)(')10(,)( aaxfaeaaxf xx =⇒≠>= 
 
Exemplo: 
Apresente a derivada de cada função: 
xxx
xx
exfeexfexfb
xfxfa
=⇔=⇒=
=⇒=
)('ln.)(')()
5ln5)('5)()
 
Sendo e o número de Euler, temos esse caso particular. 
 
3.4.5 Derivada da função logarítmica 
Explicação: 
ax
xfentãoaeaxxfSe a ln.
1)(')10(),(log)( =≠>= 
Portanto, a derivada da função logarítmica é: 
ax
xfaeaxxf a ln.
1)(')10(),(log)( =⇒≠>= 
Exemplo: 
Apresente a derivada de cada função: 
 
59 
x
xf
ex
xfxxfb
x
xfxxfa
e
1)('
ln.
1)(')(log)()
7ln.
1)(')(log)() 7
=⇔=⇒=
=⇒=
 
Sendo e o número de Euler, temos esse caso particular. 
 
3.4.6 Derivada das funções trigonométricas 
Explicação: 
Função seno 
A derivada da função seno é a função cosseno. 
f(x) = sen x => f’(x) = cos x 
 
Função cosseno 
A derivada da função cosseno é o oposto da função seno. 
f(x) = cos x => f’(x) = - sen x 
 
Função tangente 
)²(sec)(')( xxftgxxf =⇒= 
 
Função cotangente 
)²(cos)('cot)( xecxfgxxf −=⇒= 
 
Função secante 
)().sec()('sec)( xtgxxfxxf =⇒= 
 
Função cossecante 
)(cot).(cos)('cos)( xgxecxfecxxf −=⇒= 
 
 
 
 
60 
3.5 Propriedades operatórias das derivadas 
3.5.1 Soma 
Explicação: A derivada da soma é a soma das derivadas. 
Se f e g são funções diferenciáveis de x, então: 
[ ] )(')(')()()(')()()( xgxfxgxf
dx
dxhxgxfxh +=+=⇒+= 
 
Exemplos: 
Apresente a derivada de cada função: 
a) f(x) = 13 x³ + 2x² + x 
=> f’(x) = 13. 3. x² + 2. 2. x + 1 = 39 x² + 4x + 1 
 
b) f(x) = x³ + sen(x) + 7 
=> f’(x) = 3.x² + cos(x) + 0 = 3x² + cos(x) 
 
3.5.2 Diferença 
Explicação: A derivada da diferença é a diferença das derivadas. 
Se f e g são funções diferenciáveis de x, então: 
[ ] )(')(')()()(')()()( xgxfxgxf
dx
dxhxgxfxh −=−=⇒−= 
Exemplos: 
Apresente a derivada de cada função: 
a) f(x) = 5 x³ - 2x² 
=> f’(x) = 5. 3. x² - 2. 2. x = 15 x² - 4x 
 
b) f(x) = x³ - cos(x) - 7 
=> f’(x) = 3.x² - [-sen(x)] - 0 = 3x² + sen(x) 
 
3.5.3 Produto 
Explicação: A derivada do produto de duas funções é igual ao produto da derivada da 
primeira função pela segunda função mais o produto da primeira função pela derivada 
da segunda função. 
 
61 
Se f e g são funções diferenciáveis de x, então: 
[ ] )(').()().(')().()(')().()( xgxfxgxfxgxf
dx
dxhxgxfxh +==⇒= 
Exemplos: 
Apresente a derivada de cada função: 
a) f(x) = 5 x³ . sen(x) 
=> f’(x) = 5. 3. x² . sen(x) + 5x³ . cos(x) = 15 x².sen(x) + 5x³.cos(x) 
 
b) f(x) = x² . tg(x) 
=> f’(x) = 2.x . tg(x) + x² . sec²(x) 
 
3.5.4 Quociente 
Explicação: A derivada do quociente de duas funções é igual o produto do 
denominador pela derivada do numerador menos o produto do numerador pela 
derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador. 
Se f e g são funções diferenciáveis de x, então: 
)²(
)(').()().('
)(
)()('0)(,
)(
)()(
xg
xgxfxgxf
xg
xf
dx
dxhxgcom
xg
xfxh −=





=⇒≠= 
Exemplo: 
Apresente a derivada da função: 
)²(sec
)²(cos
1
)²(cos
)²()²(cos)('
)²(cos
)]().[()cos().cos()('
)cos(
)()(
x
xx
xsenxxf
x
xsenxsenxxxf
x
xsenxf
==
+
=⇔
−−
=⇒=
 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos a derivada como taxa de variação comparando gráficos e 
tabelas da função, definindo a derivada de uma função, analisando a inclinação de 
uma curva. Conhecemos também as retas secante e tangente em relação ao gráfico da 
função, as derivadas de algumas funções elementares e as propriedades operatórias 
das derivadas para ser possível realizar os cálculos necessários. 
 
