AVA SISTEMAS DE CONTROLE I RESOLUÇÃO

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ABERTAS 
1) Um sistema de controle de posicionamento de braço de um robô utilizado na 
perfuração de poços de petróleo a grandes profundidades tem relações de entrada 
e saída de seus componentes dadas pelo conjunto de equações: 
 
Considerando que cada equação dada corresponde a um componente do sistema de 
controle realiementado, analise o conjunto de equações e variáveis dados e: 
a) apresente um bloco representativo para cada componente, contendo as respectiva 
entradas, saídas e funções de transferência. 
 b) apresente um diagrama de blocos completo representativo do sistema de controle, 
identifique cada variável no diagrama, e a função de transferência de cada bloco. 
c) determine a função de transferência do sistema de controle (P(s)/R(s)) 
 
 
PONTUAÇÃO RECEBIDA: 100% 
2) A figura abaixo apresenta um sistema de primeira ordem, construído a partir de um 
amplificador operacional, sendo ei a tensão de entrada e eo a tensão de saída. 
No gráfico, são apresentadas três respostas ao degrau de amplitude -2, sendo que em 
todas elas foi utilizado o mesmo valor de R1. 
 
 Pede-se: 
a) Determine a equação diferencial padrão de 1a. ordem para representar o sistema, 
em função de R1, R2 e C. 
b) Determine a função de transferência do sistema, seu ganho e constante de tempo, 
em função de R1, R2 e C. 
c) Com R1=1kΩ, determine os valores R2 e C para as respostas 1, 2 e 3. 
 
 
 
PONTUAÇÃO RECEBIDA: 100% 
3) Dado o sistema elétrico da figura abaixo, sendo Vi a tensão de entrada e Vo a tensão de 
saída, ambas no domínio do tempo; e um diagrama de blocos que deverá ser utilizado 
para representar o sistema, utilizando funções no domínio da frequência. 
 
 Pede-se: 
a) Apresente as equações de tensões e correntes nos elementos, no domínio do tempo, 
em função das grandezas representadas no circuito: 
 b) para que o diagrama de blocos represente corretamente o sistema, determine as 
funções de transferência G1(s), G2(s), G3(s). 
 c) quais variáveis podem ser monitoradas a partir do diagrama de blocos dado? aponte-as 
no diagrama dado 
 d) Apresente os blocos que devem ser inseridos no diagrama para permitir monitorar a 
tensão nos elementos R e L. 
 
 
PONTUAÇÃO RECEBIDA: 100% 
4) Um sistema de controle de posição de eixo de um motor acoplado a um guindaste 
funciona com duas realimentações: de velocidade (W(s)), na malha interna, e de posição 
θo(s), na malha externa, e pode ser representado por um sistema de segunda ordem, 
dado no diagrama de blocos abaixo: 
 
O parâmetro k pode ser ajustado para melhorar o desempenho do sistema de controle. 
Pede-se: 
a) Determine o ganho, a frequência natural e a expressão para cálculo do fator de 
amortecimento, em função de k; 
b) Determine o valor de K que tornam os pólos do sistema reais e iguais, calcule o valor 
dos pólo e o tempo de acomodação da resposta ao degrau do sistema. 
c) Determine as faixas de valores de k para os quais o sistema apresenta respostas 
subamortecidas e sobreamortecidas 
 
 
PONTUAÇÃO RECEBIDA: 100% 
 
5) Na figura abaixo apresenta-se o ícone e o diagrama de blocos de um sistema de 
controle de nível de fluido em um tanque, em malha fechada. As variáveis do sistema são 
a vazão de entrada qi(t), a vazão de saída q(t), o nível de referência r(t), o nível 
de fluido no tanque h(t), e o sinal de a realimentação r’(t). 
 
Com o objetivo de buscar modelos matemáticos para representar o sistema, um 
Engenheiro realizou ensaios experimentais com a bóia e com o conjunto controlador-
válvula para obter seus ganhos. As curvas de saída versus entrada para 
esses componentes são dadas abaixo. 
 
 
Aplicou conhecimentos de física e matemática, e chegou a seguinte equação diferencial 
para representar o nível de fluido no tanque, em função da vazão de entrada. 
 A.dh(t)/dt+h(t)=K.q(t) 
Mediu o diâmetro da base do tanque e a restrição ao escoamento, chegando a A=0,5 m2 e 
K=2 h/m2. Observe que são usados como unidades o metro (m) e a hora (h). 
Utilize as informações levantadas pelo Engenheiro e determine: 
a) a função de transferência do conjunto controlador-válvula, e da bóia; 
b) a função de transferência do tanque; 
c) a função de transferência do sistema de malha fechada; 
d) a função h(t), considerando entrada degrau r(t)=10 V 
e) o nível de regime permanente, com r(t)=10 V 
 
 
 
PONTUAÇÃO RECEBIDA: 70% 
 
COMENTÁRIOS: 
Caro Aluno, As alternativas 'd' e 'e' divergem da resposta correta. Att. Prof. Florisvaldo 
Cardozo 
 
SEMANA 1 
Sobre sistemas de controle de malha aberta e de malha fechada, analise as seguintes 
afirmativas: 
 I- A qualidade e precisão dos componentes da planta são fatores críticos para o 
desempenho dos sistemas de controle, sendo mais críticos para os sistemas em malha 
aberta do que para os de malha fechada; 
II- A manutenção preventiva é mais importante nos sistemas de malha aberta do que nos 
sistemas de malha fechada; 
III- Sistemas de malha aberta são mais indicados em aplicações onde as plantas estão 
sujeitas a ruídos e perturbações oriundas do ambiente. 
Com ralação ao conteúdo das informações, pode-se concluir que: 
 
Duas afirmativas estão corretas: I e II 
 
A figura abaixo apresenta o ícone de um sistema de controle de malha fechada, e sua representação por 
diagrama de blocos. 
Trata-se do controle de nível h(t) em um tanque, que recebe uma vazão de entrada qi(t). Observe que a 
bóia transmite o nível medido até o controlador na forma tensão variável v(t), e o controlador aciona a 
válvula utilizando corrente elétrica i(t) para comandá-la. O controlador, além de v(t), recebe também o 
sinal de nível de referência href. 
 
