9 1) EXERCÍCIOS DE MÓDULO E EQUAÇÕES MODULARES

Prévia do material em texto

yxyx
y.xxy
xx
R x , xxx
xxx
axaax
ax ou axax
-ax ou axax
0x0x
R x , 0x
R x , xx
0x se , x
0x se , x
x
22
222
+≤+
=
=
∈∀==
≤≤−
<<−⇔<
>−<⇔>
==⇔=
=⇔=
∈∀≥
∈∀−=



<−
≥
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )





=







=∴−=−∴−−=−
=∴=∴−=−
3
5
,1Solução
1x3x22xx232x
3
5
x5x3x232x
{ }6,3,2,1Solução
3x
2x
06x5x6x5x
6x
1x
06x5x6x5x
22
22
−=












=
=
=+−∴−=−



=
−=
=−−∴=−
{ }7,5Solução
5x61x
7x61x
−=





−=∴−=−
=∴=−
 
 
Fazendo |x| = y , temos : 
 



−=
=
=−+
) negativo ser pode NÃO módulo o pois serve não ( 5y
3y
015y2y2 
 
Logo : 3xou3x3x −==∴= 
 
Solução : { }3,3− 
 
 
 
 
Da definição de módulo, o 2º membro NÃO pode ser negativo. Então devemos impor 
a condição de que : 2x010x5 ≥∴≥− 
Logo: 
( )
{ }3Solução
) satisfaz não (
4
7
x14x810x54x310x54x3
) condição a satisfaz (3x6x210x54x3
=







=∴=∴+−=−∴−−=−
=∴=∴−=−
 
 
 
 
Da definição de módulo, o 2º membro NÃO pode ser negativo. Então devemos impor 
a condição de que : 1x01x −≥∴≥+ 
( )





 −=







−=∴−−=∴+−=
=∴+=
3
1
,1Solução
) condição a satisfaz( 
3
1
x1xx21xx2
) condição a satisfaz( 1x1xx2
 
 
Por meio de um artifício algébrico, façamos |x-2| = y . Daí teremos : 



=∴−=−
=∴=−
=−
1y 67y
 13y 67y
67y 
Retornando, teremos: 



=∴−=−
=∴=−
=−



=∴−=−
=∴=−
=−
1x 12x
 3x 12x
12x
e
11-x 132x
 15x 132x
132x
 
 
Solução : { }15,3,1,11− 
 
 
 
Escrevamos a equação dada como: 
3
4x
x
2 +−= 
Daí, vamos impor a condição de que : 
2x22x4x4x4x04x0
3
4x 2222
2
≤≤−→≤→≤→≤∴−≥−∴≥+−∴≥+− 
Solução Alternativa : -x²+ 4 ≥ 0 ���� -x² ≥ -4 ���� x² ≤≤≤≤ 4 ���� x² - 4 ≤≤≤≤ 0 ���� x = -2 e x = 2 ���� -2 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 2 
Então: 












=
−=
=−−∴−=∴+−−=



−=
=
=−+∴+−=
) condição a satisfaz não ( 4x
1x
04x3x
3
4x
x
3
4x
x
) condição a satisfaz não ( 4x
1x
04x3x
3
4x
x
2
22
2
2
 
 
Solução : { }1,1− 
 
 
 
Obs.: existe outra maneira de resolução 
 
Escrevamos a equação dada como: 1xx +−= 
Daí, vamos impor a condição de que : 
 1x1x01x ≤∴−≥−∴≥+− 
Então: 
( )







−=∴−=∴+−−=
=∴=∴+−=
) impossível (101xx1xx
2
1
x1x21xx
 
Solução : 






2
1
 Obs.: existe outra maneira de resolução 
 
 
 ( * )( * )( * )( * ) 
Escrevamos a equação dada como: 
x
4x
1x
x
x4
1x
−=−→
−
−=− 
Daí, vamos impor a condição de que : 
 



>
≥∴≥−
≥−
) nulo ser pode não numerador ( 0x
4x04x
0
x
4x
 
 
Então: 4x ou 0x : condição ≥< 
 
Daí : 
( )












