FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA CIÊNCIAS CONTÁBEIS - NOTAS DE AULA

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS HUMANAS – CAMPUS I 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
 
 
 
SALVADOR 
2018.1 
 
1 
Prezad@ estudante! 
Este material é parte dos recursos didáticos que dão suporte às suas atividades de 
estudo e formação na disciplina Fundamentos da Matemática, para o Curso de Ciências 
Contábeis. 
Procure conhecer a ementa da disciplina ora iniciada e explore ao máximo todo o 
material disponibilizado para o seu curso. 
Saiba que esse módulo é apenas um material básico, cujo objetivo é organizar seu 
estudo, dar-lhe embasamento teórico mínimo para acompanhar e desenvolver as atividades 
propostas. Assim, sua finalidade é motivar para outras pesquisas que em alguns momentos 
serão sugeridas e indicadas no corpo do próprio texto. 
Você tem em suas mãos um material que foi cuidadosamente composto e organizado, 
e apresenta partes teóricas, permeadas por exemplos, exercícios resolvidos e exercícios a 
serem resolvidos. Este módulo
1
 tem como objetivo trazer, ainda que sinteticamente, a 
proposta apresentada na ementa da disciplina Fundamentos da Matemática. Para tanto 
dividimos este material em seis Tópicos. No Tópico 1, são trazidas noções básicas da Lógica 
Matemática para que se possa entender bem a Lógica proposicional, valores lógicos e tabelas-
verdade, sem perder de vista as aplicações à Teoria dos Conjuntos. Para os demais tópicos 
necessários para atender à ementa da disciplina são indicados livros que compõem a 
referência básica. 
Desta forma, é esperado que você utilize este material como apoio nos seus estudos, e 
para isso espera-se que você leia, analise, argumente, discuta com os seus colegas a partir do 
que está escrito neste módulo e que procure aprofundar a leitura da temática com o material 
proposto e referências: básica e complementar. 
Bons estudos e pesquisas! 
Profª Maria Cristina Elyote Marques Santos 
Matemática 
 
 
1 Foi utilizada referência sobre a temática de tal sorte ampla, para possibilitar ao estudante uma visão bem mais 
aprofundada do assunto. Para tanto, foram em alguns momentos trazidos trechos e/ou idéias completas dos 
autores abordados. 
2 
 
SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO 3 
TÓPICO 1: INTRODUÇÃO À LÓGICA E CONJUNTOS 3 
1 NOÇÕES DE LÓGICA 3 
1.1 INTRODUÇÃO 4 
1.2 O QUE É LÓGICA? 5 
1.3 A LÓGICA MATEMÁTICA OU LÓGICA FORMAL 6 
1.4 DEFINIÇÃO DE LÓGICA 6 
1.5 PROPOSIÇÃO 7 
1.5.1 Proposição 7 
1.5.1.1 Igualdade e desigualdade entre proposições 9 
2 LÓGICA PROPOSICIONAL, VALORES LÓGICOS E TABELAS-VERDADE 10 
2.1 VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS 12 
2.2 PROPOSIÇÕES SIMPLES 12 
2.3 PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 12 
2. 4 CONECTIVOS LÓGICOS 13 
2.5 OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES 14 
2.5.1 Negação ou negativa 14 
2.5.2 Conjunção 15 
2.5.3 Disjunção 16 
2.5.4 Condicionamento ou condicional 18 
2.5.5 Bicondicionamento ou bicondicional 20 
2.6 A CONDIÇÃO NECESSÁRIA, A CONDIÇÃO SUFICIENTE E A CONDIÇÃO 
NECESSÁRIA E SUFICIENTE (RECÍPROCA DE UM TEOREMA) 
22 
2.7 TAUTOLOGIA 24 
2.8 SÍMBOLOS AUXILIARES 25 
2.9 DEFINIÇÃO DE FÓRMULA 26 
2.9.1 Ordem de precedência das operações. Fórmulas. 26 
2.9.2 Algoritmo ordem de precedência 27 
3 CONJUNTOS 27 
3.1 CONJUNTO E RELAÇÃO PERTENCE 27 
3.2 CONJUNTOS FINITOS E CONJUNTOS INFINITOS. REPRESENTAÇÃO DE 
UM CONJUNTO. CONJUNTOS HABITUAIS EM MATEMÁTICA 
28 
3.3 INCLUSÃO DE CONJUNTOS 29 
3.4 NEGAÇÃO 29 
3.5 QUANTIFICAÇÃO 30 
3.6 OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS 30 
4 REFERÊNCIAS 32 
 
3 
INTRODUÇÃO
2
 
 
A Matemática, como toda Ciência, usa a linguagem corrente para exprimir suas ideias e seus 
conceitos. Ao dizermos, por exemplo, “dois é um número natural par”, estamos utilizando a língua 
portuguesa para construir uma frase que traduz uma propriedade sobre certos entes matemáticos. No 
entanto, poderíamos ter esta frase noutra língua: por exemplo, chinês, francês, inglês, grego, ou até 
mesmo linguagem brasileira de sinais (Libras). Neste aspecto existe uma semelhança entre a frase “2 é 
um número natural par”, referente a entes matemáticos, e a frase “O Neymar é considerado um 
jogador de futebol extraordinário”. Há, porém, uma diferença fundamental entre estas duas frases e é 
para ela que nos interessa chamar a atenção. 
Independente de Neymar ser um jogador de futebol extraordinário, ou não, na realidade o que 
queremos é chamar a atenção para o fato de uma discussão deste tipo ser impensável a partir da frase 
“dois é um número natural par”; e não é porque há um desinteresse por questões matemáticas, mas sim 
porque a frase “dois é um número natural par” é, sem margem para discussão, verdadeira. Isto porque 
sabemos definir exatamente o que são os números naturais pares e sabemos verificar se o número dois 
obedece ou não àquela definição: se par ou ímpar. O problema com a frase “O Neymar é um jogador 
de futebol extraordinário” é não sabermos definir exatamente o que se entende por um “jogador de 
futebol extraordinário”. Decidir se alguém é ou não jogador de futebol, ainda vá; agora atribuir-lhe o 
adjetivo de extraordinário, isso pode variar de pessoa para pessoa. 
Com o exemplo destas duas frases pretendemos fazer com que se comece a perceber a necessidade de 
maior rigor na linguagem matemática, em comparação com o da linguagem corrente. É isto que nos 
leva a refletir um pouco mais sobre a linguagem matemática, estudando os princípios da chamada 
Lógica. Assim, é indispensável habituarmo-nos a usar uma linguagem mais precisa e rigorosa do que a 
que se utiliza, em geral, na vida corrente. A aquisição desse hábito pode ser muito facilitada pelo 
recurso a algumas noções e símbolos da Lógica Matemática, dos quais indicaremos ora baseada na 
intuição, ora de maneira mais aprofundada, estudando os conceitos lógicos. 
Embora existam muitas definições para o campo de estudo da lógica, essas definições não diferem 
essencialmente umas das outras; há certo consenso entre os autores de que a Lógica tem, por objeto de 
estudo, as leis gerais do pensamento, e as formas de aplicar essas leis corretamente na investigação da 
verdade. 
TÓPICO 1: INTRODUÇÃO À LÓGICA E CONJUNTOS 
1 NOÇÕES DE LÓGICA 
 
Antes de iniciarmos as primeiras noções do que se costuma chamar de lógica formal, vejamos que 
nem sempre utilizamos a lógica formal ou até mesmo iremos recorrer a fórmulas mirabolantes para 
resolver problemas no cotidiano. Em certos momentos basta lidar com uma simples argumentação ou 
um pensamento simples e corriqueiro para chegarmos à solução de uma questão que nos é oferecida. 
 
2 Texto adaptado de Lógica Matemática Grupo de Matemática da Universidade Técnica de Lisboa: António St. 
Aubyn, Maria Carlos Figueiredo, Luís de Loura, Luísa Ribeiro, Francisco Viegas Lisboa, Março de 2004. 
4 
Como exemplos de situações que uma argumentação simples já nos ajuda a resolver, vejamos as 
questões a seguir. Como resolveria? Explique como chegou ao resultado. 
1. Senhor Gato de Botas vendeu duas televisões por R$ 10.000,00 cada uma. Na 
primeira venda ele teve prejuízo de 30% e na segunda teve um lucro de 30%. No 
total, ele teve lucro ou prejuízo? 
2. Alguns meses do ano têm 31 dias. Quantos meses têm 28? 
3. Quantos algarismos 9 existem entre 0 e 100? 
4. Um garrafão contém um casal de insetos. Esses insetos reproduzem-se e o seu 
número dobra todos os dias. Em 50 dias o garrafão está cheio. Em que dia o 
garrafão esteve pela metade? 
 