O diagrama de blocos procura representar todas as variáveis e funções de transferência dos elementos 
do sistema de controle. 
Analise as informações contidas na figura, e avalie as afirmativas a seguir: 
 I - O controlador do sistema está representado pelos blocos subtrator e G1 associados em série. 
II - O bloco G2 está representando a bóia, elemento de medição e realimentação do sistema de controle. 
III - O bloco G4 representa o tanque, ou seja, o processo do qual se quer controlar a PV. 
IV - O bloco G2 representa o elemento final de controle do sistema. 
V - A motobomba, responsável por deslocar o fluido até o tanque, não está representado no diagrama de 
blocos. 
 
I, IV, V 
 
A figura abaixo apresenta o ícone de um sistema de controle de malha fechada, e sua 
representação por diagrama de blocos. 
Trata-se do controle de nível h(t) em um tanque, que recebe uma vazão de entrada qi(t). 
Observe que a bóia transmite o nível medido até o controlador na forma tensão variável 
v(t), e o controlador aciona a válvula utilizando corrente elétrica i(t) para comandá-la. O 
controlador, além de v(t), recebe também o sinal de nível de referência href. 
 
O diagrama de blocos procura representar todas as variáveis e funções de transferência 
dos elementos do sistema de controle. 
Analise as informações contidas na figura, e avalie as afirmativas a seguir: 
 I - A variável v1 corresponde ao nível de referência, porém sua unidade de engenharia é o 
Volt. 
II - A variável v2 é o erro do sistema, dado pela diferença entre o nível de referência e o 
nível medido, e todas podem ter metros (m) como unidade de engenharia. 
III - A variável v3 é o sinal de corrente utilizado pelo controlador para manipular a válvula, e 
por consequência a vazão. Sua unidade é o Ampére 
IV - v2 é a variável manipulada no sistema, e corresponde à vazão de entrada para o 
tanque. Sua unidade de engenharia pode ser litros/minuto. 
V - A variável do processo (PV) é o nível acumulado no tanque,e corresponde a V5. Sua 
unidade poderia ser litros ou m3. 
 São verdadeiras as afirmativas: 
 
I, III 
A figura abaixo apresenta o diagrama de um sistema de controle manual de um processo 
de aquecimento de água em um trocador de calor, usando vapor superaquecido como 
fonte de energia térmica. 
 
Analise as afirmativas seguintes: 
I - A variável de saída ou controlada do processo, é a vazão de água quente 
II - A variável de entrada para o processo, ou variável manipulada, é a vazão de água fria 
III - Para o controlador, o set-point é a temperatura desejada da água de saída do trocador 
de calor 
IV - A vazão de vapor é a MV 
V - A temperatura da água é a PV 
Estão tecnicamente correta as afirmativas: 
 
III, IV, V 
A figura abaixo apresenta o diagrama de um sistema de controle manual de um processo 
de aquecimento de água em um trocador de calor, usando vapor superaquecido como 
fonte de energia térmica. 
 
Nos quadros numerados cabem os termos técnicos: processo, sistema de controle, 
sensor, controlador e atuador. 
Nessa ordem, a numeração dos blocos será: 
 
1 - processo; 2 - sistema de controle; 3 - atuador; 4 - sensor; 5 - controlador 
A figura apresenta um exemplo de sistema físico que realiza um processo de aquecimento 
de água. 
 
 
O reservatório possui uma entrada para receber água fria, e fornece água quente na 
tubulação de saída. 
O processo de aquecimento consiste em injetar vapor na tubulação interna ao aquecedor a 
altíssimas temperaturas, e por contato transferir energia térmica para a água, provocando 
a mudança de temperatura. 
 As variáveis definidas como PV, SP e MV para o controle de temperatura da água em 
malha fechada são, respectivamente: 
 
Temperatura da água aquecida na saída, temperatura desejada para a água na saída, 
vazão de vapor 
A figura apresenta um exemplo de sistema físico que realiza um processo de aquecimento 
de água. 
 
O reservatório possui uma entrada para receber água fria, e fornece água quente na 
tubulação de saída. 
O processo de aquecimento consiste em injetar vapor na tubulação interna ao aquecedor a 
altíssimas temperaturas, e por contato transferir energia térmica para a água, provocando 
a mudança de temperatura. 
Com relação ao controle de temperatura da água a ser fornecida pelo sistema, avalie as 
afirmativas: 
I - Aumentos e diminuições repentinas de demanda por água quente inviabiliza o controle 
em malha aberta; 
II - Um sistema de malha fechada poderá compensar variações de demanda, evitando 
variações indesejáveis de temperatura, atuando na vazão de vapor; 
III - O controle em malha aberta faz com que a vazão de vapor compense perturbações 
nas variáveis do sistema; 
IV - Variação na temperatura da água fria que entra no reservatório pode comprometer o 
desempenho do controle, se este for feito em malha aberta. 
V - Os sistema de controle sendo feito em malha fechada permite compensar variações na 
temperatura de saída, provocadas por perturbações externas. 
Dentre as alternativas seguintes marque a que contém o maior número de afirmativas 
corretas: 
 
I, II, IV e V 
 
Sobre sistemas de controle de malha aberta e de malha fechada, analise as afirmativas abaixo: 
I. Nos sistemas de controle de malha fechada a saída é realimentada para ser comparada com entrada 
de referência, e gerar o sinal de erro; 
II. Os sistemas de controle de malha aberta operam por base de tempo, e a saída depende de uma boa 
calibração dos componentes do sistema; 
III. Sistemas de controle de malha aberta e de malha fechada possuem controladores, que executam 
programas para gerar as ações de controle sobre o processo. 
 Pode-se concluir que: 
 
 
Todas as afirmativas estão corretas. 
 