 
62 
Referências 
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron Books, 1999. v. 1. 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; TEIXEIRA, J. C.; MACHADO, N. J.; GOULART, M. C.; CASTRO, L. R. S.; 
MACHADO, A. S. Matemática. São Paulo: Atual, 1995. 
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Tradução de Cyro de Carvalho 
Patarra. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994 
BLOCO 4. DERIVADAS – PARTE II 
Neste novo bloco, estudaremosalgumas técnicas de derivação. Seguindo com o 
objetivo de explicar da melhor forma este conteúdo, estudaremos a derivada de uma 
função composta, apresentando a Regra da Cadeia, ferramenta importantíssima. 
A derivada da função inversa também será um tópico, assim como a regra de L’Hôpital 
para auxiliar no cálculo de limite, derivadas superiores e derivada da função implícita. 
 
4.1 Derivada da Função Composta 
4.1.1 Função composta 
Sendo g(x) uma função de domínio A e conjunto imagem B, e f(x) uma função de 
domínio B e conjunto imagem C, denominamos função composta f(x) com g(x) à 
função h(x) = f(g(x)) de domínio A e conjunto imagem C. 
Indicamos: h(x) = f(g(x)) ou h = f o g. 
 
Estudando um caso: 
Dadas as funções f(x) = 2 x + 5 e g(x) = x² - x + 1, calcule: 
a) f (g(x)) 
Para desenvolver esse problema, iniciamos substituindo o g(x): 
4 
 
63 
f(x² - x + 1) = 2 . ( x² - x + 1) + 5 = 2x² - 2x + 2 + 5 = 2 x² - 2 x + 7 
Sendo assim, f(g(x)) = 2 x² - 2 x + 7 
 
b) g o f 
Importante lembrar que g o f é a mesma coisa que g(f(x)), sendo assim: 
g(f(x)) = g (2x + 5) = (2x+5)² - (2x + 5) + 1 = 4x² + 20x + 25 – 2x – 5 + 1 = 4 x² + 18 x + 21 
Portanto, (g o f) (x) = 4 x² + 18 x + 21 
Isso significa que uma função pode ser definida em termos de outras funções, isto é, 
pela composição dessas funções. Daí o nome função composta. 
 
4.1.2 Regra da Cadeia 
Se f e g forem diferenciáveis e F = f o g for uma função composta definida por F(x) = f(g(x)), 
então F é diferenciável e F’ é dada pelo produto: 
F’(x) = f’(g(x)) . g’(x) 
Na notação de Leibniz, se y = f(u) e u = g(x) forem funções diferenciáveis, então: 
dx
du
du
dy
dx
dy .= 
Importante notar que, ao usarmos a Regra da Cadeia, trabalhamos de fora para dentro, 
onde diferenciamos a função de fora f (na função de dentro g) e então multiplicamos pela 
derivada da função de dentro. 
)('.))(('))(( xgxgfxgf
dx
d
= 
 
Exemplos 
Calcule a derivada de h(x) = sen (7 – 2x) 
Resolução: 
É importante reparar que h(x) é uma função composta, onde temos: 
f(x) = sen (x) e g(x) = 7 – 2 x, sendo h(x) = f(g(x)) 
Para um caso como esse, aplicamos a Regra da Cadeia. 
h’(x) = f’(g(x)) . g’(x) 
Onde desenvolvemos da seguinte forma: 
f(x) = sen (x)  f’(x) = cos (x) 
 
64 
g(x) = 7 – 2 x  g’(x) = -2 
Agora, temos: 
h(x) = sen (7 – 2x)  h’(x) = [cos (7 - 2x)] . (-2) = -2 . cos (7 – 2x) 
Lembrando que trabalhamos de fora para dentro, onde diferenciamos a função de fora f (na 
função de dentro g) e então multiplicamos pela derivada da função de dentro. 
 