1.1 INTRODUÇÃO 
A lógica formal, como hoje é conhecida, nasceu na Grécia Antiga, por volta do século IV 
antes de Cristo. Os primeiros trabalhos sobre Lógica são devidos a Parmênides, Zenão, e aogrupo conhecido como “sofistas”, mas o verdadeiro criador da Lógica é, sem dúvida, 
Aristóteles, pois foi ele quem sistematizou e organizou esse conhecimento, elevando-o à 
categoria de ciência. Em sua obra chamada Organum (que, em tradução livre, significa 
“ferramenta”) Aristóteles estabeleceu princípios tão gerais e tão sólidos que dominou o 
pensamento ocidental durante dois mil anos, e até hoje são considerados válidos. 
A Lógica nos possibilita muitas aplicações, pois pode dar clareza de pensamento, a habilidade 
de ver seu caminho através de um quebra-cabeça, o hábito de arranjar suas ideias numa forma 
acessível e ordenada e, o mais valioso que tudo, o poder de detectar falácias e despedaçar os 
argumentos ilógicos e inconsistentes que você encontrará tão facilmente nos livros, jornais, na 
linguagem cotidiana e mesmo nos sermões e que tão facilmente enganam aqueles que nunca 
tiveram o trabalho de instruir-se nesta fascinante arte (Lewis Carroll). 
Em Matemática estamos sempre tentando descobrir coisas novas e querendo saber se uma 
afirmação é verdadeira ou falsa. Em muitos casos, a intuição nos mostra a verdade, mas em 
outros ela pode nos pregar uma peça. Nesses momentos somos levados a buscar outros 
recursos mais eficientes que nos permitam afirmar com certeza o que queremos. 
Freqüentemente usamos expressões é lógico que sim, ou é lógico que vai chover,etc. Mas será 
que é realmente lógico? Em que nos baseamos para fazer tais afirmações? Quando usamos 
essas expressões quase sempre estamos nos referindo a algo que parece ser evidente ou 
quando temos uma opinião muito fácil de justificar (MACHADO, 2000). Fazemos afirmações 
e suposições de vários tipos e tiramos conclusões sobre os acontecimentos do dia a dia o 
tempo todo, usando a lógica do cotidiano. 
Quem vai nos ajudar a responder com clareza e segurança a perguntas como as formuladas 
acima é a Lógica Aristotélica, e a Lógica Formal ou Lógica Matemática. Para isso, 
iniciaremos nosso estudo, conhecendo alguns estudiosos que contribuíram com o surgimento, 
sistematização e desenvolvimento dessa área do conhecimento humano. 
5 
Muitos são os nomes atribuídos a alguma contribuição à Lógica Matemática, sua formalização 
e desenvolvimento. Aristóteles, Gottfried Wilhelm Leibniz, George Boole, Giuseppe Peano e 
De Morgan, são apenas alguns nomes que podem ser citados. No entanto, é, sem dúvida, a 
maior contribuição a proveniente do Filósofo e Biólogo grego, Aristóteles. 
 
1.2 O QUE É LÓGICA? 
 
Fonte: http://www.humorcomciencia.com/blog/bugio-o-logico/ 
 
A palavra Lógica deriva do termo grego clássico λογική, ou seja, logos, o qual significa 
palavra, pensamento, ideia, argumento, relato, razão lógica ou princípio lógico. A Lógica é 
uma ciência de índole Matemática e fortemente ligada à Filosofia. A lógica é o ramo da 
Filosofia que cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto. Porém, a aprendizagem 
da Lógica não constitui um fim em si, sendo um meio de garantir que nosso pensamento 
proceda corretamente a fim de chegar a conhecimentos verdadeiros. Desta forma, a Lógica 
trata dos argumentos, isto é, das conclusões a que chegamos através da apresentação de 
evidências que a sustentam. Por isso, a necessidade de estabelecer algumas regras para que se 
chegue à verdade por meio do conhecimento que a lógica pode proporcionar ao homem. 
Aristóteles divide a lógica em formal e material. Lógica formal ou menor é a parte da Lógica 
que estabelece a forma correta das operações intelectuais, ou melhor, que assegura o acordo 
do pensamento consigo mesmo, de tal maneira que os princípios que descobre e as regras que 
formula se aplicam a todos os objetos do pensamento, quaisquer que sejam. 
Ora, como as operações do espírito são em número de três, a saber: a apreensão, o juízo e o 
raciocínio, a Lógica formal compreende normalmente três partes, que tratam da apreensão e 
da idéia, — do juízo e da proposição, — do raciocínio e da argumentação. 
A Lógica material ou maior é a parte da Lógica que determina as leis particulares e as regras 
especiais que decorrem da natureza dos objetos a conhecer. Ela define os métodos das 
matemáticas, da física, da química, das ciências naturais, das ciências morais etc, que são 
outras tantas lógicas especiais. 
Para Aristóteles a Lógica é o que devemos estudar e aprender antes de iniciar uma 
investigação filosófica ou científica, pois somente ela pode indicar qual o tipo de proposição, 
de raciocínio, de demonstração, de prova, e de definição que uma determinada ciência deve 
usar (CHAUÍ, 1994). A Lógica é uma disciplina que fornece as leis, regras ou normas ideais 
de pensamento e o modo de aplicá-las para demonstrar a verdade. A Lógica também 
6 
estabelece os fundamentos necessários para as demonstrações pois, dada uma certa hipótese, a 
lógica permite verificar quais são as suas conseqüências; dada uma certa conclusão, a lógica 
permite verificar se ela é verdadeira ou falsa (CHAUÍ, 1994). 
Tradicionalmente, a Lógica é também a designação para o estudo de sistemas prescritivos de 
raciocínio, ou seja, sistemas que definem como se "deveria" realmente pensar para não errar, 
usando a razão, dedutivamente e indutivamente. A forma como as pessoas realmente 
raciocinam é estudado nas outras áreas, como na psicologia cognitiva. 
A história da lógica pode ser dividida, com simplificação exagerada em três 
estágios: (1) lógica grega, (2) lógica escolástica, e (3) lógica matemática. No 
primeiro estágio, as fórmulas lógicas consistiam de palavras da linguagem ordinária, 
sujeitas às regras sintáticas usuais. No segundo estágio, a lógica era tirada da 
linguagem ordinária mas caracterizada por regras sintáticas diferenciadas e funções 
semânticas especializadas. No terceiro estágio, a lógica ficou marcada pelo uso de 
uma linguagem artifial em que palavras e sinais têm funções semânticas muito 
limitadas. Ao passo que nos dois primeiros estágios teoremas lógicos eram 
derivados da linguagem ordinária, a lógica do terceiro estágio procede de maneira 
oposta – primeiro ela constrói um sistema puramente formal, e só depois procura 
uma interpretação na fala comum (BOYER, 1974, p.428). 
1.3 A LÓGICA MATEMÁTICA OU LÓGICA FORMAL 
A Lógica, particularmente a Lógica Matemática ou Lógica Formal, despontou no século XX 
como um dos campos mais fascinantes e revolucionários do conhecimento humano. Conexões 
espetaculares com diversas partes da Matemática (Álgebra, Teoria dos Números, Topologia 
Geral, Combinatória, Teoria das Categorias), Ciência da Computação, Inteligência Artificial e 
Robótica se cruzam nas províncias da Teoria da Computabilidade ("Funções Recursivas"), 
Teoria dos Modelos e Análise Não-convencional. Mas, por que a Lógica é importante para a 
Matemática e os fundamentos metodológicos da Ciência em geral? 
A Lógica Matemática é muito importante para diversas áreas da Matemática e tantas outras 
Ciências. A Lógica Formal ou Lógica Matemática fornece as bases para o método de pensar 
organizado e cuidadoso que caracteriza qualquer atividade racional – como uma investigação 
criminal, uma experiência científica, um estudo sociológico, em ciências da computação, etc. 
1.4 DEFINIÇÃO DE LÓGICA 
Inúmeras são as vezes que num quotidiano e rotineiro diálogo, produzimos uma afirmação do 
gênero: o teu ponto de vista peca por não apresentar lógica alguma. 
Saber o que é lógico, ou o que apresenta uma estrutura lógica , num contexto linguístico, 
sempre foi uma questão de grande estudo e reflexão, pelo menos desde a época de Sócrates e 
seus pensadores. Dentre estes, devemos destacar aquele que sem dúvida mais contribuiu para 
o esclarecimento destas matérias, sendo ainda considerado, nos nossos dias, uma referênciaincontestável devido ao legado que nos transmitiu. 
Com efeito, consideramos, como já foi dito antes, que os estudos de lógica clássica, ou 
formal, foram, na sua origem, constituídos por Aristóteles. As definições que hoje em dia 
apresentamos a respeito da Lógica, enquanto ciência, fundam-se ainda no contributo do 
pensador de Estagira. 
7 
Trata-se de uma ciência que procura encontrar as leis em relação às quais o nosso pensamento 
deve obedecer para que possa ser considerado válido. 
Como o pensamento produz raciocínios, devemos, pois analisar a essência ou estrutura do 
raciocínio para que saibamos com exatidão do que é que falamos. Dessa forma, sabendo que 
os raciocínios, ou argumentos, não são mais do que um meio de passar de certos 
conhecimentos já adquiridos para outros, que são as suas consequências, e apresentando-se 
esses conhecimentos em juízos, ou proposições, que, eles próprios, religam ideias, designadas 
por conceitos, ou termos, surge daqui a divisão da Lógica Formal: 
1. Lógica do Conceito; 
2. Lógica do Juízo, e 
3. Lógica do Raciocínio. 
A Lógica, originalmente, é a ciência formal que estuda as leis necessárias à construção de um 
raciocínio perfeito. Hoje seu campo de estudo é muito mais amplo, abrangendo das ciências 
da computação à matemática. 
1.5 PROPOSIÇÃO 
A Matemática não é uma ciência experimental em que a repetição de um fenômeno um 
grande número de vezes leva a aceitá-la como lei. O conhecimento matemático é 
demonstrativo. Ora, os conhecimentos de Lógica Formal são um pré-requisito para o estudo 
da matemática. Não podemos esquecer que a Lógica é um instrumento ao serviço de todas as 
ciências. Para isso, além de entender o que se define como uma proposição, vamos entender o 
que é uma proposição. 
1.5.1 Proposição 
A Lógica Formal pode representar as afirmações que fazemos em linguagem cotidiana para 
apresentar fatos ou transmitir informações. Uma proposição (ou declaração) é qualquer 
afirmação ou declaração afirmativa ou sentença afirmativa, verdadeira ou falsa, mas que faça 
sentido. Ou seja, proposição é todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um 
pensamento de sentido completo. 
Por exemplo, considere as seguintes sentenças e aproveite para completar o quadro a seguir: 
SENTENÇA PROPOSIÇÃO? 
SIM NÃO 
MOTIVO MOTIVO 
a. A lua é quadrada. 
b. A neve é branca. 
c. Matemática é uma ciência. 
d. Dez é menor do que sete. 
e. Como está você? 
f. Todo número primo maior que 2 é ímpar. 
g. A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º. 
h. Todo número ímpar é primo. 
i. Ela é muito bonita. 
j. Existe vida em outros planetas do universo. 
 
