132 - 146 ESTÁTICA

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Estatica 
~h__________~==============J 
1 c A p f T u. L o 
Estatica do 
materi 1p 
Projec;ao ortogonal de uma forc;:a 
Considere, inicialmente, uma for- a) F ~a F paralela a urn eixo Ox, conforme .: 
a figura 1. Seja F a sua intensidade. I I 
A proje~ao ortogonal de F no eixo F x I I X 
I •Ox e que se indica por F x etal que: .'0 
F x = +F quando F tern 0 mesmo b) :.. F 
sentido de Ox (fig. 1a). I I 
I 
I F xF x = - F quando F tern 0 serttido I. x ~I 
oposto ao de Ox (fig. 1b) . 0 
Fig. 1 
N a figura 2a, senjo F x e F y as pro-
ya)je~6es ortogonais de F nos eixos Ox e 
Oy, respectivamente, temos: 
Fx=FeFy=O. 
.. 
F xNa fig. 2b, temos: 
0
Fx=O e Fy=F. 
b) J x ~ 
Fig. 2 
132 
____________________ 
x 
-
No caso em que a forc;:a F forma 
com 0 eixo Ox um angulo e, conforme 
figura 3, temos: 
F x = F . cos e: cateto adjacen­
te = hipotenusa . cosseno do angulo 
F y = F . sen e: cateto oposto = 
= hipotenusa . seno do angulo. 
Observe na figura 4 que 
F x = - F . cos e e 
Fy = F . sen e. 
Aplicac;ao . 
y 
Fig. 3 
y 
-------­
I 
I 
F I 
YI
, 
i 
I 
F 
e 
F 
x 
F 
Y 
x 
Fig. 4 
A.l Determine as projec;:6es ortogonais F x e F y da forc;:a F de intensidade 
F= 100 N em relac;:ao aos eixos Ox e Oy, nos casos: 
y
a) y b) 
F 
• l' 
x x 
c) ° d) ° 
• 
yy 
x 
sene=0,6 
sen e= 0 ,6 
cos e= 0 ,8 
~~~ ~x cose = 0,8 
° 
113 
Resolufiio : 
a) Neste caso, F x = F = 100 N 
e F y = 0, pois a projec;ao or­
togonal de F no eixo Oy se 
reduz a urn ponto. 
b) F tern sentido oposto ao eixo 
Oy . Logo, F y= -F= -100 N. 
Sendo F perpendicular ao ei­
xo Ox, resulta F x = O. 
0 
0 
y 
--I 
J 
I 
, 
, 
, 
I
., 
F 
F
·x 
-, 
I 
I, 
J 
I 
,
, 
.8 x• 
y 
b x• 
y 
c) 	 F x = F . cos e 
F x = 100 . 0,8 Fx = 80 N 
F y = F . sen e 
Fy 
F y = 100 . 0,6 F y = 60 N 
•
x 
0 
d) F x = F . cos e F 	 xx 
F =100·0,8 I F x = 80 N I 
0 
" 
x 
F 	 = -F . sen e Fy v 
F y = -100 . 0,6 
F--- ---- ----~ 
I Fy = -60 N I 
A.2 	 Sejam Fie F\ duas forc;as de in­
tensidadesF ,=20N e F 2 = lON, 
conforme a figura, e seja FR a 
resultante dessas forc;as. Deter­
mine as projec;oes ortogonais de 
xFI ' F2 e FR em relac;ao aos eixos 0 
Ox e Oy. 
134 
Dados: 	sen 30° = cos 60° = 0,50 
sen 60° = cos 30° = 0,86 
Resolufiio: 
Sejam Fix e ! Iy as projet;6es or­
togonais de F I " Temos: 
Fix = Fl' cos 30° 
F lx= 20 . 0,86 
x 
Fl y = Fl' sen 30° 
F 2y = 20 . 0,50 
I Fly = 10 N I 
Para a fort;a F2 podemos escrever: 
F 2x = - F 2 • cos 60° I F2. = - 10 . 0,50 I I F 2x = - 5,0 N I 
F 2y = F 2 . sen 60° I F 2y = 10 . 0,86 1 F 2y = 8,6 N I 
Para 0 calculo das projet;6es F Rx e FRy da resultante FR, aplicamos 0 fato 
de que" a projefiio da resultante sobre um eixo e igual asoma algebrica das projefoes 
das jorfas componentes"" Desse modo: 
FRx = Fix + F2x FRx = 17,2 + (-5,0) FRx = 12,2 N 
FRy = Fly + F 2y FRy = 10 + 8,6 
Verifica~ao 
V.1 Determine as proJet;oes ortogonais F x e F y da fort;a 
F = 50 N em relat;ao aos eixos Ox e Oy, nos casos: 
a) y b) y 
F de intensidade 
.. 
