matematica financeira 2019

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MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Organizado por: Anuar Morais, Cristiane 
Silva e Iana F Audino 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-MÁTEMATICA FINANCEIRA– 
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 Relevância da disciplina. 
A matemática financeira é a ferramenta básica e fundamental para todos. Em nossa sociedade, 
necessitamos realizar vários atos de natureza econômica, ou seja, atuar com bens e serviços cujos valores 
podem ser medidos, e como faremos isso sem conhecer matemática financeira, do mundo dos negócios. 
As pessoas precisam se aposentar, em algumas ocasiões tomar recursos emprestados, aplicar 
eventualmente sobras de recursos. Ao comprar um carro com financiamento, é importante verificar as 
taxas que porventura serão cobradas pela concessionária, a exemplo do IOF e da taxa de abertura de 
crédito, os juros que serão praticados no financiamento do veículo, o período no qual a taxa será 
praticada. O mesmo acontece para o financiamento para aquisição de uma casa ou apartamento ou outro 
bem de alto valor econômico. A matemática financeira é nossa amiga na hora tomarmos a decisão de 
pagar à vista ou parcelado. Se parcelado, qual o número de parcela ideal? 
Qual é a melhor alternativa para nossas reservas de recursos, ou seja, nossas poupanças? Para 
tomarmos essa decisão, um dos aspectos que deve ser considerado é a taxa de remuneração dos recursos, 
objeto de estudo desta disciplina. 
Para as empresas, a matemática financeira também é por demais importante. Ora, sabe-se que no 
mundo capitalista, uma empresa somente sobrevive de tiver lucro e, para tanto, tudo deverá ser 
minuciosamente calculado, o custo do produto, o preço de venda do produto, o retorno do investimento, 
os custos dos financiamentos, dentre tantas outras aplicações fundamentais da matemática financeira para 
as organizações. 
Se você é uma amante da matemática, tenho certeza que gostará muito da disciplina e será muito 
agradável descobrir a variedade de aplicações a que ela serve como ferramenta. Para os que não são tão 
amantes assim da matemática, recomendo que deem oportunidade a ela, pois tenho convicção de que será 
muito útil às suas vidas. Às vezes, em nossas vidas é necessário dominar determinados assuntos que não 
gostamos muito, mas que os aprendemos pela importância que eles têm. 
 
Mas como aprender matemática? Primeiro, claro, devemos procurar entender os conceitos 
fundamentais, aqueles pontos que o professor passa em aula e discorre sobre eles. Depois, devemos 
praticar, sim, praticar e praticar, ou seja, fazer os exercícios propostos pelo professor e outros que 
aparecem nos livros. 
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Não deixe acumular dúvidas, procure eliminá-las com a ajuda do professor, de uma colega, de um 
amigo, mas não permita que elas continuem contigo. Aprender matemática é como construir uma casa, 
primeiro construímos a base para depois, sobre ela colocarmos as paredes, o teto e tudo o mais. Numa 
casa, não existe uma parte mais importante, tudo se completa. Assim, é a matemática financeira, todos os 
conceitos são fundamentais e devem ser compreendidos. 
 
Aqui encontram - se os seguintes tópicos 
 
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Sumário 
1. CONCEITOS INICIAIS DA OPERAÇÃO DE EMPRÉSTIMO ............................................................................................... 5 
1.1 Revisão de cálculo de porcentagem ................................................................................................................................... 6 
1.2 Problemas envolvendo porcentagem .................................................................................................................................. 13 
2. JUROS SIMPLES ................................................................................................................................................................... 16 
2.1 Taxa proporcional ou equivalente em juros simples .......................................................................................................... 18 
Exercícios de aplicação: ........................................................................................................................................................... 18 
3. DESCONTO SIMPLES ......................................................................................................................................................... 22 
3.1 Desconto Simples .............................................................................................................................................................. 22 
3.1.1 Desconto Racional (ou “por dentro”) ......................................................................................................................... 22 
3.1.2 Desconto Bancário (ou comercial, ou “por fora”) ...................................................................................................... 24 
Exercícios de Aplicação ........................................................................................................................................................... 26 
4. JUROS COMPOSTOS ............................................................................................................................................................. 29 
Exercícios de aplicação ............................................................................................................................................................ 31 
4.1 Convenção Linear e Convenção Exponencial para períodos não inteiros .......................................................................... 35 
Exercícios de aplicação sobre convenções exponencial e linear : ............................................................................................ 37 
Exercícios de Juros compostos e convenção exponencial e linear ........................................................................................... 37 
5. DESCONTO COMPOSTO ..................................................................................................................................................... 39 
5.1 Desconto “por fora” ............................................................................................................................................................ 39 
5.2 Desconto “por dentro” ........................................................................................................................................................ 40 
Exercícios de aplicação ............................................................................................................................................................ 42 
6. TAXAS COMPOSTAS ............................................................................................................................................................ 45 
6.1 Taxas acumuladas ............................................................................................................................................................... 45 
6.2 Taxa média ......................................................................................................................................................................... 45 
6.3 Taxa de juros Aparente e Real ............................................................................................................................................ 46 
Exercícios de aplicação ............................................................................................................................................................47 
6.4 Taxas equivalentes ............................................................................................................................................................. 49 
Exercícios de aplicação ............................................................................................................. Erro! Indicador não definido. 
6.5 Taxa nominal e efetiva ....................................................................................................................................................... 53 
Exercícios de aplicação: ........................................................................................................................................................... 54 
7. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS ................................................................................................. 55 
8. DEPÓSITOS BANCÁRIOS .................................................................................................................................................... 61 
Exercícios de aplicação ............................................................................................................................................................ 63 
9. SÉRIES DE PAGAMENTOS .................................................................................................................................................. 66 
Exercícios aplicação: ................................................................................................................................................................ 71 
10. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO ........................................................................................................................................ 75 
10.1 Sistema Price (de prestações iguais ou Frances) .............................................................................................................. 75 
10.2 Sistema de Amortização Constante – SAC ...................................................................................................................... 78 
Exercícios de aplicação ............................................................................................................................................................ 79 
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1. CONCEITOS INICIAIS DA OPERAÇÃO DE EMPRÉSTIMO 
 
 
 A Matemática Financeira tem por objetivo, estudar o comportamento do capital em função do 
tempo. Em resumo, podemos dizer que a Matemática Financeira estuda e analisa as transformações do 
conjunto de entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo denominadas fluxo de caixa. 
 
Alguns conceitos: 
 
Capital (PV ou C): é o valor aplicado através de alguma operação financeira ou valor investido. Também 
conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present 
Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras). 
 
Montante (M ou FV): representa o valor do capital numa data futura, é o valor total a ser pago ou 
recebido com a finalidade de quitar ou encerrar um empréstimo ou também pode ser entendido como a 
soma do capital mais o juro por ele produzido. 
 
Prazo ou período de capitalização (n): É o tempo que o capital permanece aplicado ou emprestado. 
 
O juro (J) é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere 
o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar 
até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta 
quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e 
risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para 
empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros. 
 
 
 Quando usamos juros simples e juros compostos? 
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio 
e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais 
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como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para 
o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples 
de duplicatas. 
 
Juro exato e juro Comercial 
É comum nas operações de curto prazo, onde predominam as aplicações com taxas referenciadas em juros 
simples, ter-se prazo definidos em números de dias pode ser calculado de duas maneiras: 
Pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário civil (365). O juro apurado dessa maneira 
denomina-se juro exato. 
Pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e ano com 360 dias. Tem-se por critério, a 
apuração de denominação juro comercial ou ordinário. 
 
Exemplo 12% a.a equivale a taxa diária de: 
 
 
 
Taxa de Juros (i): É o coeficiente que mede o juro em relação ao tempo. A taxa está sempre relacionada 
com uma unidade de tempo (dia, mês, trimestre, semestre, ano, etc.) 
Ela é a razão entre os juros recebidos ( ou pagos) no fim de um período de tempo e o capital e o capital 
inicialmente empregado. As taxas de juros normalmente são apresentadas de dois modos. 
 
 
 
 
 
 
 
1.1 Revisão de cálculo de porcentagem 
 
Trata-se de conceito fundamental em matemática financeira. Porcentagem, ou quantos por cento ? Ou 
ainda, taxa percentual. 
dajurodajuro .%033333,0
dias 360
12%
:comercial .%032877,0
dias 365
12%
:exato 
 
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Existem duas formas de se apresentar a taxa percentual. Uma com o símbolo percentual ao lado 
direito. Por exemplo, 10%, 11,4%. Essa forma de representar é muito usada em relatórios, fica muito 
adequado, como exemplo: 
Empresa Criativa Ltda. 
Crescimento anual do 
faturamento no ano de 2013 
15,40% 
 
 A forma acima, sem dúvida alguma, é a mais usual nos relatórios das empresas e devemos utilizá-
las quando elaboramos relatórios financeiros. No entanto, essa forma não deve ser utilizada no momento 
de fazermos os cálculos. Nessa hora, devemos utilizar o conceito de taxa unitária. Exemplo: 0,10; 0,157; 
ou 1,15. 
 O aluno deve estar se perguntando, sim, mas quando devo usar uma ou outra? A forma percentual 
é somente uma maneira agradável de apresentar relatórios, mas não deve ser utilizada para cálculo. A taxa 
percentual correta para cálculo deve ser a taxa unitária, sem o símbolo de percentual ao lado. 
 Com muita frequência teremos de transformar taxas percentuais e taxas unitárias e vice-versa, ou 
seja, transformar taxas unitárias em percentuais. 
 
Começamos transformando taxas unitárias em taxas percentuais. 
Exemplo: Transforme a taxa unitária de 0,11 em percentual. É simples, basta multiplicar a taxa unitária 
por 100. Dessa forma, fica: 
 
 
 
No caso proposto ficaria: 
 Taxa percentual = 0,11 x 100 = 11,00 + símbolo “%” 
 O que resulta: Taxa percentual = 11,00% 
Em outras palavras, multiplicar uma taxa unitária por cem significa movimentar a vírgula duas casas para 
a direita. 
 Normalmente se usa duas casas após a vírgula porque no sistema monetário trabalhamos no 
máximo até os centavos. 
Transformem as taxas unitárias abaixo em taxas percentuais: 
Taxa percentual = Taxa Unitária vezes 100 + símbolo de “%” 
 
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Taxas Unitárias Taxas Percentuais 
-0,30- 0,30 x 100= -30% 
1,00 1 x 100= 100% 
 
 Como transformar taxas percentuais em taxas unitárias. Como fazer, é simples, basta dividir a 
taxa data por cem ou movimentar a vírgula no sentido da esquerda e eliminar o símbolo percentual “%” 
da taxa. 
 
 
 
 Exemplo. Vamos transformar a taxa percentual 12,50% em taxa unitária. Passos a seguir: 
a) Andar a vírgula duas casa para a esquerda, o que fica: 0,1250%; 
b) Eliminar o símbolo de percentual à direita: 0,125 (não esqueça, zeros a direita do último número 
significativo, nesse caso o “5”, podem ser eliminados). 
 
Agora, mãos à obra, vamos transformar taxas percentuais e m unitárias: 
 
Taxa Percentuais Taxas Unitárias 
-0,21% -0,21 :100= -021 
100,00% 100: 100 = 1 
 
Outro ponto importante utilizando taxas é saber calcular o percentual de algum valor, isso é 
demasiando importante para nossas finanças pessoais e para as nossas empresas. 
 
Exemplo. A nossa empresa vendeu, no mês de abril/2013, 13% a mais do que o faturamento de 
março/2013 que foi de $ 45.000,00. Portanto, pergunta-se qual o aumento no faturamento da empresa em 
abril de 2013? Em outras palavras a questão é, quanto significa 13% de $ 45.000,00? 
Ou seja, o problema é calcular: 
 13% de 45.000,00 = ? 
Uma das maneiras de pensar o assunto é que em linguagem matemática, de significa “vezes”. 
Então, o problema fica: 
Taxa unitária = Taxa percentual dividido 100 sem o símbolo de “%” 
 
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13% vezes 45.000,00 = ? 
 
Certo, mas como já falamos, não podemos, nos cálculos, utilizarmos taxas percentuais. Devemos 
utilizar taxas unitárias. Assim, transformando a taxa percentual em unitária antes do cálculo, ficaria: 
0,13 vezes 45.000,00 = ? 
Ou 0,13 x 45.000,00 = ? 
O que dá: 0,13 x 45.000,00 = 5.850,00 
 
 
Outra forma, é utilizarmos a famosa regra de três: 
 
Isso vale tanto para números positivos quanto para número negativos. Ainda, outra forma é 
utilizarmos proporções. Essa última e a forma menos didática de estudar o assunto. 
 