−=
=
=∴=+−∴+−=−∴−−=−
=+−∴=+−−∴−=−
2x
) satisfaz não ( 2x
4x4xxx
x
4x
1x
x
4x
1x
) real x existe não ( 04x2x04xxx
x
4x
1x
22
22
 
Solução : { }2− 
 
 
 
( * ) Veja a 2ª maneira de resolver este mesmo exercício na página seguinte 
 
 
 ( 2ª maneira ) 
 
( )
( )
{ } 2- : Solução
 
) 1x de condição a satisfaz não ( 2x
) 1x de condição a satisfaz ( 2x
4x
41xxx1x1x1x , é isto , 01-x Se
) real x existe não (04x2x
41xxx1x1x1x , é isto , 01-x Se
2
2



<=
<−=
=→
→=+−−→+−=−→<<
=−+−
→=−−→−=−→≥≥
 
 
 
 
 
 
 
{ } 5,5- : Solução
5x
) condição a satisfaz não ( 2x
010x3xxx 0x Se
5x
) condição a satisfaz não ( 2x
010x3xxx 0x Se
2
2



−=
=
=−+→−=→<



=
−=
=−−→=→≥
 
 
 
 
 
 













=→=→+−=+→−=
−
+
=→=→−=+→=
−
+
3,
3
4
:Solução
3
4
x8x610x52x5
2x
2x
3x12x410x52x5
2x
2x
 
 
 
 
 
 
 



><−
≤≥−
=−



<<+−
≥≥−
=−
(4) 1x se , i.é , 0x-1 se , 1x
(3) 1x se , i.é , 0x-1 se , x1
x1
(2) 3x se , i.é , 03-x se , 3x
(1) 3x se , i.é , 03-x se , 3x
3x
 
 
 
) condição a verifica ( 3x24-2x2x1-3-x :temos 3x Se C)
) intervalo ao 2 pois verifica ( 222x1-3x-:temos3x1 Se B)
) condição a verifica ( 1x242x-2x-13x-:temos1x Se )A
=→=→=+≥
∈=→=++<<
=→=+→=++≤
 
 
Solução : { }3,2,1 
 
 
 
 
 



<<+−
≥≥
=−



<<+−
≥≥−
=−
(4) 1x se , i.é , 01-x se , 1x
(3) 1x se , i.é , 01-x se , 1-x
1x
(2) 3x se , i.é , 03-x se , 3x
(1) 3x se , i.é , 03-x se , 3x
3x
 
 
 
 
 
Solução : 






3
10
,2 
 
 
 
 
 




<<<−+−
−≤≥≥−
=−



><+−
≤≥
=−
(4) 2x2- se , i.é , 04x se , 4x
(3) 2xou2x se , i.é , 04x se , 4-x
4x
(2) 1x se , i.é , 0x-1 se , x1
(1) 1x se , i.é , 0x-1 se , x-1
x1
22
22
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução : { }3 
 
 
 
 
 
Em [π/2, 2π] as soluções reais da equação |sen(x) +1/8| -8/9 = 0 são em numero de: 
(a) 5 (b) 4 (c) 3 (d) 2 (e) 1 
 
Aplicando uma propriedade do módulo que diz : 
 



−=
=
≥=
kx
kx
 : então , 0k e constante uma é k onde , kx Se 
 
Então a equação pode ser escrita como : 
9
8
8
1
)x(sen =+ . 
 
Daí, aplicando a propriedade acima teremos : 
 









≤≤→
→−=→−−=→−−=→−=+
°≈→=→−=→−=→=+
1x1- intervalo ao pertencer deve sen(x) o pois x EXISTE NÃO 
72
73
)x(sen
72
964
)x(sen
8
1
9
8
)x(sen
9
8
8
1
)x(sen
8,49x
72
55
)x(sen
72
964
)x(sen
8
1
9
8
)x(sen
9
8
8
1
)x(sen
 
Analisando o círculo trigonométrico veremos que x=49,8° não pertence ao intervalo 
[π/2, 2π] , 
mas existe também o arco 180°-49,8° = 130,2° e onde sen(130,2°) = 55/72 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, no intervalo [π/2, 2π] teremos apenas 1 solução : °≈ 2,130x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