F 
o 
x 
o 
x 
~L__~~ ______-===================~~~====~~~.~ 
135 
c) 	 d) yy 
x 
x 
o 
sen 6 = 0,6 sen 30° = 0,50 
cos6 = 0,8 cos 30° = 0,86 
V . ..: 	 Considere 0 sistema de for<;:as in­
dicado .na figura. As intensida­
des das for<;:as FIl F\ e F\ sao 
respectivamen te: F I = 100 N; 
F2 = 50 N e F 3 = 10 N. 
Determine as proje<;:oes ortogonais dessas for<;:as e de sua resultante em re­
la<;:ao aos eixos Ox e Oy. 
Dados: 	 sen 45° = cos 45° = 0,71 
sen 30° = 0,50 cos 30° = 0,86 
Equilibria estatico de urn ponto material 
x 
Urn ponto material esta em equilibrio estdtico em rela<;:ao a urn sistema de re­
ferencia, se sua velocidade v permanecer nula no decorrer do tempo. 
Nessas condi<;:oes, a acelera<;:ao a e nula e, de acordo com 0 princfpio funda­
mental da Dinamica, tambem e nula a resultante das for<;:as que atuam sobre 0 
ponto material: FR = O. 
A condi<;:ao FR = 0 pode ser imposta pdo metodo das proje(oes: considerando­
se as for<;:as coplanares, escolhe-se urn sistema cartesiano ortogonal Oxy, no plano 
das for<;:as, e imp6e-se que as proje<;:oes F Rx e FRy de FR nos eixos Ox e Oy se­
jam nulas: F Rx = °e FRy =>; 0. 
ApUcar;ao 
A.3 	 0 sistema esquematizado ao lado 
encontra-se em equilibrio. 0 cor­
po A tern peso P = 160 N. Deter­
mine as tra<;:oes nos fios ideais BC 
e BD. Dados: sen e= 0,8 e 
cos e= 0,6. 
136 
6 D 
x 
Resolufiio: 
Vamos isolar 0 ponto Bonde concorrem os tres fios. Note que a trac;ao no 
fio vertical e igual ao peso do corpo A. 
Chamando de T, e T 2 as trac;oes 
nos fios BC e BD, respectiva­
mente, e considerando 0 sistema 
cartesiano Bxy, vern: B I 
I 
I 
I, 
----:,.,....,...,"':,':"11"'-'-'----...... - - - ­
T 2. = T 2 • cos e 	
, •• . .. ';..- --~ 
Tzx" 
T 2y = 	T 2 • sen e 
p 
Como 0 ponto B est a em equilibrio, devemos impor F Rx = 0 e FRy = 0: 
F Rx = 0 - T 2 • cos e- T, = 0 
T2 . cos e= T, 
T 2 • 0,6 = T, CD 
FRy = 0 - T 2 • sen e- P = 0 
T2 . sen e= P 
T2·0,8=160 
I T 2 = 200 N I 
De CD vern: 200 . 0,6 = T, T, = 120 N 
Verifica<;ao 
V.3 	 No sistema da figura, em equilf­
brio, a trac;ao no fio horizontal 
BC tern intensidade 50 N. Os 
fios sao ,ideais. Determine 0 peso 
do bloco A e a. intensidade da 
forc;a de trac;ao no fio BD. 
1Dados: sen 60° = V; e cos 60° =­2 
A 
EXERCICIOS D E REVISAo 
R.1 (FEI-SP) 0 vetor representativo de uma certa grandeza ffsica possui a intensidade 2. 
As componentes ortogonais desse vetor medem V3 e 1. Qual 0 angulo que 0 vetor 
forma com a sua componente de maior intensidade? 
