Coordenadas cartesianas no plano

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Matemática 
 
 
 
COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
Sumário 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivo......................................................................................................................................... 2 
 
1. Coordenadas cartesianas ..................................................................................................... 2 
1.1. Recordando o referencial cartesiano .............................................................................. 2 
1.2. Distância entre dois pontos ............................................................................................. 4 
1.3. As coordenadas do ponto médio de um segmento ........................................................ 6 
1.4. Razão de secção ............................................................................................................... 8 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 9 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 9 
 
Resumo ....................................................................................................................................... 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Na apostila anterior sobre Sistemas Escalonados, podemos conhecer os 
sistemas lineares, aprendendo seu conceito, sua classificação e seus tipos. 
Resolvemos exercícios pelo método de escalonamento e assim fechamos com 
técnicas que irão facilitar a solução de sistemas lineares. 
Agora, iremos conhecer os principais conceitos relacionados à uma outra área 
da matemática, a geometria analítica, mais especificamente as coordenadas 
cartesianas no plano e para iniciar veremos algumas noções básicas, distância entre 
dois pontos, razão de secção e outros assuntos relacionados para que possamos 
assim, enriquecer nosso saber com conhecimento de qualidade. 
Objetivo 
• Conceituar coordenadas cartesianas no plano; 
• Introduzir a distância entre dois pontos e razão de secção. 
 
1. Coordenadas cartesianas 
1.1. Recordando o referencial cartesiano 
Quando observamos um gráfico, podemos verificar o resultado, por exemplo, 
de medições do ritmo do organismo de uma pessoa, durante determinado tempo. 
Este gráfico é o desenho que informa dados de grandeza, ou a relação entre duas 
grandezas. Os gráficos são instrumentos de grande importância na medicina, na 
engenharia, na indústria, na economia, na geografia e em muitos estudos científicos. 
Podemos dizer que a matemática define um gráfico como um conjunto de 
pontos em um plano cartesiano e para que possamos localizar pontos em um plano, 
usamos o que chamamos de referencial cartesiano, criado pelo francês René 
Descartes (1596-1650). 
 
SAIBA MAIS! 
 
 
O nome cartesiano é dado, pois o nome 
Descartes em latim era Cartesius, originando assim esta 
denominação. 
 
 
3 
 
Vamos traçar duas retas perpendiculares em um plano, para que possamos 
ilustrar melhor. Vamos chamar o ponto de intersecção de origem do referencial, sendo 
que a esse ponto, associamos o número zero nas duas retas. Para cada reta, fixamos 
como unidade, seguimento de mesma medida. A reta horizontal x, chamamos de eixo 
x, ou eixo das abscissas, e a reta vertical y, de eixo y, ou eixo das ordenadas. 
 
Representação do Plano Cartesiano 
Se pegarmos o plano cartesiano, e fixarmos um ponto, no qual foi fixado um 
referencial cartesiano, teremos a representação de uma dupla de números reais, na 
qual indicamos entre parênteses e ao tomarmos por exemplo, o ponto A(3,-4), o 
primeiro número indica o deslocamento a partir da origem para a direita se for 
positivo ou para esquerda se for negativo, neste caso o 3 é positivo avançamos para 
direita. 
O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima se for 
positivo ou para baixo se for negativo, sendo que neste caso -4 é para baixo e assim 
fazemos: 
 
Representação do Plano Cartesiano no ponto A (3,-4) 
eixo y (eixo das ordenadas)
5 _
4 _
3 _
2 _
 1_
| | | | | | | | | eixo x (eixo das abscissas)
-4 -3 -2 -1 -1_ 1 2 3 4 5
-2_
-3_
-4_
-5_
y 
3
2
1
| x
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5
-2
-3
-4
A
 
4 
 
Podemos dizer que todo ponto da reta associamos um número real e a cada 
número real podemos associar um ponto da reta, assim sendo, a todo ponto do plano 
é associado uma dupla de números reais e a cada dupla de números reais associamos 
um ponto do plano. 
Assim sendo, partindo da origem que é ponto (0,0), e fazendo os 
deslocamentos da dupla de números, localiza-se um ponto no plano. 
 
1.2. Distância entre dois pontos 
Para um melhor entendimento, vamos imaginar que alguém, todas as manhãs, 
antes de ir para Faculdade, vá para academia e fique lá durante uma hora se 
exercitando. A Faculdade fica a algumas quadras da academia. Vamos indicar a 
academia como ponto O, de onde ele sai, até o ponto F, onde ele deve chegar. 
 