Calculemos as derivadas de algumas funções. 
a) g(x) = ln (5x² + 1) 
Podemos trabalhar com a Regra da Cadeia da seguinte maneira: 
Fazendo u = 5x² + 1 e z = ln (u), temos u’(x) = 10 x e z’(u) = 1/u. 
Então, x
x
xuuzxg 10.
)1²5(
1)(').(')('
+
== 
 
b) F(x) = (x² - x + 1)³ 
Usando a Regra da Cadeia, temos: 
u = x² - x + 1 e z = u³ 
u’(x) = 2x – 1 
z’(u) = 3 . u² 
F’(x) = z’(u) . u’(x) = 3 . (x² - x + 1)² . (2x – 1) 
 
c) y = cos (tg x) 
u = tg x e z = cos u 
u’(x) = sec ² x 
z’(u) = - sen u 
y’ = z’(u) . u’(x) = - sen (tgx) . sec ² x 
 
d) xxxg 7²)( −= 
u = x² - 7x e z = 2
1
uu = 
u’(x) = 2 x -7 
uu
uuz
.2
1
.2
1.
2
1)('
2
1
2
1
===
−
 
 
65 
g’(x) = z’(u) . u’(x) = 
xx
xx
xx 7².2
72)72.(
7².2
1
−
−
=−
−
 
. 
4.2 Derivada da Função Inversa 
Compreender a regra que determina a derivada de uma função inversa como 
ferramenta para derivar outra função, quando a mesma possui inversa. 
Seja y = y(x) uma função inversível, derivável no ponto x, onde y’(x) ≠ 0. 
Temos que a função inversa é representada por x = x(y), é derivável no ponto y, sendo 
y = y(x), e calculemos a sua derivada como: 
x
yy
x
∆
∆
=
∆
∆ 1
 
Como y = y(x) é derivável e y’(x) ≠ 0, temos: 
)('
1
lim
11limlim)('
0
00 xy
x
y
x
yy
xyx
x
xy
=
∆
∆
=
∆
∆
=
∆
∆
=
→∆
→∆→∆
 
)('
1)('
xy
yx =⇔
 
Exemplo 
Seja a função y = 5x – 7, apresente a derivada da sua inversa. 
Resolução: 
 
Apresente a derivada da função a seguir: 
5 xy = 
 
66 
 
Apresente a derivada da função a seguir: 
5 xy = 
 
Apresente a derivada da função inversa de y = x³ - 2 no ponto y = 6. 
 
 
 
 
67 
 
4.3 Regra de L’Hôpital 
Compreender a regra de L’Hôpital como ferramenta para calcular o limite de função 
racional nos casos onde há indeterminação do tipo zero sobre zero ou infinito sobre 
infinito. 
Sejam f e g funções deriváveis num intervalo ou união de intervalos I, com g’(x) ≠ 0, 
para qualquer x Є I. 
 
Exemplos: 
 
 
 
68 
 
 
 
 
 
 
69 
 
 
4.4 Derivadas Superiores 
Compreenda que se existir uma função diferenciável, então a sua derivada também é 
uma função. Se f for uma função diferenciável, então sua derivada f’ é também uma 
função, logo f’ poderia ter sua própria derivada, denotada por (f’)’=f’’. 
Pela notação de Leibniz, temos: 
)(²
²
² xfD
dx
yd
dx
dy
dx
d
==





 
É chamada de derivada segunda! 
A derivada terceira f’’’ é a derivada da derivada segunda: 
f‘’’ = (f’’)’ 
)(³
³
³
²
²)(''' xfD
dx
yd
dx
yd
dx
dxf ==




=
 
O processo pode ser contínuo, onde a derivada n-ésima de f é denotada por: 
)()()()( xfD
dx
ydxfy nn
n
nn ===
 
Exemplos: 
Se f(x) = x. cos (x), determine f’’(x). 
 
 
70 
 
 
 
 
71 
1
)(
)1()(
!.)1()(
.1.2)...2).(1.(.)1()(
+
+−
−
=
−−−=
n
n
n
nnn
x
nxf
ou
xnnnxf
 
 
4.5 Derivada da Função Implícita 
Compreenda o método da diferenciação implícita, que consiste em diferenciar ambos 
os lados da equação em relação a x, e então resolver a equação resultante para y’. 
As funções encontradas até o momento podem ser descritas expressando-se uma 
variável explicitamente em termos de outra: 
)(.1³ xsenxyouxy =+= 
Em geral, y = f(x). 
 
Exemplos: 
Encontre y’ para x³ + 2 x = 2 y³ + y² - 2. 
Resolução: 
F(x) = x³ + 2x e G(x) = 2y³ + y² - 2 
)2²³2()2³( −+=+ yy
dx
dxx
dx
d
'.2'²62²3 yyyyx +=+⇔ 
').2²6(2²3 yyyx +=+⇔ 
yy
xy
2²6
2²3'
+
+
=⇔
 
 
Encontre y’ para x² + y² = 25. 
Resolução: 
 
Encontre y’ para x³ + y³ = 6xy. 
 