SEMANA 2 
O amplificador operacional é um dispositivo utilizado em várias aplicações em circuitos 
eletrônicos de instrumentação e controle. 
Sua versatilidade deriva das características de altíssimo ganho, impedância de entrada 
elevada e impedância de saída baixa. 
Para modelar sistemas com AO, assume-se que não entra corrente nos terminais (+) e (-) 
(impedância de entrada infinita), e que não há diferença de potencial entre as mesmas 
("curto-circuito virtual"). 
No sistema abaixo, empregando-se essas considerações, chega-se ao conjunto de 
equações dado: 
 
Aplicando a transformada de Laplace no conjunto de equações dado, obtém-se Eo(s) em 
função de Ei(s). 
Essa função será: 
correto 
 
Um sistema de controle de posição de braço de robô tem como variável de entrada 
tensão u(t), dada em volts, e pode ter duas variáveis de saída: velocidade v(t) dada em 
metros por segundo, e o deslocamento y(t) dado em metros. 
O comportamento dinâmico do sistema é dado pela equação diferencial: 
 
Sendo k=1, a=1, b=3 e c=2. 
Considerando o sinal de excitação u(t) do tipo degrau unitário, a resposta y(t) será: 
 
 
 
 
 
Um sistema de controle de posição de braço de robô tem como variável de entrada 
tensão u(t), dada em volts, e pode ter duas variáveis de saída: velocidade v(t) dada em 
metros por segundo, e o deslocamento y(t) dado em metros. 
O comportamento dinâmico do sistema é dado pela equação diferencial: 
 
 Sendo k=1, a=1, b=3 e c=2. 
Considerando o sinal de excitação u(t) do tipo degrau unitário, encontre y(t) empregando 
transformadas de Laplace. 
A resposta v(t), relativa à variação da velocidade do braço, será: 
 
v(t)= e-t _ e-2t 
 
 
 
Um sistema de controle de posição de braço de robô tem como variável de entrada tensão u(t), dada em 
volts, e pode ter duas variáveis de saída: velocidade v(t) dada em metros por segundo, e o 
deslocamento y(t) dado em metros. 
O comportamento dinâmico do sistema é dado pela equação diferencial: 
 
 
 Sendo k=1, a=1, b=3 e c=2. Considerando o sinal de excitação u(t) do tipo degrau unitário, a resposta 
y(t), relativa à variação da posição do braço, será: 
 correta 
 
 
 
 
 
 
Apresenta-se a seguir uma tabela com pares de transformadas de Laplace de algumas 
funções. 
Porém, em uma mesma linha, pode ser que f(t) não seja a transformada inversa de 
Laplace de F(s). 
Na coluna A foi atribuída uma numeração das funções F(s). 
Enumere a coluna B com o número da função F(s), de forma a haver a correta correspondência entre f(t) 
e F(s), ou seja, que f(t) e F(s) correspondentes tenham a mesma numeração. 
 
 A coluna B, na forma transposta, terá a seguinte sequência numérica: 
 
1 4 2 3 6 5 8 7 9 
 
 
A figura abaixo apresenta um sistema de primeira ordem, construído a partir de um 
amplificador operacional, sendo ei a tensão de entrada e eo a tensão de saída, no domínio 
do tempo. 
A equação diferencial relacionando eo e ei em função de R1, R2 e C 
 
Aplicando a transformada de Laplace na EDO dada, a tensão de saída Eo(s) será: 
correta 
 
A transformada de Laplace da função f (t) = te-3t + e-2t cos(2t) é a função F(s) indicada em 
uma das alternativa seguintes. Marque a alternativa correta. 
correta 
 
 
A transformada de Laplace inversa da função 
 
 é a função f(t) indicada em uma das alternativa seguintes. Marque a alternativa correta. 
 
f (t) = 4.e-5t cos(2t) - 3t2 + 5e4t. 
 
SEMANA 3 
Considere um circuito série formado pela ligação de um resistor R, um indutor L, e uma 
fonte de tensão de excitação vi(t). 
Considerando a tensão resistor vR(t) como sendo a variável de resposta vo(t), a equação diferencial e a 
função de transferência que relaciona as variáveis de excitação e resposta deste sistema são, 
respectivamente. 
 
(L/R). dvR(t)/dt +vR(t) = vi(t) e 1/((L/R).s+1) 
 
Um sistema físico tem como entrada avariável r(t), e como saída a variável y(t). 
A equação diferencial utilizada para representar o comportamento dinâmico do sistema é: 
 
A função de transferência Y(s)/R(s), portanto, será: 
correta 
 
O amplificador operacional é um dispositivo utilizado em várias aplicações em circuitos 
eletrônicos de instrumentação e controle. Sua versatilidade deriva das características de 
altíssimo ganho, impedância de entrada elevada e impedância de saída baixa. 
Para modelar sistemas com AO, assume-se que não entra corrente nos terminais (+) e (-) 
(impedância de entrada infinita), e que não existe diferença de potencial entre os mesmos 
(estão em "curto-circuito virtual"). 
No sistema abaixo, empregando-se essas considerações, chega-se ao conjunto de 
equações dado: 
 
 
Considerando a função de transferência do sistema Eo(s)/Ei(s), analise as afirmativas 
abaixo: 
 I - O sistema terá um zero em s=0 
II - O sistema terá um pólo em s =-1/(R1.C) 
III - função de transferência será do tipo K/(T.s+1), onde K= (R1+R2)/R1 e T= R1.C 
IV - tensão de saída eo(t) em regime permanente sempre será maior que a tensão de 
entrada ei(t) 
São verdadeiras as afirmativas: 
 