><+−
≤≥
=−



<<+−
≥≥
=−
(4) 5x se , i.é , 0x-5 se , x5
(3) 5x se , i.é , 0x-5 se , x-5
x5
(2) 2x se , i.é , 04-2x se , 4x2
(1) 2x se , i.é , 04-2x se , 4-x2
4x2
 
 
 
 
 
Solução : { }5x,1 ≥− 
 
 
 
 
 
 
 












=
−=
=−+→−=−→−=−→−=−



−=
=
=−−→=−→=−→=−
3/1x
3x
03x8x3x83x3
3
x8
1x
3
8
x
1
x
3/1x
3x
03x8x3x83x3
3
x8
1x
3
8
x
1
x
222
222
 
 
Solução : 





 −− 3,
3
1
,
3
1
,3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 





<<<+−−+−
≥≤≥+−+−
=+−





<<<+−−+−
≥≤≥+−+−
=+−
2x1 se , i.é. ,02x3x se , 2x3x
 
2x ou 1x se , i.é. ,02x3x se , 2x3x
2x3x
3x1 se , i.é. ,03x4x se , 3x4x
 
3x ou 1x se , i.é. ,03x4x se , 3x4x
3x4x
22
22
2
22
22
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução : { }2,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 





≥
>
>





≤
>
<
a
 União a fazemos , 0a , 
a
 |x|
a
 Interseção a fazemos , 0a , 
a
 |x|
U
I
 
 
 
 
 
 
 
{ }2x:Solução
 8x01-x-7-2x1x , é isto , 01x se , 1-x-
 2x01x7-2x-1x , é isto , 01x se , 1x
1x
: que Sabemos
≥



≥→≥→−<<+
≥→≥++→≥≥++
=+
 
 
 
 
 
 
{ }3x:Solução
 2x-8x4073x-1x-1x , é isto , 01x se , 1x-
3x-6x207x31x1x , é isto , 01x se , 1x
1x
: que Sabemos
≥



≥→≤−→≤++→<<−+
≥→≤−→≤+−−→≥≥−−
=−
 
 
 
 
 
 
{ }5x:Solução
 5/3x3x50x341x21/2x , é isto , 01x2 se , 1x2
5x5x0x341x21/2x , é isto , 01x2 se , 1x2
1x2
: que Sabemos
<



<→−>−→>−+−−→−<<+−−
<→−>−→>−++→−≥≥++
=+
 
 
 
 
 
 
{ }1x1:Solução
 -1x01x03x22x33/2x , é isto , 02-x3 se , 2x3
1x05x503x22x33/2x , é isto , 02-x3 se , 2-x3
2x3
: que Sabemos
≤≤−



≥→≤−−→≤−++−→≥<+−
≤→≤−→≤−+−→≥≥
=−
 
 
 
 
 
 
{ } x :Solução
 1/2x-1x202x-1x-1x , é isto , 01x se , 1x-
) x de independe ( x2302x1x1x , é isto , 01x se , 1x1x
: que Sabemos
ℜ=



≤→≥−→≥+−→−<<+−
ℜ=→≥→≥+−+→−≥≥++
=+
 
 
 
 
 



>→<+−→<+++→<<+
<→<−→<++−→≥≥−−
=−
 5x05x012x43x-3/4x , é isto , 04-x3 se , 43x-
5/3x03x501x24x33/4x , é isto , 04x3 se , 4x3
4x3
: que Sabemos
 
Solução : { ∅ } 
 
 
 
 
{ }6x3 : Solução
3x
2x
06x²x06x²x 
06x3x4²x04x-x² se , 4xx²- 4x)-(x²- 
ou
6x
1x
06x7²x06x3x4²x 04x-x² se , 4x-²x 
x4²x
: que Sabemos
≤≤













=
−=
≥−−→≤++−→
→≤+−+−→<+=



=
=
≤+−→≤+−−→≥
=− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
{ }6x4 : Solução
4x
1x
04x5²x04x5²x 
0x15x6²x05x6²x se , 5-6xx²- )5x6²x(- 
ou
6x
1x
06x7²x 
0x15x6²x 05x6²x se , 5x6²x 
5x6²x
: que Sabemos
<<
















=
=
>+−→<−+−→
→<−+−+−→<+−+=+−



=
=
<+−→
→<−++−→≥+−+−
=+−
 
 
 
 
 