8 
Em geral, as proposições simples são constituídas por um sujeito, um verbo, e seus 
complementos. Proposições como “se não chover, vou à praia”, ou “vou aprender a dirigir e 
comprar um carro” são chamadas proposições compostas, e são o resultado de operações 
sobre proposições simples, como veremos a seguir. 
Além das proposições, a Lógica dispõe de uma função, chamada “valor lógico” (representada 
por VL), que associa a cada proposição simples um de dois valores lógicos, chamados 
“verdadeiro” (representado por V) ou falso (representado por F). Geralmente, o valor lógico V 
ou F é associado à proposição, em consonância com o significado da proposição no mundo 
real, embora isso não seja essencial. 
Observe que das sentenças, do quadro acima, algumas são verdadeiras e outras são falsas, 
enquanto algumas delas não podem ser consideradas proposições. 
A Lógica Matemática adota como regras fundamentais do pensamento os 
dois seguintes princípios (ou axiomas): 
(I) PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: Uma proposição não pode ser 
verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 
(II) PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: Toda a proposição ou é 
verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um 
terceiro. 
Por virtude deste princípio diz-se que a Lógica Matemática é uma Lógica 
bivalente (ALENCAR FILHO, 2002, p. 12). 
Ou seja, a lógica clássica é governada por alguns princípios que podem ser formulados como 
segue: 
 Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo. 
O que é, é; ou seja, todo objeto é idêntico a si próprio. Isso não é um simples jogo de 
palavras; na verdade, é possível defender a noção oposta, de que a realidade é fluida, de que 
nada permanece igual a si próprio, e que qualquer raciocínio sobre objetos é uma ficção. 
 Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao 
mesmo tempo; ou seja, não pode ser verdadeira juntamente com sua negação. 
Um objeto não pode, simultaneamente, ser e não ser. Ou seja, não é possível afirmar e negar o 
mesmo predicado para o mesmo objeto ao mesmo tempo; ou ainda, de duas afirmações 
contraditórias, uma é necessariamente falsa. 
 Princípio do Terceiro Excluído: Dadas duas proposições contraditórias, uma delas é 
verdadeira. Ou seja, qualquer proposição A ou é verdadeira ou é falsa. Em outras 
palavras, ou A é verdadeira, ou ~A é verdadeira, não sendo possível uma terceira 
alternativa. 
Todo objeto é ou não é. Ou seja, uma dada afirmação é necessariamente verdadeira ou falsa, 
não existindo uma terceira opção. 
9 
Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou falsas - sendo 
mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica clássica é bivalente. 
Salientamos que não serão objeto de estudo as sentenças interrogativas ou exclamativas. 
 
1.5.1.1 Igualdade e desigualdade entre proposições 
O objetivo da Lógica, no entanto, não é verificar se as proposições são verdadeiras ou falsas; 
ao invés disso, o objeto de estudo da Lógica é examinar o relacionamento entre as 
proposições, em decorrência dos seus valores lógicos. Dito de outra forma, a Lógica não se 
interessa pelo significado das proposições, mas apenas por sua forma; no que concerne à 
Lógica, uma proposição como “A Lua é o satélite da Terra” pode ser tratada como “a 
proposição p”, não sendo necessária nenhuma referência a conhecimentos de astronomia. 
De acordo com os Princípios da Lógica, podemos afirmar que: 
Toda proposição é necessariamente verdadeira ou falsa, não existindo outra possibilidade. 
Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. 
Toda proposição verdadeira é sempre verdadeira, não podendo ser ora verdadeira ora falsa. 
A linguagem matemática (tal como a linguagem corrente) é construída a partir de designações 
e proposições; sabemos também a distinção existente entre esses dois conceitos. Recordamos 
que um determinado ente pode ser designado através de muitas designações distintas; por 
exemplo, “Salvador” e “capital da Bahia” são duas designações distintas para o mesmo ente. 
Vamos ver que há dois processos muito simples de construir uma proposição a partir de duas 
designações. Consideremos as designações “Brasília” e “capital do Brasil”. Podemos 
construir uma proposição onde intervenham apenas estas duas designações, por exemplo, 
“Brasília é a capital do Brasil”; trata-se de uma proposição verdadeira. Com as mesmas duas 
designações também pode-se construir uma proposição falsa: 
“Brasília não é a capital do Brasil”. Na proposição “Brasília é a capital do Brasil” estamos 
afirmando que as duas designações “Brasília” e “capital do Brasil” designam o mesmo ente, o 
que, aliás, sabemos ser verdadeiro. Já na proposição “Lisboa não é a capital da França” 
afirmamos que as designações “Lisboa” e “capital da França” designam entes distintos. 
Dadas duas designações, digamos a e b, há então dois processos muito simples de construir 
uma proposição. O primeiro é dizer que as designações a e b designam o mesmo ente;nesse 
caso escreveremos o sinal de igualdade “=” entre as duas designações: a = b. 
O segundo é dizer que as designações a e b designam entes distintos; escreveremos então o 
sinal de desigualdade “≠” entre as duas designações: a ≠ b. 
10 
Claro que o valor lógico de cada uma das proposições “a = b” e “a , b” depende das 
designações a e b. Por exemplo, ao escrevermos Lisboa = Capital da França construímos uma 
proposição falsa; mas as proposições Lisboa ≠ Capital da Dinamarca e Lisboa = Capital de 
Portugal, são verdadeiras. Dando agora exemplos com designações de entes matemáticos, são 
verdadeiras as proposições 
2 = 
4
, 2 ≠ 
9
, −2 ≠ 
4
, 3 × 4 = 12. 
E são falsas as proposições 
(3 + 2)² = 3² + 2², 
Acabamos de ver que um processo para construir proposições é escrever um dos 
sinais = ou ≠ entre duas designações. Outro processo semelhante é escrever o sinal de 
equivalência  entre duas proposições. 
Dadas duas proposições, digamos p e q, podemos construir uma nova proposição p  q, que 
se lê “p equivalente a q”, e que é verdadeira se somente se p e q tiverem o mesmo valor lógico 
(ambas verdadeiras ou ambas falsas) e falsa se e somente se p e q tiverem valores lógicos 
diferentes (uma for verdadeira e a outra for falsa). Assim, por exemplo, a proposição Lisboa é 
uma cidade  Londres é uma vila é falsa, visto que a proposição “Lisboa é uma cidade” é 
uma proposição verdadeira e a proposição “Londres é uma vila” ser falsa. Já a proposição 
Kaká é um astronauta  dois é um número irracional é verdadeira, visto que as proposições 
“Kaká é um astronauta” e “dois é um número irracional” serem ambas falsas. 
Uma forma visual bastante útil de exprimir o valor lógico da proposição p  q como função 
dos valores lógicos de p e de q é a utilização das chamadas tabelas-verdade, as quais 
estudaremos mais adiante. 
2 LÓGICA PROPOSICIONAL, VALORES LÓGICOS E TABELAS-
VERDADE 
 
FONTE: http://aulas11ano.blogspot.com/2014/09/de-que-trata-logica.html 
 
4
2
2
1
2
1

11 
Para compreender bem as definições e teoremas que constituem as teorias matemáticas cujo 
estudo iniciaremos, é indispensável habituarmo-nos a usar uma linguagem mais precisa e 
rigorosa do que a que se utiliza, em geral, na vida corrente. A aquisição desse hábito pode ser 
muito facilitada pelo recurso a algumas noções e símbolos da Lógica Matemática, dos quais 
indicaremos neste capítulo, de forma muito resumida e largamente baseada na intuição, 
aqueles que têm maior interesse em aprofundar sugerimos algumas referências ao final do 
módulo. Assim, trataremos das variáveis proposicionais, os conectivos lógicos e tabelas-valor 
lógico ou tabelas-verdade. 
Convém, no entanto, observar que a Lógica Matemática tem hoje aplicações concretas 
extremamente importantes, em diversas áreas; uma das mais notáveis é, sem dúvida, a sua 
utilização no planejamento e desenvolvimento dos modernos computadores e seus programas. 
Em meados do século XIX, ocorre na lógica uma verdadeira revolução. Naquele momento, 
investigadores de formação matemática concebem, não apenas uma nova linguagem 
simbólica, mas também uma forma de transformar a lógica numa álgebra. A lógica passou a 
ser vista como um cálculo, tal como a álgebra, visto que ambas se fundam nas leis do 
pensamento humano. Os enunciados seriam atemporais, à semelhança das proposições 
matemáticas. Entre eles, cite-se George Boole (1815-1864) com a criação da lógica 
matemática. Na sua obra "Mathematical Analysis of Logic", publicada em 1847, a lógica foi 
pela primeira vez de uma forma consistente tratada como um cálculo de signos algébricos. 
Esta álgebra booleana será fundamental para o desenho dos circuitos em computadores 
eletrônicos modernos. É ainda a base da teoria dos conjuntos. Além dele, Ernest Schroder 
(1890-1895), nas suas "Lições sobre a algebra lógica" deu a forma acabada à logica de Boole, 
No final do século XIX os estudos da lógica matemática deram passos gigantescos, no sentido 
da formalização dos conceitos e processos demonstrativos. Entre os matemáticos e filósofos 
que mais contribuíram para os avanços destacam-se Gottlob Frege, Peano, B. Russell, Alfred 
N. Witehead e David Hilbert. Nesta fase são criados: o calculo proposicional e o cálculo de 
predicados. 
Giuseppe Peano (1858-1932) desenvolve o sistema de notação empregado pelos lógicos e 
matemáticos. Peano demonstrou igualmente que os enunciados matemáticos não são obtidos 
por intuição, mas sim deduzidos a partir de premissas. 
Bertrand Russel (1872-1970) procura desenvolver o projeto do logicismo, isto é, a redução 
das matemáticas à lógica. Na sua volumosa obra "Principia Mathematica" (1910-1913), 
escrita em colaboração com Whitehead, tornou-se em obra de referência da lógica 
matemática. 
A lógica matemática caracteriza-se por ter construído uma linguagem artificial, 
simbólica, para representar o pensamento de uma forma unívoca. Cada signo possui apenas 
um único significado. 
Esta linguagem possui as seguintes propriedades: 
- Não exige qualquer tradução numa linguagem natural; 
- A escrita é ideográfica (não fonética). As ideias são representadas por sinais; e, 
- A forma gramatical é substituída pela forma lógica. 
 