72 
Resolução: 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos algumas regras de derivação que serão usadas ao longo do 
curso. As regras estudadas foram: Regra da Cadeia para derivar função composta, 
regra da função inversa e Regra de L’Hôpital. Ainda estudamos Derivadas Superiores e 
Derivada da Função Implícita. 
 
Referências 
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron Books, 1999. v. 1. 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; TEIXEIRA, J. C.; MACHADO, N. J.; GOULART, M. C.; CASTRO, L. R. S.; 
MACHADO, A. S. Matemática. São Paulo: Atual, 1995. 
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Tradução de Cyro de Carvalho 
Patarra. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. v 1. 
BLOCO 5. DERIVADAS – PARTE III 
Neste bloco, estudaremos algumas aplicações das derivadas, onde será possível 
compreender que a derivada contribui, entre outras ações, para identificar o intervalo 
de crescimento e decrescimento de uma função, o máximo local e mínimo local. Na 
sequência, a derivada segunda ajuda a identificação do formato do gráfico da função, 
informando quando a concavidade do gráfico está para cima ou para baixo. 
Em Física, a derivada é uma ferramenta para determinara função velocidade e 
aceleração, e na Economia é possível usá-la na análise das funções lucro, receita e 
custo, com as funções marginais. 
 
5 
 
73 
5.1 Significado do Sinal das Derivadas Primeira e Segunda 
5.1.1 Sinal da Derivada Primeira – Crescimento e Decrescimento de uma função 
O estudo sobre derivada de uma função indica que a mesma pode ser aplicada em 
muitas áreas e situações. Neste momento, será possível compreender um pouco mais 
sobre como analisar o desenvolvimento de uma função em um determinado intervalo. 
Como f’(x) representa a inclinação da curva y = f(x) no ponto (x; f(x)), onde ela nos 
informa a direção segundo a qual a curva segue em cada ponto. Assim, é razoável 
esperar que a informação sobre f’(x) nos dê informações sobre f(x). 
Observe a figura a seguir: 
 
É possível identificar que entre A e B, assim como entre C e D, as retas tangentes têm 
inclinação positiva (coeficiente angular), logo f’(x) > 0. Entre B e C, a reta tangente têm 
inclinação negativa, portanto f’(x) < 0. 
Dessa forma, suponhamos f derivável em todos os pontos de um intervalo I, temos 
que: 
• f'(x) > 0 para todo x do interior de I, então f é crescente em I. 
• f'(x) < 0 para todo x do interior de I, então f é decrescente em I. 
Exemplos: Crescimento e Decrescimento de uma função 
Estude, quanto ao crescimento e decrescimento, a função f em cada caso: 
a) f(x) = 5x – 12 
Resolução: 
Realizando a derivada de f, temos: 
f’(x) = 5. 
 
74 
Sendo f’(x) > 0 para todo x real, logo, f é uma função crescente em R. 
 
b) f(x) = - x³ - 2x 
Resolução: 
Realizando a derivada de f, temos: 
f’(x) = - 3x² - 2. 
Sendo f’(x) < 0 para todo x real, logo, f é uma função decrescente em R. 
 
c) 15²2
3
³)( +−+= xxxxf 
Resolução: 
Realizando a derivada de f, temos: 
f'(x) = x² + 4 x – 5 = (x – 1).(x + 5) 
Nesse caso, temos dois valores que tornam f’(x) = 0, ou seja, x = -5 e x = 1. Para esse 
caso, podemos utilizar uma tabela para estudar a função: 
Valores para x f'(x) f 
x < - 5 + (positiva) Crescente em ]-∞; -5[ 
- 5 < x < 1 - (negativa) Decrescente em ]-5; 1[ 
x > 1 + (positiva) Crescente em ]1; ∞[ 
 
Portanto, para f temos: crescente em ]-∞; -5[, decrescente em ]-5; 1[ e crescente em 
]1; ∞[. 
 
5.1.2 Sinal da Derivada Segunda – Determinação da Concavidade 
A derivada segunda nos ajuda a determinar os intervalos de concavidade. Se o gráfico 
de f estiver acima de todas as suas tangentes no intervalo I, então ele é chamado de 
côncavo para cima no intervalo I (figura a). Se o gráfico de f estiver abaixo de todas as 
suas tangentes em I, é chamado de côncavo para baixo em I (figura b). 
 
75 
 
Figura a Figura b 
Seja f uma função com derivada segunda em um intervalo aberto I: 
• se f’’(x) > 0 para todo x em I, então f é côncava para cima em I; 
• se f’’(x) < 0 para todo x em I, então f é côncava para baixo em I. 
 