II, III e IV 
 
 
Considere os polinômios abaixo, onde s é a variável do domínio da frequência, atrelada às 
transformadas de Laplace: 
num(s)=s+1 
den(s)=s2+s+1 
Se a função de transferência FT(s) de um determinado sistema é dada pela 
razão: FT(s)=num(s)/den(s), analise as afirmativas: 
I - O sistema tem dois pólos (p1=-0,5-j.0,87 e p2=-0,5+j.0,87) e um zero (z=-1). 
II - O ganho do sistema é unitário 
III - O sistema tem dois zeros (p1=-0,5-j.0,87 e p2=-0,5+j.0,87) e um polo (z=-1). 
IV - O ganho do sistema é zero 
V - O sistema tem dois zeros (z1=-0,5-j.0,87 e z2=-0,5+j.0,87) e não possui pólos. 
São corretas as afirmativas: 
 
I e II 
Um sistema de controle de posição de braço de robô, representado no diagrama de blocos 
abaixo, tem como variável de entrada tensão u(t), dada em volts, e pode ter duas 
variáveis de saída: velocidade v(t) dada em metros por segundo, e deslocamento y(t) 
dado em metros. 
 
O comportamento dinâmico do sistema é dado pela equação diferencial: 
 
sendo k=1, a=1, b=5 e c=6. 
As funções de transferência a serem inseridas nos blocos para substituir G1(s) e G2(s), 
e que permitem representar o sistema pelo diagrama de blocos abaixo são, 
respectivamente: 
 e 
As funções de transferência são modelos matemáticos que permitem representar os 
sistemas físicos, e são utilizados para fazer simulações computacionais desses sistemas, 
análise de seu comportamento dinâmico, e inclusive ajustes de parâmetros para adequar 
sua resposta a excitações externas. 
Sobre funções de transferência, considere as afirmativas: 
 I - É definido pela razão entre a transformada de Laplace da entrada (função ou variável 
de excitação) e a transformada de Laplace da saída do sistema (função ou variável de 
resposta). 
II - determinação da função de transferência deve-se considerar nulas as condições 
iniciais, ou seja, que o sistema não possui energia armazenda internamente antes da 
aplicação da excitação. 
III - As funções de transferência são obtidas aplicando-se a Transformada de Laplace às 
equações diferenciais, convertendo-as em equações algébricas, reduzindo a complexidade 
dos modelos matemáticos. 
IV - A função de transferência de é uma propriedade do próprio sistema, independente das 
variáveis de entrada e saída, e seus pólos e zeros dependerão apenas do parâmetros 
físicos do sistema. 
V - O conceito de funções de transferência são aplicáveis aos sistemas lineares 
invariantes no tempo, os quais podem ser representados por equações diferenciais 
lineares ordinárias. 
São corretas as afirmativas: 
 
II, III, IV, V 
Considere a função de transferência de um determinado sistema dado por: 
 
Analise as afirmativas: 
I - O sistema tem três pólos e um zero 
II - Trata-se de um sistema de ordem 3 
III - o ganho do sistema é zero 
IV - Y(s) é a variável de entrada do sistema, e X(s) é a variável de saída 
A resposta correta está na alternativa: 
 
A - I e II 
O sistema elétrico apresentado na figura abaixo é utilizado como filtro em sistemas de recepção de sinais. 
Vi e Vo e os sinais de tensões na entrada e na saída do filtro, i é a corrente elétrica. R, L e C são, 
respectivamente elementos resistência, indutância e capacitância. 
 
Considerando as equações (1) a (5), analise as afirmativas a seguir. . 
I - A equação (1) é verdadeira, porém a (2) e (3) são falsas. 
II - A equação (4) é verdadeira. 
III - A equação (5) é verdadeira e representa a função de transferência do sistema. 
IV - O filtro é um sistema de 3a. ordem, e portanto possui três pólos e um zero. 
V - O ganho do sistema filtro é zero. 
São corretas as afirmativas: 
I, II, V 
SEMANA 4 
A habilidade de utilização de modelos para a representação de sistemas é de extrema 
importância para o exercício profissional da engenharia. O Engenheiro deve ser capaz de 
representar sistemas físicos por modelos matemáticos, diagramáticos, icônicos, 
esquemáticos, dentre outros. 
A Figura abaixo apresente o modelo esquemático para um sistema elétrico, e o modelo 
diagramático correspondente. 
 
 Analisando as informações contidas nos dois tipos de modelo, associe cada seta do diagrama de blocos, 
enumeradas na coluna da esquerda, com a respectiva grandeza física do esquema elétrico, relacionadas 
na coluna da direita: 
( 1 ) Seta 1 ( 2 ) Corresponde à corrente no indutor L1 
( 2 ) Seta 2 ( 4 ) Corresponde à corrente no indutor L2 
( 3 ) Seta 3 ( 3 ) Corresponde à tensão no capacitor 
( 4 ) Seta 4 ( 6 ) Corresponde à tensão no resistor 
( 5 ) Seta 5 ( 1 ) Corresponde à tensão no indutor L1 
( 6 ) Seta 6 ( 5 ) Corresponde à tensão no indutor L2 
 A coluna da direita, na forma transposta, terá a seguinte sequência de numeração: 
 
2, 4, 3, 6, 1, 5 
 
 
A figura apresenta o esquema elétrico de um sistema com amplificadores operacionais, e 
sua representação por diagramas de blocos e funções de transferência. 
 
Analise as informações contidas nas afirmativas seguintes: 
I. Eo1(s)/Ei(s) é uma função de transferência de primeira ordem, com ganho igual a -2 e polo igual a 
-1/(2RC). 
 