12 
Após as contribuições decisivas, os lógicos acabaram por se dividir quanto às relações entre a 
lógica e a matemática, tendo surgido três escolas: 
- Os logiscistas, que defendiam que a lógica era um ramo da matemática. 
- Os formalistas, que defendia que ambas as ciências eram independentes, mas formalizadas 
ao mesmo tempo. 
- Os intuicionistas, para os quais a lógica era um derivado da matemática porque era 
axiomatizada. 
 
2.1 VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS 
 
São utilizadas, preferencialmente, letras latinas minúsculas a, b, c, d,.. para indicar as 
proposições simples, ou proposições atômicas ou fórmulas atômicas. Para as proposições 
compostas devem ser utilizadas também as letras latinas maiúsculas, A, B, C, D, ... P, Q, R, 
etc. Todas as letras que iniciam proposições, simples ou compostas, são letras proposicionais. 
 
2.2 PROPOSIÇÕES SIMPLES 
 
As proposições, como já vimos, transmitem pensamentos, ou seja, afirmam fatos ou 
exprimem juízos a respeito de entes ou fenômenos observados. 
As proposições simples ou proposições atômicas são as que não contém nenhuma outra 
proposição como parte integrante de si mesma. Isto é, encerra uma única idéia, juízo ou 
afirmação. 
 
1. a: A lua é quadrada. 
 b: A neve é branca. 
2. a: Salvador é uma cidade brasileira. 
 b: Há no mundo seis continentes. 
 
 
 
2.3 PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 
 
As proposições compostas são obtidas combinando proposições simples através de certos 
termos chamados conectivos. Chama-se proposição composta ou proposição molecular aquela 
formada pela combinação de duas ou mais proposições. As proposições compostas são 
13 
habitualmente designadas pelas letras latinas maiúsculas P, Q, R, S, ..., também chamadas das 
letras proposicionais. 
 
2. 4 CONECTIVOS LÓGICOS 
Ao falar ou ao escrever, fazemos combinando letras, frases simples interligadas por 
conectivos, como, por exemplo, a letra e, com o objetivo de formular sentenças compostas. 
Na Lógica também são utilizados conectivos lógicos para interligar as sentenças simples. 
A Lógica dispõe de cinco conectivos: “e”, “ou”, “não”, “se ... então”, e “se e somente se”. 
Utilizando esses conectivos podemos construir as seguintes proposições compostas: 
P: João é magro e José é alto. 
Q: Mário foi ao cinema, João foi ao teatro e Marcelo ficou em casa. 
R: Maria foi à praia ou ao mercado. 
S: Mário foi ao cinema ou Marcelo ficou em casa. 
T: A Lua não é o satéliteda Terra. 
X: Se a chuva continuar a cair, então o rio vai transbordar. 
Y: Recife é a capital de São Paulo. 
M: Se João estudar, será aprovado. 
N: João será aprovado se e somente se estudar. 
A Lógica trabalha com essas proposições compostas que se utilizam da conexão entre 
proposições simples. O valor lógico de uma proposição composta depende dos valores lógicos 
de seus componentes e dos conectivos utilizados. Assim, para combinar as afirmações 
verdadeiras, “Todo Homem é mortal” e “Todo vegetal suga a seiva através da raiz”, 
utilizando o conectivo e, iremos obter a seguinte proposição verdadeira: “Todo Homem é 
mortal e todo vegetal suga a seiva através da raiz”. 
Assim, as fórmulas atômicas ou proposições simples podem ser combinadas entre si e, para 
representar tais combinações usaremos os conectivos lógicos, pois em Lógica Simbólica, a 
ação de combinar proposições é chamada “operação”, e os conectivos são chamados 
“operadores”, e são representados por símbolos específicos; ou seja, são palavras que se usam 
para formar novas proposições a partir de outras. Seus símbolos são apresentados no Quadro a 
seguir: 
Símbolo Leitura 

 e 

 ou 

 Se.... então 

 Se e somente se 
´ ou ~ ou 

 Não 
 
 
 
A lua é quadrada e a neve é branca: p  q (p e q são chamadas proposições conjuntas ou 
conjunção). 
A lua é quadrada ou a neve é branca: p  q (p e q são chamadas proposições disjuntas ou 
disjunção). 
Se a lua é quadrada então a neve é branca: p q (P é o antecedente e Q o conseqüente). 
14 
A lua é quadrada se e somente se a neve é branca: p  q (p e q são, ao mesmo tempo, 
antecedente e conseqüente do outro). 
A lua não é quadrada: ~p ou então p’ (p é a negação ou negativa de ~p, e vice-versa). 
 
Utilizaremos preferencialmente o símbolo ~, para indicar a negativa de uma proposição. 
 
2.5 OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES 
Como podemos determinar o valor lógico de uma proposição composta, em função dos 
valores lógicos das proposições que a compõem? 
Para responder a essa pergunta, temos que definir as operações, isto é, dar o resultado da 
operação para cada possível conjunto de valores dos operandos. 
 
2.5.1 Negação ou negativa 
 
Se p é uma proposição, a expressão ~ p é chamada negação de p. Claramente, a negação 
inverte o valor verdade de uma expressão; se p for verdadeira, ~ p é falsa, enquanto que se p 
for falsa, ~ p é verdadeira. A tabela da operação de negação é muito simples, e é apresentada 
abaixo, onde p é uma proposição qualquer. 
 
 
 
 
Então, se a expressão “Maria foi ao cinema” é representada por p, expressões como “Maria 
não foi ao cinema” ou “É falso que Maria tenha ido ao cinema” ficam representadas por ~ p. 
 
 
 
1. p: 2 + 3 = 5 (V) e ~p : 2 + 3 ≠ 5 (F) 
V(~p) = ~V(p) = ~V = F 
q : 7 < 3 (F) e ~q : 7 < 3 (V) 
V(~q) = ~V(q) = ~F = V 
2. r : Roma é a capital da França (F) e ~r: Roma não é a capital da França (V) 
V(~r) = ~V(r) = ~F = V 
 
Tabela-verdade: Negação 
P ~p 
V F 
F V 
15 
 
Observe-se que a negação de “Todos os homens são elegantes” é “Nem todos os homens são 
elegantes” e a de “Nenhum homem é elegante” é “Algum homem é elegante”. 
 
2.5.2 Conjunção 
 
A expressão A  B é chamada a conjunção de A e B; A e B são chamados os elementos ou 
fatores dessa expressão. Essa proposição composta A  B terá valor lógico verdade (V) 
quando as proposições A e B são ambas verdadeiras e a falsidade (F) nos demais casos. 
A partir de proposições simples podemos construir proposições mais complexas. Por 
exemplo, com as duas proposições “Salvador é uma cidade” e “Salvador é a capital da Bahia”, 
podemos construir a proposição “Salvador é uma cidade e é a capital da Bahia”. Do ponto de 
vista gramatical, agrupamos as duas primeiras proposições numa só, usando a conjunção 
coordenada aditiva “e”. Do ponto de vista da Lógica Matemática interessa-nos relacionar o 
valor lógico da proposição assim construída com os valores lógicos de cada uma das 
proposições elementares. Se designarmos por p a proposição “Salvador é uma cidade” e por q 
a proposição “Salvador é a capital da Bahia”, interessa-nos conseguir determinar o valor 
lógico da proposição “p e q”, desde que sejam conhecidos os valores lógicos das proposições 
“p” e “q”. Claro que podemos agrupar duas proposições de outras formas; por exemplo 
poderíamos ter usado a conjunção coordenada disjuntiva “ou” em vez da conjunção 
coordenada aditiva “e”, o que originaria “Lisboa é uma cidade ou é a capital de Portugal”. No 
seguimento iremos usar o processo acabado de descrever para construir proposições cada vez 
mais complexas. O que nos interessará neste momento não é tanto o valor semântico das 
proposições (aquilo que elas querem dizer), mas sim a forma como se relacionam os seus 
valores lógicos. 
Consideremos as duas proposições seguintes: “4 > 2” e “4 é um número natural”. Partindo 
destas duas proposições podemos ser levados a construir a proposição “4 > 2 e 4 é um número 
natural”. Esta última proposição foi obtida ligando as duas proposições iniciais por intermédio 
da conjunção coordenada copulativa “e”. No caso geral, podemos pensar em duas proposições 
quaisquer p e q e construir uma nova proposição, a que chamaremos a conjunção de p com q, 
que designaremos por p  q, e que leremos “p e q”. A questão que se põe é: conhecidos os 
valores lógicos de p e de q, qual o valor lógico de p  q? Pois bem, o valor lógico de p  q é 
definido através da seguinte tabela de verdade: 
 
 
 
 
Tabela-verdade: Conjunção 
P Q P 

Q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
16 
 
 
1. p : A neve é branca (V) 
q : 2 < 5 (V) 
p 

q : A neve é branca e 2 < 5 (V) 
V(p

q) = V(p)

 V(q) = V

V = V 
 
2. p: CANTOR nasceu na Rússia (V) 
q: FERMAT era médico (F) 
p 

q: CANTOR nasceu na Rússia e FERMAT era médico (F) 
V(p 

q)= V(p) 

 V(q) = V 

 F = F 
 
3. p: ARISTÓTELES é considerado o inventor do carro movido a gasolina (F) 
q: LULA é Presidente do Brasil (V) 
p  q: ARISTÓTELES é considerado o inventor do carro movido a gasolina e LULA é o 
Presidente do Brasil 
 V(p 

q)= V(p) 

 V(q) = F 

 V = F 
 
4. p: “pi” é maior do que 4 (F) 
q: a raiz quadrada de 2 é um número racional (F) 
p 

q: “pi” é maior do que 4 e a raiz quadrada de 2 é um número racional (F) 
V(p 

q)= V(p) 

