EP3-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
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EP3 – Gabarito – Métodos Determińısticos I
Neste EP vamos trabalhar o conteúdo estudado na Aula 3 do Caderno Didático.
Atenção!!!
Esta é o gabarito do EP3. Não estude apenas por ele, antes, leia a versão de questões do EP, que
traz uma breve explicação de alguns pontos importantes da teoria desta aula. E lembre-se sempre
que, antes de consultar os gabaritos das questões, você deve tentar resolvê-las!
Exerćıcio 1 Determine se as proposições compostas abaixo são verdadeiras ou falsas:
a) O Brasil fica na América do Sul e a Inglaterra fica na África.
b) A China fica na América do Sul ou o Canadá fica na América do Norte.
c) A Argentina fica na América do Sul ou o Chile fica na América do Sul.
d) A Colômbia fica na África e Portugal fica na América do Sul.
e) Cuba fica na Europa ou o Japão fica na América do Norte.
Solução:
a) Falsa.
O conectivo é a conjunção “e”. Logo, uma proposição composta é verdadeira se ambas as
proposições envolvidas são verdadeiras.
Como neste item, a segunda proposição envolvida é falsa segue que a proposição composta é
falsa.
b) Verdadeira.
O conectivo é a disjunção “ou”. Logo, para que uma proposição composta seja verdadeira
basta que uma das proposições envolvidas seja verdadeira.
Como neste item, a segunda proposição envolvida é verdadeira, segue que a proposição com-
posta é verdadeira.
c) Verdadeira.
O conectivo é a disjunção “ou”. Logo, para que uma proposição composta seja verdadeira
basta que uma das proposições envolvidas seja verdadeira.
Como neste item, as duas proposições envolvidas são verdadeiras, segue que a proposição
composta é verdadeira.
d) Falsa.
O conectivo é a conjunção “e”. Logo, uma proposição composta é verdadeira se ambas as
proposições envolvidas são verdadeiras.
Como neste item, as duas proposições envolvidas são falsas segue que a proposição composta
é falsa.
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e) Falsa.
O conectivo é a disjunção “ou”. Logo, para que uma proposição composta seja verdadeira
basta que uma das proposições envolvidas seja verdadeira.
Como neste item, as duas proposições envolvidas são falsas, segue que a proposição composta
é falsa.
Exerćıcio 2 Qual a negação das proposições abaixo:
a) p: Hoje é sexta-feira
b) q: O meu pai era paulista
c) r: Amanhã não será sábado
d) Antes de pensarmos em quantificadores ou coisa do tipo, tente, usando apenas sua intuição
lógico-matemática, dizer qual é a negação da proposição abaixo:
s: Ninguém é forte o bastante para me deter!
Antes que você diga que
∼ s: Todo mundo é forte o bastante para me deter!
lembre-se de que a negação é o oposto lógico, não o antônimo no português. Tente pensar o que
precisa acontecer para que eu esteja mentindo ao fazer a afirmação p.
Solução:
a) ∼ p: Hoje não é sexta-feira
b) ∼ q: O meu pai não era paulista
c) ∼ r: Amanhã será sábado
d) Ora, para que s seja falso, isto é, para que seja mentira que Ninguém é forte o bastante
para me deter!, basta que exista pelo menos uma pessoa forte o bastante para me deter!
Assim,
∼ s: Existe alguma pessoa forte o bastante para me deter!
ou ainda
∼ s: Alguém é forte o bastante para me deter!
Entendido?
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Exerćıcio 3 Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim,
(A) Estudo e fumo.
(B) Não fumo e surfo.
(C) Não velejo e não fumo.
(D) Estudo e não fumo.
(E) Fumo e surfo.
Observação: Este exerćıcio é uma questão da prova da ANEEL (Agência Nacional de Energia Elétrica – Aneel – 2004
– Esaf) e é uma questão t́ıpica em provas de racioćınio lógico. Como exemplo, vamos resolvê-la.
