APS_2

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Porto Alegre, 26 de novembro de 2019 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APS 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nomes: Andrei Rodrigues, Willian Lemes 
Turma: Fapa Noite 
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Porto Alegre, 26 de novembro de 2019 
 
 
 
 
1) Com o auxílio de um programa computacional, plote o gráfico da função 
determinada pela equação f(x) = 0. O que você observa? Visualmente, quais as 
raízes dessa equação? Essa(s) é (são) a(s) única(s) raiz(es) reais dessa função? 
Analisamos que é formada uma reta com as raízes únicas (0,0). 
2) Utilizando um valor próximo ao da raiz ou os intervalos determinados, encontre 
uma aproximação para a raiz da equação utilizando o método da bisseção com 
precisão de ε ≤ 10^-3. Confeccione uma tabela, similar ao modelo a seguir, para 
listar e registrar o passo-a-passo. Iteração Intervalo Raiz |f(x)| 
 
 
Formula: F(X)= 80+90*(COS((π/3) *X)) 
 
ITERAÇÕES T1 B Xns F(a) F(b) F(Xns) ε 
0 4 0 2,0000000 34,835 170,000 35,083 4,0000000 
1 2 0 1,0000000 35,083 170,000 125,041 2,0000000 
2 1 0 0,5000000 125,041 170,000 157,954 1,0000000 
3 0,5 0 0,2500000 157,954 170,000 166,936 0,5000000 
4 0,25 0 0,1250000 166,936 170,000 169,231 0,2500000 
5 0,125 0 0,0625000 169,231 170,000 169,807 0,1250000 
6 0,0625 0 0,0312500 169,807 170,000 169,952 0,0625000 
7 0,03125 0 0,0156250 169,952 170,000 169,988 0,0312500 
8 0,015625 0 0,0078125 169,988 170,000 169,997 0,0156250 
9 0,0078125 0 0,0039063 169,997 170,000 169,999 0,0078125 
10 0,00390625 0 0,0019531 169,999 170,000 170,000 0,0039063 
11 0,001953125 0 0,0009766 170,000 170,000 170,000 0,0019531 
12 0,000976563 0 0,0004883 170,000 170,000 170,000 0,0009766 
 
Formula: V=πh²*(3r-h) /3 
 
ITERAÇÕES A B Xns F(a) F(b) F(Xns) ε 
0 0 1 0,3750000 0,180 0,654 0,386 0,2500000 
1 0,375 0,5 0,4375000 0,386 0,654 0,513 0,1250000 
2 0,4375 0,5 0,4687500 0,513 0,654 0,582 0,0625000 
3 0,46875 0,5 0,4843750 0,582 0,654 0,618 0,0312500 
4 0,484375 0,5 0,4921875 0,618 0,654 0,636 0,0156250 
5 0,4921875 0,5 0,4960938 0,636 0,654 0,645 0,0078125 
6 0,49609375 0,5 0,4980469 0,645 0,654 0,650 0,0039063 
7 0,498046875 0,5 0,4990234 0,650 0,654 0,652 0,0019531 
8 0,499023438 0,5 0,4995117 0,652 0,654 0,653 0,0009766 
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Porto Alegre, 26 de novembro de 2019 
 
 
Formula: V=(gm/c)*(1-e^-(ct/m)) 
 
N A B Xns F(a) F(b) F(Xns) ε 
0 9 -1 4,0000000 -29399994122,116 264600005880,235 -66149994120,941 10,0000000 
1 4 -1 1,5000000 -66149994120,941 264600005880,235 -176399994120,353 5,0000000 
2 1,5 -1 0,2500000 -176399994120,353 264600005880,235 -1058399994120,060 2,5000000 
3 
0,2 
5 
-1 -0,3750000 -1058399994120,060 264600005880,235 705600005880,088 1,2500000 
 
4 
0,2 
5 
- 
0,37 
5 
 
-0,0625000 
 
-1058399994120,060 
 
705600005880,088 
 
4233600005880,010 
 
0,6250000 
 
5 
0,2 
5 
- 
0,06 
25 
 
0,0937500 
 
-1058399994120,060 
 
4233600005880,010 
 
-2822399994120,020 
 
0,3125000 
 
6 
0,0 
937 
5 
- 
0,06 
25 
 
0,0156250 
 
-2822399994120,020 
 
4233600005880,010 
 
-16934399994120,000 
 
0,1562500 
 
7 
0,0 
156 
25 
- 
0,06 
25 
 
-0,0234375 
 
-16934399994120,000 
 
4233600005880,010 
 
11289600005880,000 
 
0,0781250 
 
8 
0,0 
156 
25 
- 
0,02 
3437 
5 
 
-0,0039063 
 
-16934399994120,000 
 
11289600005880,00 
0 
 
67737600005880,000 
 
0,0390625 
 
9 
0,0 
156 
25 
- 
0,00 
3906 
25 
 
0,0058594 
 
-16934399994120,000 
 
67737600005880,00 
0 
 
-45158399994120,000 
 
0,0195313 
 
10 
0,0 
058 
593 
75 
- 
0,00 
3906 
25 
 
0,0009766 
 
-45158399994120,000 
 
67737600005880,00 
0 
 
-270950399994120,000 
 
0,0097656 
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Porto Alegre, 26 de novembro de 2019 
 