 
Mais exercícios resolvidos: 
Problema Solução 
0,3% de 12.000,00 0,003 x 12 000=36 
15% de 40.000,00 0,15 x 40 000= 6000 
60% de 21.000,00 0,6 x 21 000= 12 600 
 
Outro problema encontrado é na conversão de unidades de tempo. 
Vejamos alguns exemplos: 
 
 
Lembre-se: 1 ano é igual a: 
 12 meses = 6 bimestres = 4 trimestres = 3 quadrimestres = 2 semestres =360 dias 
(comercial) 
 
 
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1.Transformar 17 anos em: (faça uma regra de três se necessário) 
a) Mês 17 x 12 = 204 meses 
b) Semestre 17 x 2 = 34 semestres 
c) Trimestre 17 x 4 = 68 trimestres 
d) Dia 17 x 360 = 6 120 dias 
e) Quadrimestre 17 x 3 = 51 quadrimestres 
 
 
2.Transformar 204 meses em: 
Ano 204 : 12 = 17 anos 
 
3.Transformar 6120 dias em: 
Mês 6120 : 30 = 204 meses 
 
4. Transformar 15meses e 16 dias em mês: 
16 : 30 = 0,53 isto significa que 15,53 meses 
 
 
 
5. Desmembrando prazos em unidades inferiores, isto é: anos, meses e dias quando possível 
 
 Cuidado especial 
a)1,66 anos = (1+0,66) = 1ano e 0,66 de um ano= 1ano e 8 meses , 
pois 0,66 x12= 7,92 aprox 8 meses 
 
b)13,5anos = (13 + 0,5)= 13 anos e 0,5 de um ano = 13 anos 6 meses, 
pois 0,5 x 12 = 6 meses 
 
c) 13,5 meses = (13+ 0,5) = 13 meses e 0,5 de um mês = 1 ano 1 mês e 15 dias, 
 
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pois 0,5x30 = 15 dias 
 
Exercícios básicos: 
 
 
 
1.Taxa unitária x taxa percentual (conversão) 
 
Nº Taxa Unitárias Taxas Percentuais 
1 0,1 
2 0,13 
3 -0,32 
4 0,03 
 
Taxas Percentuais Taxas Unitárias 
5 11,00% 
6 12,00% 
7 -31,00% 
8 1,00% 
 
2. Calcule o percentual das sentenças abaixo: 
 
9 10% de 40.000,00 
 10 3,0% de 100.000,00 
 11 12% de 50.000,00 
 12 50% de -100.000,00 
 13 30% de 21.000,00 
 14 0,3% de 6.000,00 
 15 15% de 120.000,00 
 
3. Transformando unidades conforme solicitado: 
 
16 15 meses em anos 
 17 10 anos em bimestres 
 18 6 meses em trimestres 
 19 2 semestres em dias 
 20 6 meses e 40 dias em dias 
 21 5 anos em bimestres 
 22 8 meses em trimestres 
 23 6 semestres em dia 
 24 8 anos e 5 meses em meses 
 25 5 trimestres e 50 dias em meses 
 26 7anos em meses 
 27 2 anos em trimestres 
 
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28 4 anos em quadrimestres 
 29 4 anos em trimestres 
 30 3 anos em meses 
 
 
 
3. Desmembre os prazos conforme o problema: 
 
Nº Problema Solução 
31 12,3 anos: 
Em anos, meses e dias 
 
 
32 0,5 anos: 
Em meses 
 
 
33 0,9 anos: 
Meses e dias 
 
 
34 1,8 anos: 
Em anos, meses e dias 
 
 
35 0,1 anos: 
Em meses e dias 
 
 
 
 
 
 
Gabarito final: 
 Nº Gabarito Nº Gabarito Nº Gabarito 
1 10,00% 16 1,25anos 31 12anos 3 meses 18 dias 
2 13,00% 17 60 bimestres 32 6 meses 
3 -32,00% 18 2 trimestres 33 10 meses e 24 dias 
4 3,00% 19 360dias 34 1ano 9 meses 18 dias 
5 0,11 20 220 dias 35 1mes e 6 dias 
6 0,12 21 30bimestres 
7 -0,31 22 2,6666 trimestres 
8 0,01 23 1080 dias 
9 4.000,00 24 101meses 
10 3.000,00 25 16,6666 meses 
11 6.000,00 26 84 meses 
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12 -50.000,00 27 8 trimestres 
13 6.300,00 28 12 quadrimestres 
14 18,00 29 16 trimestres 
15 18.000,00 30 36 meses 
 
 
 
1.2 Problemas envolvendo porcentagem 
 
1. Por quanto se deve vender certa mercadoria que custa R$ 4 126,75, para obter uma rentabilidade (lucro) 
de 6%? 
100% +6%(lucro) = 106% 4 126,75 . 1,06= 4 374, 35 ou 
 
 
 
 
 
2. Um produto é comercializado por R$ 5 460,32. Deste produto podemos descontar alguns impostos na 
ordem de 8,5%. Qual deve ser o preço sem impostos? 
 
100% - 8,5% (valor descontado)= 91,5% 5 460,32 . 0,915= 4 996,19 ou 
 
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3. Por efetuar com atraso o pagamento do imposto predial, Carla teve de pagar R$ 600,00. Sabendo que a 
multa cobrada foi de 25%, qual era o valor do imposto sem a multa? 
 
100% + 25%(multa) =125% 1,25 de um valor x = 600 x=600 : 1,25= 480 ou 
 
 
 
 
 
4. No mês passado, uma loja de grande porte reduziu o seu quadro funcional em 12%. Se, atualmente, 
trabalham nessa empresa 6 000 pessoas, qual o número de funcionários antes do corte? 
 
100% - 12% (corte)= 88% 0,88 de um valor x = 6000 x= 6000 : 0,88= 6 818 pessoas aprox. 
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2. JUROS SIMPLES 
 
 
 
 
Na prática, o critério de juros simples é raramente usado, só fazendo sentido numa solução não 
inflacionária e num prazo muito pequeno. 
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor principal. 
Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente 
principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros.Explicando um pouco melhor essas variáveis. 
 
PV ou C = capital inicial aplicado para render juros ou um empréstimo obtido que sofre juros; 
 
M ou FV= é o valor final do capital inicial mais os juros 
 
i = é a taxa que remunera o capital aplicado ou que devemos pagar pelo empréstimo obtido. Ficou 
convencionado comercialmente que a taxa mensal é para um período de 30 dias e a anual é para um 
período de 360 dias, embora o ano pelo calendário civil tenha, normalmente, 365. No ano bissexto, 366 
dias. 
 
Em relação às taxas é comum vermos algumas notações 
 
 
 
 
n = é o tempo que os recursos foram aplicados no mercado ou que demoramos para pagar o nosso 
empréstimo. Essa variável é muito importante, pois é o número de vezes que devemos aplicar/calcular a 
taxa sobre o capital, dado o tempo. Portanto ela tem origem na variável taxa e na variável tempo. Quanto 
Lembre -se J= juros PV ou C= capital i= taxa n= prazo FV ou M= montante 
(a.a. significa ao ano). (a.t. significa ao trimestre). 
(a.m. significa ao mês). (a.q. significa ao quadrimestre). 
(a.d. ao dia). (a.b. ao bimestre). (a.s. ao semestre). 
 
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melhor entendermos essa variável, mais fácil ficam os cálculos dos juros simples. Ainda, é uma das 
principais variáveis para entender os juros compostos, nossa próxima matéria. 
J = juros calculados, ou seja, os juros que devemos pagar ou receber. Para encontrar os juros, devemos 
aplicar a seguinte fórmula: 
 
 J= C . i . n ou J= Pv . i .n 
 
Exemplo: Determinada empresa tomou $ 50.000,00 emprestado em um Banco da Capital. Esse banco 
cobrará taxa de 1,0% a.m. durante o período do empréstimo, de 90 dias. Pergunta-se qual será o juro a ser 
pago pela empresa no final dos 90 dias pelo regime de juros simples? 
Aplicando-se a fórmula temo: 
J = 50 000,00 x 0,01 x 3 = 1.500,00. 
Na Hp: 50 000 enter 0,01 enter 3 xx 
 
E o Montante, “M”, quanto será? Para responder essa questão devemos lembrar que o montante é dado o 
pela seguinte expressão matemática: 
Fv = C + J = 50 000,00 + 1 500,00 = 51.500,00. 
Fv=PV+J== 50 000,00 + 1 500,00 = 51.500,00. 
Na Hp: 50 000 enter 1500 + 
Isolando algumas fórmulas temos: 
O valor do Juro é obtido pela expressão: 
 
 Ou : 
 J= Fv - Pv 
 
 
 Fv = Pv + J 
 Fv= Pv. (1+i. n) 
 
 
 
J= C. i. n HP: C enter i enter n x x 
 
HP: M enter C - 
HP: C enter J + 
 
HP: C enter 1 enter i enter n x + x 
 
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2.1 Taxa proporcional ou equivalente em juros simples 
 
No regime de juros simples taxa proporcional também é conhecida como taxa nominal ou linear é obtida 
pela divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que ocorrerão juros 
(quantidade de períodos de capitalização) 
 
Por exemplo: 
a) Calcular a taxa proporcional mensal de 18%a.a TP=
ma.%5,1
12
%18

 
b) Calcular a taxa proporcional anual de 6%a.m TP=6% 

12= 72%a.a 
c) Calcular a taxa anual proporcional a 15,5% para 5 meses 15,5/5=3,1%a.m x12 37,2%a.a 
A aplicação de taxas proporcionais é muito difundida, principalmente em operações de curto e curtíssimo 
prazo, tais como:, descontos bancários, créditos de curtíssimo prazo, etc... 
 
Exercícios de aplicação: 
 
1) Um empréstimo de $ 10.000,00, tomado no Banco “A”, à taxa de 2% a.m., para pagamento no prazo de 
60 dias gerará juros e montante respectivamente de? 
 
2) Qual a melhor taxa para aplicar um dinheiro 2,5%a.m ou 15%a.s .Explique: 
3) Um empréstimo de $ 20.000,00, tomado no Banco “B”, à taxa de 2% a.m., para pagamento no prazo de 1 
ano gerará juros e montante respectivamente de ? 
4) Determinada empresa tem duas possibilidades de tomar $ 100.000,00 de recursos emprestados: a primeira 
do Banco “A” que cobra a taxa de 4% a.m. durante o prazo de 90 dias; a segunda, do Banco “B” que 
cobra de juros no período o valor de $ 9.500,00. Assim, pergunta-se qual é a melhor alternativa para a 
empresa? Por quê? 
 
5) Calcules as taxas proporcionais em juros simples: 
a) taxa de 2% a.m em ano 
b) taxa de 1% a.m em semestre 
c) Qual a taxa proporcional mensal à taxa de 12% a.s? 
 
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19 
 
 
6) Determinada empresa tem duas possibilidades de tomar $ 100.000,00 de recursos emprestados: a primeira 
do Banco “A” que cobra a taxa de 3% a.m. durante o prazo de 90 dias; a segunda, do Banco “B” que 
cobra de juros no período o valor de $ 10.000,00. Assim, pergunta-se qual é a melhor alternativa para a 
empresa? Por quê? 
 
7) Qual a taxa de juros a.m. que determinado investidor deve negociar, na modalidade de juros simples, para 
que no período de 10 meses consiga duplicar o seu capital inicial de $ 100.000,00? 
 
8) Um investidor deseja aplicar suas economias obtidas durante o ano em determinada modalidade de 
fundos de investimentos que rendem 0,7% a.m. Suas economias já alcançam o valor de $ 10.000,00. 
Assim, pergunta-se quanto esse investidor receberá de juros simples se deixar seus recursos aplicados 
pelo prazo de 6 meses ? E qual será o seu montante? 
 
9) Na modalidade de juros simples, quantos meses são necessários para que o capital de $ 40.000,00, 
aplicado à taxa de 10% a.m, duplique? 
 
10) Considere que foi realizada uma aplicação de R$ 1.300,00 em um fundo de investimentos, esse fundo 
utiliza o regime de capitalização simples. Sabe-se que o montante obtido após dois meses e treze dias 
corresponde à R$ 2.100,00. Observe o que o problema propõe desenvolvendo os cálculos. Determine a taxa 
mensal de juros simples utilizada assinalando a alternativa correta. 
 
a) i = 66,38% a.m. 
b) i = 30,76% a.m. 
c) i = 25,28% a.m. 
d) i = 50% a.m. 
e) i = 54,16% a.m. 
 
11) Verifique que capital será necessário aplicar, considerando um regime de capitalização simples (juros 
simples), à taxa de juros de 14% ao ano, por um período de oito meses, para que o montante (valor futuro) 
atinja R$ 18.000,00. Observe o que o problema propõe desenvolvendo os cálculos. Determine o capital 
(valor presente) aplicado assinalando a alternativa correta. 
 
a) R$ 10.000,00 
b) R$ 6.463,41 
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20 
 
c) R$ 16.463,41 
d) R$ 12.463,00 
e) R$ 18.400,00 
12) Determine o montante obtido na aplicação de um capital de R$ 5.000,00, à uma taxa de 1,5% a.m., 
pelo prazo de 85 dias. 
13) Determine o valor do capital que deverei aplicar a uma taxa de juros simples de 2% ao mês para obter 
um montante de R$ 6.000,00 após dois meses. 
14) Determine a taxa de juros simples utilizada em uma aplicação de R$ 12.000,00 que, após três meses, 
produziu um montante de R$ 15.500,00. 
15) Determine os juros produzidos por um capital de R$ 1.000,00 aplicado durante 2 meses a uma taxa 
de juros simples de 5% ao mês. 
16) Determine a taxa anual de juros simples utilizada por um fundo de renda fixa no qual uma aplicação 
de R$ 580,00 produziu, ao final de 35 dias, um saldo de R$ 760,00. 
17) Que capital será necessário aplicar, pelo regime de juros simples, à taxa de juros de 12% ao ano, durante 6 meses, para 
que o montante atinja R$ 10.600,00? 
a) R$ 1.000,00 
b) R$ 3.081,40 
c) R$ 6.172,79 
d) R$ 7.361,11 
e) R$ 10.000,00 
18) Determineo montante produzido por um capital de R$ 15.450,00 se aplicado a uma taxa de juros 
simples de 19% ao ano durante 7 meses e 13 dias. 
19) Determine o montante produzido por um capital de R$ 3.500,00 aplicado durante 3 meses e 17 dias 
se a taxa de juros simples utilizada for: 
 
a) 5% ao mês 
b) 105% ao ano 
c) 0,5% ao dia 
d) 12% ao semestre 
20) Apliquei R$ 1.350,00 em um fundo de investimentos que utiliza o regime de capitalização simples. 
Após 2 meses e 13 dias obtive um montante de R$ 1.940,00. Determine a taxa mensal de juros simples 
utilizada. 
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21 
 
21) Qual o capital que aplicado a uma taxa de juros simples de 27,5% ao ano produz juros de R$ 120,25 
após 1 mês e 9 dias? 
22) Qual o capital que aplicado a uma taxa de juros simples de 7% ao mês produzirá um montante de R$ 
750,00 após 1 mês e meio? 
23) Um uniforme está sendo vendido nas seguintes condições: R$ 38,50 à vista ou um cheque pré-datado 
de R$ 42,30 para 30 dias. Qual a taxa de juros utilizada por esse comerciante? 
24) O capital de R$ 1.000,00 esteve aplicado, pelo regime de juros simples, à taxa de 10% ao bimestre, 
pelo prazo de 2 anos. O montante produzido nessa operação financeira foi de: 
a) R$ 1.200,00 
b) R$ 1.400,00 
c) R$ 1.800 ,00 
d) R$ 2.200,00 
e) R$ 3.400,00. 
 
