calc1_prova01

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Ministério da Educação
Instituto Federal de Braśılia - Campus Taguatinga
Cálculo Diferencial e Integral I
Prova 01 - 01/04/2019 - LFIS
Nome:
• Não é permitido o uso de calculadoras, celulares ou aparelhos eletrônicos.
• Não é permitido nenhum tipo de consulta.
• Respostas das questões discursivas sem justificativa serão desconsideradas.
Parte Objetiva
Nos dois próximos itens, marque com um “X” a resposta correta.
1. Sabemos que a Lei de Coulomb oferece a seguinte equação para a força F entre duas
part́ıculas de cargas q1 e q2,
F (d) = k
q1q2
d2
,
em que k é a constante eletrostática no vácuo e d representa a distância entre as cargas.
Se a distância entre as cargas aumenta infinitamente então
(a) A força F tende ao infinito.
(b) A quantidade de carga em q2 tende ao infinito.
(c) A força F tende a zero.
(d) A força F tende ao valor constante k.
2. Suponha que dois algoritmos f e g tenham as seguintes funções de complexidade
f(n) = 3n2 − n, g(n) = 7n2 + 2n
em que n representa o tamanho do vetor de entrada. O tempo de execução (com-
plexidade) é medido quando o tamanho da entrada é muito grande, ou seja, quando
n→∞. Assim, é posśıvel afirmar que
(a) O algoritmo f é mais lento que g porque possui uma subtração na equação.
(b) A fração
f(n)
g(n)
tende a zero.
(c) A fração
f(n)
g(n)
tende a um número finito.
(d) A fração
f(n)
g(n)
tende ao infinito.
Parte Discursiva
3. Considere a função abaixo
f(x) = 3 +
x+ 2
x2 − 1
.
(a) Descreva o domı́nio de f(x).
(b) Existem pontos em que a função tende a ∞ ou −∞?
(c) O que acontece com esta função se x→∞?
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4. Calcule:
(a) lim
x→b
1x3 + 4x2 + 2019x.
(b) lim
x→2
x4 − 5x2 + 4
x3 − x2 − 4x+ 4
.
(c) lim
x→2
√
x2 + 12− 4
x− 2
(d) lim
y→0
sen(3y)
4y
5. Determine um intervalo que contenha uma raiz da função
f(x) = 4x4 − 2x3 − 12x+ 6
e justifique de forma correta o seu racioćınio.
6. Suponha que um objeto tenha suas posições determinadas pela equação
y(t) =

0 se t ≤ 0,
2t se 0 < t < 1,
4 se t ≥ 1
A partir de um instante inicial t0, vamos medir a velocidade média do objeto
vm(t) =
∆y
∆t
=
y(t)− y(t0)
t− t0
.
(a) A função y(t) é cont́ınua?
(b) Considerando apenas t > 0, calcule lim
t→1−
vm(t) quando t0 = 1.
(c) Considerando apenas t > 0, calcule lim
t→1+
vm(t) quando t0 = 1.
(d) É posśıvel que um objeto tenha este deslocamento?
7. [THOMAS] Para quais valores de a e b
f(x) =

−2 se x ≤ −1,
ax+ b se −1 < x < 1,
3 se x ≥ 1
é cont́ınua para qualquer x?
8. [Extra] O grafite de uma lapiseira é um cilindro reto. A medida é realizada de acordo
com o diâmetro (d = 2r) da mina. Sabendo que uma fábrica de lapiseiras exige que o
erro na medida do grafite seja menor que � = 0.01mm, determine o maior erro posśıvel
na medida do raio para que o grafite possa ser utilizado quando
(a) O diâmetro for 0.3mm
(b) O diâmetro for 0.5mm
(c) O diâmetro for 0.7mm
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Cálculo Diferencial e Integral I
Prova 01 - 03/04/2019 - ABI
Nome:
• Não é permitido o uso de calculadoras, celulares ou aparelhos eletrônicos.
• Não é permitido nenhum tipo de consulta.
• Respostas das questões discursivas sem justificativa serão desconsideradas.
Parte Objetiva
Nos dois próximos itens, marque com um “X” a resposta correta.
1. Sabemos que a Lei de Coulomb oferece a seguinte equação para a força F entre duas
part́ıculas de cargas q1 e q2,
F (d) = k
q1q2
d2
,
em que k é a constante eletrostática no vácuo e d representa a distância entre as cargas.
Se a distância entre as cargas aumenta infinitamente então
(a) A força F tende ao infinito.
(b) A quantidade de carga em q2 tende ao infinito.
(c) A força F tende a zero.
(d) A força F tende ao valor constante k.
2. Suponha que dois algoritmos f e g tenham as seguintes funções de complexidade
f(n) = 3n2 − n, g(n) = 7n2 + 2n
em que n representa o tamanho do vetor de entrada. O tempo de execução (com-
plexidade) é medido quando o tamanho da entrada é muito grande, ou seja, quando
n→∞. Assim, é posśıvel afirmar que
(a) O algoritmo f é mais lento que g porque possui uma subtração na equação.
(b) A fração
f(n)
g(n)
tende a zero.
(c) A fração
f(n)
g(n)
tende a um número finito.
(d) A fração
f(n)
g(n)
tende ao infinito.
Parte Discursiva
3. Considere a função abaixo
f(x) = 3 +
x2
x2 − 1
.
(a) Descreva o domı́nio de f(x).
(b) Existem pontos em que a função tende a ∞ ou −∞?
(c) O que acontece com esta função se x→∞?
Ministério da Educação
Instituto Federal de Braśılia - Campus Taguatinga
4. Calcule:
(a) lim
x→a
3x3 + 4x2 + 2019x.
(b) lim
x→2
x4 − 5x2 + 4
x3 − x2 − 4x+ 4
.
(c) lim
x→1
x− 1√
x+ 3− 2
(d) lim
y→0
sen(3y)
4y
5. Suponha que
f(x) =
1
x− 1
.
(a) Determine a expressão da nova função g(x) =
f(x)− f(2)
x− 2
.
(b) Identifique o domı́nio de g(x).
(c) Analise lim
x→2+
g(x) e lim
x→2−
g(x).
(d) A função g(x) é cont́ınua no ponto x = 2? Justifique.
6. [THOMAS] Para qual valor de b
f(x) =

x− b
b+ 1
se x < 0,
x2 + b se x ≥ 0
é cont́ınua para qualquer x?
7. Determine um intervalo que contenha uma raiz da função
f(x) = x5 − 1
2
x4 − 4x+ 2
e justifique de forma correta o seu racioćınio.
8. [Extra] O grafite de uma lapiseira é um cilindro reto. A medida é realizada de acordo
com o diâmetro (d = 2r) da mina. Sabendo que uma fábrica de lapiseiras exige que o
erro na medida do grafite seja menor que � = 0.01mm, determine o maior erro posśıvel
na medida do raio para que o grafite possa ser utilizado quando
(a) O diâmetro for 0.3mm
(b) O diâmetro for 0.5mm
(c) O diâmetro for 0.7mm