TextoBase - Métodos Numéricos - Semana 3

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3
métodos numéricos
roteiro de estudo
Objetivos: nesta semana vamos estudar os sistemas 
lineares; veremos os fundamentos, os métodos de re-
solução e os algoritmos para a solução dos problemas. 
Você deve assistir às videoaulas de números 10 a 15, 
fazer os exercícios no caderno e tentar verificar a solu-
ção dos mesmos com um software, o Octave Online, por 
exemplo; este software livre trabalha bem com matrizes. 
Estudar seguindo a guia dos tópicos fornecida neste ro-
teiro, fazer os exercícios de apoio e a atividade de ava-
liação. Deve também consultar os livros da bibliografia 
da disciplina e, se tiver dúvidas, entrar em contato com 
o professor.
Principais conceitos que veremos:
a. Sistemas lineares;
b. Eliminação de Gauss;
c. Fatoração LU;
d. Gauss-Jacobi;
e. Gauss-Seidel.
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 22 
 
 Sistemas Lineares [Barroso e outros, 1987][Ruggiero e Lopes, 2011] 
 
1. Introdução aos Sistemas Lineares [Barroso, 1987] 
 
Um problema de grande interesse prático que aparece, por exemplo, em cálculo de estruturas e 
redes elétricas e soluções de equações diferenciais, é o da resolução numérica de um sistema 
linear Sn de n equações com n incógnitas: 
 
𝑺𝑺𝒏𝒏 = �
𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟏𝟏 + ⋯ + 𝒂𝒂𝟏𝟏𝒏𝒏𝒙𝒙𝒏𝒏 = 𝒃𝒃𝟏𝟏
𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟏𝟏 + ⋯ + 𝒂𝒂𝟏𝟏𝒏𝒏𝒙𝒙𝒏𝒏 = 𝒃𝒃𝟏𝟏
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
𝒂𝒂𝒏𝒏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒂𝒂𝒏𝒏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟏𝟏 + ⋯ + 𝒂𝒂𝒏𝒏𝒏𝒏𝒙𝒙𝒏𝒏 = 𝒃𝒃𝒏𝒏
  (1.1) 
 
ou 
𝑆𝑆� = ∑ 𝑎𝑎��𝑥𝑥� = 𝑏𝑏����� , 𝑖𝑖 = 1, 2, … , 𝑛𝑛. (1.2) 
 
Sob a forma matricial 𝑆𝑆� pode ser escrito como 
 
𝐴𝐴�⃗�𝑥 = 𝑏𝑏�⃗ (1.3) 
 
onde 𝐴𝐴 é uma matriz quadrada de ordem n, 𝑏𝑏�⃗ e �⃗�𝑥 são matrizes 𝑛𝑛 × 1, isto é, com n linhas e uma 
coluna, 𝑎𝑎�� é chamado coeficiente da incógnita 𝑥𝑥� e os 𝑏𝑏� são chamados termos independentes, 
com 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 = 1, 2, … , 𝑛𝑛. Tanto os coeficientes quanto os termos independentes são, em geral, dados 
do problema. A matriz 𝐴𝐴 é chamada matriz dos coeficientes e a matriz: 
 
 
 
𝑩𝑩 = �
𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏 ⋯ 𝒂𝒂𝟏𝟏𝒏𝒏 𝒃𝒃𝟏𝟏
𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏 ⋯ 𝒂𝒂𝟏𝟏𝒏𝒏 𝒃𝒃𝟏𝟏
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
𝒂𝒂𝒏𝒏𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒏𝒏𝟏𝟏 ⋯ 𝒂𝒂𝒏𝒏𝒏𝒏 𝒃𝒃𝒏𝒏
� = [𝑨𝑨 ∶ 𝒃𝒃] 
 
é chamada matriz aumentada ou matriz completa do sistema. 
 
 Os números 𝑥𝑥�, 𝑥𝑥�, 𝑥𝑥�, … , 𝑥𝑥� constituem uma solução de (1.1) ou (1.2) se para 𝑥𝑥� = 𝑥𝑥�, 
𝑖𝑖 = 1, 2, … , 𝑛𝑛 as equações de 𝑆𝑆� se transformam em igualdades numéricas. Com estes números, 
pode-se formar a matriz coluna. 
𝒙𝒙 = �
𝑥𝑥�
𝑥𝑥�
⋮
𝑥𝑥�
� 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 3
 
 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 3 
 
 
a qual é chamada matriz solução de (3). Observe que por definição 
𝒙𝒙 = (𝑥𝑥�, 𝑥𝑥�, … , 𝑥𝑥�)� 
 
 
1.1. Classificação quanto ao número de soluções 
Um sistema linear pode ser classificado quanto ao número de soluções como compatível, 
quando apresenta solução, e incompatível, caso contrário. 
 
Exemplo 1.1 
Se 𝑏𝑏� = 0, 𝑖𝑖 = 1, 2, … , 𝑛𝑛, isto é, se a matriz 𝑏𝑏�⃗ = 0, o sistema é dito homogêneo. Todo 
sistema homogêneo é compatível, pois admite sempre a solução 𝑥𝑥� = 0, 𝑖𝑖 = 1, 2, … , 𝑛𝑛, ou seja, a 
matriz �⃗�𝑥 = 0 é sempre solução. Esta solução é chamada de trivial. 
 