GABARITO 
1. R=$ 400,00; $ 10.400,00 
2. taxas equivalentes 
3. R=$ 4.800,00; $ 24.800,00; 
4. R= O Banco “B”, porque os juros são menores, no valor de $ 9.500,00 no período. 
5. 5. a =24% a.a b= 6% a.s c =2%a.m 
6. O Banco “A”, porque os juros são menores, no valor de $ 9.000,00 no período. 
7. 10% a.m. 
8. $ 420,00; $ 10.420,00 
9. 10 meses 
10. C 
11. C 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. e 
18. 
19. b) c) d) 
20. % 
21. 
22. 
23. 
24. d 
 
 
 
 
 
 
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22 
 
3. DESCONTO SIMPLES 
 
 
 Entende-se por valor nominal o valor de resgate, ou seja, o valor definido para um título em sua 
data de vencimento. Representa-se, em outras palavras, o próprio montante da operação. 
 A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento envolve geralmente uma recompensa, 
ou um desconto pelo pagamento antecipado. Desta maneira, desconto pode ser entendido como a 
diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado n períodos antes de seu 
vencimento. 
 Por outro lado, valor descontado de um título é o valor atual na data do desconto, sendo 
determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto. 
 
Valor Descontado = Valor Nominal - Desconto 
ou 
 
 
 
 
3.1 Desconto Simples 
 
 Conforme foi salientado, são identificados dois tipos de desconto simples: o desconto “por 
dentro” (ou racional) e o desconto “por fora” (ou bancário, ou comercial). 
 
3.1.1 Desconto Racional (ou “por dentro”) 
 
 O desconto Racional (ou “por dentro”) incorpora os conceitos e relações básicas de juros 
simples. Assim, sendo Dr o valor do desconto racional, C o capital (ou valor atual), i a taxa periódica de 
juros e n o prazo do desconto (número de períodos que o título é negociado antes de seu vencimento), 
tem-se a conhecida expressão de juros simples. 
 
Dr = C. i . n 
 
Como vimos em juros simples, o M = C(1 + i.n), isolando o capital nessa expressão, temos que capital é 
dado por. 
 
 
 
ou 
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23 
 
 
 
 
 
sendo N o valor nominal (ou valor de resgate, ou montante) e Vr o valor descontado racional (ou valor 
atual) na data da operação. 
Como 
 
 
 
 
Substituindo o valor descontado racional (Vr) na fórmula de valor descontado ( ) tem-se: 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
Logo a fórmula final de desconto racional é: 
 
 
 
 
Já o valor descontado, conforme definição apresentada, é obtido pela seguinte expressão de cálculo: 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
Sendo assim o valor descontado pode ser calculado através da fórmula: 
 
 
 
 
 
Exemplo 1. Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo 
liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se 
calcular o desconto racional (“por dentro”) e o valor descontado desta operação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou aplicando diretamente a fórmula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 Determinar a taxa mensal de desconto racional de um título negociado 60 dias antes de seu 
vencimento, sendo seu valor de resgate igual a R$ 26.000,00 e o valor atual na data do desconto de R$ 
24.436,10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1.2 Desconto Bancário (ou comercial, ou “por fora”) 
 
 Esse tipo de desconto, simplificadamente por incidir sobre o valor nominal (valor de resgate) do 
título, proporciona maior volume de encargos financeiros efetivos nas operações. Observe que, ao 
contrário dos juros “por dentro”, que calculam os encargos sobre o capital, os juros “por fora” são 
calculados a partir do montante. Tal modalidade de desconto “por fora” é amplamente adotada pelo 
mercado, notadamente em operaçõesde crédito bancário e comercial a curto prazo. 
 
 
onde d é a taxa de desconto contratada 
 
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25 
 
 O valor descontado “por fora” (VF), aplicando-se a definição, é obtido: 
 
 
 
 ( 
 
 
 
1. Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses 
antes do seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa de desconto adotada, pede-se calcular o desconto 
comercial (“por fora”) e o valor descontado desta operação. 
 
 
 
 
 
 
 
Note que, o maior valor dos juros cobrados pelo título deve-se ao fato, de o desconto “por fora” ser 
aplicado diretamente sobre o valor nominal (de resgate) e não sobre o valor atual, como é característico 
das operações de desconto racional. 
 
 ( 
 
 
 
2. Determinar a taxa mensal de desconto comercial (“por fora”) de um título negociado 60 dias antes de 
seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a R$ 26.000,00 e o valor atual na data do desconto de 
R$ 24.436,10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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26 
 
Exercícios de Aplicação 
 
1. Seja um título de valor nominal de R$ 6.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 4 meses 
antes de seu vencimento. Sendo de 40% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o 
desconto racional (“por dentro”) e o valor descontado desta operação. 
 
2. Determinara taxa mensal de desconto racional de um título negociado 90 dias antes de seu 
vencimento, sendo seu valor de resgate igual a R$ 28.000,00 e o valor atual na data do desconto de R$ 
22.360,00. 
 
3. Seja um título de valor nominal de R$ 6.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 4 meses 
antes de seu vencimento. Sendo de 40% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o 
desconto racional (“por fora”) e o valor descontado desta operação. 
 
4. Determinar a taxa mensal de desconto bancário de um título negociado 90 dias antes de seu 
vencimento, sendo seu valor de resgate igual a R$ 28.000,00 e o valor atual na data do desconto de R$ 
22.360,00 
 
5. Uma duplicata de valor nominal de R$ 60.000,00 é descontada num banco dois meses antes de seu 
vencimento. Sendo de 2,8% ao mês a taxa de desconto usada na operação, calcular o desconto 
comercial e o valor descontado. Sabe-se ainda que o banco cobra 1,5% sobre o valor nominal do título, 
descontado integralmente no momento da liberação dos recursos, como despesa administrativa. 
 
6. Considere um título cujo valor nominal seja R$ 10.000,00. Calcule o desconto simples comercial a ser 
concedido para um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 
5% ao mês, e o valor líquido resgatado. 
7. Um título de R$ 5.000,00 vai ser descontado comercialmente 60 dias antes do vencimento. Sabendo-se 
que a taxa de juros é de 3% ao mês, calcule o desconto simples e o valor líquido resgatado. 
 
8. Calcular o valor liberado de um título com valor nominal de R$ 120.000,00 e com vencimento para 
180 dias descontado comercialmente a uma taxa simples de desconto de 40% a.a. 
 
9. Uma nota promissória gerou uma quantia de R$ 4.300,00, tendo sido descontada comercialmente a 
uma taxa de 5,4% a.m., faltando 34 dias para o seu vencimento e sabendo que o desconto foi de R$ 
280,32. Calcule o valor nominal da promissória. 
 
10. Uma duplicata de R$ 72.000,00 com vencimento para 5 meses foi descontada comercialmente a 
uma taxa de desconto de 2% a.m. Considerando que foi paga uma taxa de serviço bancário de 2,5% 
sobre o valor nominal do título. Calcular o valor líquido liberado pelo Banco. 
 
GABARITO 
 
5. 
6. 
7. 
8. 
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9. 
10. 
 
Fórmulas de Descontos Simples: 
 
 
DESCONTO RACIONAL (“por dentro”) 
 
 ( por dentro 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESCONTO COMERCIAL (“por fora”) 
 
 ( por fora 
 
 ( 
 
 
 
 
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 ( 
 
 
 
 
 ( 
 
 ( 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
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4. JUROS COMPOSTOS 
 
 
No regime de juros compostos, os juros produzidos no final de cada período são agregados ao 
saldo do período anterior, o que faz com que os saldos de cada período formem uma progressão 
geométrica, ou seja, uma função exponencial em relação ao tempo de aplicação, diferente dos juros 
simples que é uma função linear. 
 
 
 
 
Cálculo do Montante 
Sabemos que o montante é igual a soma do principal aos juros que a aplicação rende, no prazo 
considerado e à taxa de juros estipuladas. Assim: 
 
 
 
 
 
Exemplos de juros compostos: 
 
Exemplo 1. Uma pessoa deposita R$ 10.000,00 numa aplicação financeira que rende 1,7% de juros 
compostos ao mês. Calcule o valor de resgate em um semestre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  nn iCMouiPvFv )1.( 1. 
 
ATENÇÂO: Na HP, vamos utilizar o teclado financeiro e neste caso a taxa é colocada 
em percentual. Apertar as teclas STO EEX no visor vai aparecer um c 
 
Primeira etapa dados: Pv= 10 000 i=1,7%=0,017 n=1 n=6 Fv=? 
 
Segunda etapa escolher a fórmula e calcular 
 
Na científica: 
 niPvFv  1.
 
 
 
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 Na HP: usar o teclado financeiro 
 
 10 000 CHS PV 1,7 i 6n FV 
 
Exemplo 2. Qual o valor depositado se o montante acumulado em 60 dias foi de R$ 40 096,20 à taxa 
composta de 4,1% ao mês. 
Dados: Pv=? Fv= 40 096,20 i=4,1%=0,041 n= 60d=2meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na Hp: 40 096, 20 CHS FV 4,1 i 2 n PV 
O valor aplicado foi de 37 000 
Exemplo 3. Um jovem depositou 50 000 em quantos anos aproximadamente o valor de resgate será 80 
000 numa aplicação composta que rende 2%a.m? 
 Dados: Pv = 50 000 Fv=80 000 i=2%=0,02 n=? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Na Hp: 50 000 CHS PV 80 000 FV 2 i n 
São 2 anos para poder resgatar o valor 
 
Exemplo 4. Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de R$ 20.000,00 que produz 
um montante de R$22 523,25 ao final de um semestre. 
Dados: i=? (a.m) Pv= 20 000 Fv= 22 523,25 n= 1sem = 6 meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hp= 22 523,25 CHS Fv 20 000 PV 6n i 
A taxa é 2% ao mês 
Exercícios de aplicação 
 
1) Determinada empresa tem duas possibilidades de tomar $ 100.000,00 de recursos emprestados: a 
primeira do Banco “A” que cobra a taxa de 3% a.m. durante o prazo de 90 dias; a segunda, do Banco “B” 
que cobra de juros no período o valor de $ 10.000,00. Assim, pergunta-se qual é a melhor alternativa para 
a empresa? Por quê? 
 
2) Em quantos meses um capital pode produzir juros compostos iguais a 50% do seu valor, se aplicado a 
3,755% a.m? 
 
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3) Quanto devo aplicar hoje, à taxa de juros compostos 51,107% a.a, para ter $ 1.000 000,00 no final de 
19 meses? Uma pessoa aplicou $ 15.000,00 a após um ano recebeu $ 18.782,87 de juros. Qual o montante 
e a taxa de juros composto mensal paga pela financeira onde o dinheiro foi aplicado? 
 
4) Determinar o saldo final resultante da aplicação de 10 meses no valor de $ 100.000,00 à taxa de juro 
composto 3,75% a.m. 
 
5) Uma pessoa aplica hoje $4.000,00 e aplicará $12.000,00 daqui a três meses em um fundo que rende 
juros compostos à taxa de 2,6% a.m. Qual seu montante daqui a seis meses? 
6) Qual o capital que, aplicado a juros compostos durante nove anos, à taxa de 10% a.a., produz um 
montante de $175.000,00?. 
 
7) Um capital de $3.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante dez meses, gerando um montante de 
$3.500,00. Qual a taxa mensal?8) Um capital foi aplicado a juros compostos durante dez meses, rendendo um juro igual ao capital 
aplicado. Qual a taxa mensal desta aplicação? 
 
9) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante nove meses, rendendo um montante igual ao 
triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicação? 
 
10) Um fogão é vendido à vista por $600,00, ou, então, a prazo, sendo 20% do preço à vista como 
entrada, mais uma parcela de $550,00 dois meses após a compra. Qual a taxa mensal de juros compostos 
do financiamento? 
 
11) Durante quanto tempo um capital de $ 5.000,00 deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 1,8% 
a.m., para gerar um montante de $5.767,00? 
 
12) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 2,2 % , para que 
duplique? 
 
13) Uma pessoa empresta R$ 80.000,00 hoje para receber R$ 122.000,00 no final de dois anos. Calcule a 
taxas de juros compostos mensal desse empréstimo. Determine a taxa mensal de juros compostos 
utilizada nessa operação assinalando a alternativa correta. 
 
a) i = 2,32% a.m. 
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b) i = 3,71% a.m. 
c) i = 6,45% a.m. 
d) i = 17% a.m. 
e) i = 1,77% a.m. 
 
 
14) Sabendo que no dia 05/01 efetuou-se um depósito de R$ 800,00 em uma aplicação e, um mês depois, 
no dia 05/02, fez-se uma retirada de R$ 300,00. Verifique qual é o saldo da aplicação em 05/03? 
Considere que a taxa de juros tenha sido constante e igual a 1,8% ao mês. 
 
I. Em 05/02 o saldo da aplicação foi de R$ 814,40. 
II. Em 05/02 o saldo da aplicação foi de R$ 914,30. 
III. Com a retirada de R$ 300,00 em 05/02, o saldo da aplicação nesta data ficou em R$ 514,40. 
IV. Com a retirada de R$ 300,00 em 05/02, o saldo da aplicação nesta data ficou em R$ 614,30. 
V. Em 05/03 o saldo da aplicação foi de R$ 514,40. 
VI. Em 05/03 o saldo da aplicação foi de R$ 523,65. 
 
Observe as informações dadas no problema, compare os resultados e assinale a alternativa correta. 
 
a) As alternativas I, III e VI estão corretas. 
b) As alternativas II e IV estão corretas. 
c) As alternativas II e V estão corretas. 
d) As alternativas II e III estão corretas. 
e) As alternativas I, IV e V estão corretas. 
 
15) Marcos Paulo realizou uma aplicação de R$ 2.000,00 por 40 dias a uma taxa de juros compostos de 
8% a.m. para o período considerado, sabendo disso, determine a taxa equivalente utilizada pela instituição 
financeira e o valor dos juros produzidos nessa operação. 
 
I. O valor dos juros produzidos nessa operação foi de R$ 205,00. 
II. O valor dos juros produzidos nessa operação foi de R$ 200,30. 
III. O valor dos juros produzidos nessa operação foi de R$ 216,12. 
IV. A taxa equivalente utilizada pela instituição financeira foi 0,002568. 
V. A taxa equivalente utilizada pela instituição financeira foi 0,08. 
VI. A taxa equivalente utilizada pela instituição financeira foi 0,02568 
 
Analise as afirmações acima e relacione as duas que apresentam a resposta correta assinalando a 
alternativa adequada. 
 
a) As alternativas II e IV estão corretas. 
b) As alternativas I e V estão corretas. 
c) As alternativas III e VI estão corretas. 
d) As alternativas III e IV estão corretas. 
e) As alternativas III e V estão corretas. 
 
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16) Um investidor aplicou R$ 500.000,00 a juros compostos de 2% ao mês. Qual será o valor do 
montante obtido após 5 meses de aplicação? Qual será o valor dos juros obtidos? 
 
