Lista 2 - Equacoes Diferenciais_2012 1

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Engenharia de Produção, Engenharia Elétrica, Engenharia de Computação, 
Engenharia Mecatrônica e Engenharia Ambiental 
Disciplina: Equações Diferenciais ( 2011.1) 
Data: _____/_____/_____ Prof.: ______________ Turma: ___________ 
Aluno(a): ________________________________________________________ 
 
 
LISTA 2 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (SEQUÊNCIA E SÉRIES) 
 
1) Suponha A>0. Dado x1 arbitrário, defina {xn} por: 





+=+
n
nn
x
A
xx
2
1
1 , n≥1. 
Mostre que Lxn
n
=
+∞→
lim então AL = . 
 
 
2) Para cada série dada, determine a seqüência de somas parciais. 
a) ∑
∞
=
+−1 )12)(12(
1
n nn
 b) ∑
∞
=






+1 1
ln
n n
n
 c) ∑
∞
=
−+
1
])1(1[
n
n
 
 
Respostas: 
12
)
+
=
n
nSa n )1ln() +−= nSb n 


 −
=
parnsen
ímparnsen
Sa n
1) 
 
 
3) Mostre que as séries dadas são divergentes. 
a) ∑
+
+
1 43
1
n
n
 b) ∑
2 ln n
n
 c) ∑ 





+
1
1
n
n
a
 
 
 
4) Encontre a soma das séries abaixo, se possível: 
a) ∑
+






1
1
5
3 n
 b) ∑ −
1
22 n c) ∑ +
−
1
13
4.)2(
n
n
 d) ∑
++
−
1
22
3
2)1(
n
nn
 
Respostas: a) 
10
9
 b) 4 c) 
15
8
− d) 
5
8
− . 
 
 
 
 
5) Uma bola é derrubada de uma altura de 9m. Cada vez que ela toca no chão, sobe novamente a uma altura de 
aproximadamente 
3
2
 da altura da qual ela caiu. Mostre que a distância total percorrida pela bola até parar é de 
45m. 
 
 
6) A extremidade de um pêndulo oscila ao longo de um arco de 24 cm em sua primeira oscilação. Se cada 
oscilação é aproximadamente 
6
5
 da oscilação precedente, obtenha uma aproximação da distancia total 
percorrida pelo pêndulo até entrar em repouso total. 
 
Respostas 144 cm 
 
 
 
 2
7) Aplique o teste da integral para estudar o comportamento das séries abaixo: 
a) ∑
+1
2 1n
n
 b) ∑
+1
2 1
1
n
 c) ∑
2
ln
n
n
 
 
Respostas: divergem a, c ; converge b 
 
 
 
 8) Usando o teste da razão ou teste da raiz estude a convergência das séries: 
a) ∑
1 !
2
n
n
 b) ∑
1
1
nn
 c) ∑
1
3
!
n
n
 d) ∑ 





−
+
1 12
23 n
n
n
 
 
Respostas: convergem a, b ; divergem c, d 
 
 
 
9) Estude o comportamento das séries dadas: 
a) ∑
+1 1n
n
 b) ∑
−
1
1
2
5
3
n
nn
 c) ∑
1
!3
n
n
n
n
 d) ∑ 





+1
2
1
n
n
n
 e) ∑
2
3)(ln
1
nn
 f) ∑ −
1
2ne g) ∑
1
!
nn
n
 
 
 
h) ∑ 




 −
1 3
1 n
n
n
 i) ∑ −
1
3 2nen j) ∑ 











1
1
n
n
arctg l) ∑
1 )(ln
1
n
n
 m) ∑
−+
−+
1
2
3
287
123
nn
nn
 
 
Respostas: Os itens a, b, c e m divergem. 
 
 
 
 
10) Usando o teste de Leibniz, estude a convergência das séries: 
a) ∑ −
2 ln
1)1(
n
n
 b) ∑
+
+
−
1 )1(
2)1(
nn
nn
 
 
 
 
 
11) Estude o comportamento das séries a seguir, verificando se são absolutamente convergentes, 
condicionalmente convergentes ou divergentes. 
 
a) ∑
−
1
!)1(
n
n
n
n
 b) ∑ 




 −
−
1 3
1)1(
n
n
n
n
 c) nnn n )1()1(
1
+−∑ d) ∑
+
−
1 23
)1(
n
n
 
 
e) ∑
−
1 )!2(
!)1(
n
n
n
 f) ∑
−
1
3
)3(
n
n
 g) ∑
+
−
1 5
)1(
n
n
 
 
 
Respostas: Os ítens a, b, e, h convergem absolutamente. Os ítens d e g convergem condicionalmente e os itens 
c, f divergem. 
 