Exemplo: Determinação da Concavidade 
Determine as concavidades do gráfico da função: 
f(x) = x³ - 2x² - 5x + 6 
Resolução: 
No primeiro momento, realizamos a derivada segunda de f. 
f(x) = x³ - 2x² - 5x + 6 
f’(x) = 3x² - 4x - 5 
f’’(x) = 6x - 4 
Depois com f’’(x) = 0, localizamos o valor de x para ser possível identificar quando f’’(x) 
é positiva e negativa. 
f’’(x) = 6x – 4 = 0 
x = 4/6  x = 2/3 
Assim, podemos analisar a concavidade de f estudando os intervalos: 
[;
3
2][
3
2;] ∞∞− e 
Valores para x f'’(x) Concavidade de f 
x < 2/3 - (negativa) Côncava para baixo 
x > 2/3 + (positiva) Côncava para cima 
 
 
76 
Logo, o gráfico dessa curva tem concavidade para baixo, para x < 2/3, e concavidade 
para cima, para x > 2/3. 
5.1.3 Derivada Segunda – Ponto de Inflexão 
Um ponto P sobre uma curva é chamado de ponto de inflexão se a curva mudar de 
côncava para cima para côncava para baixo ou vice-versa. 
Se (a; f(a)) é um ponto de inflexão do gráfico de f, então: 
ou f’’(a) = 0 
ou f’’(a) não existe. 
Exemplo: 
Determine os pontos de inflexão para a função f(x) = x³ - 3x² + 7x – 9 
Resolução: 
Primeiramente, determinamos f’’(x): 
f(x) = x³ - 3x² + 7x – 9 
 f’(x) = 3x² - 6x + 7 
 f’’(x) = 6x - 6 
Agora, f’’(x) = 0, para qual valor de x temos essa igualdade? 
6x – 6 = 0  x = 1 
Sendo assim, quando x = 1, temos f’’(x) = 0. 
Próximo passo é determinar a ordenada do ponto de inflexão, resolvendo f(1). 
f(x) = x³ - 3x² + 7x – 9 
f(1) = 1³ - 3.1² + 7.1 – 9 = - 4 
Portanto, o ponto de inflexão de f possui as coordenadas (1; -4). 
 
5.2 Máximos e mínimos 
Esse tópico tem o objetivo de demonstrar que a derivada primeira colabora em 
identificar os pontos críticos de uma função, como mínimos locais ou máximos locais. 
O ponto ou os pontos, em que a primeira derivada é nula fornece os pontos críticos de 
uma função: 
 
77 
 
Se f(x) é derivável em I, então os pontos extremos interiores de f(x) têm uma 
caracterização importante: a tangente ao gráfico de f(x) em tais pontos deve ser 
paralela ao eixo x, ou seja: 
 
x0 é o ponto de mínimo local interior: f’(x) = 0 
 
x0 é o ponto de máximo local interior: f’(x) = 0 
 
 
78 
 
Para pontos críticos de f(x) que não são pontos de máximo local nem de mínimo local, 
se x0 é um desses pontos, então a derivada primeira tem o mesmo sinal para valores 
de x maiores e menores que x0, e x0 é denominado ponto de inflexão de f(x). 
Exemplo: 
 
Exemplo: 
Para fabricar uma caixa sem tampa, utiliza-se um pedaço de cartolina quadrado de 
lado 12 cm. Em cada canto da cartolina, deve-se recortar um quadradinho de lado x, 
conforme mostra a figura a seguir. Determine o valor de x de modo que o volume da 
caixa seja o máximo. Qual é o volume máximo? 
 
79 
 
 
 
Sendo assim, x = 2 cm é o ponto de máximo de V(x) no intervalo ]0; 6[. 
E para x = 2, o volume máximo é: 
V(2) = 144 . 2 – 48 . 2² + 4 . 2³ = 128 cm³ 
 
 
 
 
 
 
80 
5.3 Derivada: Significado Cinemático 
5.3.1 A velocidade como derivada 
Estudando cinemática, é possível compreender que a posição de um ponto material 
que se move sobre uma curva conhecida pode ser determinada em cada instante t 
através da sua curvilínea S: 
 
S é uma função de t e a expressão S = S(t) é chamada equação horária do ponto. 
 
 
t
S
tt
tStSvv
tttmtt ∆
∆
=
−
−
==
→∆→→∆ 0
0
0
0)(
lim)()(limlim
0
0
 
Em cada instante t0 a velocidade v(t0) do ponto móvel é igual à derivada de S(t): 
)(' 0)( 0 tSv t = 
Exemplo: 
Um ponto em movimento obedece à equação horária ttS += ² (onde t representa 
segundos e S metros). Determine a velocidade desse ponto no instante t = 1s. 
 
