Plano de aula polinômios

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Ministério da Educação 
Secretaria de Educação Profissional e 
 Tecnológica Instituto Federal Catarinense - Campus avançado Sombrio 
Curso de Licenciatura em Matemática 
 
 
PLANO DE AULA – POLINÔMIOS 
1 Identificação 
Unidade Escolar: Instituto Federal Catarinense – Campus Sombrio 
Município: Sombrio / SC 
Disciplina: Matemática 
Ano: 3º ano do ensino médio 
Nível: Ensino Médio 
Turma: 3º ano A 
Professora(s): Vanessa da Silva Pires 
Cronologia: 
Data: 10/11/2014 
Turno: Matutino 
 
2 Tema: Polinômios 
2.1 Sub-tema: 
 
 Polinômio com uma variável; 
 Fração polinomial; 
 Divisão de polinômios por binômios do 1° grau; 
 
 
3 Justificativa 
 
De maneira geral muitas das profissões utilizam polinômios em seu dia-a-dia. 
Naturalmente no campo da Matemática os polinômios aparecem com maior frequência, 
porém eles estão presentes na meteorologia até a construção. Os polinômios são usados 
também para descrever curvas de diversos tipos. Um exemplo desta aplicação são as 
montanhas-russas, onde suas curvas podem ser facilmente descritas por polinômios ou 
combinações de equações polinomiais. 
Outro campo em que as equações polinomiais são utilizadas é a economia para 
fazer análise de custo, receitas, lucros. Também são usados para modelar diferentes 
situações, como no mercado de ações, a fim de prever como os preços podem variar ao 
longo do tempo, ou como o aumento e queda dos preços de determinado bem irá afetar 
sua venda. Os polinômios, ainda, podem ser usados na física para descrever a trajetória 
de um projétil. Dentro da Matemática os polinômios podem representar modelos 
aplicados para a geometria, no calculo de perímetro, superfícies e volume. 
 
4 Objetivos específicos 
 
 Reconhecer polinômios 
 Identificar o grau de um polinômio e polinômios idênticos 
 Operar com polinômios 
 Determinar a raiz de um polinômio 
 Aplicar os Teoremas do Resto, Briot Rufini e D’alembert 
 
 
5 Conteúdos envolvidos (conteúdos pré-requisitos para o 
desenvolvimento da aula) 
 
Operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão), monômio, 
binômio, trinômio e polinômio. 
 
6 Estratégias 
 
6.1 Recursos: Quadro, material disponível em sala de aula, atividade impressa. 
 
6.2 Técnicas: Aula expositiva e dialogada, atividades em sala de aula com 
materiais de ensino. 
 
7 Procedimentos 
 
7.1 Problematização: 
 
Situação 01: 
 
 Se você somar 1 ao produto de quatro inteiros consecutivos, o resultado sempre 
será um quadrado perfeito. 
 
 
 
 
 
 Situação 02: 
 Na resolução de problemas, é comum ocorrerem situações em que a leitura e a 
compreensão do enunciado nos levam a formular expressões e equações que nos ajudam 
a resolver o problema. Imagine por exemplo que, em determinados problemas, os 
enunciados nos levem às seguintes figuras e suas dimensões: 
 
 
 
a) A primeira figura é uma região retangular de dimensões x e (x+5). Determine as 
expressões do perímetro e da área dessa figura. 
 
b) A segunda figura representa um cubo com arestas de medida x. Determine as 
expressões da área e do volume dessa figura. 
 
c) A terceira figura representa um paralelepípedo, com arestas de medidas, (x+4) e x. 
Determine as expressões da área total e do volume dessa figura. 
 
d) Qual a expressão que representa a soma de todas as superfícies das figuras. 
 
e) Qual a diferença entre a medida da superfície do paralelepípedo e da medida da 
superfície do cubo. 
 