137 
R.2 	 (UF-AL) Uma partfcula A esta sujeita a tres forr,;as colineares, representadas na fi­
gura abaixo pelos vetores~) ~ e is. Sendo Fl = 10 N e F2 = 7 N e estando a 
partfcula em equillbrio, a intensidade de is deve ser, em N, igual a: 
a)3 b)7 c) 10 d) 13 e) 17 
R.3 	 (FEI-SP) Na figura, 0 gancho A da 
parede vertical e arrancado quan­
do sujeito a uma forr,;a maior que B 
1 000 N; B resiste a uma forr,;a mui­
tfssimo maior . 0 maior valor da 
massa m que se pode colocar no pra­ 9 = 10 m/s2 
to D sem arrancar 0 gancho A e de tg 30° = 0,577 
(em kg): 
a) 173,2 d) 57,7 
b) 70,7 e) 100 
c) 1 000 D 
R.4 	 (UFSCAR-SP) Uma massa de 2 kg est<i suspensa por cordas inextensfveis e de 
massas desprezfveis, conforme a figura abaixo. A trar,;ao na corda horizontal ede: 
(Adote g = 9,8 m/s2.) 
39 2
a) --'- newtons . 
V3 
20b) -'- newtons. 
V3 
40
c) -'- newtons. 
V3 
19 6d) - .?- newtons . 
V3 
sen 60° = V3 
2 
cos 60° = 1/2 
e) 39,2 newtons. 
R.5 	 (ITA-SP) Urn bloco de peso Pes2stentado por fios, como indica a figura., Calcu­
lar 0 modulo da forr,;a horizontal F. 
a) F = P sen e 
b) F = P cos e 
c) F = P sen ecos e 
d) F = P cotg e 
e) F = P tg e 
138 
F 
(Cesesp-PE) Urn corpo de massa igual a 2 kg, suspenso por uma corda presa a uma 
parede, emantido em equillbrio por meio de uma for~a horizontal, como mostrado 
na figura. Sendo a 10 m/s2, 0 valor da tra~ao na corda e, em newtons, igual a: 
a) 2 
b) 20 
c) 20 V2 
d) 20/V2 F 
----~~ e) 2 V2 
(F.O. Alfenas-MG) No esquema, 0 
peso "P" esta em equillbrio, susten­
tado por 3 cordas (1, 2 e 3). Sendo 
 2 
F I' F 2 e F 3 as tra~6es nas cordas 1, 2 
e 3, respectivamente, verificamos 
que: 
a) F 2 eigual a Fl' 
b) F2 e menor que F3 • 
c) FI e nula. 
d) FI e menor que F2. 
e) F I mais F 2 e igual a P. 
(AFA-SP) 0 bloco B da figura tern massa c:te.80 kg e 0 coeficiente de atrito estatico 
entre ele e a mesa e 0,25. Determine, em! kg:'a massa maxima do bloco A para a 
qual 0 sistema ainda se mantem em repouso: (D~do: g' '; 10 m/s2.) 
a) 20 
.B 	 b) 40 
c) 60 
d) 80 B 
139 
A T u L o 2 
Est;tica do 
corpo extenso 
Momento de uma for~a em rela~ao a urn ponto 
Chama-se momenta de uma fOTfa F 
aplicada num ponto P, em relar;ao a 
urn ponto 0, denominado polo, 0 pro­
duto da intensidade Fda forr;a pela dis­
tancia do ponto 0 a linha de ar;ao da 
forr;a (fig. 5): 
Por convenr;ao, adota-se 0 sinal 
positivo para 0 momenta quando a for­
r;a tende a produzir em torno do polo . 
rotar;ao no sentido anti-horario (fig. 5) 
e negativo no sentido honirio (fig. 6). 
,0 
I 
I 
:d 
I 
I 
I
-fl---- - ... p 
Fig. 5 
Fig. 6 
A unidade de momenta no sistema internacional e0 newton· metro (N . m). 
Aplica<;ao 
A.l U rna barra OA situada num plano vertical pode girar em torno de urn pon­
to O. Determine 0 momenta da forr;a F de intensidade F = 20 N em rela­
r;ao ao ponto 0, nos casos: 
140 
A 
c) /' 
A A 
0,6m 
Resolufiio: 
Nos casos a) e b), as distfmcias d do ponto 0 as linhas de a~ao das for<;as sao 
nulas. Portanto, nulos sao os momentos da for~a F em rela~ao ao ponto O. 
Note, nessas duas situa~oes, que a for~a F nao tende a produzir rota~ao da 
barra OA em torno de O. 
c) 	Observe que F tende a produzir rota~ao em torno de 0 no sentido anti ­
honirio. Portanto: Mo = +F . d. Sendo F = 20 Ned = 0,3 m, 
vern: Mo = +20 . 0,3 I Mo = 6 N . m 
d) Nesse caso, d = 0,6 m e, portanto: 
Mo=+F· d Mo= +20 ·0,6 I Mo= 12 N . m 
Nos casos c) e d), a for~a F tende a produzir rota~ao da barra em torno de 
o e os momentos nao sao nulos. Na situa~ao d), onde 0 momento emaior, 
torna-se mais facii girar a barra. Desse modo, conclulmos que 0 momento e 
uma grandeza que mede a eJiciencia de umaforfa em produzir rotafiio. 
