Práticas de Cálculo Numérico (EEA126) - Avaliação II - Individual Semipresencial

D i sc i pli na: Prá t i cas d e Cálc ul o N um ér i co (EEA 126) A val i ação: A val i a ção I I - I nd i vi d ual Sem i pr ese nci al ( C od .:460807) ( peso.: 1,50) Prova: 14561994 N ot a da Prova: 10,00 Legenda: R es post a Certa Sua R espos ta E r rada 1. Em a nál i se numér i ca , pol i nôm io d e Lagrange (nom e ad o por r azão d e Jose ph - Louis d e Lagra nge) é o pol i nôm i o d e interpol a ção d e um conj unt o d e pont os. C om base nos d ad os d o qua d ro ane xo, ass i nal e a a l t er nat i va C OR RE T A que apr ese nt a o pol i nôm i o interpol ad or obtid o via m ét od o d e L agr ange pa ra a f unção: a) 1,2295x + 1. b) 1,3845x + 2. c) 0,6125x + 1. d) x + 0,6125. 2. U m a d as apl i c ações d a i nt er pol açã o é a d e a proxi m a ção d e f unções c om pl exas para f unções m ai s f ácei s . Suponha que t e nham os um a f unção e que se j a mui t o m a i s d i f í ci l aval i á- l a d a f orm a em que se encont r a. Pod e - se, então, escol he r al guns val or es r ef er ênci a d a f unção antiga e t ent a r i nt e rpol a r es t es d a d os par a cons t r ui r um a f unção m ai s f áci l . A ss i nal e a al t er nativa CO RR ET A que apre senta o si gni f i cad o d e i nt er pol ar : a) Repres ent a r a s equações l i near es no pla no car t es i ano quand o as i ncógni tas se acha m i gual m ent e re l aci onad as à m es m a f unção. b) É um m od o d e ut i l i zar a regr a d os t r apéz i os quand o o núme ro d e d ad os é e l evad o. c) A pr oxi m ar uma f unção por m ei o d e uma outra f unçã o, ger al m ent e pol i nom i al . d) Resol ver a i nt e gra l quand o o i nt er val o f or cons t ant e em re l ação à var i ável . 3. O M ét od o d a B i ss eçã o t em com o f ina l i d ad e e ncont r ar as ra í zes em uma f unç ão cont í nua, por um proce ss o i t er at i vo. O mé t od o c onsi s t e, i ni ci a l m ent e, em enc ont ra r por ve ri f i c ação d oi s pont os , a e b, tais que, quand o apl i cad os em um a f unção, t enham os r esul tad os d e si nai s opos t os. O f at o d a exi st ê nci a d a r ai z é garantid o pelo T eor em a d e B ol zano. A s i t er ações são r eal i zad as, d et er mi nand o a m éd ia ar i t m ét i ca x = ( a + b) / 2 ent r e os val or a e b, posteri orm ent e, para o r esul t ad o d e x, haverá um evol ução por c i m a ou por baixo. Consi d ere que na f unçã o que quer emo s proc ura r, a r ai z sej a f (x) = x² - 3. Par t i nd o d os val ores d e a = 1 e b = 3, d et er mi nand o o val or a se r t estad o na t erc ei ra iteraç ão, assi nal e a al t erna t i va C OR RE T A : a) x = 1,5. b) x = 1,7. c) x = 1,75. d) x = 1,25. 4. Em a l guns mé t od os num éri cos par a d et er mi na r a r ai z d e uma equaçã o, é nece ss ár i o encontrar um interval o que cont e nha um a r ai z. O pr oces so para d et er mi nar este i nt er valo consi st e em um s i m pl es t e st e d e ver i f ic ação. Supond o que os d ois par âm et ros ini ci ai s sej am a e b, sa bend o que o m ét od o que ser á ut i l i zad o é o d a f al sa- posi ção, cla ss i f i que as V para as s ent enças verd ad ei r as e F para as f a l sas : ( ) f (a) .f (b) =0 ent ão nad a é concl uíd o. ( ) f (a) .f (b) ão a rai z d a f unção, está no i nt er val o [a, b] . ( ) f (a) .f (b) >0 ent ão d evem os t es t ar outro pont o, poi s não é conc l usi vo. ( ) f (a) .f (b) ão d evem os t es t ar outro pont o, poi s não é concl usi vo. A s si nal e a al t er nat i va que apre senta a sequê nci a C O RR ET A : a) V - F - V - F. b) F - V - V - F. c) F - V - F - V. d) V - F - F - V. 5. O M ét od o d a S e cant e é ut i l i zad o para d et erm inar as raí zes em uma f unção. Pri m ei ram ent e, d evem os d et er m i nar um i nt er valo [a , b] em que a f unçã o sej a cont í nua e que não ne ces sar ia m ent e, a r ai z est ej a nes t e i nt erva l o. A expr essã o a se gui r, d et er mi na as i t er ações par a a aproxi m ação d a rai z d este mé t od o. Supond o que na f unção que quer em os proc ura r, a r ai z sej a f (x) = - x² + 3, par t i nd o d os val ores d e a = -1 e b = 3. D eterm ina nd o o val or x d a apr oxi m ação na pr im ei ra i t er ação, assi nal e a al t erna t i va C OR RE T A : a) x = 0. b) x = 1,5. c) x = 0,4. d) x = 1,2. 