Exemplo 1.2 
O sistema: 
 
�𝑥𝑥� + 𝑥𝑥� = 0𝑥𝑥� + 𝑥𝑥� = 1
  
 
é incompatível. Geometricamente, pode-se interpretar o sistema do seguinte modo: tomando 
coordenadas num plano, a equação 𝑥𝑥� + 𝑥𝑥� = 0 é a equação de uma reta, o mesmo sucedendo 
para a equação 𝑥𝑥� + 𝑥𝑥� = 1. 
 
Figura 1.1. Exemplo de sistema incompatível. 
 
Logo a solução do sistema, que seria o ponto comum entre as retas, não existe, pois elas são 
paralelas. 
Os sistemas compatíveis podem ser classificados como determinado, quando apresenta uma 
única solução, e indeterminado, caso contrário. 
 
Exemplo 1.3 
O sistema homogêneo: 
 
𝑆𝑆� = �
𝑥𝑥� + 𝑥𝑥� = 0
𝑥𝑥� − 𝑥𝑥� = 0
  
 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 4
 
 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 4 
 
é determinado; enquanto que 
𝑆𝑆� = �
𝑥𝑥� + 𝑥𝑥� = 0
2𝑥𝑥� + 2𝑥𝑥� = 0
  
 
é indeterminado. Geometricamente, as retas de S1 têm em comum a origem, enquanto que as 
retas de S2 coincidem. 
 
 
1.2. Sistemas Triangulares 
 
Seja um sistema 𝑆𝑆�: 
 
 
Onde a matriz 𝐴𝐴 = �𝑎𝑎��� é tal que 𝑎𝑎�� = 0 se 𝑗𝑗 < 𝑖𝑖; 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 = 1, 2, … , 𝑛𝑛, ou seja 
 
�
𝑎𝑎��𝑥𝑥� + 𝑎𝑎��𝑥𝑥� + ⋯ + 𝑎𝑎��𝑥𝑥� = 𝑏𝑏�
 𝑎𝑎��𝑥𝑥� + ⋯ + 𝑎𝑎��𝑥𝑥� = 𝑏𝑏�
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
 𝑎𝑎��𝑥𝑥� = 𝑏𝑏�
  (1.4) 
 
Um sistema deste tipo é chamado triangular superior enquanto que se 𝑎𝑎�� = 0 para 𝑗𝑗 > 𝑖𝑖; 
𝑖𝑖, 𝑗𝑗 = 1, 2, … , 𝑛𝑛 tem-se um sistema triangular inferior: 
 
�
𝑎𝑎��𝑥𝑥� = 𝑏𝑏�
𝑎𝑎��𝑥𝑥� + 𝑎𝑎��𝑥𝑥� = 𝑏𝑏�
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
𝑎𝑎��𝑥𝑥� + 𝑎𝑎��𝑥𝑥� + ⋯ + 𝑎𝑎��𝑥𝑥� = 𝑏𝑏�
  
 
Observe que os sistemas triangulares determinados, isto é, quando 𝑎𝑎�� ≠ 0, 𝑖𝑖 = 1, 2, … , 𝑛𝑛, 
são facilmente resolvidos por substituição retroativa ou progressiva. No caso do sistema 
(1.4), por exemplo, calcula-se 𝑥𝑥� = 𝑏𝑏� 𝑎𝑎��⁄ , (𝑎𝑎�� ≠ 0), na n-ésima equação, a seguir, leva-
se o valor de 𝑥𝑥� à (n-1)-ésima equação e calcula-se o valor de 𝑥𝑥���, �𝑎𝑎���,��� ≠ 0�, e assim 
sucessivamente até o cálculo de 𝑥𝑥�, (𝑎𝑎�� ≠ 0). Neste caso, o sistema possui solução única. 
Entretanto, poderia haver algum elemento nulo na diagonal e, neste caso, surgiriam equações 
do seguinte tipo: 
0𝑥𝑥� = 𝑏𝑏� − ∑ 𝑎𝑎��𝑥𝑥������� (6) 
 
Observando a equação acima, pode-se distinguir dois casos: 
 
1º.) 𝑏𝑏� − ∑ 𝑎𝑎��𝑥𝑥� = 0������ : o sistema admite mais de uma solução, pois, qualquer que seja 
o valor de 𝑥𝑥�, a Eq. (6) será satisfeita; logo o sistema é indeterminado. 
 
2º.) 𝑏𝑏� − ∑ 𝑎𝑎��𝑥𝑥� ≠ 0������ : o sistema não admite solução pois não existe valor de 𝑥𝑥� que 
satisfaça a Eq. (6); logo o sistema é incompatível. 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 5
 
 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 5 
 
 
Exemplo 1.4 
�
3𝑥𝑥� + 4𝑥𝑥� − 5𝑥𝑥� + 𝑥𝑥� = −10
 𝑥𝑥� + 𝑥𝑥� − 2𝑥𝑥� = −1
 4𝑥𝑥� − 5𝑥𝑥� = 3
 2𝑥𝑥� = 2
  
 
Cuja solução é 𝑥𝑥 = [1 −1 2 1]�. 
O sistema é determinado. 
 