II. Eo2(s)/Ei(s) é uma função de transferência de primeira ordem, com ganho igual a 3 e polo igual 
a -1/(RC). 
III. Eo(s)/Ei(s) é função de transferência de segunda ordem, com ganho igual a -2, e polos iguais 
a -1/(2RC) e -1/(RC) 
IV. G2 = 3/(R.C.s+1) 
 
V. G1 = 2/(2.R.C.s+1) 
 
VI. G3 é um bloco subtrator com ganho 2 
 
VII. Eo(s)=(G1+G2).G3.Ei(s) 
 
VIII. Se ei(t)=1 V, em regime permanente, eo(t)= -1 V 
 
 As afirmativas verdadeiras são: 
 
I, II, III, IV, VII 
 
 
Dado o sistema elétrico da figura abaixo, sendo Vi a tensão de entrada e Vo a tensão de saída; e um 
diagrama de blocos que deverá ser utilizado para representar o sistema, utilizando funções no domínio da 
frequência. 
 
 O diagrama de blocos representará corretamente o sistema elétrico se as funções G1, G2 e G3 forem 
iguais a: 
 
 
G1(s)=1/(L.s+R) G2(s)=Ro G3(s)=Co.s 
 
 
Dado o sistema elétrico da figura abaixo, sendo Vi a tensão de entrada e Vo a tensão de saída; e um 
diagrama de blocos que deverá ser utilizado para representar o sistema, utilizando funções no domínio da 
frequência. 
 
 O diagrama de blocos representará corretamente o sistema elétrico se as funções G1, G2 e G3 forem 
iguais a: 
 
 
G1(s)= 1/(L.s+R)G2(s)= 1/(Co.s) G3(s)= 1/Ro 
 
A figura abaixo mostra o diagrama de blocos de um servo-sistema posicionador de braço de robô. 
 
 
 Tendo como referência a função de transferência C(s)/R(s), analise as afirmativas abaixo. 
 I - O ganho do servo-sistema é 10. 
II - Os pólos do sistema são -0.5 + j0.87 e -0.5 - j0.87. 
III - O sistema tem apenas um zero, de valor -1. 
IV -O servosistema tem função de transferência de 2ª ordem. 
V - O numerador da função de transferência é dado pelo polinômio (s+1). 
VI - O denominador da função de transferência do servosistema é s2+s+1 
VII - Se for aplicado um degrau unitário na entrada, a posição final da saída do servosistema tenderá a 1. 
 Assinale a alternativa correta. 
 
 
II , IV , VI , VII 
 
 
Na figura abaixo apresenta-se os diagramas elétrico e de blocos de um sistema físico. 
 
As variáveis V1, V2, V3 e V4 correspondem, respectivamente às variáveis elétricas: 
 
Vi ; VR+VL ; I ; VC 
 
 
A figura abaixo mostra um servo-sistema posicionador de braço de robô, onde K é o ganho 
ajustável de um controlador, utilizado para realizar o controle da posição do braço. 
 
Dentre as expressões de I a V listadas ao lado da figura, qual representa a função de 
transferência C(s)/R(s)? 
 
III 
 
 
Um sistema é representado pelo diagrama de blocos abaixo: 
 
Para determinar sua função de transferência, foram realizados os seguintes passos 
para redução do diagrama a um único bloco. 
 
 Analise os passos de redução do diagrama e, na tabela a seguir, enumere corretamente a 
coluna da direita, tendo como referência a numeração da coluna da esquerda. 
 
( 1 ) G1 ( 5 ) 1 + R2.C2.S 
( 2 ) G2 ( 4 ) 1/(R1.R2.C2.S+R1+R2) 
( 3 ) G3 ( 2 ) 1/(R2.C2.S+1) 
( 4 ) G4 ( 1 ) R2 
( 5 ) G5 ( 3 ) R2.C2.S+1 
Na forma transposta, a numeração da coluna da direita terá a seguinte sequência: 
 
 5, 4, 2, 1, 3 
 
 
 
 
 
 
 
SEMANA 7 
A figura abaixo apresenta as três respostas típicas de sistemas de segunda ordem 
estáveis, a entradas do tipo degrau, numeradas com 1, 2 e 3. 
 
 
 
 
Considerando c(t) a variável de saída e t a variável tempo, analise as afirmativas: 
 I - Apenas a resposta apresentada na curva 1 é do tipo oscilatória, sendo as demais monótonas ou 
exponenciais. 
II - A curva 1 apresenta resposta de sistemas subamortecidos 
III - Sistemas com respostas do tipo apresentadas na curva 1 tem fator de 
amortecimento maior que 1. 
IV - Sistemas com respostas do tipo apresentadas na curva 1 tem pólos complexos 
conjugados. 
V - A curva 3 apresenta resposta de sistemas sobreamortecidos. 
VI - Sistemas com respostas do tipo apresentadas na curva 3 tem fator de amortecimento 
menor que 1. 
VII - Sistemas com respostas do tipo apresentadas na curva 3 tem pólos reais e iguais. 
VIII - A curva 2 apresenta resposta de sistemas sem amortecimento. 
IX - Sistemas com respostas do tipo apresentadas na curva 2 tem fator de amortecimento 
igual a 1. 
X - Sistemas com respostas do tipo apresentadas na curva 2 tem pólos reais e iguais. 
São verdadeiras as afirmativas: 
 
I, II, IV, V, IX e X 
 
 
O amplificador operacional (AO) é um dispositivo utilizado em várias aplicações em 
circuitos eletrônicos de instrumentação e controle. Sua versatilidade deriva das 
características de altíssimo ganho, impedância de entrada elevada e impedância de saída 
baixa. 
Para modelar sistemas com AO, assume-se que não entra corrente nos terminais (+) e (-) 
(impedância de entrada infinita), e que não existe diferença de potencial entre os mesmos 
(estão em "curto-circuito virtual"). 
No sistema esquematizado abaixo, empregando-se essas considerações, chega-se ao 
conjunto de equações necessárias para modelagem do circuito dado: 
 
 
Considerando que a função de transferência do sistema Eo(s)/Ei(s), analise as afirmativas 
a seguir: 
 I - O sistema terá um zero em s = 0 
II - O sistema terá um pólo em s = -1/(R1.C) 
III - A função de transferência será do tipo K/(T.s+1), onde K = (R1+R2)/R1 e T = R1.C 
IV - O sistema é de primeira ordem. 
V - A tensão de resposta ao degrau eo(t), em regime permanente, sempre será maior que 
a tensão de entrada ei(t), e ambas terão o mesmo sinal. 
Estão corretas as afirmativas: 
 
II, III, IV, V 
 
 
Um sistema de controle de posição é utilizado para alinhar uma antena receptora de sinais de satélite, e 
consiste de um motor elétrico acoplado por engrenagens ao braço mecânico móvel da antena, conforme 
ilustra a figura abaixo. 
 