7.2 Historicização: 
 
 Os polinômios, a priori, formam um plano conceitual importante na álgebra, 
entretanto possuem também uma relevante importância na geometria, quando se deseja 
calcular expressões que envolvem valores desconhecidos. 
 O cálculo de equações polinomiais e algumas equações algébricas era um dos 
grandes desafios da chamada álgebra clássica. Os primeiros registros e conclusões sobre 
as relações existentes nas equações de primeiro e segundo graus foram apresentados por 
Al-Khowarizmi. Foi ele quem apresentou em suas obras o significado da palavra 
álgebra, que é “trocar os membros” no termo de uma equação. 
 A definição de polinômio abrange diversas áreas, pois se pode ter polinômios 
com apenas um termo na expressão algébrica, como por exemplo: 2x, y, 4z, 2, 5, etc. 
Mas pode-se obter polinômios com uma infinidade de termos. Por exemplo: 
P(x)=an xn+a(n-1) x(n-1)+...+a2 x2+a1 x+a0 
 Como se pode notar, polinômios são compostos pelas várias expressões 
algébricas, desde aquelas que envolvem apenas números, até as que apresentam diversas 
letras, potências, coeficientes, entre outros elementos dos polinômios. 
 Os polinômios se encontram em um âmbito da matemática denominado álgebra, 
contudo a álgebra correlaciona o uso de letras, representativas de um número qualquer, 
com operações aritméticas. Portanto, pode-se assim, efetuar as operações aritméticas 
nos polinômios, que são: adição, subtração, divisão, multiplicação, potenciação e 
radiciação.0 
 
 
 
7.3 Operacionalização da aula 
 
Polinômios 
Polinômio com uma variável 
Polinômio na variável x é toda expressão P(x) que pode ser apresentada sob 
forma: 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥
𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0′ 
Em que {𝑎0′, 𝑎1,, 𝑎2, … , 𝑎𝑛} ⊂ ℂ, {𝑛, 𝑛 − 1, 𝑛 − 2,… ,1,0} ⊂ ℕ e a variável x 
pode assumir qualquer valor complexo. 
 Para indicar que P(x) representa a expressão 
 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥
𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0′ 
Escrevemos: 
P(x) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥
𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0′ 
 
 Cada uma das parcelas 𝑎𝑛𝑥
𝑛, 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1, 𝑎𝑛−2𝑥
𝑛−2, …+ 𝑎1𝑥, 𝑎0′, é um 
termo ou monômio do polinômio, sendo 𝑎0 o termo independente da 
variável x. 
 Os números 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛−2, … , 𝑎1 𝑒 𝑎0 são os coeficientes do polinômio. 
Se todos forem iguais a zero, o polinômio é chamado de identicamente 
nulo. Indica-se que um polinômio P(x) é identicamente nulo por P(x)=0. 
 O grau de um polinômio não identicamente nulo é o maior expoente da 
variável dentre os termos de coeficientes não nulos. Indicamos o grau de 
um polinômio P pelo símbolo gr(P). 
 Não se define grau de um polinômio identicamente nulo, pois todos os 
seus coeficientes são nulos. 
 O coeficiente não nulo da variável de maior expoente é o coeficiente 
dominante do polinômio, ou seja, o coeficiente dominante é o do termo 
que determina o grau do polinômio. 
 Atribuindo um valor complexo 𝛽 a variável x, obtemos a expressão 
 𝑎𝑛𝛽
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝛽
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝛽
𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝛽 + 𝑎0′ 
Cujo resultado é chamado de valor numérico do polinômio para x=𝛽. 
Indica-se esse valor numérico por P(𝛽). 
 Chamamos raiz do polinômio P(x) todo número complexo 𝛽 tal que 
P(𝛽)=0. A raiz também é chamada de zero do polinômio. 
 
