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Métodos Determińısticos I EP9 1
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
EP9 – Métodos Determińısticos I
Neste EP vamos trabalhar o conteúdo estudado na Aula 9 do Caderno Didático.
1 Módulo de um número real e algumas propriedades
Primeiramente, vamos entender um pouco melhor o que é o módulo de um número real. Geome-
tricamente, para cada número real x, pensamos em seu módulo, denotado por |x|, como sendo a
distância de x ao 0. Veja abaixo alguns exemplos:
Vamos analisar juntos os módulos escritos na figura acima, sob o ponto de vista da interpretação
geométrica do módulo, que faz referência à distância. Mas, antes de mais nada, observe que distância,
conforme diz nossa intuição, quando não é nula, é uma quantidade POSITIVA. Ninguém diz que a
distância do ponto de ônibus à escola é de −500 metros! Diz-se que é de 500 metros. Para qual
direção você vai apontar para a pessoa caminhar são outros quinhentos e não tem nada a ver com
o conceito de distância.
• | − 4| = 4, pois, vemos que a distância do número −4 à origem é 4.
• |4| = 4, pois, vemos que a distância do número −4 à origem é 4.
• | −
√
2| =
√
2, pois, vemos que a distância do número −
√
2 à origem é
√
2.
• |1| = 1, pois, vemos que a distância do número 1 à origem é 1.
• Para calcular |2 −
√
60|, vamos assumir que o número 2 −
√
60 já nos foi dado marcado no
eixo real, de modo que sabemos que ele é negativo. Portanto, como 2 −
√
60 é um número
negativo, temos que a distância do número negativo 2 −
√
60 à origem é o número positivo
−(2−
√
6) = −2 +
√
60 =
√
60− 2.
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Métodos Determińısticos I EP9 2
• Novamente aqui, para calcular |
√
11 − 1|, vamos assumir que o número
√
11 − 1 já nos foi
dado marcado no eixo real, de modo que sabemos que ele é positivo. Portanto, como
√
11− 1
é um número positivo, temos que a distância do número positivo
√
11−1 à origem é o próprio
número positivo
√
11− 1.
Sendo assim, depois destas análises e antes de qualquer definição mais formal, resolva o exerćıcio a
seguir. Tente resolver os exerćıcios com bastante calma e, somente depois disso, consulte o gabarito.
Pense em desenhar a reta real se achar melhor.
Exerćıcio 1 Calcule |x| para os valores de x dados abaixo:
a) x = 1 b) x =
√
2 c) x = 1
2
d) x = −1
e) x = −
√
2 f) x = 0 g) x =
√
2− 1 h) x = 1−
√
2
Só continue se você tiver resolvido o exerćıcio anterior e verificado no gabarito!
Vamos agora, momentaneamente, parar de pensar em distância, que seria uma interpretação do
conceito de módulo e apresentar sua definição formal. Em Matemática, é sensacional quando con-
seguimos trazer o abstrato para o concreto, mas também é fundamental aprendermos a analisar e
raciocinar apenas com o abstrato. Antes de fazerem cara feia a esta afirmação, lembrem-se que o
sentimento que vocês estão tendo agora em relação aos seus coordenadores de MDI, é abstrato!
Vamos lá. Os itens de (a) a (e) do exerćıcio anterior podem ter despertado a intuição de que o
módulo de um número é este número sem o sinal. Isto não está errado, mas, no caso dos itens (g)
e (h), é importante perceber que o número é o resultado de uma operação, portanto não é fácil
decidir, em prinćıpio, qual é o seu sinal. No caso do 0 (item (f)), o x nem tem um sinal definido...
De maneira um pouco mais formal, mas ainda com o mesmo significado geométrico acima, podemos
definir
|x| =

x, se x > 0,
−x, se x < 0,
0, se x = 0.