 
 
A partir de ensaios práticos, observou-se que ao aplicar Ea=100 volts nos terminais do motor, a 
velocidade de rotação w(t) atinge 50 rpm, num tempo aproximado de 10 segundos, permitindo 
representar o motor por um sistema modelo de 1ª ordem. 
Considerando que se deseja controlar a posição da antena, de acordo com a diagrama de blocos dado, 
determine a função de transferência θout(s)/ θref(s) em função de Kp, considerando o sensor com 
ganho unitário. 
Avalie as afirmativas abaixo quanto à sua veracidade: 
 I - A função de transferência ω(s)/Ea(s) é de primeira ordem, com ganho finito 
II - A função de transferência θout(s)/Ea(s) é de segunda ordem, com ganho infinito. 
III - O ganho de malha fechada é unitário, e portanto o sistema conseguirá posicionar a antena com erro 
zero. 
IV - O fator de amortecimento do sistema aumenta, se o ganho Kp for aumentado. 
V - A frequência natural do sistema aumenta, se o ganho Kp for reduzido. 
VI - O ganho de malha fechada mantém-se constante, mesmo se o valor de Kp variar. 
VII - Dependendo do valor de Kp, o sistema pode ser criticamente ou sobreamortecido ou 
subamortecido. 
VIII - Dependendo dos valores de Kp, os pólos podem ser reais iguais, reais distintos ou complexos 
conjugados 
Estão corretas as afirmativas: 
 
 
I, II, III, VI, VII, VIII 
Nas equações apresentas abaixo, c(t) representa possíveis respostas de sistemas de segunda 
ordem, sujeitos a entrada do tipo degrau unitário. 
 
As equações (1), (2) e (3) correspondem, respectivamente, a respostas de sistemas: 
 
 
 
Sobreamortecido, criticamente amortecido e subamortecido. 
A figura abaixo apresenta três respostas típicas de sistemas de primeira ordem, a entradas 
do tipo degrau unitário, numeradas com 1, 2 e 3. 
 
 
 Considerando c(t) a variável de saída e t a variável tempo, analise as afirmativas: 
 I - As respostas 1 e 2 são de sistemas com a mesma constante de tempo, porém com ganhos diferentes, 
enquanto que as respostas 2 e 3 são de sistemas com o mesmo ganho, porém com constantes de tempos 
diferentes. 
II - As respostas 1 e 3 são de sistemas com constantes de tempo e ganhos 
diferentes, enquanto que as respostas 2 e 3 são de sistemas com a mesma constante de 
tempo, porém com ganhos diferentes 
III - As respostas 2 e 3 são de sistemas com constantes de tempo diferentes, porém com 
ganhos iguais, enquanto que as respostas 1 e 3 são de sistemas com constantes de 
tempo iguais e ganhos diferentes. 
Estão corretas as afirmativas: 
 
I apenas. 
Um sistema de primeira ordem, com função de transferência F(s), recebe excitação de entrada do tipo 
degrau de amplitude 10, e apresenta resposta c(t) dada no gráfico abaixo. 
 
Dentre as opções apresentadas abaixo, qual melhor representa a função de transferência F(s) e a 
resposta ao degrau c(t)? (considere exp - exponencial de base e) 
 
F(s)=2/(0,2 s + 1) e c(t)=20.(1-exp(-5.t)) 
O diagrama de blocos da figura abaixo apresenta um sistema de controle em malha 
fechada de primeira ordem, sendo que K é o ganho do controlador, Kp e Tp são o ganho e 
a constantede tempo do processo. O gráfico mostra a resposta do sistema a uma entrada 
degrau de amplitude 100. 
 
 
As opções abaixo apresentam conjuntos de valores numéricos para K, Kp e Tp. Marque a 
opção que utilizada, produzirá a resposta c(t) dada no gráfico. 
 
K=1, Kp=19, Tp=10 
A figura abaixo mostra um servo-sistema posicionador de braço de robô, onde K é o ganho ajustável de 
um controlador, utilizado para realizar o controle posição do braço. 
 
 Ao lado da figura estão relacionadas 5 opções para cálculo de fator de amortecimento e frequência 
natural, em função do ganho do controlador K, enumeradas de I a V. 
Nas alternativas a seguir, marque a que contém a opção correta? 
 