 
Exemplo 1.5 
�
3𝑥𝑥� + 4𝑥𝑥� − 5𝑥𝑥� + 𝑥𝑥� = −10
 𝑥𝑥� − 2𝑥𝑥� = 0
 4𝑥𝑥� − 5𝑥𝑥� = 3
 2𝑥𝑥� = 2
  
Solução: 
𝑥𝑥� =
2
2
 → 𝑥𝑥� = 1 
4𝑥𝑥� − 5 ∙ 1 = 3 → 𝑥𝑥� = 2 
0𝑥𝑥� + 2 − 2 ∙ 1 = 0 → 0𝑥𝑥� = 0 
Qualquer valor de 𝑥𝑥� satisfaz a equação acima. Seja então 𝑥𝑥� = 𝜆𝜆; 3𝑥𝑥� + 4𝜆𝜆 − 5 ∙ 2 + 1 =
−10 → 𝑥𝑥� = −
����
�
 . 
 
Portanto, a solução é 𝑥𝑥 = �− ����
� 𝜆𝜆 2 1�
�
, o que significa que o sistema é 
indeterminado. 
 
Exemplo 1.6 
�
3𝑥𝑥� + 4𝑥𝑥� − 5𝑥𝑥� + 𝑥𝑥� = −10
 𝑥𝑥� − 2𝑥𝑥� = −1
 4𝑥𝑥� − 5𝑥𝑥� = 3
 2𝑥𝑥� = 2
  
 
Solução, fazendo as substituições retroativas: 
𝑥𝑥� =
2
2
 → 𝑥𝑥� = 1 
4𝑥𝑥� − 5 ∙ 1 = 3 → 𝑥𝑥� = 2 
0𝑥𝑥� + 2 − 2 ∙ 1 = −1 → 0𝑥𝑥� = −1 
 
Nenhum valor de 𝑥𝑥� satisfaz a equação acima. O sistema é, portanto, incompatível pois não 
admite solução.Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 6
 
 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 6 
 
2. Métodos Diretos 
 
2.1. Método de Eliminação de Gauss [Barroso e outros, 1987] 
 
Com (𝑛𝑛 − 1) passos o sistema linear 𝐴𝐴�⃗�𝑥 = 𝑏𝑏�⃗ é transformado num sistema triangular 
equivalente: 
𝑈𝑈�⃗�𝑥 = 𝑐𝑐 
 
o qual se resolve facilmente por substituição. 
 
Exemplo 2.1 
�
2𝑥𝑥� + 3𝑥𝑥� − 𝑥𝑥� = 5
4𝑥𝑥� + 4𝑥𝑥� − 3𝑥𝑥� = 3
 2𝑥𝑥� − 3𝑥𝑥� + 𝑥𝑥� = −1 
  
 
Utilizando o método de Gauss. 
 
1ª. Etapa 
Escreve-se a matriz aumentada do sistema acima, isto é, 
𝐵𝐵 = �
(𝟐𝟐) 3 −1 ⋮ +5
4 4 −3 ⋮ +3
2 −3 +1 ⋮ −1
� = [𝐴𝐴 | 𝑏𝑏] 
 
Fazendo 𝐵𝐵� = 𝐵𝐵 e chamando de 𝐿𝐿�
(�), 𝐿𝐿�
(�), e 𝐿𝐿�
(�) as linhas 1, 2 e 3, respectivamente, de 𝐵𝐵�, 
escolhe-se 𝑎𝑎��
(�) como pivô e calculam-se os multiplicadores. 
𝑚𝑚��
(�) = −
𝑎𝑎��
(�)
𝑎𝑎��
(�) = −
4
2
= −2 
𝑚𝑚��
(�) = −
𝑎𝑎��
(�)
𝑎𝑎��
(�) = −
2
2
= −1 
Deve-se fazer agora as seguintes transformações elementares sobre as linhas de 𝐵𝐵�: 
𝐿𝐿�
(�) → 𝐿𝐿�
(�) 
 
𝑚𝑚��
(�)𝐿𝐿�
(�) + 𝐿𝐿�
(�) → 𝐿𝐿�
(�) 
 
𝑚𝑚��
(�)𝐿𝐿�
(�) + 𝐿𝐿�
(�) → 𝐿𝐿�
(�) 
 
𝐿𝐿�
(�), 𝐿𝐿�
(�), e 𝐿𝐿�
(�) são linhas da matriz transformada, 𝐵𝐵�. 
 
Finaliza, assim, a 1ª. etapa, que consiste em eliminar todos os valores abaixo do pivô 
𝑎𝑎��
(�) = 2. 
 
Efetuando-se as transformações acima indicada tem-se: 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 7
 
 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 7 
 
 
𝐵𝐵� = �
2 3 −1 ⋮ +5
0 (−𝟐𝟐) −1 ⋮ −7
0 −6 +2 ⋮ −6
� 
 
2ª. Etapa 
Escolhe-se 𝑎𝑎��
(�) = −2 como pivô e calcula-se o multiplicador. 
 
𝑚𝑚��
(�) = −
𝑎𝑎��
(�)
𝑎𝑎��
(�) = −
−6
−2 = −3 
 
 
São feitas agora as seguintes transformações elementares sobre as linhas de 𝐵𝐵�: 
𝐿𝐿�
(�) → 𝐿𝐿�
(�) 
𝐿𝐿�
(�) → 𝐿𝐿�
(�) 
 
 
𝑚𝑚��
(�)𝐿𝐿�
(�) + 𝐿𝐿�
(�) → 𝐿𝐿�
(�) 
 
𝐿𝐿�
(�), 𝐿𝐿�
(�), e 𝐿𝐿�
(�) são linhas da matriz transformada, 𝐵𝐵�, que já está na forma triangular, isto é: 
 
 
𝐵𝐵� = �
2 3 −1 ⋮ +5
0 −2 −1 ⋮ −7
0 0 +5 ⋮ 15
� 
 
A matriz 𝐵𝐵� é a matriz aumentada do sistema triangular superior. 
�
2𝑥𝑥� + 3𝑥𝑥� − 𝑥𝑥� = 5
−2𝑥𝑥� − 𝑥𝑥� = −7
5𝑥𝑥� = 15
  
 
que é equivalente ao sistema dado. 
Resolvendo o sistema triangular por substituições retroativas tem-se 𝑥𝑥 = [1 2 3]� que é, 
também, solução para o sistema dado. 
 