 V(q) = F 

 F = F 
2.5.3 Disjunção 
Às vezes, a língua portuguesa encerra alguma ambigüidade no uso do conectivo “ou”; a 
utilização de “ou” entre dois fatos indica que um deles é verdadeiro, mas pode não deixar 
claro se ambos o são; normalmente, na linguagem natural, procura-se resolver a ambigüidade 
utilizando-se o contexto. Por exemplo, na frase Maria foi à praia ou ao mercado parece que 
apenas um dos fatos é verdadeiro, pois é difícil alguém ir à praia e ao mercado 
simultaneamente; no entanto, se não houver exigência se simultaneidade, pode ocorrer que 
Maria tenha ido à praia e depois ao mercado, e ambos os fatos são verdadeiros. 
O outro exemplo, 
Mário foi ao cinema ou Marcelo ficou em casa 
é ainda pior, pois não há nenhuma indicação se apenas um ou os dois fatos ocorreram. Como 
na Lógica não são permitidas ambigüidades, foi necessário definir dois conectivos para o 
termo “ou”: o “ou inclusivo”, onde se permite que um dos fatos ou ambos ocorram, e o “ou 
exclusivo” onde um e apenas um dos fatos ocorrem. 
17 
Se p e q são proposições, a expressão p 

 q é chamada disjunção inclusiva de p e q; por seu 
turno, a disjunção exclusiva das expressões p e q é indicada por p | q; em ambos os casos, as 
proposiçõesp e q são chamadas parcelas da expressão. 
Em que condições a expressão 
Maria foi à praia ou ao mercado 
é verdadeira ? No conceito inclusivo do conectivo “ou” basta que Maria tenha ido pelo menos 
em um dos lugares; ou seja, para que uma disjunção inclusiva seja verdadeira, basta que uma 
das parcelas (ou ambas) seja verdadeira; no entanto, unicamente se ambas as parcelas forem 
falsas, a disjunção inclusiva o será. 
Por outro lado, se se tratar de uma disjunção exclusiva, a expressão só será verdadeira se 
Maria tiver ido a um dos lugares, mas não ao outro. A disjunção exclusiva será verdadeira se 
uma das parcelas for verdadeira e a outra falsa; se ambas as parcelas tiverem o mesmo valor 
lógico, a disjunção exclusiva será falsa. Em nosso texto, trataremos unicamente da disjunção 
inclusiva; isto é, o termo “disjunção” se referirá à disjunção inclusiva; quando se tratar 
da disjunção exclusiva, isso será expressamente citado. 
Chama-se disjunção de duas proposições A e B a proposição representada por “A ou B”, cujo 
valor lógico é a verdade (V) quando ao menos uma das proposições A e B é verdadeira e a 
falsidade (F) quando as proposições A e B são falsas. 
Abaixo, a tabela que apresenta o resultado da operação de disjunção inclusiva; considere que 
p e q são proposições quaisquer: 
 
Tabela – verdade: Disjunção 
P Q P 

Q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Na forma textual, às vezes escrevemos um “ou” antes da frase, às vezes omitimos parte da 
expressão, mas isso não altera a forma simbólica; por exemplo, a expressão “Ou Maria foi ao 
teatro ou foi ao cinema” fica representada por p  q, onde p representa “Maria foi ao teatro” 
e q representa “Maria foi ao cinema”. 
 
18 
 
 
1. p : A neve é branca (V) 
q : 2 < 5 (V) 
p 

 q : A neve é branca ou 2 < 5 (V) 
V(p

q) = V(p) 

 V(q) = V

V = V 
2. p: CANTOR nasceu na Rússia (V) 
q: FERMAT era médico (F) 
p 

q: CANTOR nasceu na Rússia ou FERMAT era médico (F) 
V(p 

 q)= V(p) 

V(q) = V 

 F = V 
3. p: ARISTÓTELES é considerado o inventor do carro movido a gasolina (F) 
q: LULA é Presidente do Brasil (V) 
p 

 q: ARISTÓTELES é considerado o inventor do carro movido a gasolina ou LULA é o 
Presidente do Brasil 
 V(p 

 q)= V(p) 

 V(q) = F 

 V = V 
4. p: “pi” é maior do que 4 (F) 
q: a raiz quadrada de 2 é um número racional (F) 
p 

 q: “pi” é maior do que 4 ou a raiz quadrada de 2 é um número racional (F) 
V(p 

 q)= V(p) 

 V(q) = F 

 F = F 
 
2.5.4 Condicionamento ou condicional 
Considere a proposição 
Se a chuva continuar a cair, então o rio vai transbordar 
Esta é uma proposição composta pelas duas proposições “a chuva continuar a cair” e “o rio 
vai transbordar”, ligadas pelo conectivo “se ... então”. Em Lógica Simbólica este conectivo é 
chamado “condicional” e representado pelo símbolo 

. 
Então, se p e q são proposições, a expressão p 

 q é chamada condicional de p e q; a 
proposição p é chamada antecedente, e a proposição q conseqüente da condicional. A 
operação de condicionamento indica que o acontecimento de p é uma condição para que q 
aconteça. Como podemos estabelecer o valor verdade da proposição condicionada, 
conhecidos os valores verdade do antecedente e do conseqüente? 
Chama-se proposição condicional ou apenas condicional uma proposição representada por “se 
p então q”, cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e q é falsa e a 
verdade (V) nos demais casos. 
19 
O valor lógico da condicional de duas proposições é, portanto, definido pela seguinte tabela-
verdade: 
Tabela – verdade: Condicional 
p q p 

q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
O conectivo “se ... então” tem vários sinônimos; se representarmos por p a frase “a chuva 
continuar a cair”, e por q a frase “o rio vai transbordar”, então p 

 q pode representar 
qualquer das expressões abaixo: 
“Se a chuva continuar a cair, então o rio vai transbordar” 
“Se a chuva continuar a cair, o rio vai transbordar” 
“O rio vai transbordar, se a chuva continuar a cair” 
“O fato de a chuva continuar a cair implica em o rio transbordar” 
“A chuva continuar a cair é condição suficiente para o rio transbordar”. 
 
 
 
1. p : A neve é branca (V) 
q : 2 < 5 (V) 
p => q : Se a neve é branca, então 2 < 5 (V) 
V(p => q) = V(p) => V(q) = V=>V = V 
 
2. p: CANTOR nasceu na Rússia (V) 
q: FERMAT era médico (F) 
p => q: Se CANTOR nasceu na Rússia, então FERMAT era médico (F) 
V(p => q) = V(p) => V(q) = V => F = F 
 
3. p: ARISTÓTELES é considerado o inventor do carro movido a gasolina (F) 
q: LULA é Presidente do Brasil (V) 
p => q: Se ARISTÓTELES é considerado o inventor do carro movido a gasolina, então LULA 
é o Presidente do Brasil 
 V(p => q) = V(p) => V(q) = F => V = V 
20 
4. p: “pi” é maior do que 4 (F) 
q: a raiz quadrada de 2 é um número racional (F) 
p => q: Se “pi” é maior do que 4, então a raiz quadrada de 2 é um número racional (F) 
V(p => q)= V(p) => V(q) = F => F = F 
 
2.5.5 Bicondicionamento ou bicondicional 
Finalmente, considere a proposição: João será aprovado se e somente se ele estudar. 
Nesse caso, temos duas proposições “João será aprovado” e “ele estudar”, ligadas pelo 
conectivo “se e somente se”. Em Lógica Simbólica, essa operação é chamada de 
“bicondicionamento”, e seu conectivo é representado pelo símbolo 

. 
Então, se p e q são proposições, a expressão p 

 q é chamada bicondicional de p e q. 
Dizemos que a bicondicional é verdadeira quando ambos os termos são verdadeiros ou ambos 
são falsos; quando um é falso e outro é verdadeiro, a bicondicional é falsa. 
Na a expressão citada, o conectivo “se e somente se” indica que se João estudar será 
aprovado, e que essa é a única possibilidade de João ser aprovado, isto é, se João não estudar, 
não será aprovado. Os dois acontecimentos serão ambos verdadeiros ou ambos falsos, não 
existindo possibilidade de uma terceira opção. 
Além do “se e somente se”, a operação bicondicional é indicada por termos como 
“unicamente se”, “exceto se” e outras análogas; por exemplo, as expressões todas podem ser 
representadas por p 

 q, onde p representa “João será aprovado” e q representa “João 
estudar”. 
 
João será aprovado se e somente se estudar 
João será aprovado unicamente se estudar 
João não será aprovado, exceto se estudar 
João estudar é condição necessária e suficiente para ser aprovado 
Chama-se proposição bicondicional ou apenas bicondicional uma proposição representada por 
“p se e somente se q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando p e q são ambas verdadeiras 
ou ambas falsas, e a falsidade (F) nos demais casos. 
A tabela-verdade do bicondicionamento é apresentada a seguir. 
Tabela – verdade: Bicondicional 
p q p 

q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
Na primeira coluna da tabela anterior estão os valores lógicos de p, na segunda coluna os 
valores lógicos de q e na coluna da direita os valores lógicos de p  q. É óbvio que, nas duas 
primeiras colunas, teremos de ter todas as combinações possíveis de valores lógicos das 
proposições p e q. 
 
21 
 
 
1. p : A Itália fica na Europa. (V) 
q : 2 < 5 (V) 
p 

 q : A Itália fica na Europa se e somente se 2 < 5 (V) 
V(p 

 q) = V(p) 

 V(q) = V 

 V = V 
 
2. p: Lisboa é a capital de Portugal (V) 
q: FERMAT era médico (F) 
p 

 q: Lisboa é a capital de Portugal se e somente se FERMAT era médico (F) 
V(p 

 q) = V(p) 

 V(q) = V 

 F = F 
3. p: O Basquete é o esporte mais popular do Brasil (F) 
q: LULA é Presidente do Brasil (V)p 

 q: O Basquete é o esporte mais popular do Brasil se e somente se LULA é o Presidente 
do Brasil 
V(p 

 q) = V(p) 

 V(q) = F 

 V = F 
4. p: “pi” é maior do que 4 (F) 
q: a raiz quadrada de 2 é um número racional (F) 
p 

 q: “pi” é maior do que 4 se e somente se a raiz quadrada de 2 é um número racional (F) 
V(p 

 q)= V(p) 

 V(q) = F 

 F = F 
Claro que, à semelhança dos sinais = e ≠ utilizados entre designações para construir 
proposições, poderemos arranjar um sinal para exprimir a não equivalência de duas 
proposições; esse sinal será  . A proposição p  q será verdadeira se somente se os 
valores lógicos de p e de q forem distintos, e falsa, se e somente se forem iguais. 
 