 
Formula: V=u*ln(mo/mo-qt)-gt 
 
ITERAÇÃO A B Xns F(a) F(b) F(Xns) ε 
0 20 30 25,00000 
00 
-298,470 241,951 -51,336 10,0000000 
1 25 30 
27,50000 
00 
-51,336 241,951 88,657 5,0000000 
2 25 27,5 26,25000 
00 
-51,336 88,657 17,123 2,5000000 
3 25 26,25 25,62500 
00 
-51,336 17,123 -17,477 1,2500000 
4 25,625 26,25 
25,93750 
00 
-17,477 17,123 -0,271 0,6250000 
5 25,9375 26,25 26,09375 
00 
-0,271 17,123 8,402 0,3125000 
6 25,9375 26,09375 26,01562 
50 
-0,271 8,402 4,060 0,1562500 
7 25,9375 
26,01562 
5 
25,97656 
25 
-0,271 4,060 1,893 0,0781250 
8 25,9375 25,97656 
25 
25,95703 
13 
-0,271 1,893 0,811 0,0390625 
9 25,9375 25,95703 
125 
25,94726 
56 
-0,271 0,811 0,270 0,0195313 
10 25,9375 
25,94726 
563 
25,94238 
28 
-0,271 0,270 -0,001 0,0097656 
11 25,94238 
281 
25,94726 
563 
25,94482 
42 
-0,001 0,270 0,135 0,0048828 
12 25,94238 
281 
25,94482 
422 
25,94360 
35 
-0,001 0,135 0,067 0,0024414 
13 25,94238 
281 
25,94360 
352 
25,94299 
32 
-0,001 0,067 0,033 0,0012207 
14 25,94238 
281 
25,94299 
316 
25,94268 
80 
-0,001 0,033 0,016 0,0006104 
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Porto Alegre, 26 de novembro de 2019 
 
 
3) Utilizando um valor próximo ao da raiz ou os intervalos determinados, encontre 
uma aproximação para a solução da equação utilizando o método de Newton- 
Raphson, com precisão de ε ≤ 10^-3. Confeccione uma tabela, similar ao modelo a 
seguir, para listar e registrar o passo-a-passo. Iteração Intervalo Raiz |f(x)| 
Formula: F(X)=80+90*cos(π/3*t) 
 
ITERAÇÃO Xns F(Xns) F'(Xns) Xns+1 
0 4,00 34,83458816999 
21 
81,52064920048 
35 
3,572690005395 
8 
1 3,5726900 
5,609334559171 
6 
53,04677945477 
74 
3,466946836501 
7 
2 3,4669468 0,469440689868 
8 
44,11781437015 
13 
3,456306221218 
1 
3 3,4563062 0,005179593611 
4 
43,18754726069 
63 
3,456186288646 
3 
4 3,4561863 
0,000003251738 
7 
43,17703128169 
10 
3,456186213334 
5 
 
Formula: V=πh²*(3r-h)/3 
 
Xns f(Xns) f'(Xns) Xns+1 ε 
0,50000 0,65417 7,06858 0,40745 0,65417 
0,40745 0,45050 6,11564 0,33379 0,45050 
0,33379 0,31092 5,24174 0,27447 0,31092 
0,27447 0,21491 4,46369 0,22633 0,21491 
0,22633 0,14871 3,78340 0,18702 0,14871 
0,18702 0,10298 3,19563 0,15480 0,10298 
0,15480 0,07136 2,69200 0,12829 0,07136 
0,12829 0,04947 2,26307 0,10643 0,04947 
0,10643 0,03431 1,89940 0,08837 0,03431 
0,08837 0,02380 1,59211 0,07342 0,02380 
0,07342 0,01651 1,33315 0,06103 0,01651 
0,06103 0,01146 1,11537 0,05076 0,01146 
0,05076 0,00795 0,93254 0,04223 0,00795 
0,04223 0,00552 0,77924 0,03515 0,00552 
0,03515 0,00383 0,65085 0,02926 0,00383 
0,02926 0,00266 0,54340 0,02436 0,00266 
0,02436 0,00185 0,45356 0,02028 0,00185 
0,02028 0,00128 0,37847 0,01689 0,00128 
0,01689 0,00089 0,31575 0,01407 0,00089 
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Porto Alegre, 26 de novembro de 2019 
 