 
2.2. Fatoração LU [Ruggiero e Lopes, 2011] 
 
Seja o sistema linear 𝐴𝐴�⃗�𝑥 = 𝑏𝑏�⃗ . 
 
O processo de fatoração para resolução deste sistema consiste em decompor a matriz 𝐴𝐴 dos 
coeficientes em um produto de dois ou mais fatores e, em seguida, resolver uma sequência de 
sistemas lineares que nos conduzirá à solução do sistema linear original. 
 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 8
 
 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 8 
 
Por exemplo, se pudermos realizar a fatoração: 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶 ∙ 𝐷𝐷, o sistema linear 𝐴𝐴�⃗�𝑥 = 𝑏𝑏�⃗ pode ser 
escrito: 
�𝐶𝐶 𝐷𝐷��⃗�𝑥 = 𝑏𝑏�⃗ 
 
Se �⃗�𝑦 = 𝐷𝐷�⃗�𝑥, então resolver o sistema linear 𝐴𝐴�⃗�𝑥 = 𝑏𝑏�⃗ é equivalente a resolver o sistema linear 
𝐶𝐶�⃗�𝑦 = 𝑏𝑏�⃗ e, em seguida, o sistema linear 𝐷𝐷�⃗�𝑥 = �⃗�𝑦. 
 
A vantagem dos processos de fatoração é que podemos resolver qualquer sistema linear que 
tenha 𝐴𝐴 como matriz dos coeficientes. Se o vetor 𝑏𝑏�⃗ for alterado, a resolução do novo sistema 
linear será quase que imediata. 
 
A fatoração LU é um dos processos de fatoração mais empregados. Nesta fatoração a matriz 𝐿𝐿 é 
triangular inferior com diagonal unitária e a matriz U é triangular superior. 
 
 
2.2.1. Cálculo dos Fatores L e U 
 Os fatores L e U podem ser obtidos através de fórmulas para os elementos 𝐼𝐼�� e 𝑢𝑢��, ou 
então, podem ser construídos usando a idéia básica do método de Eliminação de Gauss. 
 
A obtenção dos fatores L e U pelas fórmulas dificulta o uso de estratégias de pivoteamento e, por 
esta razão, veremos como obter L e U através do processo de Gauss. 
 
Usaremos um exemplo teórico de dimensão 3: 
�
𝑎𝑎��𝑥𝑥� +𝑎𝑎��𝑥𝑥� +𝑎𝑎��𝑥𝑥� = 𝑏𝑏�
𝑎𝑎��𝑥𝑥� +𝑎𝑎��𝑥𝑥� +𝑎𝑎��𝑥𝑥� = 𝑏𝑏�
𝑎𝑎��𝑥𝑥� +𝑎𝑎��𝑥𝑥� +𝑎𝑎��𝑥𝑥� = 𝑏𝑏�
  
 
Trabalharemos somente com a matriz dos coeficientes. Seja então: 
 
𝐴𝐴(�) = �
𝑎𝑎��
(�) 𝑎𝑎��
(�) 𝑎𝑎��
(�)
𝑎𝑎��
(�)
𝑎𝑎��
(�)
𝑎𝑎��
(�)
𝑎𝑎��
(�)
𝑎𝑎��
(�)
𝑎𝑎��
(�)
� = 𝐴𝐴 
 
Os multiplicadores da etapa 1 do processo de Gauss 
𝑚𝑚��
(�) = ���
(�)
���
(�); 𝑚𝑚��
(�) = ���
(�)
���
(�) (considerando que 𝑎𝑎��(�) ≠ 0) 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 9
 
 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 9 
 
 
Para eliminar 𝑥𝑥� da linha i, i = 2, 3, multiplicamos a linha 1 por 𝑚𝑚�� e subtraímos o resultado da 
linha i. 
 
Os coeficientes 𝑎𝑎��
(�) serão alterados para 𝑎𝑎��
(�), onde: 
 
𝑎𝑎��
(�) = 𝑎𝑎��
(�) para 𝑗𝑗 = 1, 2, 3 
𝑎𝑎��
(�) = 𝑎𝑎��
(�) − 𝑚𝑚��𝑎𝑎��
(�) para 𝑖𝑖 = 2, 3 e 𝑗𝑗 = 1, 2, 3 
 
Estas operações correspondem a se pré-multiplicar a matriz 𝐴𝐴(�) pela matriz 𝑀𝑀(�), onde 
𝑀𝑀(�) = �
1 0 0
−𝑚𝑚��
−𝑚𝑚��
1
0
0
0
�, pois 
 
 
𝑀𝑀(�)𝐴𝐴(�) = �
𝑎𝑎��
(�) 𝑎𝑎��
(�) 𝑎𝑎��
(�)
0
0
𝑎𝑎��
(�)
𝑎𝑎��
(�)
𝑎𝑎��
(�)
𝑎𝑎��
(�)
� = 𝐴𝐴(�) 
 
Portanto, 𝑀𝑀(�)𝐴𝐴(�) = 𝐴𝐴(�) onde 𝐴𝐴(�) é a mesma matriz obtida no final da etapa 1 do processo de 
Gauss. 
 