6. N o m ét od o d a bi ss eção, pod em os estipul ar a quantid ad e d e i t er ações ne ces sár ia s par a se obt er um a aproxi ma ção d esej ad a d a sol ução. Para i ss o, é nece ss ár i o est a bel ecer o i nt er valo [a , b] em que a ra i z est á c ont i d a e d et er m i nar o er ro que se rá apl ica d o. Supond o que par a um a cer t a equa ção o int e rva l o d e [-2; 1] c ont ém uma ra i z e um er r o d e 0.01, d et er mi ne a quant i d ad e d e it e ra ções segui nd o a expr essã o: a) 9 i t er ações. b) 7 i t er ações. c) 6 i t er ações. d) 8 i t er ações. 7. O M ét od o d e N ew ton - R a phson t em com o i d ei a ge om ét r i ca a ut i li zação d e retas t angentes que converge m par a um a rai z. A l ém d is so, pod em os es t abel ecer out r as col ocações conce i t uai s ou d ef i niçõe s par a este métod o. Sobre as c ol ocaçõe s corr et as sobr e o Mét od o d e N ewt on - Raphson, anal is e as s ent enç as a segui r: I - T em como al ice rc e a d eri vad a d as f unções . II - O métod o consi st e em d et er m i nar ra í zes d e f unções por um proc ess o i t er at i vo. III - A f unção d eve ser cont í nua para que o m ét od o f unci one. IV - A f unçã o conver ge sobre qual quer hi pót es e i nici al . A s si nal e a al t er nat i va C OR RE T A : a) Som ent e a sentença I es t á cor re t a. b) A s sentenças I , I I e I I I estão corr et as. c) A s sentenças I I e I V estão corr et as . d) A s sentenças I e I V estão corr et as. 8. A s expr ess ões algé bri cas que se f or ma m a p ar t i r d a uniã o d e d uas ou m ai s vari ávei s e cons t ant es , rel aci onad as at r avés d e oper ações d e mul t i pl i caçã o, subt r ação ou ad içã o, r ecebe m o nom e d e pol i nôm i os. D a d o o poli nôm i o P (x) = 0,6x² + 0,9x + 1, d et er mi ne se u val or para x = 0,4: a) 2,104. b) 1,456. c) 1,6. d) 1,324. 9. Par a r esol ver equações por m ei o numér ic o, há d oi s gr upos d e métod os que pod em os ut i li zar : mé t od os d e conf i nam ent o e m ét od os aber t os. Um d est e s m ét od os, t em com o i d ei a i d ent i f ica r um i nt er valo que cons t a um a sol ução, enquant o o out ro, a d m i t e -s e um a est i ma t i va ini ci al par a a sol ução. A ss i nal e a al t e rna t i va C OR RE T A que apr es ent a ape nas m ét od os d e conf i name nt o: a) Secante e bi ss eção. b) Regula f al si e i t er ação d e pont o f ixo. c) N ewt on e o i t er ação d e pont o f ixo. d) Bis seç ão e o r egul a f al si . 10. H á vá ri os mé t od os para re sol ver equaçõe s , al guns que pr oporci onam r espos t as exat a s e out r os que nos f or necem uma apr oxi m ação. Cont ud o, nos cas os em que nece ss i t am os re al iza r i t er ações , os m ét od os pod em se d i f ere nci ar entre m ét od os d e conf i name nt o e m ét od os aber t os. U m a i m port a nt e d if e re nça entre el es, é que em m ét od os d e conf i name nt o, o pr oces so sem pre conver ge, enquant o que nos m ét od os aber t os, nem sem pre há a conve rgê nci a. A ss i nal e a al t erna t i va CO RR ET A que apr es ent a ape nas m ét od os aber t os: a) Secante e bi ss eção. b) N ewt on e o iteraç ão d e pont o f ixo. c) Regula f al si e i t er ação d e pont o f ixo. d) Bis seç ão e o r egul a f al si .

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