 Exemplos: 
 a) a expressão 6𝑥4 + 2𝑥³ + 𝑥² − 7𝑥 + 9 é um polinômio de grau 4 em que: 
 6, 2, 1, -7 são seus coeficientes; 
 x é sua variável; 
 6𝑥4, 2𝑥³, 𝑥², 7𝑥 𝑒 9 são seus termos ou seus monômios; 
 9 é seu termo independente; 
 6 é seu coeficiente dominante 
 b) a expressão 7𝑡5 + 6𝑖𝑡³ − 10𝑡, que pode ser representada sob a forma 
7𝑡5+0𝑡4 + 6𝑖𝑡³ + 0𝑡² − 10𝑡 + 0 é um polinômio de grau 5 em que: 
 7, 0, 6i, 0, -10 e 0 são seus coeficientes; 
 t é sua variável; 
 7𝑡5,0𝑡4, 6𝑖𝑡³, 0𝑡², −10𝑡 𝑒 0 são seus termos ou seus monômios; 
 0 é seu termo independente; 
 7 é seu coeficiente dominante. 
 c) O número 3 é um polinômio de grau zero, pois pode ser representado na 
forma 3𝑥0. Todonúmero complexo não nulo é um polinômio de grau zero. Todo 
número complexo é chamado de polinômio constante, inclusive o número zero, do qual 
não se define grau. 
 d) As expressões 5𝑥−3 + 6𝑥² + 4𝑥−1 + 7 e 3𝑡
1
2 + 4𝑡³ + 5𝑡 − 2 não são 
polinômios, pois em cada uma delas há pelo menos um termo não nulo cujo expoente da 
variável não é numero natural. 
 e) O número 2 é a raiz do polinômio P(x)= 𝑥³ − 5𝑥² + 3𝑥 + 6, pois: 
P(2)= 2³ − 5.2² + 3.2 + 6 = 0 
 
Identidade de polinômios 
Considere os polinômios 𝑃(𝑥) = 2𝑥² + 4𝑥 + 3 𝑒 𝑄(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, em que 
𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 são constantes complexas. Dizemos que P(x) e Q(x) são polinômios 
idênticos se, e somente se, P(𝛽)=Q(𝛽) para qualquer 𝛽 ∈ ℂ. 
 Assim, para determinar as constantes 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐, podemos atribuir a x três valores 
distintos quaisquer e formar um sistema de três equações e três incógnitas. Por exemplo: 
{
𝑃(0) = 𝑄(0)
𝑃(1) = 𝑄(1)
𝑃(−1) = 𝑄(−1)
⇔ {
2.0² + 4.0 + 3 = 𝑎. 0² + 𝑏. 0 + 𝑐
2.1² + 4.1 + 3 = 𝑎. 1² + 𝑏. 1 + 𝑐
2. (−1)2 + 4. (−1) + 3 = 𝑎. (−1)2 + 𝑏. (−1) + 𝑐
 
 Ou seja, {
𝑐 = 3
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9
𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 1
 ∴ 𝑎 = 2, 𝑏 = 4 𝑒 𝑐 = 3 
 Assim, concluímos que os polinômios P(x) e Q(x) são idênticos se, e somente se, 
os coeficientes de termos de mesmo grau são iguais. De modo geral, podemos definir 
que: 
 
 
 
 
 
 
 Indicamos que dois polinômios P(x) e Q(x) são idênticos por P(x)≡ Q(x); caso 
não sejam idênticos, indicamos por P(x)≢ Q(x). 
 