 IV 
 
SEMANA 8 
Um sistema de 2a. ordem tem fator de amortecimento 0,24 e frequência natural de 4,12 rad/s. Ao receber 
um sinal de excitação degrau unitário apresentou a seguinte resposta: 
 
O instante de ocorrência de máximo overshoot, o tempo de duração do transitório, e o sobressinal 
percentual máximo são dados, respectivamente, pelos valores: 
 
 0.79 segundos , 5 segundos e 46% 
Um sistema de controle apresenta o seguinte diagrama de polos e zeros: 
 
Sua função de transferência é: 
 
 
Um sistema de controle apresenta o seguinte diagrama de polos e zeros: 
 
Sua função de transferência é: 
 
 
 
A figura abaixo apresenta o diagrama de blocos de um sistema de controle de posição do eixo de um 
motor dc, com ganho proporcional Kp, e seu gráfico do lugar das raízes 
 
Apresenta ainda a resposta ao degrau unitário do sistema, para três valores distintos de Kp. 
 Tendo como referência as informações fornecidas pela figura, analise as afirmativas: 
 I - O aumento de Kp aumenta o amortecimento, podendo causar oscilação do eixo e aumento de overshoot 
II - O aumento de Kp aumenta a frequência do sistema, fazendo o eixo oscilar em torno da posição de referência 
III - A variação de Kp pode causar variações de posição do eixo com respostas sub, sobre e criticamente amortecidas 
IV - O erro de posição do eixo, na resposta ao degrau em regime permanente é nulo, para qualquer valor de Kp 
V - Da curva de resposta 1 para a 3, apresentadas no gráfico, o ganho Kp aumentou. 
VI- Para que o eixo do motor estabilize na posição de referência mais rápido, é necessário aumentar o valor de Kp 
 Marque, dentre as opções abaixo, a que contém as afirmativas corretas: 
 
 
 
II, III, IV e VI 
A figura abaixo apresenta o diagrama de blocos de um sistema de controle de posição do eixo de um 
motor dc, com ganho proporcional Kp, e seu gráfico do lugar das raízes 
 
 Apresenta ainda a resposta ao degrau unitário do sistema, para três valores distintos de Kp. 
 Tendo como referência as informações fornecidas pela figura, analise as afirmativas: 
 I - O aumento de Kp reduz o amortecimento, podendo causar oscilação do eixo e aumento de overshoot 
II - O aumento de Kp reduz a frequência do sistema, fazendo o eixo oscilar em torno da posição de 
referência 
III - A variação de Kp pode causar variações de posição do eixo com respostas sub, sobre e criticamente 
amortecidas 
IV - O erro de posição do eixo, na resposta ao degrau em regime permanente diminui, com o aumento do 
valor de Kp 
V - Da curva de resposta 1 para a 3, apresentadas no gráfico, o ganho Kp foi reduzido 
 Marque, dentre as opções abaixo, as afirmativas corretas: 
 
I, III e V 
A figura abaixo apresenta um sistema de primeira ordem, construído a partir de um amplificador 
operacional, sendo ei a tensão de entrada e eo a tensão de saída. No gráfico, são apresentadas três 
respostas ao degrau de amplitude -2. 
 
Considere as afirmativas, quais são as verdadeiras: 
I - A EDO que representa o sistema é: 
II - A função de transferência que representa o sistema é: 
 III - Simulando o sistema os valores de R1=1 KΩ, R2=5 KΩ e C=200μF chega-se à resposta 1 
IV - Para se chegar à resposta 2, é necessário utilizar R1=1 KΩ, R2=5 KΩ e C=100μF 
V - Utilizando R1=1 KΩ, R2=5 KΩ e C=250μF chega-se à resposta 3. 
 Assinale a alternativa correta. 
Nâo tem resposta correta, ver questão aberta. 
 I, III e IV 
Considere o sistema representado pelo diagrama de blocos abaixo: 
 
Considere as afirmativas: 
I - A frequência natural do sistema não varia, se o valor de K variar 
II - O fator de amortecimento do sistema aumenta com o aumento do valor de K 
III - Não existe valor de K que torna o sistema criticamente amortecido 
IV - O valor de K não influencia no tempo de acomodação do sistema 
V - O sistema não apresentará resposta oscilatória, independente do valor de K 
VI - O erro de resposta ao degrau sempre será zero, para qualquer valor de K 
 
Marque a alternativa correta. 
 
 
I, II e VI 
A figura abaixo apresenta o diagrama de blocos de um sistema de controle de velocidade de motor com 
ganho proporcional Kp, e seu gráfico do lugar das raízes. 
 
Apresenta ainda a resposta ao degrau unitário do sistema, para dois valores distintos de Kp. 
 Tendo como referência as informações fornecidas pela figura, analise as afirmativas: 
 I - Quanto maior o ganho Kp, menor será a constante de tempo do sistema; 
II - Quanto maior o valor de Kp, menor será o erro de regime, na resposta ao degrau; 
III - Da curva de resposta 1 para a 2 o ganho Kp aumentou, pois o tempo de acomodação aumentou 
IV - Para acelerar a resposta transitória do motor, e atingir maior valor de velocidade de regime, é 
necessário aumentar o valor de Kp 
 Marque, dentre as opções abaixo, as afirmativas corretas: 
 
I, II, III, e IV 
 
SEMANA 9 
Considere o lugar das raízes de um sistema de controle com realimentação unitária, e 
controlador com ganho variável G dado na figura abaixo. 
 
A partir da análise da informações contidas no gráfico, avalie a veracidade das afirmativas 
a seguir: 
 I - A equação caraterística do sistema é 1 + G. (s+1)/(s2 -3.s)=0 
II - A Função de transferência de malha fechada do sistema de controle é: G(s+1)/(s2 + (G-3).s + G) 
III - O lugar das raízes começa nos pólos s=0 e s=3, e terminos zeros s=-1 e s=-∞ 
IV - Dependendo do valor do parâmetro G, o sistema poderá ser estável ou instável 
V - O sistema poderá responder de forma oscilatória ou monótona, dependendo do valor 
de G 
São verdadeiras as afirmativas: 
 
I, II, III, IV e V 
Considere o lugar das raízes de um sistema de controle com realimentação unitária, e controlador com 
ganho variável G dado na figura abaixo. 
 