 
{ }4x2 OU 0x2 : Solução
0x OU 2x-11-x OU 11x1|1x|)2
4x23 1x 33|1x|)1
: teremos inequação cada nteseparadame Resolvendo
≤<≤≤−





<>→<>−→>−
≤≤−→≤−≤−→≤−
 
 
 
 
 
1ª maneira1ª maneira1ª maneira1ª maneira : : : : 2x
3
2
6x3242x34 <<−→<<−→<−<− 
 
2ª maneira2ª maneira2ª maneira2ª maneira : : : : 
 





 <≤−





−>→<−→<+−→<+−
<→<−→≥−
=−
 2x
3
2
 : Solução
3/2x2x342x302-3x se , 2x3
2x42x302-3x se , 2x3
|2x3|
 
 
1ª maneira1ª maneira1ª maneira1ª maneira : : : : 
5
8
xOU0x44x5OU44x5 −≤≥→−≤+≥+ 
2ª maneira2ª maneira2ª maneira2ª maneira : : : : 
 





 −≤≥







−≤→≥−→≥−−→<+−−
≥→≥+→≥++
=+
5
8
xOU0x : Solução
5
8
x8x544x5045x se , 4x5
0x44x5045x se , 4x5
|4x5|
 
 
 
 






−<
−
−
>
−
−
(2) 2
1x3
3x2
(1) 2
1x3
3x2
 
(1) 






>→>−
−<→>−−
>
−
−−→>
−
+−−→>−
−
−→>
−
−
3
1
x01x3
4
1
x01x4
0
1x3
1x4
0
1x3
2x63x2
02
1x3
3x2
2
1x3
3x2 
 
 
 
 
(2) 






>→>−
>→>−
<
−
−→<
−
−+−→<+
−
−→−<
−
−
3
1
x01x3
8
5
x05x8
0
1x3
5x8
0
1x3
2x63x2
02
1x3
3x2
2
1x3
3x2 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo a (1) ∪ (2) temos : Solução : 












≠
<<−
3
1
x e 
8
5
x
4
1
 






−≥
−
+
≤
−
+
(2) 2
1x2
1x
(1) 2
1x2
1x
 
 
(1) 




>→>−
≤→−≥−→≥+−
≤
−
+−→≤
−
+−+→≤−
−
+
2
1
x01x2
1x3x303x3
0
1x2
3x3
0
1x2
2x41x
02
1x2
1x 
 
 
 
 
 
 
 
(2) 






>→>−
≥→≥−
≥
−
−→≥
−
−++→≥+
−
+
2
1
x01x2
5
1
x01x5
0
1x2
1x5
0
1x2
2x41x
02
1x2
1x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo (1)∩(2) teremos : 
 
 
 
 
 
 
Solução : 





 ≥≤ 1x OU 
5
1
x
 
 
 
Fazendo |x| = y , teremos: 
 





<<−→<→<⇒−<−
−<>→>→>⇒>−
 →>−
1x11x1y12y
3xou3x3x3y12y
12y : definição da 
 
 
 
 Solução : 










>
<<
−<
3x 
ou 1x1- 
 ou 3x
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo |2x - 1| = y , teremos: 
 
















−≥→−≥+
≤→≤+
 →≤+→≤⇒−≤−





−≤→−≤+
≥→≥+
 →≥+→≥⇒≥−
 →≥−
1x11x2
e 
0x11x2
11x21y23y
ou
3x51x2
ou 
2x51x2
51x25y23y
23y
| | Definição
| | Definição
: definição da
 
 
 
 
 Solução : 










≥
≤≤
−≤
2x 
ou 0x1- 
ou 3x
 
 
 
 



<<+−
≥≥
=−



−<<+−
−≥≥++
=+
2/1x , é isto , 01-x2 se , 1x2
2/1x , é isto , 01-x2 se , 1-x2
1x2
3/2x , é isto , 02x3 se , 23x-
3/2x , é isto , 02x3 se , 2x3
2x3
: que Sabemos
 
 
 2-x01x1x22x301x)1x2(2x3:temos2/3x Se )A <→>−−−+−−→>−−+−−−−−< 
 
 
 
 
 