Não confundamos os sinais “=” e “ ”; o primeiro utiliza-se entre duas designações, 
formando uma proposição que é verdadeira se e somente se essas designações designarem o 
mesmo ente; o segundo utiliza-se entre duas proposições, para construir uma nova proposição 
que é verdadeira se somente se aquelas duas proposições tiverem o mesmo valor lógico. 
 
Assim, tem sentido escrever 
 
Lisboa = Capital de Portugal 
ou 
Salvador = Capital da Bahia. 
22 
A primeira destas proposições é verdadeira e a segundo é falsa. Mas Salvador  Capital da 
Bahia é desprovido de qualquer sentido porque entre designações não temos o direito de 
escrever o sinal de equivalência  . Também tem sentido escrever 
 
2 − 3 = 0  2 = 3 que é uma proposição verdadeira, ou 
 
3² = (−3)²  3 = −3 que é uma proposição falsa. 
 
Mas não tem sentido escrever 
2  1 + 1 porque 2 e 1+1 são designações e o sinal de equivalência não se pode situar entre 
designações, devendo situar-se entre proposições. 
 
2.6 A CONDIÇÃO NECESSÁRIA, A CONDIÇÃO SUFICIENTE E 
A CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE (RECÍPROCA 
DE UM TEOREMA) 
 
Num teorema “P 

 Q”, diz-se que a hipótese P é uma condição suficiente de Q, isto é, basta 
a hipótese P ser verdadeira para que a tese Q também seja. Esta tese Q, por sua vez, é 
condição necessária de P, ou seja, a hipótese P sendo verdadeira, a tese Q necessariamente 
será verdadeira. Assim, com referência às proposições atrás, G é condição suficiente para que 
H seja verdadeira, e H é condição necessária de G; quer dizer, valendo G, tem de valer H, ou 
seja, é necessário valer H. 
A recíproca de um teorema P => Q é a proposição Q => P, que também se escreve P <= Q. A 
recíproca de um teorema pode ou não ser verdadeira. Por exemplo, a recíproca do teorema 
“todo número primo maior que 2 é ímpar” é “todo número ímpar é primo maior do que 2”. 
Isto é falso, pois nem todo número ímpar é primo. 
Exemplo de teorema com recíproca: 
Se ABC é um triângulo retângulo em B, então AC² = AB² + BC²; e a recíproca tem o seguinte 
enunciado: 
Se ABC é um triângulo, com AC² = AB² + BC², então ABC é retângulo em B. 
Quando a recíproca de um teorema é verdadeira, escrevemos o teorema, juntamente com sua 
recíproca, na forma P Q. Neste caso, qualquer uma das proposições P e Q é ao mesmo 
tempo necessária e suficiente para a validade da outra. É por isso que, neste caso, o teorema 
também se enuncia assim: a condição necessária e suficiente para que a proposição Q seja 
verdadeira é que a proposição P também seja verdadeira; ou então, a condição necessária e 
suficiente para que a proposição P seja verdadeira é que a proposição Q também seja 
verdadeira. 
Observe que P  Q é o mesmo que “vale Q se valer P”; ou ainda, “vale P somente se valer 
Q”. Por isso, um outro modo habitual de enunciar um teorema com sua recíproca, P  Q, 
consiste em escrever “P se e somente se Q”. P Q é a parte “vale P somente se valer Q”, e Q 
 P é a parte “vale P se valer Q”, proposição esta que também costuma ser escrita mais 
abreviadamente na forma “P e Q”. Note ainda que a proposição P  Q significa que P e Q 
são proposições equivalentes. 
23 
No caso do teorema de Pitágoras, podemos juntar o teorema e sua recíproca num só 
enunciado, das diversas maneiras seguintes: 
1. A condição necessária e suficiente para que um triângulo ABC seja retângulo em B é 
que AC² = AB² + BC². 
2. Dados três pontos distintos A, B e C, a condição necessária e suficiente para que AC² 
= AB² + BC² é que o triângulo ABC seja retângulo em B. 
3. Seja ABC um triângulo. Então, ABC é triângulo em B 

 AC² = AB² + BC². 
4. Um triângulo ABC é retângulo em B se e somente se AC² = AB² + BC². 
O Quadro a seguir resume os valores lógicos para todos os conectivos lógicos. Essa 
informação é essencial para a compreensão do raciocínio lógico. 
QUADRO: Resumo dos valores lógicos para todos os conectivos lógicos. 
A B A 

 B A 

B A 

B A 

B ~A 
V V V V V V 
F 
V F F V F F 
F V F V V F 
V 
F F F F V V 
FONTE: GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação: um tratamento 
moderno de matemática discreta. 2004, p.3. 
 
Devido à riqueza do nosso idioma, há palavras cujo significado são ligeiramente diferentes e 
que são representadas pelo mesmo conectivo lógico. Os quadros a seguir ajudarão a converter, 
com facilidade, da linguagem corrente para a linguagem simbólica e vice-versa. 
 
QUADRO: Expressões comuns em português associadas a conectivos lógicos 
Expressão em Português Conectivos Lógicos Expressão Lógica 
e; mas; também; além disso Conjunção A 

 B 
Ou Disjunção A 

B 
Se A, então B 
A implica B 
A, logo B 
A só se B; A somente se B 
B segue de A 
A é uma condição suficiente para B; basta A para B. 
B é uma condição necessária para A 
Condicional A 

B 
A se e somente se B 
A é condição necessária e suficiente para B 
Bicondicional A 

B 
Não A 
É falso que A ... 
Não é verdade que A ... 
Negação ~A 
FONTE: GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação: um tratamento 
moderno de matemática discreta. 2004, p.4. 
 
24 
 
QUADRO: proposição e respectivas negação correta e incorreta 
Proposição Negação correta Negação incorreta 
Vai chover 
amanhã. 
É falso que vá chover amanhã. 
Não vai chover amanhã. 
 
Pedro é 
alto e 
magro. 
É falso que Pedro seja alto e magro. 
Pedro não é alto ou não é magro. 
Pedro é baixo ou gordo. 
Pedro é baixo e gordo. 
Essa é uma proposição muito forte. 
Pedro não tem ambas as propriedades (ser alto e ser 
magro) mas ainda pode ter uma delas. 
O rio é 
raso ou 
está 
poluído. 
É falso que o rio seja raso ou esteja 
poluído. 
O rio não é raso nem está poluído. 
O rio é fundo e não está poluído. 
O rio não é raso ou não está poluído. 
Essa é uma proposição muito fraca. 
O rio não tem nenhuma das duas propriedades, não 
deixa de ter apenas uma delas. 
FONTE: GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação: um tratamento 
moderno de matemática discreta. 2004, p.4. 
 
 
2.7 TAUTOLOGIA 
 
 
FONTE: http://divagacoesligeiras.blogspot.com/2017/02/as-contradicoes-da-linguagem-o-paradoxo.html 
 
Diz-se que uma fórmula A é uma tautologia se somente se a sua interpretação for V quaisquer 
que sejam os valores atribuídos às variáveis que nela aparecem. Ou seja, na última coluna da 
tabela-verdade só aparece a letra V (verdade). 
Uma tautologia é toda proposição composta P(p, q, r, ...) cujo valor lógico é sempre V 
(verdade), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes p, q, 
r, .... 
As tautologias também são chamadas proposições tautológicas ou proposições logicamente 
verdadeiras. 
É verdade que as proposições p 

 p e p 

 p são tautológicas (Princípio de identidade para 
as proposições).25 
 
1. A proposição ~(p 

 ~p) (Princípio da não contradição) é tautológica, conforme se vê 
pela sua tabela-verdade: 
p ~p p 

 ~p ~(p 

 ~p) 
V F F V 
F V F V 
 
Conclusão: dizer que uma proposição não pode ser simultâneamente verdadeira e falsa é 
sempre verdadeiro. 
2. A proposição p 

 ~p (Princípio do terceiro excluído) é tautológica, como 
imediatamente se vê pela tabela-verdade a seguir: 
p ~p p V ~p 
V F V 
F V V 
 
2.8 SÍMBOLOS AUXILIARES 
 
Podemos encadear letras de proposição, conectivos e parênteses (ou colchetes) para formar 
expressões como: 
 
)()( ABBA 
 
( ) , parênteses que servem para denotar o "alcance" dos conectivos. 
 
Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua não é quadrada: 
 
((P 

 Q) 

~P). 
A lua não é quadrada se e somente se a neve é branca: 
((~ P) 

Q)) 
26 
2.9 DEFINIÇÃO DE FÓRMULA 
 
1. Toda fórmula atômica é uma fórmula. 
2. Se A e B são fórmulas então (A 

 B) , (A 

 B) , (A 

 B) , (A 

 B) e (~A) 
também são fórmulas. 
3. São fórmulas apenas as obtidas por 1. e 2. 
 
2.9.1 Ordem de precedência das operações. Fórmulas. 
 
A construção de expressões mais complexas, na forma simbólica, no entanto, apresenta alguns 
problemas; por exemplo, considere a expressão 
Se Mário foi ao cinema e João foi ao teatro, então Marcelo ficou em casa 
Sua transcrição em termos lógicos, p 

 q 

 r, onde 
p - Mário foi ao cinema 
q - João foi ao teatro 
r - Marcelo ficou em casa 
pode indicar duas expressões distintas: 
“Se Mário foi ao cinema e João foi ao teatro, então Marcelo ficou em casa” ou “Mário 
foi ao cinema, e, se João foi ao teatro, então Marcelo ficou em casa”. 
 
Para decidir qual proposição está sendo indicada, é necessário saber qual o conectivo que atua 
primeiro, se o conectivo da conjunção ou da condicional. Por esse motivo é necessário 
estabelecer uma hierarquia de operação dos conectivos. 
 