17) Calcule o valor dos juros compostos que serão obtidos na aplicação de R$ 25.000,00 a 25% ao ano, 
durante 72 meses. 
 
18) Determine o montante produzido por um capital de R$ 350,00 aplicado durante 3 meses e 17 dias se a 
taxa de juros compostos utilizada for: 
 
a) 12% ao mês 
b) 49% ao ano 
c) 1,5% ao dia 
d) 17,5% ao semestre 
 
Em cada uma das alternativas, começamos verificando se a taxa e o período estão no mesmo módulo. 
Sendo as taxas em diversos períodos, vamos adotar o prazo “em dias” e fazer a conversão da taxa, onde 
necessário. 
 
a) 12% ao mês 
b) 49% ao ano 
c) 1,5% ao dia 
d) 17,5% ao semestre 
 
19) Qual o saldo de uma aplicação de R$ 94,00 por um prazo de 35 dias, se a taxa mensal utilizada é 6%? 
 
20) Fez-se uma aplicação de R$ 200,00 por 40 dias a uma taxa de juros compostos de 10% a.m. para o 
período considerado. Determine o valor dos juros produzidos. 
 
21) Determine o saldo de uma aplicação de R$ 600,00 por 27 dias, se a taxa de juros compostos foi de 
8% a.m. 
22) Se você dispõe de R$ 3.000,00 para aplicar por um prazo de 6 meses, considerando juros compostos, 
calcule quanto terá no final deste período se investir em: 
 
a) uma caderneta de poupança que rende 0,5% ao mês. 
b) um título que rende 70% ao semestre. 
c) um fundo de ações que rende 15% ao mês. 
d) um terreno que se valoriza em 35% ao trimestre. 
 
 
23) Uma aplicação de R$ 1.000,00, após um mês, gerou um montante de R$ 1.300,00. Calcule a taxa diária de 
juros compostos utilizada nesta aplicação. 
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35 
 
24) No dia 10/01 efetuou-se um depósito de R$ 600,00 em uma aplicação. Um mês depois, no dia 10/02, fez-se 
uma retirada de R$ 200,00. Qual o saldo da aplicação em 10/03? Considere que a taxa de juros paga pela 
aplicação, neste período, tenha sido constante e igual a 2,4% ao mês? 
GABARITO 
1. O Banco “A”, porque os juros são menores, no valor de $ 9.272,70 no período 
2. 11meses 3.520 162,11 
3. 7%a.m e 33 782,87 
4. 144.504,39 
5. $ 17.626, 54. 
6. $74.217,08 
7. 1,55% a.m. 
8. 7,18% a.m. 
9. 44,22% a.t. 
11. 7,04% a.m. 
12. 8 meses. 
13. 31 meses e 25 dias 
14. A 
15. D 
16. 
17. 
18. a) b) c) d) 
19. 
20. 
21. 
22. a) b) c) d) 
23. 
 
 
 
4.1 Convenção Linear e Convenção Exponencial para períodos não inteiros 
 
 
 Em algumas operações financeiras, o prazo não é um número inteiro em relação ao prazo definido 
para a taxa. Por exemplo: taxa de juros de 18% ao ano e prazo da operação de 1 ano e 7 meses. Sendo 
anual o período de capitalização dos juros, o prazo inteiro é 1 ano e o fracionário 7 meses. 
 Quando isso ocorre, é possível adotar duas maneiras de cálculo cujos resultados serão diferentes 
entre si. Sendo assim, na definição de contratos ou acordos financeiros sobre empréstimos, quando 
ocorrem períodos não inteiros é importante estabelecer-se a priori o sistema adotado. As formas diferentes 
de cálculos para períodos não inteiros são denominadas convenções linear e exponencial e, em ambas, são 
aplicadas as fórmulas de cálculo de juros compostos nos períodos inteiros de tempo. Na parte fracionária, 
a convenção linear considera regime de capitalização simples, enquanto a convenção exponencial utiliza 
capitalização composta. 
 
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k
m
 ),.1.()1.( : prazodoafracionáriparteonde
k
m
iniPVFVLinearConvenção 
 
 
 
k
m
n
iPVFVlExponenciaConvenção

 )1.(: 
 
 
 
Atenção pessoal da HP: usamos o teclado financeiro, assim como na lista anterior deve aparecer no 
visor o C para a convenção exponencial e sem o C para convenção linear. 
 
 
Atenção: Como colocar ou tirar o C teclado STO EEX 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Uma empresafez uma aplicação financeira de R$ 12500,00 por 75 dias a uma taxa de juros compostos de 
4% ao mês. Calcule o valor de resgate e os juros recebidos após a aplicação, pelas duas convenções. 
 
Primeira etapa trabalhar com a unidade em 75 dias temos: 
 
75/30= 2,5 meses isto é período inteiro n= 2 fracionário m/k= 0,5 
 
 
Na HP: 
 
Exponencial 12 500 CHS PV 2,5 n 4 i FV 
 
Linear (tirar o c do visor STO EEX) 12 500 CHS PV 2,5 n 4 i FV 
 
 
Na científica: 
 
 
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37 
 
 ).1.()1.(
 : 
k
m
iniPVFV
LinearConvenção

 
13790,40 )5,0.04,01.(2)04,01.(12500
 
FV
 
 
 
 
k
m
n
iPVFV
lExponenciaConvenção

 )1.(
: 
 
75,13787
5,2
)04,1.(12500 FV
 
 
 
 
 
Para calcular os juros pelas convenções: J= FV- PV 
 
Linear: 1290,40 e exponencial: 1287,75 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de aplicação sobre convenções exponencial e linear : 
 
1) Calcule os juros de uma aplicação de R$ 27.000,00 à taxa composta de 5,7% a.s, após 21 meses. Pela 
convenção linear e exponencial. R: L= R$ 5 793,90 E= R$ 5 781,30 
 
2) Pela convenção linear e exponencial, calcular os juros de uma aplicação de R$ 3.400,00 durante 3 anos 
e 6 meses, a uma taxa de juros compostos de 15% a.a. R: L= R$ 2 158,80 E= R$ 2 145,25 
 
3) Determinar o montante produzido por um capital de R$ 5.000,00 aplicado a uma taxa de juros 
compostos de 2% a.m, durante 375 dias, através das convenções exponenciais e lineares. R: L= R$ 6 
404,62 E= R$ 6 404,31 
 
 
 
Exercícios de Juros compostos e convenção exponencial e linear 
 
 
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1) Se uma pessoa deseja obter R$500.000,00 dentro de um ano, quanto deverá depositar hoje numa 
alternativa de poupança que rende 7% de juros compostos ao mês? 
 
2) Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$1.200.000,00 pelo prazo de 8 meses à taxa de juros 
composto de 3,5% a.m? 
 
3) Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de R$400.000,00 que produz um 
montante de R$486.202,50 ao final de um quadrimestre. 
 
4) Uma aplicação de R$200.000,00 produz, à taxa composta de juros de 8% a.m, um montante de 
R$370.186,00 em certa data futura. Calcular o prazo da operação. 
 
5) Calcular o montante de uma aplicação de R$ 3.500,00, pelas seguintes taxas efetivas e prazos: 
a) 8% at e 18 meses 
b) 12% aa e 18 meses 
 
6) Em que prazo aproximadamente um capital de R$ 18.000,00 acumula um montante de R$ 83.743,00 à 
taxa de: 
a)15% am 
b) 13% at 
7) Qual o juros recebidos em uma aplicação de 1 ano numa taxa composta de 1,5%a.m sabendo que o 
montante é de 119 561,82? 
8) Calcule os juros nas duas conversões (linear e exponencial) a partir dos dados da tabela caso o prazo 
der um número infinito usar 4 casas decimais 
 
 
Capital R$ 
 
Taxa 
 
Tempo 
Respostas 
Linear Exponencial 
a) 20. 000,00 2% a.m 40 dias 535,99 535,09 
b) 12.000,00 9%a.m 1,1 quadrimestre 5548,78 5 533,06 
c) 5.400,00 2%a.m 1 semestre 681,28 681,28 
 
GABARITO 
1. $222.005,98 
2. R$1.580.170,84 
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3. 5% a.m. 
4. 8 meses 
5. a) R$ 5 554,06 b) R$ 4 148, 54 
6. a) 10 meses e 29 dias b) 12 trimestres, um mês e 22 dias 
7. $ 19 561,82 
8. Linear Exponencial 
a) $ 535,99 $ 535,09 
b $ 5548,78 $ 5 533,06 
c) $ 681,28 $ 681,28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. DESCONTO COMPOSTO 
 
 
 
O desconto composto, utilizado basicamente em operações de longo prazo, pode ser identificado, 
igualmente ao desconto simples, em dois tipos: o desconto “por dentro” (racional) e o desconto “por 
fora”. 
O desconto composto “por fora” (ou comercial) é raramente empregado no Brasil, não 
apresentando uso prático. O desconto “por dentro” (racional) envolve valor atual e valor nominal de um 
título capitalizado segundo o regime de juros compostos, apresentando, portanto, larga utilização prática. 
 
 
5.1 Desconto “por fora” 
 
 
 O desconto composto “por fora” caracteriza-se pela incidência sucessiva da taxa de desconto sobre 
o valor nominal do título, o qual é deduzido, em cada período, dos descontos obtidos em períodos 
anteriores. 
 Nessa conceituação, o valor descontado do desconto composto “por fora” apresenta, após 
sucessivos períodos, uma fórmula análoga a de juros compostos apresenta, porém envolvendo um fator de 
decréscimo. 
 
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 ( 
 
 
 Com o objetivo de determinar uma fórmula para o valor de desconto, substitui-se a fórmula acima 
em: 
 
 
 ( 
 
Colocando o N em evidência tem-se 
 ( 
 
 
 
 
Exemplo 1 Um título de valor nominal de R$ 35.000,00 é negociado mediante uma operação de 
desconto composto “por fora” 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto adotada atinge 5% 
a.m. Pede-se para determinar o valor descontado e o desconto desta operação. 
 
 
 
 
 
Valor de Desconto 
 ( 
 
 ( 
 
 ( 
 
 
 
 
 
Valor Descontado 
 
 ( 
 
 ( 
 
 
 
 
5.2 Desconto “por dentro” 
 
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41 
 
 
Conforme comentado, o desconto composto “por dentro” (ou racional) é aquele estabelecido segundo 
as conhecidas relações do regime de juros compostos. 
 
 ( 
 ( 
 
 
 Com o objetivo de determinar uma fórmula para o valor de desconto, substitui-se a fórmula acima 
em: 
 
 
 
 
( 
 
Colocando o N em evidência tem-se 
 ( 
 
 
 
Exemplo 1. Sabe-se que um título, para ser pago daqui a 12 meses, foi descontado 5 meses antes de seu 
vencimento. O valor nominal do título é de R$ 42.000,00 e a taxa de desconto, de 3,5% a.m. Calcular o 
valor líquido liberado nesta operação sabendo-se que foi utilizado o desconto composto “por dentro”. 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 ( 
 
 
( 
 
 
 
1) Calcular o valor do desconto racional de um título de valor nominal de R$ 12.000,00 descontado 4 
meses antes de seu vencimento à taxa de 2,5% ao mês. 
 
 ( 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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42 
 
 
 
 
 
Exercícios de aplicação 
 
1. Uma empresa deve R$ 80.000,00 a um banco cujo vencimento se dará daqui a 10 meses. No entanto, 
4 meses antes do vencimento da dívida resolve quitar antecipadamente o empréstimo e solicita ao 
banco um desconto. O banco informa que opera de acordo com o conceito de desconto composto 
“por fora”, sendo sua taxa de desconto para esse tipo de operação de 3,5% ao mês. Pede-se para 
calcular o valor líquido que a empresa deve pagar ao banco quando da liquidação antecipada do 
empréstimo.2. Um título foi descontado à taxa de 3% a.m. 5 meses antes de seu vencimento. Sabe-se que esta 
operação produziu um desconto de R$ 39.000,00. Admitindo o conceito de desconto composto “por 
fora”, calcular o valor nominal do título. 
 
3. Uma empresa concede um desconto “por fora” de 4% ao mês para os clientes que antecipam o 
pagamento de suas duplicatas. Certo cliente deseja antecipar o pagamento de um título de valor 
nominal $ 20.000,00, com vencimento previsto para 45 dias. Determine o valor do desconto a ser 
concedido e o valor líquido a ser recebido pela empresa na operação. 
 
4. Uma nota promissória com vencimento no prazo de três meses é descontada a juros simples com uma 
taxa de desconto “por fora” de 24% ao ano, gerando um desconto comercial de $ 8.430,00. Caso fosse 
utilizada a mesma taxa, porém, com desconto racional, qual seria o valor do desconto correspondente? 
 
5. Uma pessoa deve para um banco a quantia de $ 100.000,00. Não tendo os recursos para saldar o 
compromisso, pretende assinar duas notas promissórias de valores iguais, vencíveis em 45 e 90 dias, 
respectivamente. Sabendo que o banco trabalha com uma taxa de desconto “por fora” de 5% ao mês, 
qual o valor das notas promissórias? 
 
6. Calcule a taxa de desconto mensal, sabendo que a taxa de juros é 2,5% ao mês. A seguir, calcule a 
taxa de desconto mensal para uma operação de empréstimo de três meses com a mesma taxa de juros. 
 
7. Uma duplicata para vencimento em 35 dias foi aceita pelo banco a uma taxa de desconto de 5,0% ao 
mês. Quanto foi depositado na conta do cliente, sabendo que o valor da duplicata é de R$ 12.500,00? 
Qual a taxa de juros mensal cobrada pelo banco? 
 
8. Uma duplicata de valor nominal $10.000, com vencimento daqui a 45 dias, foi descontada em um 
banco à taxa de desconto comercial de 2%a.m. O banco cobra adicionalmente, na data da liberação do 
recurso, despesas de cobrança de 1% do valor nominal. Pede-se: 
 
a) Qual o valor líquido recebido pelo cliente? 
b) Qual o custo efetivo da operação (em %a.m.)? 
 