Ilustração do itinerário feito por uma pessoa 
F
 
O 
Academia
 Faculdade
 
5 
 
Partindo do ponto O, caminha uma quadra para a direita e duas quadras para 
cima, conforme vemos na ilustração. Representando no gráfico temos: 
 
Representação do ponto (1,2) 
Neste exemplo, temos um referencial cartesiano, onde indicamos F(1,2). 
Vamos considerar os pontos A(1,1) e B(5,4) e calcular a distância entre esses 
pontos: 
 
Representação dos pontos A(1,1) e B(5,4) 
Podemos perceber a formação de um triângulo retângulo AMB, sendo AM e MB 
os catetos e AB a hipotenusa. Sendo assim basta aplicar o teorema de Pitágoras, ou 
seja, o quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos: 
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2
 
 4 3
 25
 5
AB AM MB
AB
AB
AB
= +
= +
=
=
 
y 
3
2 F
1
x
-3 -2 -1 -1 1 2 3
-2
-3
-4 
5 
4 B
3
2 3
1 A M
 
-3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 6
-2
-3
-4 
 
4
 
6 
 
Assim concluímos que a distância entre dois pontos A e B é a medida do 
segmento AB. Nesses casos podemos aplicar o teorema de Pitágoras, pois obtemos 
um triângulo retângulo. 
De um modo geral, a distância entre os pontos 
( ), , ( )eA A B BA X Y B X Y
 é 
demonstrada conforme vemos na ilustração abaixo: 
 
Representação dos pontos A(XA, YA) e B(XB, YB) 
 
Chamando o segmento AB, ou seja, a distância de d, temos: 
 
( ) ( )
2 22 – – B A B Ad X X Y Y= +
 
( ) ( )
2 2
 – – B A B Ad X X Y Y= +
 
 
 
1.3. As coordenadas do ponto médio de um segmento 
Vamos considerar um segmento de reta AB, onde 
( )1 1, A X Y
 e 
( )2 2, B X Y
 são 
pontos distintos, vamos determinar as coordenadas de M, que é o ponto médio de AB. 
Consideremos um segmento com extremidades 
( )1 1, X YA
 e
2 2,( ) X YB
 ; e o 
ponto M(x, y), ponto médio do segmento AB. 
y
 
YB B
YB - YA
YA A M
x 
XA XB
 
 
XB - XA
 
7 
 
 
Representação dos pontos 
( )1 1, A X Y
 e
2 2,( ) B X Y
 ; e o ponto 
( ), M x y
 
Para este problema, vamos aplicar o teorema de Tales, que segundo ele, 
quando temos um feixe de planos paralelos, que seja cortadopor transversais, temos 
segmentos correspondentes proporcionais e assim utilizamos: 
1 1
1 1
AMAM
MB M B
=
 
 
1 2 2
1 2 1
2
1 – – 
2
2 X X X X X X X
X X X X
x
X X
− +
→ → = →
−
= → = +
2 2
2 2
A MAM
MB M B
= →
 
1 2 2
1 2 1
1
2
 – – 2 
2
Y Y Y Y Y Y
Y Y Y Y
Y
Y Y
Y
− +
→ → =→ +
−
= =
 
Deste modo, concluímos que dado um segmento de extremidade 
( ), 1 1A X Y
 
e
( ), 2 2B X Y
 , a abscissa do ponto médio do segmento é a média aritmética das 
abscissas das extremidades: 
2 1
2
X X
x
+
=
e a ordenada do ponto médio do segmento 
é a média aritmética das ordenadas das extremidades, 
2 1
2
Y Y
Y
+
=
. 
Como exemplo, vamos determinar M, ponto médio de AB, onde A(3,-2) e B(-
1,-6). Considerando M(Xm,Ym), temos: 
3 ( 1) 2
1
2 2
MY
+ −
= = =
 
2 ( 6) 8
4
2 2
MY
− + − −
= = = −
 
Logo, M(1,-4) 
y
 
 
Y2 B
Y B2 M
Y1 M2 A
A2
A1 M1 B1 x
X1 X X2
 
8 
 
Vamos fazer uma demonstração em que AB não é paralelo a um dos eixos, onde
 B M A B M NX X X e Y Y Y   
 . 
 
