LI_LD_Base-Teste3

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Pontif´ıcia Universidade Cato´lica de Minas Gerais
3o Teste de A´lgebra Linear Semipresencial - 1oSem/2019
Resoluc¸a˜o
Questa˜o 1. Encontre o ponto inicial A do vetor que e´ equivalente a −→u = (1, 1, 3) e cujo ponto
final e´ B(−1,−1, 2).
a) A(−2,−2,−1)
b) A(−1, 0,−1)
c) A(−2, 0, 1)
d) A(0, 0,−1)
Soluc¸a˜o:
Temos que
−→
AB = u = (1, 1, 3).
(xB − xA, yB − yA, zB − zA) = (1, 1, 3)
(−1− xA,−1− yA, 2− zA) = (1, 1, 3)
Logo
−1− xA = 1⇒ xA = −2
−1− yA = 1⇒ yA = −2
2− zA = 3⇒ zA = −1
Portanto A(−2,−2,−1)
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3o Teste de A´lgebra Linear Semipresencial - 1oSem/2019
Questa˜o 2. Quais sa˜o as coordenadas do vetor −→v = (1, 0, 0) em relac¸a˜o a base
β = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)}?
a) (1/3,−1/3, 1/3)
b) (1, 0, 0)
c) (2/3, 5/3, 4/3)
d) (2, 1, 1)
Soluc¸a˜o:
As coordenadas do vetor v em relac¸a˜o a base β e´ a soluc¸a˜o do sistema determinado pela seguinte
combinac¸a˜o linear
v = a(1, 1, 1) + b(−1, 1, 0) + c(1, 0,−1)
Assim
 10
0
 = a
 11
1
+ b
 −11
0
+ c
 10
−1

 10
0
 =
 2 0 11 2 1
3 2 1

 ab
c

 1 −1 11 1 0
1 0 −1
1
0
0
 −→
 1 0 00 1 0
0 0 1
1/3
−1/3
1/3

Portanto
(
1
3
,−1
3
,
1
3
)
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3o Teste de A´lgebra Linear Semipresencial - 1oSem/2019
Questa˜o 3. Quais dos conjuntos de vetores dados formam uma base de R3?
a) {(3, 1,−4), (2, 5, 6), (1, 4, 8)}
b) {(1, 0, 0), (2, 0, 0), (3, 3, 3)}
c) {(2,−3, 1), (4, 1, 1), (0,−7, 1)}
d) {(1, 6, 4), (2, 4,−1), (−1, 2, 5)}
Soluc¸a˜o:
Para que um conjunto forme uma base para um espac¸o vetorial V e´ preciso que este conjunto seja
L.I. E gere o espac¸o v. Neste caso
b) Na˜o pode formar uma base para R3 pois
(2, 0, 0) = 2(1, 0, 0).
Portanto o conjunto e´ LD
c) Na˜o pode formar uma base para R3 pois
(0,−7, 1) = −2(2,−3, 1) + 1(4, 1, 1).
Portanto, tambe´m e´ um conjunto LD
d) Na˜o pode formar uma base para R3 pois
(2, 4,−1) = (1, 6,−4)− 1(−1, 2, 5).
Portanto, tambe´m e´ um conjunto LD
a) O conjunto {(3, 1,−4), (2, 5, 6), (1, 4, 8)} e´ uma base para R3 pois e´ LI e gera R3. Vamos
mostrar enta˜o porque o conjunto e´ LI. Considere a seguinte combinac¸a˜o linear
a(3, 1,−4) + b(2, 5, 6) + c(1, 4, 8) = (0, 0, 0)
a
 31
−4
+ b
 25
6
+ c
 14
8
 =
 00
0

 3 2 11 5 4
−4 6 8
 ab
c
 =
 00
0

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Continuac¸a˜o da soluc¸a˜o questa˜o 3.
Calculando determinante da matriz dos coeficientes do sistema acima obtemos
det
 3 2 11 5 4
−4 6 8
 = 26.
Como detA 6= 0 enta˜o o sistema acima possui soluc¸a˜o u´nica e portanto a soluc¸a˜o trivial. Assim
a = 0, b = 0 e c = 0. Para mostrar que {(3, 1,−4), (2, 5, 6), (1, 4, 8)} gera R3, usaremos um
racioc´ıcio semelhante. Seja (x, y, z) ∈ R3 um vetor arbitra´rio. A combinac¸a˜o linear
a(3, 1,−4) + b(2, 5, 6) + c(1, 4, 8) = (x, y, z)
resultara´ no sistema  3 2 11 5 4
−4 6 8
 ab
c
 =
 xy
z

Este sistema possui soluc¸a˜o u´nica pois o detA 6= 0. Assim {(3, 1,−4), (2, 5, 6), (1, 4, 8)} gera R3 e
portanto forma uma base para este espac¸o.
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Questa˜o 4. Sejam W1 e W2 planos, subespac¸os vetoriais do espac¸o R3 com operac¸o˜es usuais.
Sabendo que o vetor normal de W1 e´
−→
N 1 = (1,−7, 5) e o de W2 e´ −→N 2 = (3,−1, 1), assinale a
alternativa que indique uma base para subespac¸o (reta) intersec¸a˜o dos planos W1 ∩W2.
a)
 −17
10

b)
 04
1

c)
 13
1

d)
 11
1

Soluc¸a˜o: Temos que:
W1 = {(x, y, z)/x− 7y + 5z = 0} e W1 = {(x, y, z)/3x− y + z = 0} e o espac¸o
W1 ∩W2 = {(x, y, z)/x− 7y + 5z = 0 e3x− y + z = 0}{
x− 7y + 5z = 0
3x− y + z = 0
(
1 −7 5
3 −1 1
0
0
)
L2 − 3L3 →
(
1 −7 5
0 20 −14
0
0
)
L2 · 120 →
(
1 −7 5
0 1 −7/10
0
0
)
L1 + 7L2 →
(
1 0 1/10
0 1 −7/10
0
0
)

x +
1
10
z = 0
y − 7
10
z = 0
Tome z = 10t, obtemos x = −t e y = 7t com t ∈ R
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Continuac¸a˜o questa˜o 4.
Logo
 x = −ty = 7tz = 10t
W1 ∩W2 =
t
 −17
10
 ; t ∈ R
 =
 −17
10

Como o conjunto

 −17
10
 e´ LI pelo fato de ser unita´rio e na˜o nulo, seque portanto que esse
conjunto forma uma base para W1 ∩W2
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Questa˜o 5. Considere os vetores de R3, −→v1 = (−1, 1,−1), −→v2 = (2, 4, 3) e −→v3 = (0, 7, h), sendo este
u´ltimo dependente de um paraˆmetro h. Qual e´ o valor de h para que o conjunto β = {−→v1 ,−→v2 ,−→v3}
seja linearmente independente.
a)
7
6
b)
1
3
c) 1
d) 0
Questa˜o Anulada: A pergunta deveria ser qual e´ o valor de h para que o conjunto β seja LD.
No entanto vamos apresentar a resoluc¸a˜o para fins de estudo. Considere a combinac¸a˜o linear
a(−1, 1,−1) + b(2, 4, 3) + c(0, 7, h) = (0, 0, 0).
Esta resultara´ no sistema  −1 2 01 4 7
−1 3 h
 ab
c
 =
 00
0
 .
O conjuto proposto e´ LD se, e somente se, o determinante da matriz dos coeficientes e´ igual a
zero, isto e´,∣∣∣∣∣∣
−1 2 0
1 4 7
−1 3 h
−1 2
−1/4 4
−1 3
= −6h+ 7 = 0⇒ h = 7
6