 0x01x1x22x301x)1x2(2x3:temos2/1x2/3- Se )B >→>−−−++→>−−+−−+<≤
 
 
 
 
 
 
 R x 0201x1x22x301x)1x2(2x3:temos1/2x Se )C ∈∀→>→>−−+−+→>−−−−+≥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo (A) ∪ (B) ∪ (C) teremos : 
 
 
 
 
 
 
Solução : 
 
 
{ } 0x ou 2x >−<
 



<<+−
≥≥
=−



−<<+−
−≥≥++
=+
3x , é isto , 03-x se , 3x
3x , é isto , 03-x se , 3-x
3x
2x , é isto , 02x se , 2x-
2x , é isto , 02x se , 2x
2x
: que Sabemos
 
 
 5-x0x3x2x0x)3x(2x:temos2x Se )A <→>−−+−−→>−+−−−−−< 
 
 
 
 
 
 
 
 1x0x3x2x0x)3x(2x:temos3x2- Se )B >→>−−++→>−+−−+<≤ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5x0x3x2x0x)3x(2x:temos3x Se )C <→>−+−+→>−−−+≥ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo (A) ∪ (B) ∪ (C) teremos : 
 
 
 
 
Solução : { } 5x 1 ou 5x <<−<
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservação : para efeito de melhor visualização dos gráficos , 
os eixos x e y nãonãonãonão estão na mesma escala. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 







≥
≥
=
0
x
1
 se , 
x
1
0
x
1
 se , 
x
1
x
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 







<<−→



−=
=
<−+−
−≤≥→



−=
=
≥−−
=−







<<→



=
=
<−+−−+−
≤≥→



=
=
≥+−+−
=+−
2x2
2x
2x
04²xse,4²x
2xOU2x
2x
2x
04²xse,4²x
4²x
4x1
4x
1x
04x5²xse,4x5²x
4xOU1x
4x
1x
04x5²xse,4x5²x
4x5²x
 
 
 
 
 
 
 
8x5y)4²x(4x5²xy 4x Se E)
x5²x2y)4²x(4x5²xy 4x2 Se D)
8x5y)4²x(4x5²xy 2x1 Se C)
x5²x2y)4²x(4x5²xy1x2- Se B)
 8x5y)4²x(4x5²xy2-x Se )A
+−=→−−+−=→≥
+−=→−−−+−=→<≤
−−=→+−−−+−=→<<
−=→+−−+−=→≤<
+−=→−−+−=→≤
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
{



∃/→<∆−+=→+−=→<




−−=
−=
+=→+=→≤



>→>→−<−→<−+−
≤→≤→−≥−→≥−−
=−
real raiz 042x-x²y2x4-x²f(x)2x es
15x
15x
42x--x²y2x-4-x²y2x es
: teremos Daí,
2x4x24x20x24se,x24
2x4x24x20x24se,x24
x24
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se a função estivesse toda ela em módulo, ou seja, 
 
 
 
 basta apenas rebater a parte abaixo do eixo x 
do gráfico (em verde) para a parte acima do eixo x . 
 
x24²xy −+−=
 
 



+=→−−+=→<−
=→−+=→≥
=
x2²x2y)x(x²x2y0xse,x
²x2yxx²x2y0xse,x
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se a função estivesse toda ela em módulo, ou seja, 
 
 
 
 basta apenas rebater a parte abaixo do eixo x 
do gráfico (em verde) para a parte acima do eixo x . 
 
 
 
 
 
 
xx²x2y −+=
 
 
( )








−=
=
−=→−+−−=→<
∃/→<∆→−+−=→−−−=→≥



<<−+−
≥≥−−
=−
2x
2x
4²xy4)1x(xxy1x es
real raiz 04x2²xy4)1x(xxy1x es
: teremos Daí,
1x , seja ou , 01xse,1x
1x , seja ou , 01xse,1x
1x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se a função estivesse toda ela em módulo, ou seja, 
 
 
 
 basta apenas rebater a parte abaixo do eixo x 
do gráfico (em azul) para a parte acima do eixo x . 
4xxxy −−=
 
 