GABARITO 
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1. 
2. 
3. $ 1.200,00; $ 18.800,00 
4. $ 7.952,83 
5. $ 56.338,03 
6. 2,44% a.m.; 2,38% a.m. 
7. R$ 11.770,83; 5,29% a.m. 
8. Va= $9.600,00; i= 2,76%a.m 
 
 
Fórmulas de Desconto Composto: 
 
 
DESCONTO COMERCIAL “por fora” 
 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 ( 
 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
DESCONTO RACIONAL (“por dentro”) 
 
 ( por dentro 
 
 ( 
 
 
 
 
 
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 ( 
 
 
 
( 
 
 
 ( 
 
( 
) 
 
 
 
 
 
 
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6. TAXAS COMPOSTAS 
 
6.1 Taxas acumuladas 
 
períodocadadetaxasassãoiiiiondeiiiii nnac ,...,, 1)]1)...(1)(1)(1[( 321321 
 
 
Na Hp: (1+i) enter (1+i) x enter (1+i) x .... 1- 100 x 
 
 
1. Um operário teve seu salário reajustado quadrimestralmente pelos seguintes índices: 4%, 6%, 10% e 
12%. Qual o percentual de aumento acumulado no salário deste operário? R: 35,81%a.q 
 
Trabalhando com os índices percentuais 4%= 1,04 6%= 1,06 10%=1,1 12%=1,12 
 
Logo: 
 
 
qaxiac .%81,351003581,01] 1,12 . 1,1 . 1,06 . 04,1[ 
 
 
 HP= 1,04 enter 10,6 X 1,1 X 1,12 X 1- 100X 
 
 
 
 
 
2. Se este funcionário tinha um salário bruto de R$ 1000, quanto ele passou a receber após os aumentos 
concedidos? R: R$ 1 358,10 
 
Como já se sabe que o aumento foi de 35,81% podemos: 
 
Fv= 1000 . 1,3581= 1358,10 ou se preferir pode: 
 
HP: 1000 CHS PV 35,81 i 1 n FV ou 1000 enter 1,3581 X 
 
Fv= 1000 . 1,04 . 1,06 . 1,1 . 1,12= 1358,15 (atenção: o valor deu próximo pois no item anterior usamos 
4 casas decimais) 
 
HP: 1000 enter 1,04 X 1.06 X 1,1 X 1,12 X 
 
 
 
 
 
 
6.2 Taxa média 
 
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46 
 
períodos de número n acumulada; taxa ;média táxai onde 11 med  ac
n
acmed iii
 
 
Na HP: 
xii acmed 1001 y1/x n enter )1(
x 
 
 
3. Qual é a taxa média de reajuste do salário de um operário que recebeu de aumento os índices relatados 
no exemplo um? R: 7,95%a.m 
 
Taxa acumulada foi de 35,81% a.q em 1 quadrimestre temos 4 meses logo: 
 
a.m 7,95% 100 x 0,0795 13581,14 medi
 
 
HP: 1,3581 enter 4 1/x 
xy
 1 - 100 x 
 
 
 
6.3 Taxa de juros Aparente e Real 
 
 
( 
( 
 = 
 
 
onde 
 
 
Na HP: 
ri
( ) ( ) 
 
 
4. A taxa aparente de juros para uma aplicação em um banco é de 2,1% a.m. Se um cliente fez uma 
aplicação nesse banco durante um mês e se a inflação foi de 1,3% a.m, qual a taxa real de remuneração 
recebida pelo cliente? R= 0,78%a.m 
 
2,1%= 0,021 1,3%= 0,013 
 
 
( 
( 
 
( 
( 
 
 
HP: 1,021 enter 1,013 : 1- 100 x 
 
 
 
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47 
 
5. Suponha que uma pessoa tenha adquirido um imóvel por $ 60.000,00 em certa data, e vendido, dois 
anos depois, por $ 80.000,00. Sendo a inflação do biênio 10%. 
a) Determine as taxas nominais e real da operação 
Taxa nominal: 
biênio % 33,331
000.60
000.80
1
compra devalor 
 vendade 
ao
valor

 
 
Taxa real: 
 
( 
( 
 = 
( 
( 
 21,20909% ao biênio 
 
 
b) Qual a rentabilidade nominal e real desta transação 
Nominal: (ganho aparente) 80.000 – 60.000= 20.000 
Real: 1º. corrigir o valor inicial pela inflação 60.000,00 . ( 1+0,10) = 66 000 
2º. Valor final – valor corrigido 80.000 – 66.000 = 14 000 
 
 
 
 
Exercícios de aplicação 
 
1) Determinado trimestre apresenta as seguintes taxas mensais de variação nos preços gerais da economia: 
2%, -0,9% e -1%(deflação índice negativo). Determinar a taxa de inflação acumulada no trimestre. 
2) No primeiro mês do ano a taxa de inflação foi de 1,27%. No segundo mês, foi de 1,56%, e no terceiro de 
1,89%. Determine qual a inflação acumulada no trimestre e a taxa média? 
 
3) Determinar a variação real (em %) do poder aquisitivo de um assalariado que obtém, em determinado 
semestre, um reajuste salarial de 12%, admitindo que a inflação do período tenha atingido a: (variação 
real = taxa real) 
a)8% b)12% c)20% d)10% e) 15% 
 
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48 
 
4) Um investidor aplicou R$ 75 000,00 num fundo que rendeu no primeiro mês 1,9% e no segundo 2,4%. 
Qual o montante acumulado e a taxa média? 
 
5) Suponha que uma pessoa adquira, no início de determinadoano, um imóvel por $60.000,00, vendendo ao 
final de dois anos por $85.320,00. Sendo de 31,1% a inflação deste biênio. 
a) Calcular as taxas nominais e de correção monetária (taxa real) da operação. 
b) Demonstrar os rendimentos nominais e reais da operação 
 
6) Um investidor aplicou R$8000 num fundo de investimentos por 3 meses. No primeiro mês o fundo 
rendeu 1,2%, no segundo mês 1,% e no terceiro 1,5%. Qual o montante ao final dos três meses e a taxa 
acumulada? 
 
7) Qual o custo real (taxa real) em % de um empréstimo contratado a uma taxa de 20% considerando uma 
inflação para o período de 15%. 
 
8) Suponha que uma pessoa adquira, no inicio de determinado ano, um imóvel por 80.000,00, vendendo-o 
após um ano vendeu por $100.000,00. Sendo de 20% a.a a inflação. 
c) Calcular as taxas anuais nominal e de correção monetária (taxa real). 
d) Demonstrar os rendimentos nominais e reais da operação 
 
9) O gráfico abaixo traz os índices de inflação registrados no período abaixo. Analise os valores e 
responda as questões abaixo: 
 
 
Qual a taxa acumulada do primeiro trimestre do ano de 2013? E a taxa média ?Resposta em % 
 
5,84% 
6,15% 
6,31% 
6,59% 6,49% 
5,00%
5,50%
6,00%
6,50%
7,00%
dez/12 ja/13 fev/13 mar/13 abr/13
Inflação dez-21012 à Abril-2013 Inflação de dez-2012 a abril-2013 
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49 
 
GABARITO 
1. 0,07%a.t 
2. 4,79%a.t 1,57%a.m 
3. a) 3,7% b) 0 c) -6,67% d) 1,82% e) -2,61% 
4. 78. 259,20 e taxa 2,15% a.m 
5. nominal= 42,20% real 8,47% nominal 25 320 real 6 660 
6. 8 299,61 e taxa 3,75%a.t 
7. 4,35% 
8. nominal =25% a.a real 4,16%a.a nominal:20 000 real: 4 000 
9. 20,28% a.t 6,348%a.m 
 
 
 
 
 
 
6.4 Taxas equivalentes 
 
Para pensar: 
Um empresário tem a quantia de R$ 100.000,00 para ser aplicada durante um ano, veja as duas opções de 
investimento e responda as questões abaixo: 
Banco A o dinheiro é remunerado a uma taxa composta mensal de 1%. 
Banco B o dinheiro é remunerado a uma taxa composta anual 12% 
 
Sem muitos cálculos, você escolheria: 
( ) Tanto faz, pois 1%a.m é equivalente à 12%a.a 
( ) O banco A, pois rende mais ( ) O banco B, pois rende mais 
 
Existe um erro comum entre muitas pessoas. A maioria pensa que 1%a.m é equivalente a 12%a.a 
pois vimos em juros simples isso é verdade. Como podemos perceber pelos cálculos abaixo. 
 
Juros simples: J = C . i . n 
 
Banco A J= 100 000 . 0,01 . 12= 12 000 logo: M=112 000 
 
Banco B J= 100 000 . 0,12 . 1= 12 000 logo: M=112 000 
 
 
Logo em juros simples 1%a.m = 12%a.a são iguais, pois produzem o mesmo montante ou a mesma 
quantidade de juros. 
 
 
 
Agora vejamos o que ocorre se considerarmos que 1% a.m é igual a 12% ao ano em juros 
compostos 
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50 
 
 
Juros Compostos: 
 niPvFv  1.
 ou 
 niCM  1.
 
Banco A 
  682,50 11201,01. 000 100 12 Fv
 Juros de 12 682,50 
Banco B 
  000,00 11212,01. 000 100 1 Fv
 Juros de 12 000 
 
 
Como podemos perceber 1% a.m é melhor que 12% a.a, pois a rentabilidade ou o montante 
produzido é maior, logo em juros compostos 1%a.m ≠ 12%a.a 
 
Logo a resposta correta é 1% a.m 
 
Como podemos vivenciar na prática, as taxas equivalentes em juros simples não podem ser 
trabalhadas da mesma forma do que em juros compostos. 
Fique esperto!!!! 
 
 
“Taxas equivalentes em juros compostos”. 
 
 
A taxa de juros vem sempre acompanhada de um tempo que a referencia: 2% ao mês, 4% ao trimestre. 
Isso significa que a taxa tem sempre um tempo a ela associado. Em algumas operações e cálculos, o 
tempo associado à taxa pode ser diferente da unidade de tempo do período pretendido. 
Por exemplo, 2% ao mês aplicado em 37 dias. Isso significa que os “tempos” têm unidades diferentes 
de medida. Para resolver e efetuar o cálculo de operações é obrigatório que estes dois elementos estejam 
na mesma base (mês com mês; dia com dia; ano com ano). 
Exemplo: Sophia realizou uma aplicação de R$ 2.000,00 por 40 dias a uma taxa de juros compostos 
de 8% a.m. para o período considerado, sabendo disso, determine a taxa equivalente utilizada pela 
instituição financeira e o valor dos juros produzidos nessa operação. 
Deve-se fazer a equivalência da taxa “i” que está ao mês para o período do tempo que é dia. Para isso, 
utiliza-se a seguinte fórmula: ( 
 
 onde “q” significa o que eu quero, e “t” significa o que 
eu tenho. 
 ( 
 
 
 
 ( 
 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 Substituindo é a taxa que eu tenho, no caso 8% 
 
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51 
 
 é o tempo que eu quero, no caso dias 
 
 é o tempo que eu tenho, no caso mês (30 dias) 
 
A resposta é que a taxa diária é de 0,2568% ao dia. Lembre-se de multiplicar por 100 para obter a taxa 
em percentual. 
 
Exercícios 
 
1) Obter a taxa anual equivalente a 2% ao mês. 
2) Obter a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano. 
3) Qual é a taxa anual de juros simples que transforma R$ 4.500,00 em um montante de R$ 8.100,00 em 
um ano? 
4) Ao aplicar R$ 65.000,00 durante 7 meses, resgatou-se R$ 72.220,00. Qual é a taxa anual de juros 
simples ganha na operação? 
5) Considerando uma taxa de juros simples de 5% ao mês, em que prazo R$ 1.500,00 rende juros de R$ 
900,00? 
6) Uma pessoa empresta R$ 80.000,00 hoje para receber R$ 152.600,00 no final de três anos. Calcule as 
taxas de juros compostos mensal e anual desse empréstimo. 
7) Em que prazo uma aplicação de R$ 75.938,00, à taxa de juros compostos de 5% ao mês, gera um valor 
de resgate de R$ 180.000,00? 
8) Um investidor deseja obter R$ 23.000,00 aplicando R$ 12.900,00 hoje. Considerando uma taxa de 
juros compostos de 2,3% a.m., indique o prazo em que o investidor obteria o valor almejado. 
9) Calcular a taxa equivalente a 20% a.a., conforme solicitado abaixo: 
a) taxa semestral 
b) taxa quadrimestral 
c) taxa trimestral 
d) taxa mensal 
e) taxa diário 
10) Calcular a taxa equivalente anual dada as seguintes taxas por período: 
a) 1% a.m 
b) 2% a.t 
c) 5% a.q 
d) 10% a.s 
e) 0,02% a.d 
11) Um empreendedor tem duas possibilidades de aplicação: escolha a melhor para que seu dinheiro 
renda mais: DICA: transforme as taxas para uma mesma unidade e depois compare os resultados. 
a) 0,1% ao dia ou 40% ao ano 
b) 0,01% ao dia ou 0,25% ao mês. 
c) 1% a.m ou 6% a.s. 
d)5% a.m ou 15% a.t 
e) 2% a.s ou 0,02% a.d 
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52 
 
12) Qual a taxa proporcional há 2% a.m, para um prazo de: 
a) 120 dias b) 2 semestres 
13) Sendo: 
a) 0,05% a.d, determine a taxa equivalente para 2 meses 
b) 0,1% a.m, determine a taxa equivalente para 1 semestre 
c) uma taxa de 25% para 2 anos, determine a taxa diária 
d) uma taxa de 14,80% para 5 meses, determinesua equivalência mensal. 
e) uma taxa de 12% para 2 meses, determine sua equivalência mensal 
 
14) Um capital no valor de $ 300.000,00, no sistema de juros compostos, rende um montante igual a 
$450.000,00 no prazo de 3 anos. 
a) Qual a taxa quadrimestral de juros da operação financeira? 
b) a taxa bimestral equivalente ao item a. 
c) a taxa mensal equivalente ao item a. 
d) a taxa semestral equivalente ao item a. 
e) a taxa anual equivalente ao item a. 
15) Hoje o juro obtido numa operação financeira é igual ao dobro do capital aplicado à quatro semestres 
atrás. 
a) Qual a taxa de juros compostos da operação financeira? 
b) a taxa bimestral equivalente ao item a. 
c) a taxa mensal equivalente ao item a. 
d) a taxa anual equivalente ao item a. 
 