Solução: Nesse tipo de questão, primeiro nos dão algumas proposições como “fatos”, isto é, pro-
posições que devemos considerar que são verdadeiras. Chamamos a essas proposições de premissas.
Neste caso, as premissas são as seguintes:
Premissas:
Surfo ou estudo.
Fumo ou não surfo.
Velejo ou não estudo.
Não velejo.
Geralmente as premissas são formadas por proposições compostas (como as três primeiras acima).
A partir delas temos que descobrir quais proposições simples são verdadeiras e quais são falsas. Ado-
taremos o seguinte método para resolver estas questões:
1) Escrever as proposições simples e escolher uma letra diferente para designar cada proposição:
Proposições:
s: surfo
e: estudo
f : fumo
v: velejo
Nosso objetivo é determinar quais dessas proposições simples são verdadeiras e quais são falsas.
2) Escrever as premissas usando as letras que designam as proposições e os śımbolos dos conectivos
lógicos (o śımbolo de “e” é ∧ e o de “ou” é ∨. A negação é representada por ∼.)
Premissas:
s ∨ e
f ∨ ∼ s
v ∨ ∼ e
∼ v
3) Analisar as premissas para descobrir quais proposições simples são verdadeiras e quais são falsas:
Começando pela última premissa, sabemos que é verdade ∼ v (pois isso foi dado como premissa).
Dáı podemos concluir que v é falso (dizer que é verdade que não velejo é o mesmo que dizer que é
falso que velejo).
Agora avaliando a penúltima premissa, sabemos que v∨ ∼ e é verdade. Mas isso significa que pelo
menos uma das duas proposições elementares envolvidas deve ser verdadeira (pois ∨ significa “ou”).
Já sabemos que v é falsa (conclúımos isso acima). Logo, ∼ e tem que ser verdadeiro. Dáı podemos
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concluir que e é falso.
Sabendo que e é falso, e olhando a primeira premissa, descobrimos que s é verdadeiro (pois se s
fosse falso, a premissa não seria verdadeira, e premissas sempre são verdadeiras).
Finalmente, a segunda premissa nos garante que f é verdadeiro (pois já vimos que ∼ s é falso).
Observando as alternativas da questão, conclúımos que a correta é a letra E: surfo e fumo.
Exerćıcio 4 Leio jornal ou passeio. Passeio ou não como fora. Como fora ou cozinho. Leio jornal
e não cozinho.
a) Escreva as proposições simples envolvidas no enunciado acima (escreva-as na forma afirmativa)
e designe para cada uma delas uma letra diferente.
b) Usando os śımbolos lógicos e as letras escolhidas no item anterior, escreva as premissas dadas
no enunciado.
c) Analise as premissas e marque verdadeiro ou falso nos parênteses abaixo:
( ) Leio jornal.
( ) Passeio.
( ) Como fora.
( ) Cozinho.
Solução:
a) Proposições:
l: leio jornal;
p: passeio;
f : como fora;
c: cozinho;
b) Premissas:
1) l ∨ p (Leio jornal ou passeio.)
2) p∨ ∼ f (Passeio ou não como fora. )
3) f ∨ c (Como fora ou cozinho.)
4) l∧ ∼ c (Leio jornal e não cozinho.)
c) Pela última premissa já sabemos que l é verdadeira e c é falsa, isto é, leio jornal e não cozinho.
Pela terceira premissa, como já descobrimos que c é falsa, podemos deduzir que f é verdadeira,
ou seja, como fora.
Pela segunda premissa, como f é verdadeira, segue que ∼ f é falsa, o que implica que p tem
que ser verdadeira (ou a premissa seria falsa). Portanto, passeio.
Repare que mesmo sem usar a primeira premissa já sabemos tudo o que desejamos:
(V) Leio jornal.
(V) Passeio.
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(V) Como fora.