≤<−→



=
−=
<−+−
≥−≤→



−=
=
≥−−
=−







>−<→



=
−=
>−<−+−
≤≤−→



=
−=
≤−≥−−
=−
1x1
1x
1x
 01²xse,1²x
1xOU1x
1x
1x
01²xse,1²x
1²x
3xOU3x
3x
3x
09x² , seja ou , 0²x9se,²x9
3x3
3x
3x
09x² , seja ou , 0²x9se,²x9
²x9
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8xyx)1²x(9²xy 3x Se E)
10x²x2yx)1²x(²x9y 3x1 Se D)
8xyx)1²x(²x9y 1x1- Se C)
10x²x2yx)1²x(²x9y1x3- Se B)
 8xyx)1²x(9²xy3-x Se )A
−=→+−−−=→>
++−=→+−−−=→≤≤
+=→++−−−=→<<
++−=→+−−−=→−≤≤
−=→+−−−=→≤
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esboce o gráfico da função definida por f(x) = |sen x|+1, para0 Esboce o gráfico da função definida por f(x) = |sen x|+1, para 0 Esboce o gráfico da função definida por f(x) = |sen x|+1, para 0 Esboce o gráfico da função definida por f(x) = |sen x|+1, para 0 ≤≤≤≤ x x x x ≤≤≤≤ ππππ 
 
Temos : 



π<<π→∈→<−
π≤≤→∈→≥
=
2x 4º e 3ºx0senx se , senx
x0 2º e 1ºx0senx se , senx
senx 
 
 
Daí, temos :



π<<π+−=
π≤≤+=
2x se , 1senx)x(f
x0 se , 1senx)x(f
 
 
 
 
 
 
 
Considere a função f(x) = 2x + Considere a função f(x) = 2x + Considere a função f(x) = 2x + Considere a função f(x) = 2x + |x+p|, definida para x real.|x+p|, definida para x real.|x+p|, definida para x real.|x+p|, definida para x real. 
a) A figura ao lado mostra o gráfico de f(x) para um valora) A figura ao lado mostra o gráfico de f(x) para um valora) A figura ao lado mostra o gráfico de f(x) para um valora) A figura ao lado mostra o gráfico de f(x) para um valor específicoespecíficoespecíficoespecífico 
 de p. Determine esse valor de p.de p. Determine esse valor de p.de p. Determine esse valor de p.de p. Determine esse valor de p. 
 
b) Supondo agora, que p = b) Supondo agora, que p = b) Supondo agora, que p = b) Supondo agora, que p = ----3, determine os valores de x3, determine os valores de x3, determine os valores de x3, determine os valores de x que satisque satisque satisque satis---- 
 fazem a equação f(x) = 12fazem a equação f(x) = 12fazem a equação f(x) = 12fazem a equação f(x) = 12 
 
a) Da figura dada vemos que para x = 1 → f(x) = 2. 
Tomando o ponto x = 1 e substituindo em f(x), teremos: 
 
2 = 2.1 + |1+p| → |1+p| = 0 → p = -1 
 
Tracemos agora o gráfico de f(x) para p = -1 : 
 



+=<+−
−=≥−
=−→−+=
1xf(x) , daí e, , 1x se , 1x
13xf(x) , daí e, , 1x se , 1x
1x1xx2)x(f 
 
Percebe-se então que o gráfico obtido é o mesmo. 
 
 
b) Sendo p = -3 temos : 
 



=→=+−→<+−
=→=→=−+→≥−
=−
=−+
) condição a satisfaz não ( 9x123x2x3x se , 3x
5x15x3123x2x3x se , 3x
3x
123xx2
 
 
 
Solução : x = 5 
 
 
Esboçar o gráfico das seguintes funções modulares :Esboçar o gráfico das seguintes funções modulares :Esboçar o gráfico das seguintes funções modulares :Esboçar o gráfico das seguintes funções modulares : 
 
xlogy = 
 
( )


−=→<
=→≥
=
 xlogy0x se , x-
xlogy0x se , x
x 
 
Pontos básicos p/ o traçado: 
y = Log ( x ) 
p/ x=1 a função vale 0 . 
p/ x=0 a função não existe ( tende a 0 ). 
y = Log ( -x ) 
p/ x=-1 a função vale 0 . 
p/ x=0 a função não existe ( tende a 0 ). 
 