16) Determine o prazo (em meses) para uma aplicação de $5.000,00 a uma taxa juros compostos de 14% 
a.a. e que gera um saldo no valor de $ 6.220,30. 
GABARITO 
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. a) 9,54% a.s b) 6,26% a.q c) 4,66% a.t d) 1,53% a.m e) 0,05% a.d 
10. a) 12,682503% a.a b) 8,243216% a.a c) 15,7625% a.a d) 21% a.a e) 7,4647608% a.a 
11. a) 0,1% a.d b. 0,01% a.d c. 1% a.m d. 5% a.m e. 0,02% a.d 
12. a) 8,2432160% b) 26,8241795% 
13. a) 3,0446808% para dois meses b) 0,601502% para 1 semestre c) 0,030997% a.d. d) 
2,7988787% e) 5,8300524% a.m 
14. a) 4,61%a.q. b) 2,28%a.b. c) 1,13%a.m. d) 6,99%a.s. e) 14,47% a.a 
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53 
 
15. a) 31,61%a.s. b) 9,59%a.b. c) 4,68%a.m. d) 73,21% a.a. 
16. 20 meses 
 
 
6.5 Taxa nominal e efetiva 
 
Taxa nominal: Quando o período da taxa não coincidir com a da capitalização. 
Ex: 30% a.a com capitalizações mensais. 
 
Taxa efetiva: Quando o período financeiro da taxa for igual ao período de capitalização. 
Ex: 3% a.m com capitalizações mensais. 
 
Taxa efetiva
  11  nf ii
 onde i = 
n
in
 (taxa nominal : período de capitalização) 
 
 
 
 
 
Por exemplo: 
 
1. Seja a taxa nominal de juros 36% a.a capitalizados mensalmente, qual a taxa anual efetiva de juros? 
Dados: Calcular i =? 36%/12 = 3% a.m if = ? n = 12 
 
Na científica: 
  11  nf ii
= 
  aa.%57,424257,0103,01 12 
 
 
Na HP: 1,03 enter 12 
xy
 1 – 100x 
 
 
2. Um empréstimo no valor de $ 11.000,00 é efetuado pelo prazo de um ano à taxa nominal de juros de 
32% a.a, capitalizados trimestralmente. Pede-se determinar o montante e o custo efetivo (taxa efetiva) do 
empréstimo. 
 
Dados: Calcular i=? 32%/4 = 8%a.t (dividido por 4 pois em 1 ano temos 4 trimestres) if=? n=4 
 
Na científica: 
  11  nf ii
=
  aai .%05,3636048896,0108,01 4 
 
 
Na HP: 1,08 enter 4 
xy
 1 – 100x 
 
 
Agora calcular o montante efetivo 
 
Na científica: Fv= 11000 . 1,3605
50,965.141
 ou 
Na HP: (1+i) enter n 
xy
 1 – 100x 
 
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54 
 
Fv= Pv .( 11000 . 1,08
38,965.144
 
 
 
Exercícios de aplicação: 
1) Sendo a capitalização semestral e taxa nominal de um investimento com é de 48% a.a. Determinar: 
a) A taxa efetiva semestral b) A taxa efetiva anual. 
2) Sendo 24% a.a a taxa nominal de juros cobrada por uma instituição, reponda: 
a) Qual o custo efetivo anual, admitindo que o período de capitalização dos juros seja mensal. 
b) Qual o custo efetivo anual, admitindo que o período de capitalização dos juros seja trimestral. 
c) Qual o custo efetivo anual, admitindo que o período de capitalização dos juros seja semestral. 
 
3) A caderneta de poupança paga juros de 6% a.a com capitalizações mensais, qual a rentabilidade efetiva 
anual desta aplicação financeira. 
4) Qual o capital que, aplicado a juros compostos durante nove anos, à taxa nominal de 10% a.a. com 
capitalização mensal, produz um montante de $175.000,00? 
5) Durante quanto tempo um capital de $ 5.000,00 deve ser aplicado a juros compostos, à taxa nominal de 
18% a.a. com capitalização mensal, para gerar um montante de $5.767,00? 
6) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros compostos, à taxa nominal de 26% a.a. com 
capitalização mensal, para que duplique? 
7) $4.000,00 e aplicará $12.000,00 daqui a três meses em um fundo que rende juros compostos à taxa de 
2,6% a.m. Qual seu montante daqui a seis meses? 
 
8) Calcular o montante para um capital de $ 2.000 aplicado, conforme hipóteses a seguir: 
 
 Prazo Taxa nominal Capitalização 
a) 3 meses 48% a.s Mensal 
b) 2 anos 18% a.a Mensal 
c) 17 dias 30% a.m Diária 
d) 1 ano 24%a.a Semestral 
e) 1 semestre 12%a.m Mensal 
 
9) Sendo 12% a.a a taxa nominal de juros cobrada por uma instituição, calcular: 
a) o custo efetivo anual, admitindo que o período de capitalização dos juros seja mensal.. 
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55 
 
b) o custo efetivo anual, admitindo que o período de capitalização dos juros seja trimestral. 
c) o custo efetivo anual, admitindo que o período de capitalização dos juros seja semestral. 
 
10) Qual a taxa efetiva: 
a) mensal de uma taxa nominal de 36% capitalizados mensalmente? 
b) trimestral de uma taxa nominal de 36% capitalizados mensalmente? 
c) anual de uma taxa nominal de 36% capitalizados mensalmente? 
 
GABARITO 
1. 24% a.s e 53,76% a.a 
2. a) 26,8241795% a.a b) 26,247696% a.a c) 25,44% a.a 
3. 6,1677812% a.a aprox 6,17%a.a 
4. $ 71.415,52 
5. 9 meses e 17 dias 
6. 32 meses e 10 dias 
7. $ 17.626, 54 
8. a) $2.519,42 b) $2.859 c) $2.368,61 d) $2.508,80 e) $2.123,04 
9. a) 12,682503% a.a b) 12,550881% a.a c) 12,36% a.a 
10. 3% a.m b) 9,2727% a.t c) 42%,57 60887% a. a 
 
 
 
 
7. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS 
 
O conceito de equivalência permite transformar formas de pagamentos (ou recebimentos) em outras, 
equivalentes e consequentemente efetuar comparações entre as alternativas de investimentos ou 
empréstimos. 
 Data Focal  é a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a datas 
diferentes. 
 
Seja um conjunto de valores nominais e suas respectivas datas de vencimento: 
A representação destes capitais no tempo é a seguinte: 
 Fv 3 ... Fv n 
 Fv1 
 Fv2 
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56 
 
 
 0 1 2 3 n 
Adotando-se uma taxa de juros i, estes capitais serão equivalentes na data focal 0, se: 
       n
n
i
Fv
i
Fv
i
Fv
i
Fv
V








1
...
111
3
3
2
2
1
1
 
Indicamos os valores por V, já que estes são valores atuais à taxa de juros i, na data focal 0. 
 
Exemplo 1: Equivalência entre dois capitais. 
A uma taxa de juros compostos de 2% a.m., $1.500,00 daqui a três meses equivalem a quanto hoje? 
 1.500 
i = 2% a.m.  0,02S = P (1 + i)
n 
  P = S / (1+i)n 
P = 1500 / (1+ 0,02)
3
 0 1 2 3 
P = 1500 / 1,0612 
P = 1.413,48 P = ? 
 
Dizemos que, $1.500 no mês 3 é equivalente à $ 1.413,48 hoje, para 2% a.m. 
 
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57 
 
Exemplo 2: José tem uma dívida a ser paga em três prestações. A primeira prestação é de R$ 980,00 e 
deve ser paga ao final do terceiro mês; a segunda é de R$ 320,00 e deve ser paga ao término do sétimo 
mês; a terceira é de R$ 420,00 e deve ser paga ao final do nono mês. O credor cobra juros compostos com 
taxa igual a 5% ao mês. José, contudo, propõe ao credor saldar a dívida, em uma única prestação à vista 
mantendo a mesma taxa de juros contratada de 5%. Qual o valor a ser pago em tal data? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: V0 = R$ 1.344,71 
Exemplo 3: Joé tem uma dívida a ser paga em três prestações. A primeira prestação é de R$ 890,00 e 
deve ser paga ao final do terceiro mês; a segunda é de R$ 420,00 e deve ser paga ao término do sétimo 
mês; a terceira é de R$ 320,00 e deve ser paga ao final do nono mês. O credor cobra juros compostos com 
taxa igual a 5% ao mês. Joé, contudo, propõe ao credor saldar a dívida, em uma única prestação ao final 
do décimo segundo mês e mantendo a mesma taxa de juros contratada de 5%. Qual o valor a ser pago em 
tal data? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: V10 = R$ 2.074,52 
Exemplo 5: Javé tem uma dívida a ser paga em três prestações. A primeira prestação é de R$ 790,00 e 
deve ser paga ao final do terceiro mês; a segunda é de R$ 580,00 e deve ser paga ao término do sétimo 
mês; a terceira é de R$ 450,00 e deve ser paga ao final do nono mês. O credor cobra juros compostos com 
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58 
 
taxa igual a 5% ao mês. Javé, contudo, propõe ao credor saldar a dívida, em uma única prestação ao final 
do quinto mês e mantendo a mesma taxa de juros contratada de 5%. Qual o valor a ser pago em tal data? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: V5 = R$ 1.767,26 
Exemplo 5: Uma loja vende uma geladeira nas seguintes condições: uma entrada de $300,00 e mais uma 
parcela de $350,00 após um mês. Um cliente propõe pagar uma entrada de $200,00 mais duas prestações 
mensais e iguais, vencendo a primeira um mês após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 3% 
a.m. , qual o valor de cada parcela, de modo que as duas formas de pagamento sejam equivalentes? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cada uma das prestações terá o valor de $ 229,75. 
 
 
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59 
 
Exercícios de aplicação 
1. Certa pessoa tem uma nota promissória a receber com valor nominal de $15.000,00, que vencerá em 
dois anos. Além disto, possui $20.000,00 hoje, que irá aplicar à taxa de 2% a.m. durante dois anos. 
Considerando que o custo de oportunidade do capital hoje, ou seja, a taxa de juros vigente no mercado, é 
de 2% a.m., pergunta-se: 
 
a) Quanto possui hoje? 
b) Quanto possuirá daqui a um ano? 
c) Quanto possuirá daqui a dois anos? 
 
2. Consideremos os seguintes valores nominais: 
 
Capital ($) Vencimento (anos) 
1.100,00 1 
1.210,00 2 
1.331,00 3 
1.464,10 4 
1.610,51 5 
 
Admitindo-se uma taxa de juros compostos de 10% a.a., verificar se os capitais são equivalentes na data 
focal: 
 a) zero b) três 
 
3. Suponhamos que uma pessoa tenha uma carteira de aplicações em títulos de renda fixa com datas de 
vencimento diferentes. Esta carteira de valores nominais é um conjunto de capitais. Uma questão normal 
é a de saber qual o valor da carteira, ou seja, do conjunto de capitais numa determinada data. 
Admitamos que seja a seguinte carteira de títulos: 
Valor do título ($) Vencimento (mês) 
1.000,00 6 
2.000,00 12 
5.000,00 15 
 
Supondo a taxa de 3% a.m. como sendo o custo de oportunidade de capital, pergunta-se qual o valor 
destes títulos na data focal zero. 
 
4. Verificar se os conjuntos de valores nominais abaixo, referidos à data zero, são equivalentes à taxa de 
juros de 10% a.a. 
1º Conjunto 2º Conjunto 
Capital ($) Vencim. (ano) Capital ($) Vencim. (ano) 
1.100,00 1 2.200,00 1 
2.420,00 2 1.210,00 2 
1.996,50 3 665,50 3 
732,05 4 2.196,15 4 
 
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60 
 
5. Um título no valor nominal de $8.500,00, com vencimento para 5 meses, é trocado por outro de 
$7.934,84, com vencimento para 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros corrente de mercado é de 3,5% 
a.m., pergunta-se se a substituição foi vantajosa. 
 
 
GABARITO 
11. a) V0 = $29.325,82 b) V1 = $37.192,24 c) V2 = $47.168,74 
12. a) V0 = $1.000,00 b) V3 = $1.331,00) 
13. V0 = $5.449,55 
14. Fv1  V0 = $5.000,00 Fv2  V0 = $5.000,00 
15. T1  V0 = $7.156,77 T2  V0 = $7.156,77 
16. 
 
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61 
 
8. DEPÓSITOS BANCÁRIOS 
 
 
PMT valor dos depósitos ou parcela FV = montante 
n= número de depósitos i= taxa 
 
 
 
 
i
] 1i1 [
 . PMT 
 


n
Fv
 
 
 
HP: usar o teclado financeiro 
 
Atenção verifique que não há valores armazenados usando as teclas f FIN (está em laranja) 
 
Exemplos: 
 
Exemplo 1.Uma pessoa deposita mensalmente R$ 600,00. Sabendo que ela está ganhando 1,3%a.m, 
quanto possuirá após ter efetuado 24 depósitos? 
 
Dados: PMT=600 i=1,3%=0,013 n=24 Rentabilidade após um ano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2. Sabe-se que este montante relatado no item anterior permaneceu aplicado por um ano, 
corrigido pela mesma taxa, qual a rentabilidade adquirida? 
 
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62 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3. Mariana fez 5 depósitos iguais, depois de 3 meses verificou que sua conta tinha $ 1.000,00, 
qual o valor dos depósitos sabendo que o dinheiro é remunerado por uma taxa de 0,5%a.m? 
 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O valor dos depósitos é 195,07 
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63 
 
 
DESAFIO. Em 02/01 iniciei uma série de 5 depósitos mensais e iguais de R$250,00 cada. No dia 02/08 
iniciei outra série de 4 depósitos de $ 450,00 cada um. Se a taxa média mensal foi de 2%, determine o 
saldo em 02/12. Desafio: Resposta final: 3.386,26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de aplicação 
 
 
1) Uma pessoa efetuou 6 depósitos mensais e iguais de $ 300,00 cada um, à taxa de 1,4%a.m. Qual o seu 
saldo 4 meses após o último depósito? 
 
2) Uma pessoa iniciou uma onda de 6 depósitos mensais e iguais e, logo após o último depósito, obteve um 
montante de $ 4.974,73. Sabendo que a taxa de juros foi de 4%a.m, determine o valor dos depósitos. 
 
3) Efetuei 5 depósitos mensais de $360,00 cada um, à taxa de 1,4%a.m. Determine o meu saldo 2 meses 
após o último depósito. 
 
4) Um estudante deseja adquirir um automóvel no valor de $ 12.500,00. Como não possui toda quantia, 
decide fazer uma poupança programada com 12 depósitos mensais iguais. Sabendo que a taxa de 
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64 
 
remuneração da aplicação financeira em que fará a poupança programada é de 0,8% a.m., calcule o valor 
da aplicação mensal. 
 
5) Cristiano iniciou 4 depósitos mensais, iguais e, 3 meses após o último depósito, obteve um saldo de $ 
874,78. Sabendo que a taxa de juros paga foi de 2%a.m determine o valor dos depósitos. 
 