 Operações com polinômios 
 
 Adição de polinômios 
 
 A soma dos polinômios P(x) e Q(x), que se indica por P(x) + Q(x), é o 
polinômio obtido ao se adicionarem os coeficientes de P(x) com os coeficientes de Q(x) 
que tem, respectivamente, o mesmo expoente na variável (caso não conste um termo 
com determinado expoente na variável, considera-se que seu coeficiente é zero). Valem 
para a adição as propriedades associativa, comutativa, elemento neutro (que é o 
polinômio identicamente nulo) e elemento oposto (o oposto de um polinômio P(x) é o 
polinômio simbolizado por –P(x), que é obtido trocando-se os sinais de todos os 
monômios de P(x)). 
 Exemplo: 
 Para calcular a soma dos polinômios P(x)≡ 12𝑥4 + 6𝑥² + 2𝑥 + 7 
e Q(x)≡ 4𝑥³ + 9𝑥² − 𝑥 − 8, que devem ser entendidos como 
Os polinômios 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥
𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0e 
 𝑏𝑛𝑥
𝑛 + 𝑏𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑏𝑥𝑛−2 +⋯+ 𝑏𝑥 + 𝑏0 na variável x, são idênticos 
se, e somente se, os coeficientes 𝑎𝑗𝑒 𝑏𝑗 obedecerem a condição: 
 𝑎𝑗 = 𝑏𝑗 para todo número natural j e 0≤ 𝑗 ≤ 𝑛 
 P(x)≡ 12𝑥4 + 0𝑥³ + 6𝑥² + 2𝑥 + 7 e Q(x)≡ 0𝑥4 + 4𝑥³ + 9𝑥² − 𝑥 − 8, adicionamos 
os coeficientes dos termos de P(x) com os coeficientes dos termos de Q(x) que tem, 
respectivamente, o mesmo expoente na variável, isto é: 
P(x) + Q(x)≡ (12+0)𝑥4+(0+4)𝑥³+(6+9)𝑥²+(2-1)𝑥+7-8, ou seja, 
 
P(x) + Q(x)≡ 12𝑥4+ 4𝑥³+ 15𝑥²+𝑥 -1 
 
 Subtração de polinômios 
 
 A diferença entre os polinômios P(x) e Q(x), nessa ordem, que se indica por 
 P(x) – Q(x), é definida como a soma de P(x) com o oposto de Q(x), isto é: 
P(x) – Q(x) = P(x) + [-Q(x)] 
 Exemplo: 
 Sejam P(x)≡ 𝑥5 + 8𝑥³ + 7𝑥² + 3 e Q(x)≡ 4𝑥5 + 6𝑥4 − 2𝑥³ − 2, que devem 
ser entendidos como P(x)≡ 𝑥5 + 0𝑥4 + 8𝑥³ + 7𝑥² + 0𝑥 + 3 e 
Q(x) ≡ 4𝑥5 + 6𝑥4 − 2𝑥³ + 0𝑥² − 2. Para obter P(x) – Q(x), subtraímos os coeficientes 
dos termos que tem o mesmo expoente na variável, isto é: 
P(x) – Q(x)≡ (1 − 4)𝑥5 + (0 − 6)𝑥4 + (8 − (−2))𝑥3 + (7 − 0)𝑥2 + 0𝑥 + 3 − (−2), 
ou seja, P(x) – Q(x)≡ −3𝑥5 − 6𝑥4 + 10𝑥³ + 7𝑥² + 5. 
 
 Multiplicação de polinômios 
 
 O produto dos polinômios P(x) e Q(x), que se indica por P(x) ⋅ Q(x), é o 
polinômio obtido pela soma dos produtos de cada monômio de P por todos os 
monômios de Q. 
 Valem para a multiplicação as propriedades associativa, comutativa e elemento 
neutro, além das distributivas em relação à adição e à subtração. 
 Exemplos: 
a) Sendo P(x)≡ 5𝑥² − 3𝑥 + 2, temos: 3P(x)≡ 3(5𝑥² − 3𝑥 + 2) ≡ 15𝑥² − 9𝑥 + 6 
 
 
b) Sendo H(x)≡ 5𝑥³ + 2𝑥 e G(x)≡ 2𝑥² + 4𝑥 − 1, temos: 
 
H(x)⋅G(x)≡ (5𝑥3 + 2𝑥) ∙ (2𝑥2 + 4𝑥 − 1) ≡ 10𝑥5 + 20𝑥4 − 5𝑥³ + 4𝑥³ + 8𝑥² − 2𝑥 ⇒ 
 
⇒H(x)∙G(x)≡ 10𝑥5 + 20𝑥4 − 𝑥³ + 8𝑥² − 2𝑥 
 
 
 Divisão de polinômios 
 
 Dividir o polinômio E(x) pelo polinômio não nulo D(x) significa obter os 
polinômios Q(x) e R(x) tais que: 
Q(x) ∙ D(x) + R(x)≡ E(x) e gr(R) < gr(D) ou R(x)≡ 0 
 Os polinômios E(x), D(x), Q(x) e R(x) são chamados, respectivamente, de 
dividendo, divisor, quociente e resto da divisão. 
 Demonstra-se que existe um único quociente Q(x) e um único resto R(x) na 
divisão de E(x) por D(x). 
 Quando R(x)≡ 0, dizemos que a divisão de E(x) por D(x) é exata, ou, ainda que 
E(x) é divisível por D(x). 
 