 
 
 
xlogy
10
1= 
 
( )



−=→<
=→≥
=
 xlogy0x se , x-
xlogy0x se , x
x
10
1
10
1
 
 
Pontos básicos para o traçado: 
y = Log1/10 ( x ) 
p/ x = 1 a função vale 0 . 
p/ x = 0 a função não existe ( tende a 0 ). 
y = Log1/10 ( -x ) 
p/ x = -1 a função vale 0 . 
p/ x = 0 a função não existe ( tende a 0 ). 
 
 
 
( )2xlogy
10
1 −= 
 
( )
( )



−=→<
=→≥
=
 2-xlogy0x se , x-
2-xlogy0x se , x
x
10
1
10
1
 
 
Pontos básicos para o traçado: 
y = Log1/10 ( x-2 ) 
p/ x = 3 a função vale 0 . 
p/ x = 2 a função não existe ( tende a 2 ) → assíntota x = 2 
y = Log1/10 ( -x-2 ) 
p/ x = -3 a função vale 0 . 
p/ x = -2 a função não existe ( tende a -2 ) → assíntota x = -2 
 
( )2xlogy
2
1 −= 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )












−=→<−=
−=→≥=
−




=→<−=
=→≥=
−
=−
 
2-x-Logy0x se , xx
2-xLogy0x se , xx
 2xLog-
2-x-Logy0x se , xx
2-xLogy0x se , xx
 2xLog
2xLog
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
 
Pontos básicos para o traçado: 
y = Log1/2 ( x-2 ) 
p/ x = 3 a função vale 0 . 
p/ x = 2 a função não existe ( tende a 2 ) → assíntota x = 2 
y = Log1/2 ( -x-2 ) 
p/ x = -3 a função vale 0 . 
p/ x = -2 a função não existe ( tende a -2 ) → assíntota x = -2 
y = -Log1/2 ( x-2 ) 
p/ x = 3 a função vale 0 . 
p/ x = 2 a função não existe ( tende a 2 ) → assíntota x = 2 
y = -Log1/2 ( -x-2 ) 
p/ x = -3 a função vale 0 . 
p/ x = -2 a função não existe ( tende a -2 ) → assíntota x = -2 
 
( )x2logy
2
1 −= 
( )
( )



+=→<
=→≥
=
 x2logy0x se , x-
x-2logy0x se , x
x
2
1
2
1
 
Pontos básicos para o traçado: 
y = Log1/2 ( 2-x ) 
p/ x = 1 a função vale 0 . 
p/ x = 2 a função não existe ( tende a 2 ) → assíntota x = 2 
y = Log1/10 ( 2+x ) 
p/ x = -1 a função vale 0 . 
p/ x = -2 a função não existe ( tende a -2 ) → assíntota x = -2 
 
 
x4logy 3 −= 
 



+−=→><+−
−=→≤≥−
=−
 )x4(logy4x seja, ou , 0x -4 se , x4
)x4(logy4x seja, ou , 0x -4 se , x4
x4
3
3 
 
Pontos básicos para o traçado: 
y = Log 3 ( 4-x ) 
p/ x = 3 a função vale 0 . 
p/ x = 4 a função não existe ( tende a 2 ) → assíntota x = 2 
y = Log 3 ( -4+x) 
p/ x = 3 a função vale 0 . 
p/ x = 4 a função não existe ( tende a -2 ) → assíntota x = -2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Esboço manual software gráfico 
xLog)2x(y x+= 
 
{









∃/∃/=−=+=→−+=→<−



∃/∃/==
∃/∃/==
+=→+=→≥
=
 NLog pois y , 1y , 1x se 2xy)x(Log 2)(xy0x se , x
NLog pois y , 3y , 1x es
 NLog pois y , 2y , 0x se
 2xyxLog 2)(xy0x se , x
x
1x-
1
0
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
x
xLog
x
1
y 2= 
 
( ){









∃/∃/=−=−=→−=→<−



∃/∃/==
∃/∃/∞==
=→=→≥
=
 1-Log pois y , 1y , 1x se 
x
1
yxLog 
x
1
y0x se , 
x
1
1Log pois y , 1y , 1x es
 0Log pois y , y , 0x se
x
1
yxLog 
x
1
y0x se , 
x
1
x
1
2
1
2
x
2
1
02
x
2
2