 
Formula: V=u*ln(mo/mo-qt)-gt 
 
ITERAÇÃO Xns f(Xns) f'(Xns) Xns+1 ε 
0 -1,00 -1026,7448 26,4429 37,82871 1026,7447848 
1 37,8287058 838,3290 90,7816 28,59414 838,3289803 
2 28,5941370 153,9854 60,9228 26,06659 153,9854342 
3 26,0665878 6,8913 55,6082 25,94266 6,8912927 
4 25,9426620 0,0149 55,3681 25,94239 0,0148960 
5 25,9423930 0,0000 55,3676 25,94239 0,0000001 
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Porto Alegre, 26 de novembro de 2019 
 
 
4) Utilizando um valor próximo ao da raiz ou os intervalos determinados, encontre 
uma aproximação para a solução da equação utilizando o método da secante, com 
precisão de ε ≤ 10^-3. Confeccione uma tabela, similar ao modelo a seguir, para 
listar e registrar o passo-a-passo. Iteração Intervalo Raiz |f(x)| 
 
 
Formula: F(X)=80+90*cos(π/3*t) 
 
ITERAÇÃO Xns f(Xns) Xns+1 ε 
0 4,0 34,8346 
0 1,0 125,0414 5,15849125,04 
1 5,1584912 137,0681 -42,23548 137,07 
2 -42,2354819 167,7480 216,90001 167,75 
3 216,9000091 140,9154 1577,78510 140,92 
4 1577,7851004 123,7892 11414,34743 123,79 
5 11414,3474299 -0,6493 11363,02021 0,65 
6 11363,0202131 144,2792 11414,11747 144,28 
7 11414,1174696 11,1977 11418,41686 11,20 
8 11418,4168605 151,2172 11413,77364 151,22 
9 11413,7736383 36,0371 11412,32088 36,04 
10 11412,3208843 156,2247 11414,20923 156,22 
11 11414,2092329 5,9508 11414,28401 5,95 
12 11414,2840112 2,1779 11414,32718 2,18 
13 11414,3271763 0,2155 11414,33192 0,22 
14 11414,3319176 0,0099 11414,33214 0,01 
15 11414,3321447 0,0000 11414,33215 0,00 
 
Formula: V=πh²*(3r-h)/3 
 
ITERAÇÃO Xns f(Xns) Xns+1 ε 
0 0,1 0,0077 
0 1,0 2,0933 0,04648 2,09 
1 0,0464839 0,0067 0,04343 0,01 
2 0,0434316 0,0058 0,02228 0,01 
3 0,0222811 0,0015 0,01465 0,00 
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Porto Alegre, 26 de novembro de 2019 
 
 
Formula: V=(gm/c)*(1-e^-(ct/m)) 
 
ITERAÇÃO Xns f(Xns) Xns+1 ε 
 - 
0 8,0 33074994121,88 
 12 
 
0 
 
1,0 
- 
264599994120,2 
350 
 
9,00000 
264599994120,2 
4 
 - 
1 8,9999998 29399994702,64 10,00000 29399994702,65 
 80 
 - 
2 9,9999996 26459995121,57 19,00000 26459995121,57 
 05 
3 18,9999974 360,9999 19,00000 361,00 
4 18,9999973 360,9999 9,50000 361,00 
5 9,4999987 90,2499 6,33334 90,25 
6 6,3333359 40,1094 3,80020 40,11 
7 3,8001989 14,4191 2,37843 14,42 
8 2,3784256 5,5642 1,48502 5,56 
9 1,4850199 1,9788 0,99195 1,98 
10 0,9919518 0,6131 0,77059 0,61 
11 0,7705894 0,1311 0,71040 0,13 
12 0,7104015 0,0132 0,70365 0,01 
13 0,7036477 0,0003 0,70347 0,00 
 
Formula: V=u*ln(mo/mo-qt)-gt 
 
ITERAÇÃO Xns f(Xns) Xns+1 ε 
0 25,0 -51,3365 
0 1,0 -972,6379 26,33732 972,64 
1 26,3373211 22,0180 25,77645 22,02 
2 25,7764478 -9,1615 25,94125 9,16 
3 25,9412499 -0,0633 25,94240 0,06 
4 25,9423963 0,0002 25,94239 0,00 
P á g i n a | 9 
Porto Alegre, 26 de novembro de 2019 
 
 
5) Quais dos métodos acima obteve uma aproximação desejada com o menor 
número de iterações? 
O método de Newton. 
 
 
6) A que você atribui o melhor desempenho do método acima? 
O método de Newton obteve resultados mais próximos do que o método de 
bisseção, porque não era preciso encontrar o intervalo onde estava a raiz. 
 
 
7) Considerando os métodos da Bisseção, Newton e Secante, e a atividade acima, 
indique um pró e um contra para a utilização de cada método. 
 
 BISSEÇÃO NEWTON SECANTE 
PRÓS Método simples Não precisa 
intervalos 
Mais preciso 
que Newton 
CONTRAS Fácil de se 
confundir 
Derivação Difícil 
elaboração