Aqui é importante fazermos um comentário... você pode estar se questionando por que precisa-
mos apresentar a definição formal de módulo acima. Não seria mais fácil pensar simplesmente que
o módulo é o ”número sem o sinal”? E será que esta definição condiz mesmo com a anterior?
Vamos experimentar alguns valores e ver se fica claro o motivo da definição, e também se conse-
guimos acreditar que ela realmente condiz com a noção intuitiva do módulo, explorada no Exerćıcio 1.
• Como 2 > 0, fazendo x = 2, calculamos |2| utilizando a primeira condição da definição (x > 0).
Logo |2| = |x| = x = 2.
• Como −1 < 0, fazendo x = −1, calculamos | − 1| utilizando a segunda condição da definição
(x < 0). Logo | − 1| = |x| = −x = −(−1) = 1.
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• Como
√
2 − 1 > 0 (pois
√
2 > 1), fazendo x =
√
2 − 1, calculamos |
√
2 − 1| utilizando a
primeira condição da definição. Logo |
√
2− 1| = |x| = x =
√
2− 1.
• Como 1 −
√
2 < 0 (pois
√
2 > 1), fazendo x = 1 −
√
2, calculamos |1 −
√
2| utilizando a
segunda condição da definição. Logo |1−
√
2| = |x| = −x = −(1−
√
2) =
√
2− 1.
Repare que, nos dois últimos exemplos, a definição formal torna mais simples o cálculo do valor do
módulo, sem precisarmos recorrer a figuras ou aproximações, como fizemos no gabarito dos itens (g)
e (h) do Exerćıcio 1.
Vamos voltar ao ińıcio deste EP e utilizar a definição formal para descobrir |2 −
√
60| e |
√
11 − 1|.
Agora, não poderemos supor que os números 2 −
√
60 e
√
11 − 1 já foram marcados no eixo real,
deixando bem claro quem é negativo e quem é positivo! Teremos que descobrir isto!
• Para calcular |2−
√
60| aplicando a definição de módulo dada, precisamos descobrir se 2−
√
60
é um número negativo ou positivo. Nulo, sabemos que não é! Observe que 7 =
√
49 <
√
60 <√
64 = 8. Portanto, 2−
√
60 é um número negativo, pois −8 = −
√
64 < −
√
60 < −
√
49 =
−7, de modo que −6 = 2 − 8 = 2 −
√
64 < 2 −
√
60 < 2 −
√
49 = 2 − 7 = −5. Portanto,
segundo a definição acima, como 2−
√
60 < 0, temos que |2−
√
60| = −(2−
√
6) = −2+
√
60.
• Da mesma forma, para calcular |
√
11 − 1| aplicando definição de módulo dada, precisamos
descobrir se
√
11− 1 é um número negativo ou positivo. Nulo, sabemos que não é!Para isto,
observe que
√
11 >
√
9 = 3. Portanto,
√
11 − 1 é um número positivo, pois
√
11 − 1 >√
9 − 1 = 3 − 1 = 2. Portanto, segundo a definição acima, como
√
11 − 1 > 0 temos que
|
√
11− 1| = −
√
11− 1.
Há outras razões para trabalharmos a definição mais formal de módulo, e isto será especialmente
percebido quando resolvermos, mais à frente, equações envolvendo módulos.
Muita calma nessa hora!!!
É muito comum surgir uma dúvida. Você pode pensar algo como ”Ora, se |x| é o número sem sinal,
por que definimos |x| = −x quando x for negativo?”. A resposta tem uma certa sutileza... Se
estamos considerando x < 0 (isto é, x negativo), então −x será um número positivo. Para muitos,
pode parecer estranho pensar que −x seja positivo, por causa do sinal – (o menos), mas entenda
que este sinal está exatamente “cancelando”o sinal menos que já está embutido no x (lembre-se de
que x é negativo!). Ainda não entendeu? Veja um exemplo.
• Considerando x = −2, |x| = −x = −(−2) = 2 (como, aliás, foi feito no exemplo | − 1| no
começo desta página).