81 
 
 
5.3.2 A aceleração como derivada 
Para um ponto em movimento, a velocidade v pode variar de instante para instante, 
ou seja, v é uma função do tempo t. A expressão v = v(t) é chamada equação da 
velocidade do ponto. 
 
Exemplo: 
Um ponto em movimento tem velocidade variável segundo a expressão 
3)( ttv = 
(onde t representa segundos e v metros por segundo). Determine a sua aceleração no 
instante t = 8s. 
 
 
 
82 
 
5.4 Funções Marginais 
Algumas funções usadas na Economia como função receita (R), função custo (C), 
função lucro (L), entre outras, são exemplos importantes para aplicarmos os conceitos 
sobre derivadas de funções. 
Importante lembrar: L = R – C 
Os economistas se referem a lucro marginal, receita marginal e custo marginal como as 
taxas de variação do lucro, da receita e do custo em relação ao número x de unidades 
produzidas ou vendidas. 
 
Exemplo: 
Uma companhiaestima que o custo (em reais) na produção de x itens é: C(x) = 2600 + 
2x + 0,001 x². 
Encontre o custo, o custo médio e o custo marginal da produção de 1000, 2000 e 3000 
itens. 
Resolução: 
Custo: C(x) = 2600 + 2x + 0,001 x². 
C(1000) = 5.600,00 
C(2000) = 10.600,00 
C(3000) = 17.600,00 
 
83 
 
Se o custo marginal for menor do que o custo médio, então é necessário produzir mais 
para baixar o custo médio. Agora, se o custo marginal for maior que o custo médio, 
então é preciso diminuir a produção para baixar o custo médio. 
Aproveitando o mesmo exemplo: a que nível de produção será mais baixo o custo 
médio? Qual o custo médio mínimo? 
Resolução: 
Se o custo médio for mínimo, então: 
 custo marginal = custo médio 
 
 
 
84 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos algumas aplicações de derivadas primeira e segunda. 
Na primeira derivada, pudemos identificar em qual intervalo a função original cresce 
ou decresce, os pontos críticos como máximos e mínimos locais de uma função. 
Aplicando derivada na cinemática, determinamos a função velocidade ao derivar a 
equação horária, e aceleração ao derivar a velocidade. Na Economia, vimos as funções 
marginais após derivação das funções lucro, receita e custos. 
Ainda nesse bloco, estudamos a derivada segunda, onde para uma melhor análise do 
gráfico de uma função, pudemos identificar a concavidade sendo para cima ou para 
baixo e o ponto de inflexão. 
 
 
Referências 
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron Books, 1999. v. 1. 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; TEIXEIRA, J. C.; MACHADO, N. J.; GOULART, M. C.; CASTRO, L. R. S.; 
MACHADO, A. S. Matemática. São Paulo: Atual, 1995. 
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Tradução de Cyro de Carvalho 
Patarra. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. v 1. 
BLOCO 6. DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE 
Neste bloco, estudaremos a derivabilidade e continuidade de uma função em um 
determinado intervalo. Conhecendo a definição de função contínua e posteriormente 
suas propriedades, é possível identificar se uma função é contínua ou descontínua em 
determinado ponto. 
Como existem casos onde é preciso desenvolver cálculos para analisar se uma função é 
contínua ou descontínua em determinado ponto, é importante conhecer os seguintes 
teoremas: Teorema de Bolzano, Teorema de Weierstrass, Teorema do Valor 
Intermediário, Teorema do Valor Médio e Teorema da Função Composta. 
 
 
6 
 
85 
6.1 Definição de Continuidade 
Partindo do significado da palavra continuidade, podemos começar lembrando que o 
processo contínuo é aquele que ocorre gradualmente, sem interrupção ou mudanças 
abruptas. 
Definição Matemática: uma função é contínua em um número a se: 
)()(lim afxf
ax
=
→ 
A definição dada requer três condições para a função f ser contínua em a: 
1. f(a) está definida, onde a está no domínio de f; 
2. 
)(lim xf
ax→ existe; 
3. 
)()(lim afxf
ax
=
→ 
Importante: Para falar em continuidade em um ponto, ele deve estar no domínio da 
função. 
Exemplos: 
1. Para o gráfico de f não há buraco. 
 
 
2. Observando o gráfico de uma função f, identifique quando f é descontínua. 
 
Para a = 1, a função é descontínua, pois f(1) não está definida. 
 
86 
Para a = 5, a função é descontínua, pois 
)(lim
5
xf
x→ não existe. 
Para a = 9, a função é descontínua, pois )9()(lim
9
fxf
x
≠
→
. 
 