(F) Cozinho.
Exerćıcio 5 Sou brasileiro ou sou engenheiro. Sou magro ou não sou brasileiro. Sou engenheiro ou
sou advogado. Não sou magro ou não sou engenheiro. Sou advogado ou sou pedreiro. Não sou
magro e não sou pedreiro.
a) Escreva as proposições simples envolvidas no enunciado acima (escreva-as na forma afirmativa)
e designe para cada uma delas uma letra diferente.
b) Usando os śımbolos lógicos e as letras escolhidas no item anterior, escreva as premissas dadas
no enunciado.
c) Analise as premissase marque verdadeiro ou falso nos parênteses abaixo:
( ) Sou brasileiro.
( ) Sou engenheiro.
( ) Sou magro.
( ) Sou advogado.
( ) Sou pedreiro.
d) Para resolver o item anterior você precisou usar todas as premissas?
Solução:
a) Proposições:
b: sou brasileiro;
e: sou engenheiro;
m: sou magro;
a: sou advogado;
p: sou pedreiro;
b) Premissas:
1) b ∨ e
2) m∨ ∼ b
3) e ∨ a
4) ∼ m∨ ∼ e
5) a ∨ p
6) ∼ m∧ ∼ p
c) Pela última premissa já sabemos que m e p são falsas.
Pela quinta premissa, como já descobrimos que p é falsa, podemos deduzir que a é verdadeira.
Pela segunda premissa, como m é falsa, segue que ∼ b é verdadeira, isto é, b é falsa.
Pela primeira premissa, como b é falsa, e tem que ser verdadeira.
Logo, temos:
(F) Sou brasileiro.
(V) Sou engenheiro.
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(F) Sou magro.
(V) Sou advogado.
(F) Sou pedreiro.
d) Não. Foram utilizadas somente as premissas 1, 2, 5 e 6.
Exerćıcio 6 Considere os conjuntos A = {1, 3} e B = {a, b}. Decida se são verdadeiras ou falsas
as proposições a seguir.
a) 3 ∈ A e a ∈ A;
b) 1 ∈ A ou b ∈ A;
c) 3 ∈ A e {a} ⊂ B;
d) 1 6∈ A ou {b} ⊂ B
Observação: Nesta questão continua-se a trabalhar com os conectivos “e”e “ou”, e se reve as relações de pertinência
e inclusão de conjuntos estudados na Semana 1.
Solução:
a) Falsa
Como a proposição 3 ∈ A é verdadeira, a proposição a ∈ A é falsa e a proposição composta
é formada pelo conectivo “e”, segue que a proposição composta é falsa;
b) Verdadeira
Como a proposição 1 ∈ A é verdadeira, a proposição b ∈ A é falsa e a proposição composta é
formada pelo conectivo “ou”, segue que a proposição composta é verdadeira;
c) Verdadeira
Como a proposição 3 ∈ A é verdadeira, a proposição {a} ⊂ B é verdadeira e a proposição
composta é formada pelo conectivo “e”, segue que a proposição composta é verdadeira;
d) Verdadeira
Como a proposição 1 6∈ A é falsa, a proposição {b} ⊂ B é verdadeira e a proposição composta
é formada pelo conectivo “ou”, segue que a proposição composta é verdadeira;
Exerćıcio 7 Considere os conjuntos A =
{
−1
2
, −3 , −1
6
}
, B =
{
−6 , −1
3
, 2
}
e C = {6 , 10}.
Escreva por extenso as proposições matemáticas abaixo, e decida se elas são verdadeiras ou falsas.
Justifique suas respostas.
a) ∀ x ∈ A, 1/x ∈ B.
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b) ∃ x ∈ A | 1/x ∈ B.
c) ∃ x ∈ B | ∀ y ∈ C, y/x é ı́mpar.
d) ∀ x ∈ B, ∃ y ∈ C | ∃z ∈ A | x = yz.