Exerćıcio 2 Calcule os módulos abaixo:
a)
∣∣√3−√2∣∣ b) ∣∣√2−√3∣∣ c) |a|, com a > 0
d) |a|, com a < 0 e) | − a|, com a > 0 f) | − a|, com a < 0
g) |a− 1|, com a > 1 h) |a− 1|, com a < 1 i) |2− a|, com a < 2
j) |2− a|, com a > 2
Métodos Determińısticos I EP9 4
Vamos agora explorar algumas propriedades dos módulos. Após enunciar cada propriedade, procu-
raremos demonstrá-la, isto é, explicar por que ela funciona. Se, em uma primeira leitura, estiver
complicado para entender, procure apenas entender a propriedade (você terá chance de utilizá-las no
exerćıcio que se seguirá); depois, já mais familiarizado, volte e releia as justificativas!
M1: Para todo número real x, temos |x| > 0.
Isto é fácil de ser percebido. Se x > 0, pela definição, |x| = x > 0, logo |x| > 0. Se x < 0,
pela definição, |x| = −x e, como x < 0, temos −x > 0, logo |x| = −x > 0. Se, por fim,
x = 0, teremos então |x| = 0. Assim, em qualquercaso, |x| > 0.
A análise feita acima, inclusive, nos conduz às duas próximas propriedades!
M2: |x| = 0 se, e somente se, x = 0.
Já sabemos que, se x = 0, então |x| = |0| = 0. Se, por outro lado, tivermos |x| = 0, então
x = 0, pois a análise feita na propriedade acima mostra que |x| > 0 sempre que x > 0 ou
x < 0.
M3: Para todo número real x, temos |x| > x
Se x > 0, |x| = x. Se x < 0, |x| > 0 > x, logo |x| > x. Se x = 0, temos |x| = |0| = 0 = x.
Assim, qualquer que seja o caso, temos |x| > x.
Intuitivamente, pense da seguinte forma: se x for positivo ou zero, ele é o próprio módulo, se
x for negativo, como |x| é positivo, será maior que o número negativo x.
M4: Para quaisquer x e y reais, |x · y| = |x| · |y|
Podemos pensar em casos.
– Se x > 0 e y > 0, teremos xy > 0, logo |x · y| = x · y. Por outro lado, |x| = x e |y| = y,
logo |x| · |y| = x · y. Assim, |x · y| = |x| · |y|, pois ambos são iguais a x · y.
– Se x > 0 e y < 0, teremos xy < 0, logo |x · y| = −(x · y). Por outro lado, |x| = x e
|y| = −y, logo |x| · |y| = x · (−y) = −(x · y). Assim, |x · y| = |x| · |y|, pois ambos são
iguais a −(x · y).
– Se x < 0 e y > 0, teremos xy < 0, logo |x · y| = −(x · y). Por outro lado, |x| = −x e
|y| = y, logo |x| · |y| = (−x) · y = −(x · y). Assim, |x · y| = |x| · |y|, pois ambos são
iguais a −(x · y).
– Se x < 0 e y < 0, teremos xy > 0, logo |x · y| = x · y. Por outro lado, |x| = −x e
|y| = −y, logo |x| · |y| = (−x) · (−y) = x · y. Assim, |x · y| = |x| · |y|, pois ambos são
iguais a x · y.
– Se x = 0 ou y = 0 teremos |x · y| = |0| = 0, e, por outro lado, |x| · |y| = 0, pois |x| = 0
ou |y| = 0.
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M5: Para quaisquer x e y 6= 0 reais,
∣∣∣∣xy
∣∣∣∣ = |x||y|
Como na propriedade acima!
Agora resolva os exerćıcios abaixo!
Exerćıcio 3 Utilizando as propriedades acima, resolva as equações:
a) |x2 − 3x+ 2| = 0 b) |ax| = |a|, sabendo que a 6= 0 e x > 0
c)
∣∣∣∣x− 2x
∣∣∣∣ = 0 d) ||x|+ 2| = 2x.