Verifica~ao 
V. t Considere uma barra OA situada num plano vertical sob a~ao de urn siste­
ma de for~as indicado na figura. Determine 0 momenta de cada for~a em 
rela~ao ao ponto O. 
0,6m 
Fl = 20 N 
F2 5 N 
• 
0 1 AI 
I 
OAm 
p= 30N 
141. 
Equilibrio estatico de urn corpo extenso 
Vamos considerar urn corpo extenso ern equilibrio estatico ern relac;ao a urn 
sistema de referencia, sob ac;ao de urn sistema de forc;as coplanares. 
Estando 0 corpo ern equilibrio estatico, ele nao sofre translac;ao nem rota­
~ao. 1sso significa que a resultante das jor(as que atuam sobre 0 corpo i nula CF R = 0, isto 
e, F Rx = °e FRy = 0) e a soma algibrica dos momentos das jor(as que atuam no corpo, em 
rela(iio a um ponto qualquer, i nula (LM = 0). 
Nessas condlc;6es, temos tres equac;6es: F Rx = 0, FRy= °e LM = 0. 
Aplica~ao 
A.2 	 Vma barra homogenea AB de 
peso P = 60 N e comprimento 
£ = 1,2 m esta apoiada no extre­
mo A, sendo mantida ern equili­
brio por meio do fio ideal, con­
forme a figura. Determine a in­
tensidade da forc;a de trac;ao no 
fio e a intensidade da forc;a que 0 
apoio exerce na barra. 
Resolu(iio: 
1nicialmente, isolamos a barra 
AB . Nela atuam as forc;as: peso 
(P), que e aplicado no ponto me­
O,8mdio da barra, trac;ao (T) devida y A /4--'-'--'-"-_~ 
ao fio e a forc;a do apoio (y A)' p= 80N 
que tern direc;ao vertical: 
Nas condic;6es de equilibrio, temos: 
1?) resultante nula 
I 
I 	
FRy = °- YA + T - P = 0, Y + T = P, A + T = 60 N I CDA Y 
2?) 	soma algibrica dos momentos nula em rela(iio ao ponto A 
Ern relac;ao ao ponto A, 0 momento de YA e nulo, sendo 0 momenta 
de T positivo (anti-horario) e de P negativo (horario). 
LMA = MYA + MT + Mp = ° 
o + T . 0,9 - P 0,6 = ° 
T . 0,9 = 60 . 0,6 I T = 40 N I 
Substituindo-se T = 40 N na expressao CD ' resulta: 
142 
,'~~ 
A .3 	 A barra homogenea AB de peso 
P = 120 Nesta articulada em A sen e = 0,6 
e e mantida em equilIbrio pelo cas e= 0,8 
fio ideal Be. Determine a inten­
sidade da forc;a de trac;ao no fio e 
as componentes vertical e hori­
8zontal da forc;a da articulac;ao na A 
barra. 
Resolufiio: 
Inicialmente, isolamos a barra. Nela atuam as forc;as: peso (P) aplicado no 
ponto medio, trac;ao (T) devida ao fio e a forc;a da articulac;ao, isto e, do pi­
no (componentes horizontal XAe vertical Y A): 
p P 
I 
Tsen eVA 
VA Teas ex 	 x 
.,.. 
, xA £/2 
,8 
I, 
P = 120 N I 
--.-~---..,.----...!.--A , A xA l/2 , 
=} 
,4 I, P = 120 N ,., 
Nas condic;oes de equilIbrio, temos: 
1?) resultante nula 
F Rx = 0 ~ X A - T . cos e= 0 Ix A = T 0,81 CD 
FRy = 0 ~ YA + T . sen e- P = 0 IYA + T 0,6 = 120 10 
2?) 	soma algebrica dos momentos nula em relafiio ao ponto A 
Em relac;ao a A, os momentos de Y Al e T . cos e sao nulos. 0 mo­X A 
mento de T . sen eepositivo (anti-horario) e de P negativo (horlirio). 