A ordem de precedência é a seguinte: 
1. Para conectivos dentro de vários parênteses, efetua-se primeiro as expressões dentro 
dos parênteses mais internos; 
2. ~; 
3. 

, 

; 
4. 

; e, 
5. 

 
Isso quer dizer que a expressão A 

 ~B significa A 

 (~B) e não ~(A 

 B). Analogamente, 
A 

 B 

 C é o mesmo que (A 

 B) 

C e não A 

 (B 

 C). Entretanto, muitas vezes 
usaremos parênteses de qualquer forma, só para ter certeza de que não há possibilidades de 
confusão. 
Assim, numa fórmula composta com diversos conectivos, o último a ser aplicado é o 
conectivo principal. Em A 

 ~(B 

 C) o conectivo principal é 

. Em ((A 

 B) 

 C) 

 
(B 

 ~C) o conectivo principal é 

 como P 

 Q se quiséssemos esconder alguns detalhes 
no momento e concentrar apenas no conectivo principal. 
Com o auxílio dos conectivos podemos construir proposições compostas mais elaboradas. Por 
exemplo, considere a seguinte proposição: 
27 
Se o deficit persistir e a arrecadação não aumentar, então ou aumentamos os impostos ou 
haverá inflação 
Com a representação: 
p - o deficit persistir 
q - a arrecadação aumentar 
r - aumentamos os impostos 
s - haverá inflação 
a proposição poderá ser escrita na forma simbólica: 
p 

 ~q 

 r V s 
A ordem de precedência indica que a operação de negação é a primeira a ser executada; em 
seguida, as operações de conjunção e disjunção na ordem em que estiverem dispostas; depois 
deve ser executada a operação de condicionamento, e, por fim, a de bicondicionamento. 
Em certas ocasiões, essa ordenação não é única; por exemplo, p Ú q ® r Ú s, tanto podemos 
executar primeiro a operação p Ú q e, em seguida a operação r Ú s, como ao contrário; o 
resultado seria o mesmo. Mas, para tornar o processo mais determinado, com uma única 
ordenação, podemos convencionar o seguinte algoritmo, para obter a ordem de execução das 
operações: 
 
2.9.2 Algoritmo ordem de precedência 
 
Passo 1.Percorra a expressão da esquerda para a direita, executando as operações de negação, 
na ordem em que aparecerem. 
Passo 2.Percorra novamente a expressão, da esquerda para a direita, executando as operações 
de conjunção e disjunção, na ordem em que aparecerem. 
Passo 3.Percorra outra vez a expressão, da esquerda para a direita, executando desta vez as 
operações de condicionamento, na ordem em que aparecerem. 
Passo 4.Percorra uma última vez a expressão, da esquerda para a direita, executando as 
operações de bicondicionamento, na ordem em que aparecerem. 
 
3: CONJUNTOS
3
 
 
3.1 CONJUNTO E RELAÇÃO PERTENCE 
Um conjunto considera-se com uma coleção de objetos, por exemplo, A = {0, 2, ¼} 
representa o conjunto formado pelos números 0, 2 e ¼. Quando se considera um conjunto 
consideram-se também os elementos que o formam, isto , os elementos que pertencem ao 
conjunto. Habitualmente designa-se um conjunto por uma letra maiúscula, A,B,C,X, Y , etc., 
e para indicar que um elemento a pertence ao conjunto A usa-se o símbolo ∈ e escreve-se a ∈ 
A (leia-se ”a pertence a A”). Assim, deve escrever-se para o conjunto A = {0, 2, ¼} que 
consideramos 0 ∈ {0, 2, ¼}, 2 ∈ {0, 2, ¼}, ¼ ∈ {0, 2, ¼}. 
 
3
 Adaptado pela autora a partir do material intitulado Teoria de conjuntos e lógica, disponível em 
http://home.uevora.pt/~aims/CCM07-08_ficheiros/auladois1.pdf 
28 
Para indicar a negação de a ∈ A escreve-se a /∈ A, por exemplo, é correto pôr 1/2 /∈ {0, 2, 
¼}. 
3.2 CONJUNTOS FINITOS E CONJUNTOS INFINITOS. 
REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO. CONJUNTOS HABITUAIS 
EM MATEMÁTICA 
 
Dado o conjunto A acima ou, por exemplo, o conjunto B = {−1, 4/5} podemos contar o 
número dos seus elementos. A tem três elementos e B é constituído por dois elementos, ou 
seja, # A = 3 e # B = 2, onde o símbolo # representa o número de elementos de um conjunto. 
Dizemos assim que estes conjuntos são finitos. Mas já o conjunto de todos os números que 
são resultado da operação de contagem quer dizer, 1, 2, 3, 4, ... não é finito, nunca 
acabaríamos de contar os seus elementos. O conjunto dos números que se obtêm pela 
operação de contagem designa-se por N, é o conjunto dos números naturais. Sendo N um 
conjunto infinito (não podem contar-se todos os seus elementos), só podemos representá-lo 
pela compreensão de quais são os seus elementos, e escreve-se 
N = {1, 2, 3, ...} subentendendo a operação de contagem. Outros conjuntos habitualmente 
considerados são o conjunto dos números inteiros 
Z = {...,−2,−1, 0, 1, 2, ...} e o conjunto N0 = {0, 1, 2, ...} dos números inteiros não negativos. 
Assim, enquanto um conjunto finito pode ser representado por exaustão, quer dizer, pela 
indicação de todos os seus elementos, já um conjunto infinito só pode ser representado por 
compreensão. 
Outro conjunto importante é o conjunto das frações (ou números fracionários) que se chama o 
conjunto dos números racionais e se designa pela letra Q. Para representar por compreensão o 
conjunto Q podemos, portanto, escrever Q = {n/m : n, m ∈ Z, m ≠ 0} o que se exprime por 
palavras ”Q ´e o conjunto dos números tais que n/m, onde n, m são inteiros e m é diferente de 
zero 0” (“ : ” leia-se “tais que”, a vírgula interpretando-se como ”e”). Escolhido um ponto 0 
para o zero, e uma unidade 1, é conhecida a representação dos números reais como pontos na 
reta. Podemos interpretar cada número real como um ponto da reta. Não tem dificuldade a 
marcação de um número inteiro, positivo ou negativo. Também pode marcar-se um número 
racional (fração de números inteiros). Notar que todoo número inteiro n é também um 
número racional, podemos escrever n = n. 
1 . Os números racionais não são todos os pontos da reta (por exemplo, não existem números 
inteiros n, m verificando ¼ = n/m). 
São os números reais que no seu conjunto, representado por R, preenchem toda a reta, a que 
por isso se chama também reta real. 
Finalmente, outros números que se consideram em Matemática são os números complexos 
a + ib, onde a e b são números reais e se representa por i = √−1 a unidade imaginária. Nenhum 
número real x verifica x2 = −1 e portanto não pode ser x = √−1 com x um número real. O 
conjunto dos números complexos designa-se pela letra C. Deve escrever-se 
29 
C = {a + ib: a, b ∈ R} para significar que C é o conjunto dos números tais que a + ib, onde a, 
b são números reais. 
3.3 INCLUSÃO DE CONJUNTOS 
Para significar que cada elemento de um conjunto A também está num certo conjunto B usa-
se o símbolo ⊂ e escreve-se A ⊂ B, lendo-se “O conjunto A está contido no conjunto é B”. 
Por exemplo, considerando os conjuntos apresentados anteriormente tem-se que 
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. 
 