Vamos agora lidar com módulos de diferenças entre números reais. Não muda muita coisa... vamos
ver como você se sai. Os resultados encontrados serão importantes para a discussão que se seguirá
aos exerćıcios.
Exerćıcio 4 Calcule |x− y| para os valores de x e y dados abaixo:
a) x = 10 e y = 7 b) x = 7 e y = 10 c) x = 3 e y = −4
d) x = −4 e y = 3 e) x = −5 e y = −7 f) x = −7 e y = −5
Exerćıcio 5 Para cada um dos itens da questão anterior, marque na reta orientada os pontos x e y
e conte quantos intervalos unitários há entre x e y. Tome como modelo a reta abaixo.
Uma outra importante propriedade envolvendo módulos é:
M6: Para quaisquer x e y reais, |x− y| = |y − x|.
Do ponto de vista algébrico, isso acontece porque, como (x− y) = −(y − x), tem-se que
|x− y| = | − (y − x)| = |(−1) · (y − x)| = |(−1)| · |(y − x)| = 1 · |y − x| = |y − x|.
Você deve ter observado que os valores encontrados para |x − y|, em todos os itens da Questão 4,
coincidiram com os intervalos unitários que existiam entre x e y, contados na Questão 5. Isto não foi
um coincidência! De fato, temos que |x− y| fornece, na reta orientada, a distância entre os pontos
x e y.
Métodos Determińısticos I EP9 6
Esta interpretação geométrica do módulo de |x−y| auxilia no entendimento de que |x−y| = |y−x|,
uma vez que a distância que há entre o ponto x e o ponto y é a mesma que há entre o ponto y e o
ponto x.
Aqui, precisamos voltar à discussão do começo deste EP, quando apresentamos o módulo de um
número x como sua distância ao 0. Note que |x| = |x− 0|, pois x− 0 = x. Assim, |x| = |x− 0| =
distância entre os pontos x e 0, pelos parágrafos acima.
A Aula 09 do Caderno Didático explora uma importante consequência desta visão de módulo de
diferença como distância, a chamada desigualdade triangular.
2 Equações envolvendo módulos
Pela definição de módulo de um número real y, vista na seção anterior, sabemos que, se a < 0, a
equação |y| = a, não possui solução. Lembre-se de que |y| > 0, qualquer que seja o valor de y, logo
não podemos ter |y| = a < 0.
Além disso, se a > 0, temos que
|y| = a⇔ y = −a ou y = a.
Em particular, se a = 0, temos
|y| = 0⇔ y = 0.
Vamos enunciar estes resultados estudados na Aula 9 no formato de um teorema, visando facilitar a
resolução de equações modulares.
Teorema 1: Sejam y, a ∈ R. A equação |y| = a só possui solução se a > 0. Neste caso,
considerando a > 0, tem-se que
|y| = a⇔ y = −a ou y = a.
Além disso, |y| = 0⇔ y = 0.
Exerćıcio 6 Em cada item a seguir, encontre o conjunto solução.
a) | − 2x+ 1| = 0 b) | − 2x+ 1| = 3 c) | − 2x+ 1| = −7
d) |3x+ 6| = x
2
e) |1, 5x+ 5| = 1, 5x+ 5 f) |x| = 2x+ 1
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Para o Exerćıcio 4, a seguir, vamos fornecer um resultado importante sobre módulo em um formato
mais adequado para a resolução de inequações modulares da forma.
(1) |y| < a
(2) |y| 6 a
(3) |y| > a
(4) |y| > a
Vamos pensar nestas inequações de acordo com o sinal de a.
• Caso a < 0: As inequações (1) e (2) não terão solução, pois o módulo |y| será sempre maior
ou igual a zero (propriedade M1), não podendo, portanto, ser menor que um número negativo.