Exemplos: 
 a) Na identidade 
(3𝑥 + 5⏟ 
𝑄(𝑥)
) (𝑥4 + 2𝑥)⏟ 
𝐷(𝑥)
+ 10𝑥³⏟
𝑅(𝑥)
≡ 3𝑥5 + 5𝑥4 + 10𝑥³ + 6𝑥² + 10𝑥⏟ 
𝐸(𝑥)
 
 
 Temos gr(R)<gr(D). Portanto, devido à unicidade do quociente e do resto, 
concluímos que Q(x) e R(x) são, respectivamente, o quociente e o resto da divisão de 
E(x) por D(x). 
 b) Na identidade 
(𝑥 + 3)⏟ 
𝑄(𝑥)
(𝑥 − 3)⏟ 
𝐷(𝑥)
+ 0⏟
𝑅(𝑥)
≡ 𝑥² − 9⏟ 
𝐸(𝑥)
 
 Temos R(x)≡ 0. Por isso, dizemos que Q(x) é o quociente exato da divisão de 
E(x) por D(x). Dizemos, também, que E(x) é divisível por D(x). 
 
 Método da chave para a divisão de polinômios 
 
 Toda propriedade da estrutura algébrica dos polinômios tem sua correspondente 
na estrutura algébrica dos números inteiros; por isso, é possível compreender muitos 
procedimentos realizados com polinômios a partir de uma analogia com números 
inteiros. Por exemplo, para dividir 40 por 10, podemos efetuar: 
 
 
O método da chave, utilizado na divisão de números pode ser estendido para a 
divisão de polinômios. Por exemplo, para dividir o polinômio 
E(x)≡ 3𝑥5 + 16𝑥³ + 𝑥² − 10𝑥 + 9 pelo polinômio D(x)= 𝑥² + 6: 
I. Dispomos E(x) e D(x) sob a forma: 
3𝑥5 + 0𝑥4 + 16𝑥³ + 𝑥² − 10𝑥 + 9 ÷ 𝑥² + 6 
II. Dividimos o monômio de mais alto grau de E(x) pelo monômio de mais alto 
grau de D(x). 
III. Subtraímos do dividendo o produto do divisor D(x) pelo quociente encontrado 
em (II), obtendo assim o primeiro resto parcial. 
IV. Dividimos o monômio de mais alto grau do primeiro resto parcial pelo monômio 
de mais alto grau de D(x). 
V. Subtraímos do primeiro resto parcial o produto do divisor D(x) pelo quociente 
encontrado em (IV), obtendo assim o segundo resto parcial. 
 
E assim sucessivamente, até obter o resto final R(x), que deve obedecer a uma 
das condições: gr(R)<gr(D) ou R(x)≡ 0 
Observe: 
 
 Concluímos, então, que o quociente Q(x) e o resto R(x) são dados por: 
𝑄(𝑥) = 3𝑥³ − 2𝑥 + 1 e 𝑅(𝑥) = 2𝑥 + 3 
 
 Fração Polinomial 
 
 Chama-se fração polinomial toda expressão do tipo 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
 em que P(x) e Q(x) são 
polinômios, com Q(x)≠ 0. 
 Exemplos: 
 
 a) 
5𝑥4+2𝑥−1
𝑥+3
 
 
 b) 
5
𝑥²−1
 
 
 