3.4 NEGAÇÃO 
 
Como vimos, se R(x) ´e uma relação na variável x, a relação transforma-se na proposição R(c) 
sempre que substituímos a variável x por uma constante c. Neste sentido, também podemos 
considerar as relações R(x), S(x) e formar as novas relações R(x) ∧ S(x), R(x) ∨ S(x), R(x) ⇒ 
S(x) e R(x) ⇔ S(x); e também ∼ R(x). 
Se tivermos um conjunto A, podemos considerar, usando o símbolo ∈, a relação x ∈ A. Com 
A = {0, 2, ¼} o conjunto que consideramos inicialmente, a relação A(x) ≡ x ∈ {0, 2, ¼} 
transforma-se na proposição verdadeira A(0) ≡ 0 ∈ {0, 2, ¼} ao substituir x pela constante 0. 
Também as proposições A(2), A(¼) são verdadeiras. A(5), por exemplo, é falsa pois 5 não 
pertence a {0, 2, ¼}. 
Vimos também que o sinal ⊂ de inclusão se usa para significar que todo o elemento do 
conjunto A está no conjunto B e escrevemos, neste caso, A ⊂ B. Portanto, usando rela¸c˜oes, 
escrever-se A ⊂ B significa ”se x pertence a A então x pertence a B” quer dizer, temos A ⊂ B 
no caso em que a implicação x ∈ A ⇒ x ∈ B é verdadeira. 
Se a relação R(x) tem sempre o mesmo valor lógico que a relação A(x) ≡ x ∈ A e a relação 
S(x) tem também sempre o mesmo valor lógico que a relação B(x) ≡ x ∈ B, teremos: 
Como na notação considerada A = {x : A(x)} (quer dizer exatamente que o conjunto A é o 
conjunto dos elementos x ”tais que” x ∈ A, isto ´e, ´e o conjunto dos elementos que 
constituem A) e B = {x : B(x)} para o conjunto B, portanto, se R(x) tem o mesmo significado 
que A(x) e S(x) tem o mesmo significado que B(x), pode-se concluir que A ⊂ B se soubermos 
que R(x) ⇒ S(x) ´e verdadeira. Podemos precisar: se R(x) define o conjunto A, isto ´e, A = {x 
: R(x)} e se S(x) define o conjunto B por B = {x : S(x)}, se soubermos que R(x) ⇒ S(x) ´e 
verdadeira, podemos concluir que A ⊂ B. 
Note-se que a relação R(x) ⇔ S(x) ´e verdadeira no caso de ambas R(x) ⇒ S(x) e S(x) ⇒ R(x) 
são verdadeiras e unicamente neste caso. Assim, uma vez que A = B se e somente se se têm as 
duas inclusões A ⊂ B e B ⊂ A, também ter-se R(x) ⇔ S(x) significa que A = B. 
30 
Exemplo 1: se S(x) ≡ x é um número natural e se R(x) ≡ x é um número natural par, verifica-
se R(x) ⇒ S(x). Como S(x) define o conjunto N (podemos pôr S(x) ≡ x ∈ N), tem-se que o 
conjunto dos números pares está contido no conjunto N. Se representarmos por P o conjunto 
dos números naturais pares, temos neste caso que R(x) ⇒ S(x) e, portanto, P ⊂ N. 
3.5 QUANTIFICAÇÃO 
Além da substituição da variável x na relação R(x) por uma constante c, transformando a 
relação R(x) na proposição R(c), há outra maneira de transformar uma relação numa 
proposição. Por exemplo, dada a relação x ≥ 1 com a variável x no conjunto R, podemos 
considerar a afirmação (proposição) ”Todo o número real x ´e maior ou igual a 1” ou, de 
outro modo, ”Qualquer que seja o número real x, tem-se x maior ou igual a 1” (proposição 
neste caso, falsa). Passa-se então assim da relação R(x) para a proposição que se representa 
por ∀x, R(x) (ou, para ser mais preciso, ∀x ∈ R,R(x)) e dizemos que se quantificou a relação 
R(x) pelo quantificador universal ∀ (leia-se: ”para todo” ou ”qualquer que seja”). 
Outra forma de transformar a relação R(x) numa proposição é usando o quantificador 
existencial ∃, que significa: ”existe pelo menos um”. Obtém-se assim a proposição ∃x,R(x). 
No exemplo acima, quantificando x ≥ 1 pelo quantificador existencial ∃, obtemos a 
proposição ∃x, x ≥ 1 (mais precisamente, ∃x ∈ R, x ≥ 1), que como sabemos ´e uma 
proposição verdadeira. 
Para negar uma proposição quantificada notar que, por exemplo, negar que ”Todo o número 
real x é maior ou igual a 1” ´e o mesmo que dizer que ”existe pelo menos um número real x 
menor que 1”. Quer dizer, a negação de ∀x ∈ R, x ≥ 1 ´e ∃x ∈ R,∼ (x ≥ 1). De modo geral, a 
negação de ∀x,R(x) é ∃x,∼ R(x). 
Analogamente, a negação de ∃x ∈ R, x ≥ 1 será ”Para todo o número real x, x não é maior ou 
igual que 1”. Quer dizer, é a proposição (neste caso, falsa), ∀x ∈ R,∼ (x ≥ 1), isto ´e, ∀x ∈ R, 
x < 1. 
As regras para a negação de proposições quantificadas são ∼ (∀x,R(x)) ⇔ (∃x,∼ R(x)) e ∼ 
(∃x,R(x)) ⇔ (∀x,∼ R(x)). 
 
3.6 OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS 
 
Dados os conjuntos A e B podemos considerar as relações A(x) ≡ x ∈ A, B(x) ≡ x ∈ B. 
Representa-se por A ∩ B = {x : A(x) ∧ B(x)} = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} a intersecção dos 
conjuntos A e B. Por outro lado, a reunião de A e B ´e o conjunto A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ 
B}. 
Se A é definido pela relação R(x), A = {x: R(x)}, e B é definido pela relação S(x), B = {x : 
S(x)}, então A ∩ B = {x : R(x) ∧ S(x)} e A ∪ B = {x : R(x) ∨ S(x)}. 
31 
O conjunto intersecção A∩B é assim formado pelos elementos que pertencem a ambos os 
conjuntos A e B, enquanto que o conjunto reunião é constituído pelos elementos que 
pertencem pelo menos a um dos conjuntos A,B. Assim: 
i) A ∩ B = B ∩ A e A ∩ A = A, 
ii) A ∪ B = B ∪ A e A ∪ A = A. 
Observação: Note-se que, pelas tabelas de verdades, as relações R(x) ∧ S(x), S(x) ∧ R(x) têm 
o mesmo valor lógico, assim como R(x)∨S(x), S(x)∨R(x) também têm o mesmo valor lógico. 
Além disso, R(x) ∧ R(x) e R(x) ∨ R(x) têm o mesmo valor lógico que R(x). 
Dados A e B, podemos ainda definir o conjunto dos elementos que pertencem a A e não 
pertencem a B. Este conjunto representa-se por A\B e chama-se a diferença do conjunto A 
para o conjunto B ou o conjunto A menos B. Portanto, pela definição, 
A\B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}. 
Se todos os conjuntos que se consideram estão todos contidos num conjunto fixo X (ou, como 
também se diz, se são todos subconjuntos de um conjunto universo X), representa-se, 
considerando um conjunto A ⊂ X, o conjunto diferença X\A escrevendo Ac e diz-se que o 
conjunto A
c
 ´e o conjunto complementar de A. Assim, subentendendo que cada elemento x ∈ 
X (todo o elemento está no conjunto universo, pois cada conjunto C ⊂ X, ou seja, x ∈ C ⇒ x 
∈ X), o conjunto complementar de A é 
A
c 
= X\A = {x : x ∈ A} é o conjunto dos elementos que não pertencem a A. 
Consideremos o exemplo seguinte: 
Exemplo 2: Dados os conjuntos A = N = {1, 2, 3, ...} e B = {1/n : n ∈ N} = {1, 1/2, 1/3, ...} 
subconjuntos do conjunto universo R, então 
a) A ∩ B = {1}; 
b) A ∪ B = {x : x ∈ N ∨ x = 1/n, n ∈ N}; 
c) A\B = {2, 3, ...}; 
d) A
c
 = {x : x ∈ N} = {x : x = n, n ∈ N} ´e o conjunto de todos os números reais que não são 
números naturais. 
Uma vez que a negação da relação R(x) ∧ S(x) é a relação (∼ R(x)) ∨ (∼ S(x)), negar que se 
verificam ambas R(x) e S(x) é dizer que não se verifica R(x) ou não se verifica S(x). Assim, 
tem-se ∼ (x ∈ A ∩ B) ⇔ (∼ (x ∈ A)∨ ∼ (x ∈ B)) 
(⇔ significaque ambas as relações têm o mesmo valor lógico, quer dizer são duas maneiras 
de dizer a mesma coisa), portanto, tem-se que o complementar (A ∩ B)c do conjunto A ∩ B é 
o conjunto A
c
 ∪ Bc, ou seja, (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc. 
Analogamente, 
32 
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc, pois ∼ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ⇔ (∼ (x ∈ A)∧ ∼ (x ∈ B), a negação da relação 
R(x) ∨ S(x) é a relação ∼ R(x) e ∼ S(x). Obtêm-se assim as Leis de De Morgan, a saber: 
i) (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc, 
ii) (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc. 
Dados os conjuntos A e B, outro conjunto que se considera usualmente é o conjunto produto 
Cartesiano de A por B, que se representa por A × B (e se lê A vezes B). A × B é o conjunto 
constituído pelos pares ordenados (a, b) em que a ∈ A e b ∈ B. Pode-se escrever 
A × B = {(a, b): a ∈ A ∧ b ∈ B}. 
Exemplo 3: Consideremos os conjuntos A = {0, 1} e B = {0,−1}. 
O conjunto produto cartesiano A × B é 
A × B = {0, 1} × {0,−1} = {(0, 0), (0,−1), (1, 0), (1,−1)}, enquanto que o conjunto produto 
cartesiano B × A é B × A = {0,−1} × {0, 1} = {(0, 0), (0, 1), (−1, 0), (−1, 1)}. 
O plano cartesiano R × R designa-se por R² e assim 
R
2
 = {(x, y): x ∈ R ∧ y ∈ R}. 
Note-se que no exemplo anterior, os conjuntos {0, 1} × {0,−1} e {0,−1} × {0, 1} são 
diferentes. 
Em geral, A × B ≠ B × A. 
 
4 REFERÊNCIAS 
 
A ARTE DE PENSAR. Disponível em www.didacticaeditora.pt/arte_de_pensar 
ALENCAR FILHO, Edgar de. Introdução à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel. 2002. 
ALMEIDA, José Luís Vieira de. ARNONI, Maria Eliza Brefere. OLIVEIRA, Edilson 
Moreira de. Mediação pedagógica: dos limites da lógica formal à necessidade da lógica 
dialética no processo ensino–aprendizagem. 2004. 
ARAÚJO, Carlos César de. Lógica e Matemática: Uma Aplicação da Indução Carlos César 
de Araújo. Para Gregos e Troianos. 
AREDES, José; FÁTIMA, Alves; CARVALHO, José – A Chave do Saber, 11º ano 
Introdução à Filosofia, Lisboa, Texto Editora, 1996. 
BOYER, Carl B. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo, Edgar 
Blücher, 1974. 
BRUN, Jean – Aristóteles, Coleção Mestres do Passado, n.º 11, Lisboa, Publicações D. 
Quixote, 1986. 
FERREIRA, Jaime Campos. Elementos de Lógica Matemática e Teoria de Conjuntos. 
Uma reedição revista pelo autor dos capítulos iniciais das _Lições de Análise Real. 2001. 
33 
GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação: um 
tratamento moderno de matemática discreta. Tradução Valéria de Magalhães Iorio. Fundação 
Educacional Serra dos Órgãos, Teresópolis. 5 ed. 2003, Rio de Janeiro: LTC – Livros 
Técnicos e Científicos Editora S. A. 
Maurice Gex, Logique Formelle, pág. 17. 
NEVES, Maria Augusta Ferreira – Matemática, 11º ano, Parte 3, Porto, Porto Editora, 1998. 
RODRIGUES, Luís – Introdução à Filosofia 11º ano, Lisboa, Plátano Editora, 1998. 
http://www.prof2000.pt/users/secjeste/aristoteles/Pg000400.htm 
VIEGAS, Francisco. St. AUBYN, António. FIGUEIREDO, Maria Carlos. LOURA, Luís de. 
RIBEIRO, Luísa. Lógica Matemática do Grupo de Matemática da Universidade Técnica de 
Lisboa: Lisboa, Março de 2004.