6) Um poupador necessita acumular nos próximos 5 anos a importância de $ 37.500,00 ele acredita que se 
na data de hoje abrir uma caderneta de poupança no banco B, com depósitos de mensais de R$ 500,00 
terá o valor que precisa; considerando que em média a poupança paga 0,8%a.m; pergunta-se ele irá 
conseguir acumular o valor que precisa? 
7) Considerando o mesmo poupador do exercício anterior. Quanto deverá ser o valor de cada depósito para 
que o nosso poupador consiga acumular exatamente o valor de $ 37.500,00? 
8) Em janeiro Fernando resolveu juntar dinheiro, para tal iniciou 5 depósitos mensais e iguais, após cinco 
meses verificou sua conta e constatou um montante de $ 3.000,00. Sabendo que a taxa de juros foi de 
2%a.m, determine o valor dos depósitos. 
9) Uma pessoa deposita $ 1.000,00 mensalmente. Sabendo-se que ela está ganhando 2% a.m., quanto 
possuíra em 2 anos? 
10) Uma pessoa deseja comprar um carro por $ 40.000,00 a vista, daqui a 12 meses. Admitindo-se que ela vá 
poupar uma certa quantia mensal que será aplicada em letras de câmbio rendendo 2,2% a.m. de juros 
compostos, determinar quanto deve ser poupado mensalmente. 
GABARITO 
1. $ 1 970,78 
2. 750,00 
3. 1 903,30 
4. $ 996,62. 
5. $ 200 
6. Sim, vai acumular $ 38 311,93 
7. $ 489,40 
8. $ 522,13 
9. $ 30.421,86 
10. $ 2.949,00 
 
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66 
 
9. SÉRIES DE PAGAMENTOS 
 
 
 
 Denominamos rendas certas, anuidades ou ainda séries de pagamentos a uma série finita de 
depósitos em certas datas previamente estabelecidas, com o objetivo de acumular capitais. 
Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou através de uma sucessão 
de pagamentos ou de recebimentos, exigíveis em épocas predeterminadas, destinadas a extinguir uma 
dívida ou construir um capital. 
Quando o objetivo é constituir-se um capital em uma data futura, tem-se um processo de capitalização. 
Caso contrário, quando se quer pagar uma dívida tem-se um processo de amortização. 
Pode ocorrer também o caso em que se tem o pagamento pelo uso, sem que aja amortização, que é o caso 
dos alugueis. 
 
CLASSIFICAÇÃO DAS SÉRIES DE PAGAMENTOS 
 
 Quanto ao prazo 
a) Temporárias: todo financiamento com o número conhecido de prestações. 
b) Perpétuas: quando a duração for ilimitada(prêmios de seguros). 
 
 Quanto ao valor dos termos 
a) Constante: se todos os termos são iguais. 
b) Variável: se os termos não são iguais entre si. 
 
 Quanto à forma de pagamento ou recebimento 
a) Imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do primeiro período. 
i) Postecipadas: se os termos são exigíveis no fim dos períodos. 
ii) Antecipadas: se os termos são exigíveis no início dos períodos(entrada). 
b) Diferidas: se os termos forem exigíveis a partir de uma data que não seja o primeiro período. 
 
 
 
 Quanto à periodicidade 
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67 
 
a) Periódicas: se todos os períodos são iguais. 
b) Não-periódicas: se os períodos não são iguais entre si. 
 
Abaixo temos as séries de pagamento mais utilizadas no mercado. 
 
Séries 
de 
pagamentos 
Postecipada Primeira parcela é paga em 30dias “pode ter entrada ou não” 
Antecipada Primeira parcela é paga no ato da compra 
Com carência Primeira parcela é paga em 60dias,120 dias, etc... 
 
 
Postecipada 
 
 
 
 
 
 
Antecipada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Amortização com carência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fórmulas: 
 
Postecipada Antecipada Com carência 
 
 0 1 2 3 n 
 SD P1 P2 P3 Pn (prestações) 
 0 1 2 3 n 
SD (saldo devedor) 
 
P1 P2 P3 P4 Pn (prestações) 
 Prazo de carência 
 
 0 1 2 3 .... k k+1 k+2 ...... n 
SD (saldo devedor) 
 P1 P2 P3 Pn (prestações) 
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68 
 
  
  
 
 
i1 . 
1i1
 . PMTPv 
n
n
i 


  
  
 
 
i1 . 
1i1
 . PMTPv 
1



n
n
i
 
  
  
 
 
i1 . 
1i1
 PMT.Pv 
kn
n
i



 
 
PV= valor do bem PMT= prestação n= quantidade de parcelas i= taxa de juros 
 
 
k= carência (calcular a carência k= n-1, cuidado este n é o período dado para pagar a primeira 
prestação nas vendas com carência) 
 
 
 
 
Na HP: Usar o teclado financeiro (DICAS PARA A HP) 
 
 
Atenção verifique que não há valores armazenados usando as teclas f FIN (está em laranja) 
 
 
Postecipada: valor CHS PMT valor n valor i PV 
 
 
Antecipada: precisa ser digitado g 7 vai parecer BEGIN no visor, para tirar g 7 usar g 8 
 
Logo: g 7 valor CHS PMT valor n valor i PV 
 
 
 
 
 
 
 
Com carência: 
 
Para encontrar o valor do bem (PV) 
 
1. Calcular o PV usando o teclado financeiro, neste caso o n é o número de parcelas 
Valor CHS PMT valor n valor i PV 
 
2. Calcule agora o que acontece com a carência, logo o n é a carência. 
Registrar o valor anterior encontrado CHS FV valor i valor n PV 
 
 
 
Para encontrar o valor da parcela (PMT) 
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1. Calcule o que acontece na carência, neste caso o n da calculadora representa o valor de k 
Valor CHS PV valor i valor n FV Anote o valor. 
 
 2. Calcular o PMT a partir do valor encontrado anteriormente, neste caso o n é o número de 
parcelas. Registrar o valor anterior CHS PV Valor n valor i PMT 
 
 
 
Exemplos de aplicação: 
 
Exemplo 1. Uma loja calculou o financiamento de uma cozinha em 10 prestações mensais e iguais a $ 
600,00, a primeira delas de entrada. Sabe-se que o crediário da loja utiliza um financiamento cuja a taxa 
de juros é de 2,5%a.m. Qual era o valor à vista desta cozinha? 
 
Dados: antecipada PMT= 600 n=10 i=2,5%=0,025 Pv=? 
 
Científica: 
  
  
 
 
i1 . 
1i1
 . PMTPv 
1




n
n
i
 
 
 
 
 52,5382 
 1,025 . ,0250
1 025,1
 . 600 Pv
9
10


 
 
Na HP: g 7 600 CHS PMT 10n 2,5i PV O valor da cozinha é 5 382,52 
 
 
Exemplo 2. O departamento de crédito de uma loja financia a seus clientes uma geladeira em 5 
prestações mensais e iguais, sendo a primeira paga em 30 dias. Sabendo-se que a taxa de juros utilizada é 
de 3,5%a.m, calcule qual será o valor da prestação, sabendo que o valor da geladeira é de $ 1.200,00. 
Dados: postecipada Pv=1200 n=5 i=3,5%=0,035 PMT=? 
Científica: 
 
 
 
 
 
 
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70 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O valor da parcela é 265,78 
 
 
Exemplo 3. Qual o valor à vista, de um refrigerador que foi vendido em 12 prestações iguais a $ 120,00, 
sendo a primeira com vencimento 5 meses após a compra, sabendo-se que a taxa de juros adotada pelo 
crediário de uma loja é de 2,70%a.m. 
Dados: carência carência k=5-1=4 PMT=P= 120 n=12 i=2,7%=0,027 Pv=? 
 
Científica:
 
 
 
 
 
 
 
 
O valor do refrigerador à vista era 1093,22 
 
 
Exemplo 4. Calcule o valor da prestação de um colchão de $ 1.700,00, financiado em 6 prestações 
mensais iguais, a primeira vencendo 4 meses após a compra, a uma taxa de juros de 3,9%a.m 
 
Dados: carência Pv=1700 n=6 i=3,9%=0,039 carência k=4-1=3 PMT=P=? 
 
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71 
 
Científica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O valor da parcela é 362,55 
 
 
 
 
Exercícios aplicação: 
 
1) Qual é o valor à vista de uma mercadoria que tem como prestação a quantia de R$ 1.000,00, nas hipóteses 
abaixo: 
a) R.: $ 21.243,39 
b) R.: $ 8.863,25 
 
 
 
2) Um carro está à venda por $ 10.000,00 de entrada mais 24 prestações mensais de $ 2.236,51. Em outra 
loja o mesmo carro está a venda em 36 prestações mensais de $ 1.613,16, sendo neste caso exigida uma 
entrada de $ 12.000,00. Em ambas a taxa de mercado for de 3% a.m Em qual das duas opções o carro à 
vista é mais barato? 
 R.: A segunda alternativa é a melhor ( 1 op= 47 876,51 2 op= 47 218,91). 
 
3) Uma loja de confecções de roupa vende hoje um terno por $ 300,00. No crediário é exigida uma entrada 
de 40% do valor da mercadoria e são cobrados juros de 5%a.m. Qual será o valor das prestações, se um 
cliente optar por 6 prestações mensais? R.: 35,46 
 
4) Um televisor em cores custa $ 5.000,00 a vista, mas pode ser financiado sem entrada em 10 prestações 
mensais à taxa de 3% a.m. Calcular a prestação a ser paga pelo comprador. R.: $ 586,15 
 
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72 
 
5) A quantia de $ 50.000,00 foi financiada em 12 prestações mensais iguais antecipadas. Se o credor cobra 
juros de 8%a.m., calcular o valor da prestação. R.: 6 143,29 
 
6) Uma dívida, no valor de $ 9.159,40, vai ser paga em 5 prestações mensais e iguais e consecutivas, a 
primeira delas vencendo ao completar 3 meses da data do contrato. Os juros são compostos, a taxa de 
3%a.m. O valor de cada uma das prestações deve ser: R.: 2 121,80 
 
 
7) Um produto custa $ 340,00 o cliente deseja pagá-lo em 6 prestações mensais e antecipadas sabendo que a 
loja cobra juros de 5%a.m, então o valor da prestação será? R.: 63,80 
 
8) Encontre o valor da prestação do financiamento da compra de um automóvel, no valor de $ 19.000,00, em 
24 pagamentos mensais iguais, o primeiro vencendo 5 meses após a compra, sabendo-se que a taxa de 
juros utilizada é de 1,99%a.m R.: 1 085,70 
 
9) Uma loja vende uma geladeira por $ 2.000,00 a vista ou financiada em 18 meses, a juros de 3,5% a.m. 
Qual será a prestação mensal, sendo que a primeira parcela foi paga no ato da compra ? R.: $ 146,51 
 
10) Numa agência de automóveis o preço de um carro, a vista é de $ 50.000,00. Qual é o valor da prestação 
mensal, se o carro for financiado em 24 meses, sem entrada, e a taxa de juros contratada for de 3% a.m.? 
R.: 2.952,37 
 
 
11) Um terreno foi colocado à venda por R$ 75.000,00 à vista ou em 36 prestações mensais, sendo a primeira 
prestação paga dentro de 30 dias da data do contrato. Determine o valor de cada parcela, sabendo que o 
proprietário está cobrando uma taxa de 2,5% a.m. pelo financiamento. Observe as informações dadas no 
problema, aplique-as na fórmula adequada e assinale a alternativa correta. 
 
I. O valor das prestações será PMT = R$ 3.183,87. 
II. O valor das prestações será PMT = R$ 2.183,87. 
III. O valor das prestações será PMT = R$ 3.050,32. 
IV. O valor das prestações será PMT = R$ 2.983,78. 
V. Trata-se de uma série de pagamento postecipada. 
VI. Trata-se de uma série de pagamento antecipada. 
 
a) As alternativas I e VI estão corretas. 
b) As alternativas II e VI estão corretas. 
c) As alternativas III e V estão corretas. 
d) As alternativas I e V estão corretas. 
e) As alternativas IV e V estão corretas. 
Resposta: b PMT= 
 
15) Uma empresa efetuou quatro depósitos postecipados mensais de R$ 21.000,00 em uma aplicação 
que remunera em juros compostos a uma taxa de 6% ao mês. Ao final do período, o valor do montante 
da série de pagamentos, ou seja, ___________________ será igual a_________________. Observe as 
informações dadas no problema e, assinale a alternativa que permite completar a lacuna corretamente. 
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73 
 
 
a) O valor futuro – R$ 91.866,94. 
b) O valor presente – R$ 91.866,94. 
c) A prestação – R$ 91.866,94. 
d) O rendimento – R$ 82.960,40. 
e) O saldo devedor – R$ 89.860,90. 
Resposta: a 
 
16) Eduardo fez um empréstimo de R$ 30.000,00 em uma instituição financeira que cobra uma taxa de 
juros compostos de 2% ao mês. De acordo com o contrato firmado com essa instituição este 
empréstimo será pago em 24 parcelas mensais, iguais e postecipadas. Pode-se afirmar que Eduardo 
pagará mensalmente o valor de 
 
a) R$ 1.586,13. 
b) R$ 2.586,13. 
c) R$ 1.500,00. 
d) R$ 1.280,23. 
f) R$ 1.520,23. 
Resposta: a 
17) Um veículo no valor de R$ 54.000,00 foi adquirido sob a seguinte condição de pagamento: 30% 
do valor do veículo foi dado como entrada e o restante foi financiado em 60 prestações mensais 
postecipadas. Considerando uma taxa de juros de 1,9% a.m., indique o valor das prestações. R$ 
1.061,26 
 
18) Indique o montante proveniente de aplicações bimestrais de R$ 1.100,00 realizadas durante 2 
anos, considerando uma taxa de juros de 16% a.a. e aplicações postecipadas. R$ 15.178,98 
 
19) Calcule o montante, no final de 3 anos, correspondente à aplicação de 36 parcelas iguais e mensais 
de R$ 800,00 cada uma, dentro do conceito de termos postecipados, sabendo-se que a taxa de juros é 
de 2,5% ao mês. R$ 45.841,13 
 
 
20) Sabendo-se que uma instituição financeira paga uma taxa de juros de 15% ao ano para aplicações 
programadas, calcule o montante que será obtido no final de 24 meses por uma pessoa que aplicar 4 
parcelas semestrais de R$ 12.000,00 cada uma. R$ 53.467,42 
 