2MA = M YA + M XA + MT cosB + MTsenB + Mp = 0 
o+ 0 + 0 + T . sen e . i. - P . _i._ = 02 
T . sen e=2P T . 0,6 = 1~O Lr-T-=-1O-O-N--', 
Substituindo-se T = 100 N na expressao CD : 
= 100 	. 0,8X A 
Substituindo-se T = 100 N na expressao 0 : 
YA +100 . 0,6 = 120 
143 
Verificac,:ao 
V.2 	 Uma barra homogenea AB de peso P = 90 Nesta apoiada nos pontos A e 
C, conforme a figura. Determine as intensidades das fon;:as dos apoios so­
bre a barra. 
I I
:... 0,8m ., 
I0,6m I 
18 
I 
V.:; A barra homogenea da figura de peso P = 20 Nesta em equilibrio . 0 fio e 
a polia sao ideais. Determine a intensidade da for~a F e as componentes 
horizontal e vertical da for~a da articula~ao sobre a barra . 
V3Dados: sen 30° = 0,5; cos 30° = -2­
. ,_.- . 	 1 
A 	 8 
DE REVISAO 
R.:' 	 (UF-AL) Tres forc;as de mesma intensidade sao aplicadas no ponto A de uma cha­
ve, conforme ilustra a figura abaixo . Em relaC;ao ao centro do parafuso P, € correto 
afirmar que 0 momenta de: 
a) F2 € nulo. 
b) FI enulo. 
c) F3 emaior que 0 de F2 • 
d) FI emaior que 0 de F3 • 
e) F3 € nulo . 
R.2 	 (Unifor-CE) Na figura abaixo, a forc;a F = 200 N e aplicada no ponto A da ala­
vancaAB, de peso desprezlvel, mantendo 0 sistema em equilibrio. 0 valor do peso 
colocado na extremidade B, em N, ede: 
a) 200 60 em 
b) 300 
c) 500 
d) 600 
e) 1 200 
 A 
144 
n.3 (F.C.M. Santa Casa-SP) Na figura abaixo ewi representado urn sistema mecanico 
em equillbrio estatico. X euma barra rigida, cillndrica e homogenea; P eurn ponto 
fixo; Y e uma esfera de massa igual a 2,0 kg, pendurada na barra por urn fio de 
massa desprezivel. Qual e, em quilogramas, a massa da barra? 
a) 1,0 
b) 2,0 
 4.0m 
c) 3,0 	 1.0m Ir' 	 • xd) 4,0 
e) 5,0 
 ..... 
p 
(UC-MG) A barra AB = 12 cm ehomogenea e pesa 30 N. A rea\;ao no apoio C, 
em newtons, e: 
a) 25 
C Bb) 33 A 
c) 40 
d) 55 
 ~l 
I I 
e) 80 I I 
r-----o 
2 em 
;!~ .5 	 (UF-ES) Urn garoto de 30 kg de massa estaassentado em urn banco, na posi\;ao in­
dicada na figura. Desprezando 0 peso do assento do banco, as for\;as provocadas 
nos apoios A e B, em newtons, sao, respectivamente: 
a) 0, 300 
b) 60,240 
c) 100,200 
d) 120, 180 
e) 150, 150 
(9 = 10 m/sl) 
aOem 
A 
:Lr, 	 (ITA-SP) A barra AB euniforme, pesa 50,0 N e tern 10,0 m de comprimento. 0 
bloco D pesa 30,0 N e dista 8,0 m de A. A distancia entre os pontos de apoio da bar­
ra e· AC = 7,0 m. Calcular a rea\;ao na extremidade A. 
a)R=14,ON 
b) R = 7,0 N 
c) R = 20,0 N 
d) R = 10,0 N 
e) R = 8,0 N 
145 
R.7 	 (Fuvest-SP) Na figura abaixo, os tres corpos suspensos estao em equillbrio. Despre­
zam-se os atritos nas roldanas e as massas da barra AB e dos fios. Dados : m) = 20 kg, 
m 2 = 40 kg e DB = 60 cm. Pede-se: 
a) a tra<;ao no fio F. 	 b) a distancia AD. 
F 
(g = 10 m/s2) 
R.B 	 (Covest-PE) Uma prancha de madeira de 1 kg/m e comprimento total igual a 6 m 
esta colocada sobre uma mesa horizontal, com 1/3 de seu comprimento projetado 
para fora . Qual 0 valor damaior massa que pode ser suspensa na extremidade livre 
(A) da prancha sem que a mesma entre em movimento? 
l-"6m---j 
146 
~' --------------------------------------------------------~