3. Onde a função f é descontínua? 
2
2²)(
−
−−
=
x
xxxf
 
Resolução: 
Nesse caso, como f(2) não está definida, logo f é descontínua em 2. 
 
4. Onde a função f é descontínua? 




=
≠=
01
0
²
1
)(
xse
xse
xxf
 
 
Resolução: 
Nesse caso, f(0) = 1, mas ²
1lim)(lim
00 x
xf
xx →→
=
 não existe. 
Logo, f é descontínua em 0. 
 
5. Onde a função f é descontínua? 




=
≠
−
−−
=
21
2
2
2²
)(
xse
xse
x
xx
xf
 
Resolução: 
3)1(lim
2
)1).(2(lim
2
2²lim)(lim
2222
=+=
−
+−
=
−
−−
=
→→→→
x
x
xx
x
xxxf
xxxx 
)2()(lim
2
fxf
x
≠
→ 
Nesse caso, f(2) = 1, 
Logo, f é descontínua em 2. 
 
 
 
87 
6.2 Propriedades 
Se f e g forem contínuas em a e se c for uma constante, então as seguintes funções são 
contínuas, também em a: 
1. f + g (soma de funções contínuas) 
 
2. f – g (diferença de funções contínuas) 
 
 
3. f . g (produto de funções contínuas) 
 
4. c.f (produto da constante com a função contínua) 
 
 
88 
5. g
f
 se g(a) ≠ 0 (quociente de funções contínuas) 
 
 
6.2.1 Continuidade e derivabilidade 
Vamos estudar cada afirmação a seguir: 
I. Se f é derivável em a, então f é contínua em a. 
 
A função f é contínua em todos os números reais. Sendo f derivável em R e contínua 
em R. 
 
II. Se f é contínua em a, então f é derivável em a. 
 
Nesse caso, f não é derivável no domínio da função, pois x não pode ser zero. 
Logo, f é contínua em R, mas não é derivável quando x é 0. 
 
 
89 
6.3 Teoremas 
6.3.1 Teorema de Bolzano 
Se f é uma função contínua em [a; b], onde f(a) e f(b) têm sinais contrários, então 
existe (pelo menos) um ponto c de [a; b] tal que f(c) = 0. 
Pelo ponto de vista geométrico, temos: 
Para os pontos A = (a; f(a)) e B = (b; f(b)), onde f(a) e f(b) possuem sinais contrários no 
plano cartesiano, temos: 
 
De modo que, para desenhar um possível gráfico, colocamos a ponta de um lápis em A, 
e traçamos uma curva até B, sem tirar a ponta do lápis do papel, sendo f contínua em 
[a; b], é evidente que a curva cruzará o eixo Ox em, pelo menos, um certo ponto, onde 
c assuma o valor de abscissa. 
 
Exemplo: A velocidade de uma partícula é dada por v(t) = 2t³ - 2t² - 1 . Mostre que 
existe um instante entre 1 e 2 no qual a velocidade se anula. 
Resolução: 
Como v(1) = 2. 1³ - 2. 1² - 1 = - 1, sendo v(1) < 0, agora calculando v(2) 
 
90 
v(2) = 2. 2³ - 2. 2² - 1 = 7, sendo v(2) > 0, onde v é uma função contínua, de acordo com 
o Teorema de Bolzano, existe c, com 1 < c < 2, tal que v(c) = 0. 
 
6.3.2 Teorema de Weierstrass 
Se f é contínua em [a; b], ela atinge um mínimo e um máximo nesse intervalo. 
O Teorema de Weierstrass afirma que existem pontos c e d pertencentes ao intervalo 
[a; b] tais que f(c) será o mínimo e f(d) será o máximo, f(c) < f(x) < f(d), para qualquer x 
que pertence ao intervalo [a; b]. 
 
 
6.3.3 Teorema do Valor Intermediário 
Suponha que f seja contínua em um intervalo fechado [a; b] e seja n um número 
qualquer entre f(a) e f(b). Então, existe um número c em ]a; b[ tal que f(c) = n. 
Observe a ilustração: 
 
Como uma função contínua não possui nenhum buraco e nem quebras, é fácil 
compreender que o Teorema do Valor Intermediário é verdadeiro. 
Uma das aplicações do Teorema do Valor Intermediário é a localização das raízes de 
equações. 
 