Se não ficou claro, experimente o valor a = −1. Temos então
(1) |y| < −1
(2) |y| 6 −1
A inequação (1) diz que |y| < −1, o que nunca acontece, pois |y| > 0. Em (2), |y| 6 −1,
temos o mesmo problema.
Resumindo, para a < 0, as inequações |y| < a e |y| 6 a têm solução vazia!
Nas inequações (3) e (4), como |y| é sempre maior ou igual a zero (propriedade M1), ele
será maior ou igual a qualquer número negativo a < 0. Assim, como solução, temos todo o
conjunto dos reais. Experimente novamente o valor a = −1, por exemplo:
(3) |y| > −1
(4) |y| > −1
As inequações |y| > −1 e |y| > −1 têm qualquer valor de y como solução, pois |y| > 0
(propriedade M1).
Resumindo, para a < 0, as inequações |y| > a e |y| > a têm como solução o conjunto
dos reais!
• Caso a = 0:
A inequação (1) fica sendo
(1) |y| < 0.
Note que |y| < 0 não tem solução, pois o módulo |y| não pode ser negativo (propriedade M1).
Assim, |y| < 0 tem solução vazia.
A inequação (2) fica
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(2) |y| 6 0.
A única possibilidade de a inequação se verificar é sendo y = 0, pois, para qualquer outro valor
de y, teremos |y| > 0 (propriedade M2). Assim, |y| 6 0⇔ y = 0.
Note que |y| < 0 não tem solução, pois o módulo |y| não pode ser negativo. Assim, |y| < 0
tem solução vazia.
Na inequação (3), temos
(3) |y| > 0.
Como sempre temos |y| > 0, a inequação terá como solução qualquer valor de y que não seja 0,
pois |y| = 0 se, e somente se y = 0 (propriedade M2). Assim, a solução de |y| > 0 é R−{0}.
Na inequação (4), temos
(4) |y| > 0,
que é satisfeita por qualquer número real y. Assim, a inequação |y| > 0 tem solução R.
• Caso a > 0:
Visando uma compreensão melhor do resultado, faremos a uma análise dos itens utilizando a
interpretação geométrica do módulo.
Na inequação (1), temos que |y| < a, significando que a distância de y à origem, na reta
orientada, é menor do que a. Desta forma, segue naturalmente que −a < y < a, ou, utilizando
a notação de intervalos, que y ∈ (−a, a).
A inequação (2) segue o mesmo racioćınio do item (1), apenas com a observação de que,
agora, a distância de y à origem, na reta orientada, é menor ou igual a a. Desta forma, segue
naturalmente que −a ≤ y ≤ a. Na linguagem de intervalos, y ∈ [−a, a].
No caso da inequação (3), temos que |y| > a significa que a distância de y à origem, na reta
orientada, é maior do que a. Desta forma, segue naturalmente que y < −a ou y > a. Na
linguagem de intervalos, y ∈ (−∞, a) ∪ (a,+∞).
A inequação (4) segue o mesmo racioćınio do item (3), apenas com a observação de que,
agora, a distância de y à origem, na reta orientada, é maior ou igual a a. Desta forma, segue
naturalmenteque y 6 −a ou y 6 a. Como intervalos, temos y ∈ (−∞,−a] ∪ [a,+∞).
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Métodos Determińısticos I EP9 9
Para o caso a > 0, podemos enunciar o teorema abaixo:
Teorema 2: Sejam y, a ∈ R, com a > 0. Então,
(1) |y| < a ⇔ −a < y < a .
(2) |y| 6 a ⇔ −a 6 y 6 a.
(3) |y| > a ⇔ y < −a ou y > a.
(4) |y| > a ⇔ y 6 −a ou y > a.
Observe que o Teorema foi acima enunciado para a > 0. Para os demais casos, veja
as discussões anteriores.
Agora é hora de praticar!!!