Solução:
a) Falsa.
Vamos primeiro reescrever a proposição. “Para todo x que pertence ao conjunto A, tem-se que
1/x pertence ao conjunto B”. Desta forma, para que a proposição seja verdadeira, é necessário
que o inverso de todos os elemento do conjunto A pertençam ao conjunto B. Isto é falso, pois
existe um elemento que pertence ao conjunto A, tal que seu inverso não pertence ao conjunto
B. De fato, o elemento x = −1/2 ∈ A é tal que que 1/x = −2 6∈ B. Para mostrarmos que a
proposição é falsa, observe que bastou encontrarmos um elemento de A, o elemento x = −1/2,
tal que seu inverso não pertence ao conjunto B.
b) Verdadeira.
Vamos primeiro reescrever a proposição. “Existe x que pertence ao conjunto A, tal que 1/x
pertence no conjunto B”. Para que a proposição acima seja verdadeira, devemos encontrar,
pelo menos, um elemento do conjunto A, de modo que 1/x pertença ao conjunto B. Isto é
verdadeiro, pois, para x = −3 ∈ A, temos que 1
x
= −1
3
∈ B. Para mostrarmos que a proposição
é verdadeira, observe que precisamos pegar apenas um dos elementos de A e mostrar que o
inverso dele é um elemento de B.
c) Verdadeira.
Vamos primeiro reescrever a proposição. “Existe x que pertence ao conjunto B, tal que para
todo y que pertence no conjunto C, temos que y/x é ı́mpar”. Para que a proposição acima seja
verdadeira, devemos encontrar, pelo menos, um elemento do conjunto B, de modo que para todo
elemento y do conjunto C, o quociente y/x é um número ı́mpar. Isto é verdadeiro. Os elementos
do conjunto C são: 6 , 10. Se tomarmos o elemento x = 2 ∈ B , para y = 6 ∈ C, temos que
y
x
=
6
2
= 3 é ı́mpar e para y = 10 ∈ C, temos que y
x
=
10
2
= 5 é ı́mpar.
d) Falsa.
Vamos primeiro reescrever a proposição. “Para todo x que pertence ao conjunto B, existe y
que pertence no conjunto C e existe z que pertence no conjunto A, tal que x = yz”. Para
que a proposição acima seja verdadeira, para todo elemento x do conjunto B, devemos en-
contrar, pelo menos, um elemento y do conjunto C e, pelo menos, um elemento z do con-
junto A, tal que x seja o produto de y com z. Isto é falso. Os elementos do conjunto
A são: −1
2
, −3 , −1
6
, os elementos do conjunto B são: −6 , −1
3
, 2 e os elemen-
tos do conjunto C são: 6 , 10. Se tomarmos, por exemplo, o elemento x = −6 ∈ B ,
temos que −6 6= 6 ×
(
−1
2
)
= −3, −6 6= 6 × (−3) = −18, −6 6= 6 ×
(
−1
6
)
= −1,
−6 6= 10×
(
−1
2
)
= −5, −6 6= 10× (−3) = −30, −6 6= 10×
(
−1
6
)
= −5
3
. Para negarmos a
proposição, observe que bastou encontramos um elemento de B, o elemento x = 6, tal que todas
as combinações posśıveis de produtos envolvendo todos os elementos de C e todos os elementos
de A, onde uma das parcelas é um elemento de C e a outra é um elemento de A, nunca gera
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x = −6 como resultado.