21) Um empréstimo de R$ 10.000,00 solicitado à uma instituição financeira será pago em 10 
prestações mensais postecipadas. Sabendo que uma taxa de juros de 5,4% a.m será aplicada no 
financiamento, indique o valor das prestações a serem pagas. R$ 1.320,32 
 
 
22) Um veículo“zero Km” foi adquirido por R$ 90.000,00, sendo 70% do valor do bem financiado 
em 48 prestações postecipadas iguais. Sabendo-se que a financeira cobra uma taxa de juros de 1,5% ao 
mês, calcule o valor da prestação mensal. R$ 1.850,62 
 
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74 
 
23) Em quantos pagamentos trimestrais de R$ 5.700,25 podemos liquidar um financiamento de R$ 
50.000,00, à taxa de juros de 3,228% ao mês, de acordo com o conceito de termos postecipados? 22 
trimestres 
 
24) Um bem de R$ 500,00 poderá ser adquirido com uma entrada mais cinco prestações postecipadas, 
iguais e mensais de R$ 100,00. Sabendo-se que a taxa de juros é de 8% a.b., calcule o valor da entrada. 
R$ 53,85 
 
25) Um financiamento de R$ 45.000,00 têm prestações mensais, postecipadas e consecutivas de R$ 
1.500,00. Sabendo que a taxa de juros aplicada é de 2,047% ao mês, em quanto tempo o financiamento 
deverá ser liquidado? 46,27/47 meses 
 
26) Uma máquina será adquirida por R$ 120.000,00 sendo que 65% do seu valor será financiado em 
48 parcelas mensais postecipadas. Considerando uma taxa de juros de 20% a.a., determine o valor das 
parcelas. R$ 2.306,41 
 
27) Qual o valor do montante a ser obtido por uma aplicação mensal postecipada de R$ 800,00 
durante 25 meses considerando uma taxa de juros de 2,7% a.m.? R$ 28.045,33 
 
28) Um empréstimo no valor de R$ 13.400,00 será pago em 24 prestações mensais postecipadas, 
sendo que a primeira prestação será paga em 120 dias após a data da contratação do mesmo. 
Considerando uma taxa de juros de 4,1% a.m., calcule o valor das prestações. R$ 1.042,70 
 
29) Uma máquina foi adquirida em 12 prestações semestrais postecipadas de R$ 5.000,00 cada, sendo 
que a primeira prestação será paga daqui a 2 semestres. Indique o valor para aquisição da máquina à 
vista, considerando uma taxa de juros de 19% a.a. R$ 29.955,48 
 
30) Um financiamento de R$ 30.000,00, será pago em 10 prestações mensais postecipadas, a uma taxa 
de juros de 6% ao mês. Considerando que foi concedido um período de carência de três meses, calcule 
o valor das prestações. R$ 4.854,63 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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75 
 
10. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
 
 
O processo de reembolso de um empréstimo consiste nos pagamentos das prestações em épocas 
pré-determinadas. Toda vez que um pagamento é efetuado, uma parte dele dedica-se a quitar os juros 
calculados sobre o saldo devedor¹¹, garantindo, dessa forma, que a dívida não cresça. A parte restante do 
pagamento denomina amortização é dedicada a diminuir o principal da dívida. 
 
PRESTAÇÃO= JUROS + AMORTIZAÇÃO 
 
Qualquer um dos sistemas ou modalidades de amortização pode ter, ou não, prazo de carência 14 .Alguns 
dos principais e mais utilizados sistema de amortização ou reembolso de empréstimos são: Sistema 
Francês de amortização, Tabela Price, Sistema de Amortização Constante, Sistema Americano de 
Amortização e Sistema de Amortização Variável. 
 
Obs: 
saldo devedor ¹¹ É o estado da dívida, ou seja, do débito, em um determinado instante de tempo 
credor¹² É aquela que dá o empréstimo. Também chamado mutante 
devedor ¹³ É aquele que recebe o empréstimo. Também chamado mutuário 
prazo de carência 14 Designa o período que vai desde a data de concessão do empréstimo até a data em 
que será paga a primeira prestação. Em geral, este período é negociado entre credor e o mutuário, ou 
devedor. 
Usaremos as seguintes siglas para representar: 
n: número de prestações SD: saldo devedor J: juros 
P: prestação ou PMT A: amortização 
 
10.1 Sistema Price (de prestações iguais ou Frances) 
 
 
A maioria dos autores considera a tabela price e o sistema francês como um mesmo sistema pois 
sua característica principal é de se ter prestações iguais ao longo de todo o período, na maioria das vezes 
no sistema price a taxa vem anual sendo as prestações em períodos mensais. 
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76 
 
Por este sistema, o mutuário obriga-se a devolver o principal mais os juros em prestações iguais e 
periódicas. 
O procedimento, portanto, é o seguinte: 
Calcula a prestação PMT 
 
 
 
11
i1i
 PV.PMT 








n
n
i
ou pelo teclado financeiro na HP 
Resumo: 
1) Calcula o valor da prestação, pois a mesma é constante neste sistema 
2) Calcula-se o juro utilizando o saldo devedor anterior multiplicando-o pela taxa (i) 
3) Calcula-se a Amortização que é o valor da prestação menos o juros. 
4) Calcula-se o próximo saldo devedor subtraindo do saldo devedor anterior pela a amortização. 
 
Exemplos: 
 
A. Um banco empresta o valor de $10.000,00 com a taxa de 10%a.m, para ser pago em 5 prestações mensais, 
sem carência. (construir a planilha) 
 
 
   
 
 
2.637,97 
11.1
 )(0,1.1.1
10000. 
11
i1i
 PV.PMT 
5
5











n
n
i
 
Ou HP = 10 000 CHS PV 10i 5n PMT 
 
 
N SD A J P 
0 10 000 0 0 0 
1 8 362,03 1 637,97 1000 2 637,97 
2 6 560,26 1 801,77 836,20 2 637,97 
3 4 578,32 1 981,94 656,03 2 637,97 
4 2 398,18 2 180,14 457,83 2 637,97 
5 0,03 2 398,15 239,82 2 637,97 
Total - 9 999,97 3189,88 13 189,85 
 
B. Um banco empresta o valor de $ 10.000,00 com a taxa de 10%a.m, para ser pago em 5 prestações 
mensais, com dois meses de carência onde serão pagos unicamente os juros. (construir a planilha) 
-MÁTEMATICA FINANCEIRA– 
MATERIAL DE USO CONTÍNUO PARA AS AULAS 
77 
 
 
 
   
 
 
2637,97 
11.1
 )(0,1.1.1
10000. 
11
i1i
 PV.PMT 
5
5











n
n
i
 
Ou HP= 10 000 CHS PV 10i 5n PMT 
 
N SD A J P 
0 10 000 0 0 0 
1 10 000 0 1000 1000 
2 10 000 0 1000 1000 
3 8 362,03 1 637,97 1000 2 637,97 
4 6 560,26 1 801,77 836,20 2 637,97 
5 4 578,32 1 981,94 656,03 2 637,97 
6 2 398,18 2 180,14 457,83 2 637,97 
7 0,03 2 398,15 239,82 2 637,97 
Total 9 999,97 5 189,88 15 189,85 
 
 
 
C. Um banco empresta o valor de $10.000,00 com a taxa de 10%a.m, para ser pago em 5 prestações 
mensais, com dois meses carência, porem os juros devem ser incorporados ao saldo devedor. (construir a 
planilha)(carência + saldo devedor corrigido) 
 
 
   
 
 
3.191,95 
11.1
 )(0,1.1.1
12100. 
11
i1i
 PV.PMT 
5
5











n
n
i
 
Ou Hp= 12 100 CHS PV 10i 5n PMT 
 
 
 
 
 
 
N SD A J P 
0 10 000 0 0 0 
-MÁTEMATICA FINANCEIRA– 
MATERIAL DE USO CONTÍNUO PARA AS AULAS 
78 
 
1 11 000 0 0 0 
2 12 100 0 0 0 
3 10 118,05 1 981,95 1 210 3 191,95 
4 7 937,90 2 180,15 1 011,80 3 191,95 
5 5 539,74 2 398,16 793,79 3 191,95 
6 2 901,76 2 637,98 553,97 3 191,95 
7 0,01 2 901,77 290,18 3 191,95 
Total - 12 100,99 3 859,74 15 959,75 
 
 
10.2 Sistema de Amortização Constante – SAC 
 
Neste sistema, as amortizações periódicas são constantes e iguais ao valor do empréstimo dividido pelo 
número de períodos de pagamento. 
 
A prestação é a amortização mais os juros 
 
 
Exemplos: 
 
D. Um banco empresta o valor de $10.000,00 com a taxa de 10%a.m, para ser pago em 5 prestações mensais, 
sem carência. (construir a planilha) 
 
Amortização 10 000/5= 2000 
 
N SD A J P 
0 10 000 0 0 0 
1 8 000 2 000 1 0003 000 
2 6 000 2 000 800 2 800 
3 4 000 2 000 600 2 600 
4 2 000 2 000 400 2 400 
5 0 2 000 200 2 200 
Total - 10 000 3 000 13 000 
 
E. Um banco empresta o valor de $ 10.000,00 com a taxa de 10%a.m, para ser pago em 5 prestações 
mensais, com dois meses de carência, onde serão pagos unicamente os juros. (construir a planilha) 
 
-MÁTEMATICA FINANCEIRA– 
MATERIAL DE USO CONTÍNUO PARA AS AULAS 
79 
 
N SD A J P 
0 10 000 0 0 0 
1 10 000 0 1 000 1000 
2 10 000 0 1 000 1000 
3 8 000 2 000 1 000 3 000 
4 6 000 2 000 800 2 800 
5 4 000 2 000 600 2 600 
6 2 000 2 000 400 2 400 
7 0 2 000 200 2 200 
Total - 10 000 5 000 15 000 
 
 
 
F. Um banco empresta o valor de $10.000,00 com a taxa de 10%a.m, para ser pago em 5 prestações 
mensais, com dois meses de carência, porem os juros devem ser incorporados ao saldo devedor . 
(construir a planilha) 
 
Amortização 12100/5=2420 
 
 
 
n SD A J P 
0 10 000 0 0 0 
1 11 000 0 0 0 
2 12 100 0 0 0 
3 9 680 2 420 1 210 3 630 
4 7 260 2 420 968 3 388 
5 4 840 2 420 726 3 146 
6 2 420 2 420 484 2 904 
7 0 2 420 242 2 662 
Total - 12 100 3 630 15 20 
 
 
Exercícios de aplicação 
 
Não esqueça: Price: prestação constante Sac: amortização contante 
-MÁTEMATICA FINANCEIRA– 
MATERIAL DE USO CONTÍNUO PARA AS AULAS 
80 
 
 
1. Desenvolva o plano financeiros para um financiamento de $ 9.000,00, a 14%a.a, a ser pago em 4 anos 
pelo sistema Price. 
 
N SD A J P 
0 
1 
2 
3 
4 
Total - 
 
 
Respsota: P = $3.088,84 Total das prestações: $12.355,36 
 
 
2. Um imóvel foi financiado por $200.000,00, pelo sistema Price, com a taxa de 5%a.m, para ser pago em 7 
prestações mensais, construa a planilha das prestações. 
 
N SD A J P 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
Total - 
 
PMT = $34.563,96 Total de Prestações pagas = R$ 241.947,72 
 
 
3. Um imóvel foi financiado por $200.000,00, pelo sistema Price, com a taxa de 5%a.m, para ser pago em 5 
prestações mensais, com dois meses de carência, porém não havendo o respectivo pagamento de juros 
durante o período de carência. (construir a planilha) 
 
-MÁTEMATICA FINANCEIRA– 
MATERIAL DE USO CONTÍNUO PARA AS AULAS 
81 
 
N SD A J P 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
Total - 
 
Resposta: P= $50.929,94 Total prestação pagas: $254.649,70 
 
4. Um imóvel foi financiado no valor de $ 400.000,00, pelo sistema Price, com a taxa de 10%a.m, para ser 
pago em 5 prestações mensais, com dois meses de carência, serão pagos somente os juros. (construir a 
planilha) 
 
 
N SD A J P 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
Total - 
 
Resposta: P= $105.518,99 Total prestação pagas: R$ 607.594,95 
 
 
5. Desenvolva o plano financeiros para um financiamento de $ 9.000,00, a 14%a.a, a ser pago em 4 anos 
pelo sistema SAC. 
 
-MÁTEMATICA FINANCEIRA– 
MATERIAL DE USO CONTÍNUO PARA AS AULAS 
82 
 
N SD A J P 
0 
1 
2 
3 
4 
Total - 
 
Amortização = R$2.250,00 Total de prestações pagas: R$ 12.150,00 
 
6. Um imóvel foi financiado por $200.000,00, pelo sistema SAC, com a taxa de 6%a.m, para ser pago em 7 
prestações mensais. Calcule as prestações (construir a planilha) 
 
N SD A J P 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
Total - 
 
Amortização = R$28.571,43,00 Total de prestações pagas: R$ 248.000,00 
7. Um imóvel foi financiado por $400.000, pelo sistema SAC, com a taxa de 10%a.m, para ser pago em 5 
prestações mensais, com dois meses carência, os juros devem ser incorporados ao saldo devedor . 
 (construir a planilha) 
 
N SD A J P 
0 
1 
2 
3 
-MÁTEMATICA FINANCEIRA– 
MATERIAL DE USO CONTÍNUO PARA AS AULAS 
83 
 
4 
5 
6 
7 
Total - 
 
Resposta: A= $96.800,00 Total das prestações: $ 629.200,00 
 
8. Um imóvel foi financiado no valor de $ 400.000,00, pelo sistema SAC, com a taxa de 10%a.m, para ser 
pago em 5 prestações mensais, com dois meses de carência, serão pagos somente os juros. (construir a 
planilha) 
 
 
N SD A J P 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
Total - 
 
Resposta: A = $ 80.000,00 Total das prestações: $ 600.000,00 
BIBLIOGRAFIA 
ASSSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. São Paulo: Atlas, 2002. 
DAL ZOT, WILI. Matemática financeira. Porto Alegre: UFRGS, 2006. 
KRUSE, Fábio. Matemática financeira: conceitos e aplicações com o uso da HP-12c. Novo Hamburgo: 
Feevale, 2003. 
SPINELLI, Walter. Matemática comercial e financeira. São Paulo: Ática, 2002. 
TOSI, Armando José. Matemática Financeira com utilização de HP12 C Edição Compacta. 2ª ed. São 
Paulo: Atlas, 2009. (BV)