Supondo agora que 𝑎𝑎��
(�) ≠ 0, o multiplicador da etapa 2 será: 𝑚𝑚�� =
���
(�)
���
(�) . 
Para eliminar 𝑥𝑥� da linha 3, multiplicamos a linha 2 por 𝑚𝑚�� e subtraímos o resultado da linha 3. 
Os coeficientes 𝑎𝑎��
(�) = 𝑎𝑎��
(�) para 𝑗𝑗 = 1, 2, 3 
𝑎𝑎��
(�) = 𝑎𝑎��
(�) para 𝑗𝑗 = 2, 3 
𝑎𝑎��
(�) = 𝑎𝑎��
(�) − 𝑚𝑚��𝑎𝑎��
(�) para 𝑗𝑗 = 2, 3 
 
As operações efetuadas em 𝐴𝐴(�) são equivalentes a pré-multiplicar 𝐴𝐴(�) por 𝑀𝑀(�), onde 
 
 
𝑀𝑀(�) = �
1 0 0
0 1 0
0 −𝑚𝑚�� 0
�, pois 
 
𝑀𝑀(�)𝐴𝐴(�) = �
𝑎𝑎��
(�) 𝑎𝑎��
(�) 𝑎𝑎��
(�)
0
0
𝑎𝑎��
(�)
0
𝑎𝑎��
(�)
𝑎𝑎��
(�)
� 
 
Portanto, 𝑀𝑀(�)𝐴𝐴(�) = 𝐴𝐴(�) onde 𝐴𝐴(�) é a mesma matriz obtida no final da etapa 2 do processo de 
eliminação de Gauss. 
 
Então, 𝐴𝐴 = �𝑀𝑀(�)𝑀𝑀(�)�
��
𝐴𝐴(�) = �𝑀𝑀(�)�
��
�𝑀𝑀(�)�
��
𝐴𝐴(�) 
 
 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 10
 
 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 10 
 
𝐴𝐴 = �
1 0 0
𝑚𝑚��
𝑚𝑚��
1
𝑚𝑚��
0
0
� �
𝑎𝑎��
(�) 𝑎𝑎��
(�) 𝑎𝑎��
(�)
0
0
𝑎𝑎��
(�)
0
𝑎𝑎��
(�)
𝑎𝑎��
(�)
� = 𝐿𝐿 𝑈𝑈 
 
Ou seja, 𝐿𝐿 = �𝑀𝑀(�)�
��
�𝑀𝑀(�)�
��
 e 𝑈𝑈 = 𝐴𝐴(�). 
 
Isto é, fatoramos a matriz 𝐴𝐴 em duas matrizes triangulares 𝐿𝐿 e 𝑈𝑈, sendo que o fator 𝐿𝐿 é triangular 
inferior com diagonal unitária e seus elementos 𝐼𝐼�� para 𝑖𝑖 > 𝑗𝑗 são os multiplicadores 𝑚𝑚�� obtidos no 
processo de Eliminação de Gauss; o fator 𝑈𝑈 é triangular superior e é a matriz triangular superior 
obtida no final da fase da triangulação do método da Eliminação de Gauss. 
 
Exemplo 2.2 
Resolver o sistema linear a seguir usando a fatoração LU. 
 
�
3𝑥𝑥� +2𝑥𝑥� +4𝑥𝑥� = 1
𝑥𝑥� +𝑥𝑥� +2𝑥𝑥� = 2
4𝑥𝑥� +3𝑥𝑥� +2𝑥𝑥� = 3
  
 
𝐴𝐴 = �
3 2 4
1 1 2
4 3 2
� 
 
Usando o processo de Eliminação de Gauss, para triangularizar 𝐴𝐴, temos: 
Etapa 1: 
Pivô = 𝑎𝑎��
(�) = 3 
Multiplicadores: 
𝑚𝑚��
(�) =
𝑎𝑎��
(�)
𝑎𝑎��
(�) =
1
3
 
𝑚𝑚��
(�) =
𝑎𝑎��
(�)
𝑎𝑎��
(�) =
4
3
 
 
𝐴𝐴(�) = �
3 2 4
0 1/32/3
0 1/3 −10/3
� 
 
Uma vez que os elementos 𝑎𝑎��
(�) e 𝑎𝑎��
(�) são nulos, podemos guardar os multiplicadores nestas 
posições, então: 
𝐴𝐴(�) = �
3 2 4
1/3 1/3 2/3
4/3 1/3 −10/3
� 
 
Etapa 2: 
Pivô = 𝑎𝑎��
(�) = 1/3 
Multiplicadores: 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 11
 
 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 11 
 
𝑚𝑚�� =
𝑎𝑎��
(�)
𝑎𝑎��
(�) =
1/3
1/3 = 1 
 
𝐴𝐴(�) = �
3 2 4
𝟏𝟏/𝟑𝟑 1/3 2/3
𝟒𝟒/𝟑𝟑 𝟏𝟏 −4
� 
 
Os fatores L e U são: 
𝐿𝐿 = �
1 0 0
1/3 1 0
4/3 1 1
� e 𝑈𝑈 = �
3 2 4
0 1/3 2/3
0 0 −4
� 
 