Exerćıcio 7 Em cada item a seguir, encontre o conjunto solução. Escreva-o, se posśıvel, na forma
de intervalo ou de uniões de intervalos.
a) |8x− 12| ≥ 3 b) |3x− 1| ≤ x c)
∣∣∣∣2− x3
∣∣∣∣ < 20− x
d)
∣∣∣∣12 − x
∣∣∣∣ ≤ 0 e) ∣∣∣∣3x− 14
∣∣∣∣ ≥ 0 f) |2x− 1| < −3
g) |3, 9x− 1| > 0
Exerćıcio 8 Encontre o conjunto solução dos números reais que satisfazem ao mesmo tempo às
duas inequações a seguir:
|3x+ 5| ≤ 8 e | − 6x+ 3| − 4 < 10
Vamos agora ver uma importante relação entre cálculo de ráızes quadradas e módulos.
De acordo com a definição de raiz quadrada de um número real não-negativo, note que
√
x2 = |x|, ∀ x ∈ R,
uma vez que a raiz quadrada de um número não-negativo P é o número não-negativo p, tal que
p2 = P .
Utilizando este fato, resolva o próximo exerćıcio.
Exerćıcio 9 Em cada item a seguir, extraia a raiz quadrada.
a)
√
4 b)
√
(2)2 c)
√
(−2)2 d)
√
(1−
√
2)2
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Exerćıcio 10 Em cada item a seguir, encontre o conjunto solução.
a)
√
x2 = 5 b)
√
(x− 3)2 = 1
2
c)
√
(3x− 2)2 − x > 5
Como vimos ao longo deste EP, o módulo da diferença entre dois números representa a distância
entre eles. Isto é particularmente relevante na modelagem de situações reais que envolvam distância
entre grandezas, isto é, que considerem, de alguma forma, a dispersão entre grandezas. Vemos, nos
exerćıcios abaixo, alguns exemplos.
Exerćıcio 11 Sabe-se que a distância entre o triplo de um número ao número 0,25 é maior do que
1 e menor ou igual a 5. Encontre o conjunto solução dos números reais que satisfazem a restrição
imposta acima.
Exerćıcio 12 Para determinar se uma moeda é imparcial (se possui a mesma probabilidade de dar
cara ou coroa), um experimentador joga-a 100 vezes, anotando o número de caras, x. A teoria
estat́ıstica diz que a moeda é tendenciosa se∣∣∣∣x− 505
∣∣∣∣ ≥ 1, 645.
Para que valores de x a moeda é declarada tendenciosa?
Exerćıcio 13 Em uma refinaria, a produção de petróleo é estimada a partir da desigualdade
|p− 2.250.000| < 125.000,
onde p é medido em barris de petróleo. Sabendo disto, determine os valores de p em que se têm os
ńıveis de alta e baixa produção.
Exerćıcio 14 A altura, h de uma seleção de membros de uma determinada população satisfazem a
desigualdade ∣∣∣∣h− 173, 56, 5
∣∣∣∣ ≤ 1,
onde h é medido em cent́ımetros. Determine o intervalo da reta real que coincide com o conjuntos
destas alturas.
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Métodos Determińısticos I EP9 11
Exerćıcio 15 Uma indústria de grande porte irá se instalar às margens de uma rodovia, próxima a
uma cidade localizada no quilômetro 60 da rodovia e a um porto, cujo terminal rodoviário está no
quilômetro 100.
Segundo a legislação ambiental local, a distância, medida ao longo da rodovia, entre a cidade e a
indústria não deve ser menor do que 40km.
Para facilitar e baratear o escoamento da produção, a indústria deve ser instalada à distância máxima
de 30km do terminal rodoviário do porto. Porém a indústria não pode se instalar a uma distância
menor do que 20km deste terminal, devido ao preço proibitivo dos terrenos.
Determine o trecho da rodovia no qual a indústria pode se instalar, segundo os critérios acima.
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