Gráfico do eixo AB 
Temos as retas paralelas AA’, MM’ e BB’ concorrendo com AB e A’B’ que são 
transversais e utilizando o teorema de Tales temos: 
' '
'B'
AM A M
MB M
=
 . (I) 
AM=MB sendo que M é ponto médio de AB, desta forma 
1
AM
MB
=
. (II) 
Como temos que 
 B M A B M NX X X e Y Y Y   
 nos dá a certeza que 
’ ’’ ’ – M AAM X X=
 e 
’ ’’ ’ – B MM B X X=
 e daí temos: 
'' '
' ' ' '
M M A
B M
X XA X XA M
M B XB XM X X
− −
= =
− −
 . (III) 
Vamos agora, substituir (II) e (III) em (I): 
– 1 2M A B M M
B
A B
M A
M
X X X
X
X
X
X X
X
X
X= − → =→ +
−
=
−
 então temos: 
2
M
XA
X
XB+
=
. 
Utilizando o mesmo raciocínio em relação ao eixo Oy, obtemos: 
2
M
YA YB
Y
+
=
. 
1.4. Razão de secção 
Vimos que as coordenadas do ponto médio são encontradas pela média 
aritmética das abscissas e das ordenadas, mas isso pode ser feito porque o ponto M 
y
B
YB
M
YM
A 
YA
A' M' B'
XA XM XB
 
9 
 
está no meio dos pontos A e B. Quando o ponto M não está no centro, precisamos 
encontrar a razão destes pontos, daí entra o conceito de razão e secção. 
Vamos considerar o ponto A e o ponto B, divididos em um ponto qualquer pelo 
ponto M, conforme o desenho abaixo: 
 
O ponto M divide o segmento AB segundo uma razão, que vamos chamar de r 
e ela é o quociente de A ao ponto M sobre P até o ponto B. Assim escrevemos 
AM
r
MB
=
. 
Para encontrarmos o Xm e Ym utilizamos as fórmulas: 
.
1
Xa r Xb
Xm
r
−
=
+
 e 𝑌𝑚 =
𝑌𝑎+𝑟.𝑌𝑏
1+𝑟
 
Exercícios 
1. (Autor, 2019) Dados os pontos A(4,6) e B(9,18), calcule a distância entre os 
pontos. 
2. (Autor, 2019) Calcular o comprimento do segmento AB, sabendo que A(-3,2) 
e B(5,-4). 
3. (Autor, 2019) Considere as coordenadas A(2,4) e B(8,10). Entre estes dois 
pontos; existe um ponto P que divide o segmento AB. Calcule as coordenadas 
do ponto P, na razão 2. 
Gabarito 
1. 
( ) ( )
2 2 2 2 9 4 18 6 5 12AB = − + − = +
 
169AB =
 
AB=13 
 
2. 
( )( ) ( )
2 22 2(5 3 4 2 8 ) 6AB − − + − − + −= =
 
100AB =
 
AB=10 
 
A M B
 
10 
 
 
 
3. A (2,4) e B(8,10) 
. 2 2.8
6
1 1 2
.Y 4 2.10
8
1 1 2
P P
P P
XA r XB
X X
r
YA r B
Y Y
r
+ +
= → = =
+ +
+ +
= → = =
+ +
 
Resumo 
Na aula de hoje, recordamos o plano cartesiano criado pelo matemático 
francês, René Descartes. Calculamos a distância entre dois pontos, aprendemos o que 
é razão de secção, fizemos demonstração da fórmula de ponto médio de um 
segmento e resolvemos alguns exercícios. 
Vejamos o quadro abaixo que ilustra de forma clara e resumida o que 
aprendemos. 
 
 
 
Plano Cartesiano 
 
Coordenadas do 
ponto médio 2M
XA XB
X
+
=
 
2
M
YA
Y
YB+
=
 
 
Razão de secção 
. .
; ;
1 1
AM Xa r Xb Ya r Yb
r Xm Ym
MB r r
+ +
= = =
+ +
 
 
 
A M B
 
11 
 
Referências bibliográficas 
BONGIOVANNI, V.; VISSOTO, O.; LAUREANO, J. Matemática Vida: 7ª.ed. São Paulo, Ática, 1995. 
DANTE, L.R. Matemática: volume único.1ª.ed. São Paulo, Ática, 2005. 
PAIVA, M. Matemática: volume único.1. ed. São Paulo, Moderna, 1999.