 
 
91 
Exemplo: 
Para a equação 4x³ - 6x² + 3x – 2 = 0, existe uma raiz entre 1 e 2? 
Resolução: 
f(x) = 4x³ - 6x² + 3x – 2 
f(1) = 4. 1³ - 6. 1² + 3. 1 – 2 = -1, onde f(1) < 0 
f(2) = 4.2³ - 6.2² + 3.2 – 2 = 12, onde f(2) > 0 
 
Para n = 0 que está entre f(1) e f(2), pelo Teorema do Valor Intermediárioexiste c, 
onde 1 < c < 2, que determina f(c) = n = 0. 
Logo, a equação 4x³ - 6x² + 3x – 2 = 0 possui, pelo menos, uma raiz c no intervalo ]1; 2[. 
 
6.3.4 Teorema do Valor Médio 
Se f é uma função contínua em [a; b] e derivável em [a; b], então existe c de ]a; b[ tal 
que: 
ab
abfcf
−
−
=
)()()(' . 
 
Pela ilustração gráfica, temos que t é uma reta tangente ao gráfico de f, paralela à reta 
AB. Temos pela interpretação geométrica da derivada, que a inclinação da reta t é f’(c), 
a qual, por serem t e AB paralelas, é igual à inclinação de AB, ou seja: 
 f’(c) = inclinação da reta t = inclinação da reta AB = 
ab
afbf
−
− )()( . 
 
92 
Em representação geométrica, se f é uma função contínua em [a; b], seu gráfico deve 
ser uma curva contínua nesse intervalo, e se ela for derivável em ]a; b[, seu gráfico 
deve ser uma curva suave nesse outro. 
 
Exemplo: 
A função horária de um movimento é dada por s(t) = t³ - 3t² + 1. Em quais instantes do 
intervalo de tempo [0; 1] a velocidade média nesse intervalo é atingida pela velocidade 
escalar? 
 
Resolução: 
Sendo a função velocidade a derivada da função horária, temos: 
v(t) = s’(t) = 3t² - 6t 
Pelo Teorema do Valor Médio, temos: 
01
)0()1()('
−
−
=
ssts 
Desenvolvemos: 
026²3
26²3
01
1)1(6²3
=+−⇔
−=−⇔
−
−−
=−
tt
tttt 
Resolvemos a equação, encontramos 
3
31+=t e 
3
31−=t , como o valor para t 
precisa pertencer ao intervalo [0; 1], o único valor no qual t pode assumir é 
3
31−=t . 
Portanto, para 
3
31−=t a velocidade média no intervalo [0; 1] atinge a velocidade 
escalar. 
 
6.3.5 Teorema da Função Composta 
Se g for contínua em a e f em g(a), então a função composta f o g dada por (f o g)(x) = 
f(g(x)) é contínua em a. 
Demonstração desse Teorema pode ser dada da seguinte maneira: 
Uma vez que g é contínua em a, temos 
 
93 
)()(lim agxg
ax
=
→
 
Sendo f contínua em b = g(a), podemos indicar pela definição de função contínua que: 
))(())((lim agfxgf
ax
=
→
 
Onde h(x) = f(g(x)) é contínua em a, isto é, f o g é contínua em a. 
 
Exemplo: 
Verifique se a função h(x) = sen(x²) é contínua em R. 
 
 
Resolução: 
Para h(x) = sen(x²), temos que g(x) = x² e f(x) = sen x. 
Por ser g(x) = x², não existe nenhum valor real que torna g descontínua, ou seja, g é 
contínua em R. 
²²lim)()(lim axagxg
axax
=⇒=
→→
 
Para f(x) = sen x, o caso não é diferente de g, pois para qualquer valor atribuído para x 
existe sen x. Onde g(a) = a², temos h(x) = sen(x²)  h(a) = sen(a²) 
)())(lim ahxh
ax
=
→
 
Portanto, a função h é contínua em R. 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos a definição de continuidade, onde foi possível identificar 
quando uma função é contínua ou descontínua em determinado intervalo I. 
Conhecemos as propriedades, como soma de funções contínuas, diferença de funções 
contínuas, produto de funções contínuas, produto de constante com função contínua e 
quociente de funções contínuas. 
Conhecemos os teoremas: Teorema de Bolzano, Teorema de Weierstrass, Teorema do 
Valor Intermediário, Teorema do Valor Médio e Teorema da Função Composta. E 
concluímos com uma aula interativa para ser possível resolver uma situação-problema 
com o uso dos conceitos estudados. 
 
 
94 
Referências 
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron Books, 1999. v. 1. 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; TEIXEIRA, J. C.; MACHADO, N. J.; GOULART, M. C.; CASTRO, L. R. S.; 
MACHADO, A. S. Matemática. São Paulo: Atual, 1995. 
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Tradução de Cyro de Carvalho 
Patarra. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. v 1.