 Teorema do resto 
 
 Sendo a uma constante complexa qualquer, o resto da divisão de um polinômio 
P(x) por 𝑥 − 𝑎 é igual a P(a). 
Dem: 
 Sejam, respectivamente, Q(x) e R(x) o quociente e o resto da divisão de P(x) por 
𝑥 − 𝑎 , ou seja: 
𝑃(𝑥) ≡ 𝑄(𝑥) ∗ (𝑥 − 𝑎) + 𝑅(𝑥) (I) 
 Como 𝑔𝑟(𝑅) = 0 𝑜𝑢 𝑅(𝑥) ≡ 0, podemos indicar R(x) por uma constante R. 
Assim, a sentença (I) pode ser representada sob a forma: 
𝑃(𝑥) ≡ 𝑄(𝑥) ∗ (𝑥 − 𝑎) + 𝑅 
Calculando P(a), obtemos: 
𝑃(𝑎) = 𝑄(𝑎) ∗ (𝑎 − 𝑎) + 𝑅 → 𝑃(𝑎) = 𝑅 
Logo, o restoR da divisão é igual a P(a). 
Exemplos: 
a) O resto R da divisão do polinômio 𝑃(𝑥) ≡ 4𝑥3 + 𝑥2 − 3 pelo binômio 𝑥 − 2 é 
igual a P(2), isto é 𝑅 = 𝑃(2) = 4 ∗ 23 + 22 − 3 = 33 
b) Para se obter o resto R da divisão do polinômio 𝑃(𝑥) ≡ 𝑥5 + 5𝑥3 − 𝑥 + 6 pelo 
binômio 𝑥 + 1 , observamos que este binômio pode ser representado na forma 
𝑥 − (−1) e, portanto, pelo teorema do resto, temos: 
𝑅 = 𝑃(−1) = (−1)5 + 5 ∗ (−1)3 − (−1) + 6 = 1 
Teorema de D’Alembert 
 
 Jean le Rond D’Alembert, matemático, filósofo e físico francês, considerado o 
cientista mais influente da França em sua época. D’Alembert participou ativamente do 
movimento que abriu caminho para a Revolução Francesa. 
 Vários teoremas levam o nome desse importante matemática francês; no estudo 
dos polinômios, é de D’Alembert o teorema: 
 Sendo a uma constante complexa qualquer, um polinômio P(x) é divisível por 
𝑥 − 𝑎 se, e somente se, a é raiz de P(x). 
Dem: 
 Por definição de raiz de um polinômio, temos que a é a raiz de P(x) se, e 
somente se, P(a) = 0. Mas, pelo teorema do resto, P(a) é o resto R da divisão de P(x) 
por 𝑥 − 𝑎. Concluímos, assim, que: 
a é raiz de 𝑃(𝑥) ↔ 𝑅 = 0 
 Ou seja, afirmar que o numero é raiz de P(x) equivale a afirmar que P(x) é 
divisível por 𝑥 − 𝑎. 
Exemplo: 
 O polinômio 𝑃(𝑥) ≡ 𝑥5 − 3𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 − 12 é divisível por 𝑥 − 2 , pois 
𝑃(2) = 0 . Observe: 
𝑃(2) = 25 − 3 ∗ 23 + 3 ∗ 22 − 4 ∗ 2 − 12 = 0 
 