Exerćıcio 8 Escreva por extenso as proposições matemáticas abaixo, e decida se são verdadeiras ou
falsas. Justifique suas respostas.
a) ∀x ∈ Q; x > 1
b) ∃y ∈ Z | y + 1 = −3
c) ∃z ∈ Z | z + 3 = 1/3
d) ∀m ∈ N; m+ 1 > 3
e) ∀p ∈ Z; ∃q ∈ Z | p+ q = 0
f) ∃q ∈ Z | ∀p ∈ Z, p+ q = 0
Solução:
a) Para todo x racional, x é maior que 1. Falso, pois -1 é racional e não é maior que 1.
b) Existe y inteiro tal que y + 1 = −3. Verdadeiro: considere y = −4.
c) Existe z inteiro tal que z + 3 = 1/3. Falso: para que z + 3 = 1/3, z teria que ser igual a
−8/3, que não é um número inteiro.
d) Para todo m natural, m+ 1 > 3. Falso: para m = 1, m+ 1 = 2 < 3.
e) Para todo p inteiro, existe q inteiro tal que p + q = 0. Verdadeiro. Para cada p inteiro,
podemos tomar q = −p, então teremos p+ q = 0 (e q será inteiro também).
f) Existe q inteiro tal que para todo p inteiro p+q = 0. Falso, pois existe, por exemplo, q = 2 ∈ Z
tal que nem todo elemento p de Z satisfaz p + 2 = 0. Considere, por exemplo, p = −3 ∈ Z.
Note que escolhendo um outro valor para q ∈ Z, sempre se conseguirá encontrar p ∈ Z tal que
a soma p+ q não seja igual a zero.
Observação para os itens (e) e (f): é muito importante perceber que o simples fato de ter mudado a
ordem dos quantificadores nos dois últimos itens, muda totalmente o significado das proposições. Em
(e) perguntávamos se para cada p existe um q que “o anula”, já no item seguinte, perguntávamos
se existe um mesmo q que “anula” todo e qualquer p.
Exerćıcio 9 Escreva a negação das afirmativas abaixo:
a) Toda casa tem um dono.
b) Existe gato que gosta de água.
c) Existe cachorro que não persegue gato.
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d) Toda menina baiana tem um jeito que Deus dá.
e) Todo boteco que se preza diz que não vende fiado.
Solução:
a) Existe casa que não tem um dono.
b) Todo gato não gosta de água (ou nenhum gato gosta de água, ou, ainda, não existe gato que
gosta de água).
c) Todo cachorro persegue gato.
b) Existe menina baiana que não tem um jeito que Deus dá.
b) Existe boteco que se preza que não diz que não vende fiado.
Exerćıcio 10 O conjunto A∪B pode ser descrito, por uma propriedade satisfeita por seus elementos,
como
A ∪B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Descreva, por meio de uma propriedade satisfeita por seus elementos (isto é, na forma {x|...}), os
conjuntos
a) A ∩B
b) A−B
c) A ∩B ∩ C
d) (A ∪B)− C
Solução: Descrevendo cada conjunto por meio de uma propriedade, temos
a) A ∩B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
b) A−B ={x|x ∈ A ∧ x /∈ B} ou ainda A−B = {x|x ∈ A∧ ∼ (x ∈ B)}
c) A ∩B ∩ C = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∈ C}
d) (A ∪B)− C = {x|(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x /∈ C} ou ainda
(A ∪B)− C = {x|(x ∈ A ∨ x ∈ B)∧ ∼ (x ∈ C)}
Exerćıcio 11 A proposição “A ⊂ B”pode ser escrita, utilizando quantificadores, como
“∀x ∈ A, x ∈ B”. Note que as duas expressões são equivalentes. Escreva, utilizando quantifi-
cadores, expressões equivalentes a
a) A 6⊂ B
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b) A ⊂ (B ∪ C)
c) A−B = ∅
Solução: Descrevendo cada conjunto por meio de uma propriedade, temos
a) A 6⊂ B equivale a ∃x ∈ A|x /∈ B
b) A ⊂ (B ∪ C) equivale a ∀x ∈ A, x ∈ B ∨ x ∈ C
c) A−B = ∅ equivale a ∀x ∈ A, x ∈ B ou ainda @x ∈ A|x /∈ B
Exerćıcio 12 Considere os conjuntos A = {7, 8} e B = {9, 10}.
a) Escreva por extenso a proposição abaixo e decida se ela é verdadeira ou falsa, justificando cuida-
dosamente sua resposta.
p : ∀a ∈ A, ∃b ∈ B | b = a+ 2.
b) Escreva por extenso a proposição abaixo e decida se ela é verdadeira ou falsa, justificando cuida-
dosamente sua resposta.
q : ∃b ∈ B | ∀a ∈ A, b = a+ 2.