Resolvendo L(Ux) = b: 
i) Ly = b 
�
𝑦𝑦� = 1
(1 3⁄ )𝑦𝑦� +𝑦𝑦� = 2
(4 3⁄ )𝑦𝑦� +𝑦𝑦� +𝑦𝑦� = 3
  
 
�⃗�𝑦 = (1 5/3 0)� 
 
 
ii) Ux = y 
𝑈𝑈�⃗�𝑥 = �⃗�𝑦 ⇒ �
3𝑥𝑥� +2𝑥𝑥� +4𝑥𝑥� = 1
+1/3𝑥𝑥� 2/3𝑥𝑥� = 5/3
−4𝑥𝑥� = 0
  
 
�⃗�𝑥 = (−3 5 0)� 
 
 
 
3. Métodos Iterativos 
 
3.1. Introdução 
 
A solução 𝑥𝑥 de um sistema linear 𝐴𝐴�⃗�𝑥 = 𝑏𝑏�⃗ pode ser obtida utilizando-se um método iterativo, 
que consiste em calcular uma sequência �⃗�𝑥(�), �⃗�𝑥(�), �⃗�𝑥(�), ..., �⃗�𝑥(�), ... de aproximação de 𝑥𝑥, 
sendo dada uma aproximação inicial �⃗�𝑥(�). Para tanto, transforma-se o sistema dado num 
equivalente da forma: 
 
�⃗�𝑥 = 𝐹𝐹�⃗�𝑥 + 𝑑𝑑 (3.1) 
 
onde 𝐹𝐹 é uma matriz 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 e �⃗�𝑥 e 𝑑𝑑 são matrizes 𝑛𝑛 × 1. Para facilitar a notação serão usados 
indistintamente: 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 12
 
 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 12 
 
�⃗�𝑥 = (𝑥𝑥�, 𝑥𝑥�, … , 𝑥𝑥�)� ou �⃗�𝑥 = �
𝑥𝑥�
⋮
𝑥𝑥�
� 
 
Partindo-se de uma aproximação inicial �⃗�𝑥(�) = �𝑥𝑥�
(�), 𝑥𝑥�
(�), … , 𝑥𝑥�
(�)�
�
 obtém-se 
�⃗�𝑥(�) = 𝐹𝐹�⃗�𝑥(�) + 𝑑𝑑 
�⃗�𝑥(�) = 𝐹𝐹�⃗�𝑥(�) + 𝑑𝑑 
... ... ... ... ... ... ... 
�⃗�𝑥(���) = 𝐹𝐹�⃗�𝑥(�) + 𝑑𝑑 
... ... ... ... ... ... ... 
 
Seja ��⃗�𝑥(�) − �⃗�𝑥� = 𝑚𝑚á𝑥𝑥�𝑥𝑥�
(�) − 𝑥𝑥��, para 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛. 
 
Se ��⃗�𝑥(�) − �⃗�𝑥� = 0 então �⃗�𝑥(�), �⃗�𝑥(�), �⃗�𝑥(�), ..., �⃗�𝑥(�), ... converge quando 𝑘𝑘 → ∞. 
 
Observação: dado 𝐴𝐴�⃗�𝑥 = 𝑏𝑏�⃗ existem várias maneiras de se obter (1.3.1), por exemplo: 
 
𝐴𝐴�⃗�𝑥 + 𝐼𝐼�⃗�𝑥 − 𝑏𝑏�⃗ = 𝐼𝐼�⃗�𝑥 
ou 
�⃗�𝑥 = �𝐴𝐴 + 𝐼𝐼��⃗�𝑥 − 𝑏𝑏�⃗ 
 
3.2. Método de Gauss-Jacobi 
 
Seja o sistema: 
 
�
𝑎𝑎��𝑥𝑥� + 𝑎𝑎��𝑥𝑥� + ⋯ + 𝑎𝑎��𝑥𝑥� = 𝑏𝑏�
𝑎𝑎��𝑥𝑥� + 𝑎𝑎��𝑥𝑥� + ⋯ + 𝑎𝑎��𝑥𝑥� = 𝑏𝑏�
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
𝑎𝑎��𝑥𝑥� + 𝑎𝑎��𝑥𝑥� + ⋯ + 𝑎𝑎��𝑥𝑥� = 𝑏𝑏�
  (3.2) 
 
Explicita-se em (1.3.2) 𝑥𝑥�na primeira equação, 𝑥𝑥� na segunda ... 
 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ 𝑥𝑥� =
���(������������⋯������)
���
𝑥𝑥� =
���(������������⋯������)
���
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 
𝑥𝑥� =
����������������⋯���,��������
���
  (3.3.) 
 