Dispositivo prático de Briot-Ruffini 
 
 Para efetuar a divisão de um polinômio E(x) por um binômio da forma 𝑥 − 𝑎 , 
em que a é uma constante qualquer, podemos aplicar o método da chave. Porem, com o 
objetivo de facilitar essa operação, apresentamos um dispositivo prático conhecido 
como dispositivo prático de Briot-Ruffini, em homenagem aos matemáticos que a 
criaram, Charles August Briot (1817-1882) e Paolo Ruffini (1765-1822). 
Vamos descrever esse dispositivo a partir da divisão do polinômio: 
𝐸(𝑥) ≡ 𝑒4𝑥
4 + 𝑒3𝑥
3 + 𝑒2𝑥
2 + 𝑒1𝑥 + 𝑒0 por 𝑥 − 𝑎 
 O quociente Q(x) dessa divisão deve ser um polinômio do 3º grau e o resto R(x) 
deve ser polinômio constante, ou seja: 
𝑄(𝑥) ≡ 𝑞3𝑥
3 + 𝑞2𝑥
2 + 𝑞1𝑥 + 𝑞0 e 𝑅(𝑥) ≡ 𝑅 
Devemos ter: 
𝐸(𝑥) ≡ (𝑥 − 𝑎) ∗ 𝑄(𝑥)+𝑅 → 𝑒4𝑥
4 + 𝑒3𝑥
3 + 𝑒2𝑥
2 + 𝑒1𝑥 + 𝑒0 ≡
≡ (𝑥 − 𝑎)(𝑞3𝑥
3 + 𝑞2𝑥
2 + 𝑞1𝑥 + 𝑞0) + 𝑅 →
→ 𝑒4𝑥
4 + 𝑒3𝑥
3 + 𝑒2𝑥
2 + 𝑒1𝑥 + 𝑒0 ≡ 
≡ 𝑞3𝑥
4 + 𝑞2𝑥
3 + 𝑞1𝑥
2 + 𝑞0𝑥 − (𝑎𝑞3𝑥
3 + 𝑎𝑞2𝑥
2 + 𝑎𝑞1𝑥 + 𝑎𝑞0) + 𝑅 
∴ 𝑒4𝑥
4 + 𝑒3𝑥
3 + 𝑒2𝑥
2 + 𝑒1𝑥 + 𝑒0 ≡ 
≡ 𝑞3𝑥
4 + (𝑞2 − 𝑎𝑞3)𝑥
3 + (𝑞1 − 𝑎𝑞2)𝑥
2 + (𝑞0 + 𝑎𝑞1)𝑥 − 𝑎𝑞0 + 𝑅 
 
Logo obtemos:
{
 
 
 
 
𝑞3 = 𝑒4
𝑞2 − 𝑎𝑞3 = 𝑒3 → 𝑞2 = 𝑒3+𝑎𝑞3
𝑞1 − 𝑎𝑞2 = 𝑒2 → 𝑞1 = 𝑒2+𝑎𝑞2
𝑞0 − 𝑎𝑞1 = 𝑒1 → 𝑞0 = 𝑒1+𝑎𝑞1
−𝑎𝑞0 + 𝑅 = 𝑒0 → 𝑅 = 𝑒0+𝑎𝑞0
 
}
 
 
 
 
 
 
 Os valores 𝑞3, 𝑞2, 𝑞1, 𝑞0 𝑒 𝑅 podem ser calculados rapidamente, executando-se 
os passos descritos pelo esquema a seguir, conhecido como dispositivo prático de Briot-
Ruffini: 
 
Assim, temos: 
𝑄(𝑥) ≡ 𝑒4𝑥
3 + (𝑎𝑞3 + 𝑒3)𝑥
2 + (𝑎𝑞2+𝑒2)𝑥
1 + 𝑎𝑞1 + 𝑒1 𝑒 𝑅 ≡ 𝑎𝑞0 + 𝑒0 
 Pode-se generalizar esse método para qualquer polinômio E(x) com grau maior 
ou igual a 1. 
 
8 Critérios 
 
8.1 Critérios de avaliação 
 
Domínio dos conceitos abordados; 
Participação e interesse dos alunos durante à aula e na resolução e correções dos 
exercícios. 
 
8.2 Instrumentos de avaliação 
 
Prova individual e escrita. 
 
9 Bibliografia 
 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Volume 3. 2ª Ed. São 
Paulo: Ática, 2013. 
GIOVANNI, José Ruy. Matemática completa. 3ª série do ensino médio. 2ª ed. São 
Paulo: Editora FTD S.A, 2005. 
PAIVA, Manoel. MATEMÁTICA-Paiva. Volume 3. 1ª ed. São Paulo: Editora 
Moderna, 2009. 
Sites: 
http://www.ehow.com.br/polinomios-diaadia-sobre_7902/ 25/08/2014 Polinômios 
no dia-a-dia