A partir da análise das informações contidas no gráfico, avalie a veracidade das afirmativas a seguir: 
 I - Para G<9 o sistema terá pólos reais e distintos 
II - O sistema será instável para G<3 
III - O valor aproximado de G que coloca o sistema no limite da estabilidade é G=3 
IV - O valor de G que torna os pólos do sistema reais e iguais é G=9 
V - Para 3<G<9 o sistema possuirá polos complexos conjugados 
São verdadeiras as afirmativas: 
 
 
II, III, IV e V 
Nas figuras a seguir são apresentados respectivamente o gráfico do lugar das raízes de 
um sistema de controle, e respostas desse mesmo sistema para entrada degrau unitário, 
para 4 valores distintos do parâmetro ajustável K do controlador. 
 
Considerando que o sistema tem realimentação unitária, e que o controlador é do tipo 
proporcional, avalie a veracidade das afirmativas a seguir: 
 I - Nas respostas oscilatórias foram utilizados valores de K maiores que nas repostas exponenciais 
II - O menor valor de K foi utilizado na reposta de maior overshoot 
III - O valor de K aumenta da curva de maior para a de menor overshoot 
IV - O maior valor de K foi utilizado na curva de maior tempo de acomodação; 
V - As respostas exponenciais (não-oscilatórias)foram utilizados valores de K que tornam 
os pólos do sistema reais. 
São corretas as afirmativas: 
 
II, III, IV e V 
 
Na figura 1 é apresentado o gráfico do lugar das raízes de um sistema de controle, com realimentação 
unitária e controlador com parâmetro ajustável K. 
 
 
Considerando a faixa de valores de K que torna o sistema oscilatório, o aumento do ganho do 
controlador pode provocar vários efeitos na resposta do sistema dentre eles: 
 I - Aumentar a frequência das oscilações 
II - Aumentar o overshoot; 
III - Melhorar a estabilidade do sistema 
IV - Eliminar as oscilações 
V - Reduzir o tempo de resposta transitória 
Marque, dentre as alternativas a seguir, a que contém as afirmativas corretas. 
 
 
 
III, IV e V 
O gráfico no lugar das raízes de um sistema de controle com realimentação unitária, e com controlador é 
do tipo proporcional, é dado na figura 1: 
 
Quanto os pólos do sistema de controle em malha fechada, dependendo do valor de K, é correto afirmar 
que: 
 
Podem ser reais e distintos, reais e iguais, ou complexos conjugados 
Avalie as afirmativas seguintes, relativas aos gráficos do lugar das raízes: 
 1) É o lugar geométrico do plano s que contém todos os possíveis polos de um sistema de malha 
fechada, considerando a variação de um parâmetro na função de transferência de malha fechada. 
2) O lugar das raízes começa com valor de K=0 (nos pólos, ou raízes de denec), e termina com K=∞ (nos 
zeros finitos (raizes de numec), ou no infinito, caso não existam zeros finitos), onde K é o parâmetro 
variável da função de transferência do sistema. 
3) Apenas os pólos mudam de posição no gráfico do lugar das raízes, os zeros não mudam de valor. 
4) A trajetória descrita pelos pólos, à medida que K varia é chamada de ramo. 
5) O número de ramos é sempre igual ao número de pólos. 
6) O ponto onde dois ou mais ramos se encontram é chamado ponto de ramificação. 
7) Um segmento específico do eixo real irá pertencer ao lugar das raízes se o número de 
pólos e zeros à esquerda desse segmento for ímpar. 
8) O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo imaginário. 
9) sistemas estáveis possuem todos os pólos à esquerda do eixo imaginário, enquanto que 
sistemas instáveis têm um ou mais pólos à direita do eixo imaginário do plano s 
10) No limite da estabilidade, existirão pares de pólos estão sobre o eixo real 
 A quantidade de afirmativas da relação que são verdadeiras é: 
 
7 
A Figura abaixo apresenta o gráfico do lugar das raízes para um sistema de malha fechada, com 
realimentação unitária, e controlador proporcional, com ganho ajustável K. 
 
Analise as informações contidas no gráfico do lugar das raízes, e avalie a veracidade das afirmativas a seguir 
I - Para 6250<K<6750 o sistema apresentará respostas oscilatórias 
II - para 6250<K<6750 o sistema terá três polos reais 
III - O sistema terá polos complexos conjugados para K<6250 e K>6750 
IV - Para que os pólos tenham parte real igual a -10, o valor de K será K=12500 
V - O valor de K que torna o sistema instável é maior que 67000 
Assinale a alternativa correta. 
 
 
II, III, IV e V 
Um determinado processo apresenta modelo de segunda ordem, com pólos complexos conjugados dados 
por P1=-2±j*2.45 e ganho=0.1 em malha aberta. 
Um controlador proporcional, com ganho Kp ajustável, é inserido em uma malha de controle para 
controlar a variável de saída desse processo, em um sistema com realimentação unitária. Abaixo é 
apresentado o lugar das raízes do sistema de malha fechada, para uma certa faixa de valores de Kp, que 
fez deslocar o pólo do sistema da posição P1 para a posição P2. 
 
A partir da análise das informações e do gráfico dado, analise as afirmativas a seguir: 
I - O aumento de Kp provoca aumento do fator de amortecimento do sistema e da frequência natural, 
podendo levá-lo à instabilidade oscilatória. 
II - A equação característica do sistema é 1+Kp.1/(s2+4.s+10) = 0 
III - A função de transferência de malha fechada do sistema de controle é GMF(s)=Kp/(s2+4.s+10+Kp) 
IV - Em malha fechada o sistema de controle conseguirá eliminar o erro de regime, ou seja, o ganho será 
unitário 
V - O lugar das raízes inicia em P1 e termina em P2, para valores de Kp=0 e Kp=36.2, respectivamente, o 
que permite concluir que o aumento de Kp traz como consequência maiores sobressinais e maiores 
frequências de oscilação. 
VI - O gráfico do Lugar as raízes mostra que o sistema não conseguirá responder de forma sobre ou 
criticamente amortecida, independentemente do valor de Kp. 
São corretas as afirmativas: 
 
 
 
II, III, V e VI