Solução:
a) Vamos, primeiramente, escrever a proposição p por extenso.
p : Para todo a pertencente a A, existe b pertencente a B tal que b é igual a a mais dois.
A proposição p é verdadeira.
Para a = 7, tomamos b = 9 e temos que b = a+ 2.
Para a = 8, tomamos b = 10 e temos que b = a+ 2.
b) Vamos, primeiramente, escrever a proposição p por extenso.
q : Existe b pertencente a B tal que, para todo a pertencente a A, b é igual a a mais dois.
A proposição q é falsa.
Para b = 9, tomamos a = 8, de modo que b 6= a+ 2.
Para b = 10, tomamos a = 7, de modo que b 6= a+ 2.
Exerćıcio 13 Vimos que uma sequência da forma
∃x ∈ X|p(x)
é falsa apenas se
∀x ∈ X,∼ p(x),
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isto é, é falso que “algum x em X tal que p(x) é verdadeiro”se “para todo x em X, p(x) for falso”.
Da mesma forma,
∀x ∈ X, p(x)
é falsa apenas se
∃x ∈ X| ∼ p(x),
isto é, é falso que “para todo x em X, p(x) é verdadeira”se “existe algum x em X para o qual p(x)
é falsa”.
Juntando as informações acima, escreva a negação das sentenças abaixo. Escreva com palavras, sem
utilizar simbologia lógico-matemática.
a) Todo cliente que comprou ontem, pagou em dinheiro ou com o cartão.
b) Algum cliente que comprou ontem pagou em dinheiro ou com cartão.
c) Todo cliente que comprou ontem adquiriu um presente e um produto para uso próprio.
d) Algum cliente que comprou ontem adquiriu um presente e um produto para uso próprio.
e) Todos os clientes que compraram ontem pagaram em cartão ou existe algum cliente que comprou
ontem que tenha comprado um presente.
f) Existe algum cliente que tenha comprado ontem que tenha pago em dinheiro e todos os clientes
que compraram ontem compraram um presente.
Nos itens acima, observe que a expressão “que comprou ontem”determina o conjunto de clientes
dos quais se fala, ou seja, fazem o papel do conjunto “X”nas expressões “∃x ∈ X”e “∀x ∈ X”.
Assim, por exemplo, a expressão, “Todo cliente que comprou ontem, pagou em dinheiro ou com o
cartão”pode ser pensada como “∀c ∈ X, ‘c comprou ontem’ ou ‘c pagou com o cartão’ ”; pensar
assim ajudará a escrever as negações.
Solução:
a) Algum cliente que comprou ontem, não pagou em dinheiro e não pagou com o cartão.
Pode-se chegar a esta conclusão da seguinte forma:
Todo cliente que comprou ontem, pagou em dinheiro ou com o cartão.
m
∀c ∈ X, ‘c pagou em dinheiro’ ou ‘c pagou com o cartão’
Assim, a negação será
∃c ∈ X | ∼ (‘c pagou em dinheiro’ ou ‘c pagou com o cartão’)
m
∃c ∈ X | ∼ (‘c pagou em dinheiro’) e ∼ (‘c pagou com o cartão′)
m
Algum cliente que comprou ontem, não pagou em dinheiro e não pagou com o cartão
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b) Todo cliente que comprou ontem não pagou em dinheiro e não pagou com cartão
Pode-se chegar a esta conclusão da seguinte forma:
Algum cliente que comprou ontem pagou em dinheiro ou com cartão.