O leitor deve observar que em (1.3.3) os elementos 𝑎𝑎�� ≠ 0, ∀𝑖𝑖. Caso isso não ocorra, as 
equações de (3.2) devem ser reagrupadas para que se consiga essa condição. 
 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 13
 
 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 13 
 
O sistema (3.3) pode ser colocado na forma �⃗�𝑥 = 𝐹𝐹�⃗�𝑥 + 𝑑𝑑 onde: 
 
�⃗�𝑥 = �
𝑥𝑥�
𝑥𝑥�
⋮
𝑥𝑥�
� 𝑑𝑑 =
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
��
���
��
���
⋮
��
���⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
 𝐹𝐹 = �
0 −𝑎𝑎�� 𝑎𝑎��⁄ −𝑎𝑎�� 𝑎𝑎��⁄ ⋯ −𝑎𝑎�� 𝑎𝑎��⁄
−𝑎𝑎�� 𝑎𝑎��⁄ 0 −𝑎𝑎�� 𝑎𝑎��⁄ ⋯ −𝑎𝑎�� 𝑎𝑎��⁄
⋯
−𝑎𝑎�� 𝑎𝑎��⁄
⋯
−𝑎𝑎�� 𝑎𝑎��⁄
⋯ ⋯ ⋯
−𝑎𝑎�� 𝑎𝑎��⁄ ⋯ 0
� 
 
O método de Jacobi funciona do seguinte modo: 
 
a-) Escolhe-se uma aproximação inicial �⃗�𝑥(�). 
 
b-) Geram-se aproximações sucessivas de �⃗�𝑥(�) a partir da iteração 
 
�⃗�𝑥(���) = 𝐹𝐹�⃗�𝑥(�) + 𝑑𝑑, 𝑘𝑘 = 0, 1, 2, … 
 
c-) Continua-se a gerar aproximações até que um dos critérios abaixo seja satisfeito. 
max�������⃗�𝑥�
(���) − �⃗�𝑥�
(�)� ≤ 𝜖𝜖, 𝜖𝜖 tolerância 
 
ou 
 
𝑘𝑘 > 𝑀𝑀, 𝑀𝑀 número máximo de iterações 
 
Observação: a tolerância 𝜖𝜖 fixa o grau de precisão das soluções. 
 
Exemplo 3.1. 
Resolver pelo método de Jacobi o sistema: 
�−2𝑥𝑥� −𝑥𝑥� = 1𝑥𝑥� +2𝑥𝑥� = 3
  
 
com 𝜖𝜖 ≤ 10�� ou 𝑘𝑘 > 10 
Explicitando 𝑥𝑥� na primeira equação e 𝑥𝑥� na segunda, tem-se as equações de iteração: 
 
 
�
𝑥𝑥�
(���) = �
�
�1 + 𝑥𝑥�
(�)�
𝑥𝑥�
(���) = �
�
�3 − 𝑥𝑥�
(�)�
  𝑘𝑘 = 0, 1, 2, … 
 
O vetor inicial é tomado arbitrariamente. Fazendo-o 
�⃗�𝑥(�) = [0 0]�, por exemplo, tem-se: 
 
para 𝑘𝑘 = 0 �
𝑥𝑥�
(�) = �
�
�1 + 𝑥𝑥�
(�)� = �
�
(1 + 0) = 0,5
𝑥𝑥�
(�) = �
�
�3 + 𝑥𝑥�
(�)� = �
�
(3 − 0) = 1,5
  
 
para 𝑘𝑘 = 1 �
𝑥𝑥�
(�) = �
�
�1 + 𝑥𝑥�
(�)� = �
�
(1 + 1,5) = 1,25
𝑥𝑥�
(�) = �
�
(3 − 0,5) = 1,25
  
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 14
 
 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 14 
 
 
Prosseguindo as iterações para 𝑘𝑘 = 2, 3, … e colocando-as numa tabela obtém-se: 
 
k 𝑥𝑥�
(�) 𝑥𝑥�
(�) 𝜖𝜖 
0 0 0 - 
1 0,5 1,5 1,5 
2 1,25 1,25 0,75 
3 1,125 0,875 0,375 
4 0,938 0,938 0,187 
5 0,969 1,031 0,093 
6 1,016 1,016 0,047 
7 1,008 0,992 0,024 
8 0,996 0,996 0,012 
9 0,998 1,002 0,006 
 
 
0,006 ≤ 10��?
𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑘𝑘 > 10?
� Sim. Então pare! 𝑥𝑥� = 0,998𝑥𝑥� = 1,002
 
 
�⃗�𝑥 = [0,998 1,002]� 
 
 
3.3. Método de Gauss-Seidel 
 
Seja o sistema 𝐴𝐴�⃗�𝑥 = 𝑏𝑏�⃗ dado na forma (3.3). O método iterativo de Gauss-Seidel consiste 
em: 
a-) partindo-se de uma aproximação inicial �⃗�𝑥(�) = �𝑥𝑥�
(�), 𝑥𝑥�
(�), … , 𝑥𝑥�
(�)�
�
, 
b-) calcula-se a sequência de aproximações �⃗�𝑥(�), �⃗�𝑥(�), �⃗�𝑥(�), ..., �⃗�𝑥(�), ... utilizando-se as 
equações: 
 
𝑥𝑥�
(���) =
1
𝑎𝑎��
�𝑏𝑏� − 𝑎𝑎��𝑥𝑥�
(�) − 𝑎𝑎��𝑥𝑥�
(�) ⋯−⋯− 𝑎𝑎��𝑥𝑥�
(�)� 
 
𝑥𝑥�
(���) =
1
𝑎𝑎��
�𝑏𝑏� − 𝑎𝑎��𝑥𝑥�
(���) − 𝑎𝑎��𝑥𝑥�
(�) ⋯−⋯− 𝑎𝑎��𝑥𝑥�
(�)� 
............................................................................................................................ 
𝑥𝑥�
(���) =
1
𝑎𝑎��
�𝑏𝑏� − 𝑎𝑎��𝑥𝑥�
(���) − 𝑎𝑎��𝑥𝑥�
(���) ⋯−⋯− 𝑎𝑎�,���𝑥𝑥���
(���)� 
 