 
 
 
 
 
 3
12) Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. 
 
a) ∑
∞
=
−==
0
)1,1[,1:.Re
n
n
Iraios
n
x
 
 
b) ∑
∞
=
−==
+
−
0
]1,1(,1:.Re
1
)1(
n
nn
Iraios
n
x
 
 
c) ∑
∞
=
−==
0
)1,1(,1:.Re
n
n Iraiosnx 
 
d) ∑
∞
=
−==
0
2 ]1,1[,1:.Re
n
n
Iraios
n
x
 
 
e) ∑
∞
=
+∞−∞=∞=
0
),(,:.Re
!n
n
Iraios
n
x
 
 
f) ( )∑
∞
=
≠=
0
00:.Re
n
nn xparadivergeexparaconvergesxn 
 
 
13) Encontre uma representação em série de potência para as funções . 
 
a) ∑
∞
=
−
+
=
0
)1(:.Re
1
1)(
n
nn xs
x
xf 
 
b) ∑
∞
=
+
−
=
0
1:.Re
1
)(
n
nxs
x
x
xf 
 
c) ∑
∞
=
−
=
0
3
3 :.Re1
1)(
n
nxs
x
xf 
 
d) ∑
∞
=
−
+
=
0
2
2 )3()1(:.Re91
1)(
n
nn xs
x
xf 
 
e) 12
2
0
2 4
)1(
:.Re
4
1)(
+
∞
=
−
+
= ∑ n
nn
n
x
s
x
xf 
 
f) ∑ +
+
−
=
0
1
1
2
.3
:.Re
32
)(
n
nn x
s
x
x
xf 
 g) ∑ +−
−
+
=
0
2
2
)1)(1(:.Re
1
1)( nxxs
x
x
xf 
h) ∑ +
+
−
=
0
1
33
3
3
4
:.Re
4
)(
n
nx
s
x
x
xf 
 i) ∑ 





−
+−
=
+
0
12 2
11:.Re
23
1)( n
n
xs
xx
xf 
 
 
 
 
 4
( ) )()cos()cos(1)cos(1
4
)(:.Re
0,
0,0)(
11
2 nxsen
n
n
nxn
n
xfs
xx
x
xf
nn
∑∑
∞
=
∞
=





 −
+−+=



<≤
<<−
=
pi
pi
pi
pi
pi
pi
14) Utilizando as séries que representam as funções, 
 
 
 
expanda em séries de potência de (x-a) as seguintes funções: 
 
 
a) ∑
∞
=
−+
−==
+
=
1
11
2 )1()(:.Re0,)1(
1)(
n
nn nxxfsa
x
xf 
 
b) ∑
∞
=
+
+
−==+=
0
1
1
)1()(:.Re0,)1ln()(
n
n
n
n
x
xfsaxxf 
 
c) ∑
∞
=
−
+
−=−==
0
2
2
!
)1(2)1()(:.Re1,)(
n
nn
nx
n
xe
xfsaexf 
 
d) ∑
∞
=
− +
−=−==
0
2
!2
)2()1()(:.Re2,)(
n
n
n
n
x
n
xe
xfsaexf 
 
e) ∑
∞
=
+
+
+
−
−+==+=
0
1
1
3)1(
)1()1()3ln()(:.Re1,)2ln()(
n
n
n
n
n
x
xfsaxxf 
 
f) ∑
∞
=
+
−===
0
12
)!2()1()(:.Re0,)cos()( n
n
n
n
x
xfsaxxxf 
 
 
 
 
15) Cada função f abaixo é suposta 2pi-periódica. Encontre sua série de Fourier. 
 
 
a) )sen()cos(2)(:.Re,)(
1
nx
n
n
xfsxxxf
n
∑
∞
=
−
=<<−=
pi
pipi 
 
 
 
b) )cos()cos(4
3
)(:.Re,)(
1
2
2
2 nx
n
n
xfsxxxf
n
∑
∞
=
+=<<−=
pipi
pipi 
 
 
 
c) )sen()cos(12)(:.Re
0,
0,)(
1
nx
n
nk
xfs
xk
xk
xf
n
∑
∞
=





 −
⋅=



<≤
<<−−
=
pi
pipi
pi
 
 
 
 
 
d) 
∑∑∑∑∑
∞
=
∞
=
+∞
=
∞
=
∞
=
−=
+
−==−=
+
=
− 0
2
0
12
000 )!2(
)1()cos(,)!12()1()sen(,!,)1(1
1
,
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
nn
n
n
n
x
x
n
x
x
n
x
ex
x
x
x