m
∃c ∈ X | ‘c pagou em dinheiro’ ou ‘c pagou com o cartão’
Assim, a negação será
∀c ∈ X,∼ (‘c pagou em dinheiro’ ou ‘c pagou com o cartão’)
m
∀c ∈ X,∼ (‘c pagou em dinheiro’) e ∼ (‘c pagou com o cartão’)
m
Todo cliente que comprou ontem não pagou em dinheiro e não pagou com o cartão
c) Algum cliente que comprou ontem não adquiriu um presente ou não adquiriu um pro-
duto para uso próprio
Pode-se chegar a esta conclusão da seguinte forma:
Todo cliente que comprou ontem adquiriu um presente e um produto para uso próprio
m
∀c ∈ X, ‘c adquiriu um presente’ e ‘c adquiriu um produto para uso próprio’
Assim, a negação será
∃c ∈ X | ∼ (‘c adquiriu um presente’ e ‘c adquiriu um produto para uso próprio’)
m
∃c ∈ X | ∼ (‘c adquiriu um presente’) ou ∼ (‘c adquiriu um produto para uso próprio’)
m
Algum cliente que comprou ontem não adquiriu um presente ou não adquiriu um produto para uso próprio
d) Todo cliente que comprou ontem não adquiriu um presente ou não adquiriu um pro-
duto para uso próprio
Pode-se chegar a esta conclusão da seguinte forma:
Algum cliente que comprou ontem adquiriu um presente e um produto para uso próprio
m
∃c ∈ X | ‘c adquiriu um presente’ e ‘c adquiriu um produto para uso próprio’
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Assim, a negação será
∀c ∈ X,∼ (‘c adquiriu um presente’ e ‘c adquiriu um produto para uso próprio’)
m
∀c ∈ X,∼ (‘c adquiriu um presente’) ou ∼ (‘c adquiriu um produto para uso próprio’)
m
Todo cliente que comprou ontem não adquiriu um presente ou não adquiriu um produto para uso próprio
e) Algum cliente que comprou ontem não pagou em cartão e todo cliente que comprou
ontem, não comprou um presente
Para chegar a esta conclusão, podemos denotar
p : ‘Todos os clientes que compraram ontem pagaram em cartão’
q : ‘Existe algum cliente que comprou ontem que tenha comprado um presente.’
Queremos escrever a negação de “p ou q”, que será “∼ p e ∼ q”. Temos
∼ p : ‘Algum cliente que comprou ontem não pagou em cartão’
∼ q : ‘Todo cliente que comprou ontem, não comprou um presente.’
Assim, a negação de “ ‘Todos os clientes que compraram ontem pagaram em cartão’ ou ‘existe
algum cliente que comprou ontem que tenha comprado um presente’ ”é “ ‘Algum cliente que
comprou ontem não pagou em cartão’ e ‘Todo cliente que comprou ontem, não comprou um
presente’ ”.
f) Todo cliente que comprou ontem não pagou em dinheiro ou algum cliente que comprou
ontem não comprou um presente
Para chegar a esta conclusão, podemos denotar
p : ‘Existe algum cliente que tenha comprado ontem que tenha pago em dinheiro’
q : ‘Todos os clientes que compraram ontem compraram um presente.’
Queremos escrever a negação de “p e q”, que será “∼ p ou ∼ q”. Temos
∼ p : ‘Todo cliente que comprou ontem não pagou em dinheiro’
∼ q : ‘Algum cliente que comprou ontem não comprou um presente.’
Assim, a negação de “ ‘Existe algum cliente que tenha comprado ontem que tenha pago em
dinheiro’ e ‘todos os clientes que compraram ontem compraram um presente’ ”é “ ‘Todo cliente
que comprou ontem não pagou em dinheiro’ ou ‘algum cliente que comprou ontem não comprou
um presente’ ”.
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