𝑥𝑥�
(���) = 𝑑𝑑 + ��𝐹𝐹��𝑥𝑥�
(���) + � 𝐹𝐹��𝑥𝑥�
(�)
�
�����
���
���
� 
𝑖𝑖 = 1, 2, … , 𝑛𝑛 
𝑘𝑘 = 0, 1, 2,… 
 
Continua-se a gerar aproximações até que um dos critérios abaixo seja satisfeito. 
max�������⃗�𝑥�
(���) − �⃗�𝑥�
(�)� ≤ 𝜖𝜖, 𝜖𝜖 tolerância 
 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 15
 
 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 15 
 
ou 
 
𝑘𝑘 > 𝑀𝑀, 𝑀𝑀 número máximo de iterações 
 
Exemplo 3.2. 
Resolver pelo método de Gauss-Seidel 
�2𝑥𝑥� − 𝑥𝑥� = 1𝑥𝑥� + 2𝑥𝑥� = 3
  
 
com �⃗�𝑥(�) = [0 0]�, 
As equações iterativas são �
𝑥𝑥�
(���) = �
�
�1 + 𝑥𝑥�
(�)�
𝑥𝑥�
(���) = �
�
�3 − 𝑥𝑥�
(���)�
  
𝑘𝑘 = 0, 1, 2,… 
 
𝑘𝑘 = 0 (1ª. iteração) 
�
𝑥𝑥�
(�) =
1
2
�1 + 𝑥𝑥�
(�)� =
1
2
(1 + 0) = 0,5
𝑥𝑥�
(�) =
1
2
�3 − 𝑥𝑥�
(�)� =
1
2
(3 − 0,5) = 1,25
  
 
𝑘𝑘 = 1 (2ª. iteração) 
�
𝑥𝑥�
(�) =
1
2
�1 + 𝑥𝑥�
(�)� =
1
2
(1 + 1,25) = 1,125
𝑥𝑥�
(�) =
1
2
�3 − 𝑥𝑥�
(�)� =
1
2
(3 − 1,125) = 0,9375
  
 
Prosseguindo as iterações pode-se notar que o método de Gauss-Seidel converge para a 
solução mais rapidamente que o método de Gauss-Jacobi. 
 
Exemplo 3.3. 
Resolver pelo método de Gauss-Seidel, retendo quatro casas decimais. 
 
�
20𝑥𝑥� + 𝑥𝑥� + 𝑥𝑥� + 2𝑥𝑥� = 33
𝑥𝑥� + 10𝑥𝑥� + 2𝑥𝑥� + 4𝑥𝑥� = 38,4
𝑥𝑥� + 2𝑥𝑥� + 10𝑥𝑥� + 𝑥𝑥� = 43,5
2𝑥𝑥� + 4𝑥𝑥� + 𝑥𝑥� + 20𝑥𝑥� = 45,6
  
 
𝑥𝑥�
(���) =
1
20
�33 − 𝑥𝑥�
(�) − 𝑥𝑥�
(�) − 𝑥𝑥�
(�)�𝑥𝑥�
(���) =
1
10
�38,4 − 𝑥𝑥�
(���) − 2𝑥𝑥�
(�) − 4𝑥𝑥�
(�)� 
 
𝑥𝑥�
(���) =
1
10
�43,5 − 𝑥𝑥�
(���) − 2𝑥𝑥�
(���) − 𝑥𝑥�
(�)� 
 
𝑥𝑥�
(���) =
1
20
�45,6 − 2𝑥𝑥�
(���) − 4𝑥𝑥�
(���) − 𝑥𝑥�
(���)� 
 
 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 16
 
 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 16 
 
Iter. (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) 
𝑥𝑥� 0 1,6500 1,1730 1,1951 1,1996 1,2000 1,2000 
𝑥𝑥� 0 3,6750 2,5497 2,4110 2,4006 2,4000 2,4000 
𝑥𝑥� 0 3,4500 3,6020 3,6010 3,6001 3,6000 3,6000 
𝑥𝑥� 0 1,2075 1,4727 1,4982 1,4999 1,5000 1,5000 
𝜖𝜖 3,6750 1,1253 0,0104 0,0104 0,0006 0,0000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 17
 
 
Métodos Numéricos / Roteiro de Estudo 17 
 
4. Bibliografia 
 
[Barroso e outros, 1987] Barroso, Leônidas Conceição; Barroso, Magali Maria de Araújo; 
Campos Filho, Frederico Ferreira; Carvalho, Márcio Luiz Bunte de; Maia, Miriam 
Lourenço; Cálculo Numérico (com aplicações); 2ª. ed., editora Harbra ltda., 1987. 
 
[Ruggiero e Lopes, 2011] Ruggiero, Márcia A. Gomes; Lopes, Vera Lúcia da Rocha; 
Cálculo Numérico, aspectos teóricos e computacionais; 2ª. ed., Pearson, 2011. 
 
[Franco, 2010] Franco, Neide Bertoldi; Cálculo Numérico, Pearson, 2010. 
 
[Monezzi e outros, 2009] Monezzi Jr., Orlando; Zamboni, Lincoln César; Pamboukian, 
Sérgio Vicente D.; Métodos Quantitativos e Computacionais; Páginas e Letras, São Paulo, 
2009.