Aula 05 - Variáveis Aleatórias Discretas

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Aula 05
Bussab e Morettin, Seções 6.1 a 6.5
Meyer, Seções 4.1 e 4.2
Variáveis Aleatórias Discretas
1
Conteúdo
 Definição de Variável Aleatória (v.a.)
 Definição de Variável Aleatória Discreta
 Distribuição de Probabilidades
 Função de Distribuição Acumulada
 Esperança Matemática e Variância
		i. Definição;
	 ii. Propriedades.
Exemplo 1
Um aplicador investiu R$10.000 num ativo. Esse investimento pode render ou perder 1% de um dia para o outro. A probabilidade de sofrer uma valorização é de 60%. Já a probabilidade de sofrer uma desvalorização de 40%. Admitindo independência entre dois dias consecutivos de aplicação e sabendo que o investimento tem duração de 2 dias, ao fim dos quais haverá um resgate total (valor investido + “ganhos”):
Exemplo 1 (Cont.)
Descreva como se comporta o ganho do investidor, em R$?
V: o ativo sofreu valorização
N: o ativo não sofreu valorização
Espaço Amostral
G

(V,V)
(V,N)
(N,V)
(N,N)
201
-1
-199
G: ganho com a aplicação
Exemplo 1 (Cont.)
Variável Aleatória
Espaço Amostral
Reta real
Números reais
X
Variável aleatória: dado um experimento aleatório com espaço amostral , uma variável aleatória é uma regra (função) que associa a cada elemento de  um número real.
Notação usual: X, Y, Z, ...
Definição. Seja uma variável aleatória. Se o número de valores possíveis de for finito ou infinito numerável, denominaremos de variável aleatória (v.a.) discreta. Isto é, os valores possíveis de podem ser postos em lista como . No caso finito, a lista acaba. Já no caso infinito numerável, a lista continua indefinidamente. (Meyer, 1982, p. 72)
Variável Aleatória Discreta
Exemplos:
número de falhas num sistema, ao longo de um dia;
número de vezes que o preço de um determinado ativo financeiro caiu durante um dia;
número de partidas jogadas por um time de futebol até se conseguir a primeira vitória.
Variável Aleatória Discreta
Distribuição de Probabilidades
9
Função de Probabilidade
Definição. Seja uma variável aleatória discreta. A cada possível resultado xi, i = 1, 2, ..., associaremos um número p(xi) = P(X = xi) = pi, denominado probabilidade de xi. Os números p(xi), i = 1, 2, ..., devem satisfazer às seguintes condições:
 , para todo i;
 .
A função p, anteriormente definida, é denominada função de probabilidade da variável aleatória X.
Distribuição de uma v.a.
Definição. A coleção de pares 
				{xi, p(xi)}, i = 1, 2, ...,
é denominada distribuição de probabilidades da variável aleatória X.
Voltando ao Exemplo 1
Descreva como se comporta o ganho do investidor, em R$?
Qual a probabilidade do investimento não ser lucrativo?
Um aplicador investiu R$10.000 num ativo. Esse investimento pode render ou perder 1% de um dia para o outro. A probabilidade de sofrer uma valorização é de 60% e uma desvalorização de 40%. Admitindo independência entre dois dias consecutivos de aplicação e sabendo que o investimento tem duração de 2 dias, ao fim dos quais haverá um resgate total (valor investido + “ganhos”):
V: o ativo sofreu valorização
N: o ativo não sofreu valorização
Distribuição de probabilidades de G
Voltando ao Exemplo 1 (cont.)
Um corretor de seguros recebe uma comissão de R$50,00 a cada novo seguro que vende. A probabilidade de um determinado perfil de cliente adquirir o seguro é de 0,20.
Descreva como pode se comportar a comissão se o corretor abordará 2 clientes de maneira independente um do outro.
Calcule o valor esperado da comissão do corretor.
Exemplo 2
Defina os seguintes eventos:
	C – o cliente compra o seguro,
	N – o cliente não compra o seguro.
Exemplo 2 (cont.)
Um corretor de seguros recebe uma comissão de R$50,00 a cada novo seguro que vende. A probabilidade de um determinado perfil de cliente adquirir o seguro é de 0,20.
Descreva como pode se comportar a comissão se o corretor abordará 2 clientes de maneira independente um do outro.
Calcule o valor esperado da comissão do corretor.
Exemplo 2 (cont.)
Características de v.a. Discretas
17
Considere a seguinte distribuição de probabilidades para uma v.a. discreta X
Características de v.a. discretas
	X	x1	x2	x3	...	xk	Total
	P(X = xi)	p1	p2	p3	...	pk	1,00
Definição (valor esperado ou esperança matemática ou média ou valor médio).
O valor esperado de uma v.a. é a soma dos produtos dos valores da variável pelas respectivas probabilidades da variável assumir tais valores.
Valor Esperado
Valor Esperado
Propriedades:
(i) E(X+a) = E(X) + a, onde a é uma constante.
(ii) E(bX) = bE(X), onde b é uma constante.
(iii) Combinando (i) e (ii):
E(aX+b) = aE(X) + b, 
onde a e b são constantes.
Voltando ao Exemplo 2 (cont.)
00,64 + 500,32 + 1000,04 20 reais
(valor médio da comissão do corretor)
 - comissão do corretor após abordar os 2 clientes
Seja
Assim,
Distribuição de probabilidades
Variância
Definição. A variância de uma v.a. é o valor esperado da variável , isto é,
Em que
Variância
Propriedades da Variância:
Var(X+b) = Var(X) , onde b é uma constante.
(ii) Var(aX) = a2Var(X) , onde a é uma constante.
(iii) De (i) e (ii), Var(aX+b) = a2Var(X), onde a e b são constantes.
Hã?
Exercício 1
 (ANPEC 2011 – Questão 9)
Hã?
(0) F
(1) V
(2) F
Função de Distribuição Acumulada
25
Função de Distribuição Acumulada
Definição. Dada uma v.a. , chamaremos de função de distribuição acumulada (f.d.a.), ou simplesmente função de distribuição (f.d) à função
Exemplo 3
Considere dois lançamentos independentes de uma moeda equilibrada. Com o espaço de probabilidade sendo o usual, defina como sendo a variável aleatória (v.a.) que denota o número de caras nos dois lançamentos.
Assim, não é difícil observar que a distribuição de probabilidades é dada por:
		0	1	2
		0,25	0,50	0,25
E, portanto, a função de distribuição correspondente é dada por:
	X	0	1	2
	P(X  xi)	0,25	0,75	1,00
ou
Exemplo 3 (Cont.)
Observação
O gráfico de F(x) é em escada. Os pontos de descontinuidade ocorrem nos valores assumidos pela variável aleatória, sendo o tamanho do salto a probabilidade da variável aleatória assumir aquele determinado valor.
Exercícios
30
Exercício Resolvido
Qual a probabilidade de se ter prejuízo num dia?
Qual a variância do lucro?
Uma empresa de segurança visita, em um dia de trabalho, dois potenciais clientes para oferecer seus serviços. A probabilidade de fechar contrato com o primeiro cliente visitado no dia é da ordem de 10%. Quando a primeira visita resulta em contrato, a probabilidade de se fechar contrato na segunda visita quadruplica, caso contrário, ela se mantém. Admitindo que o custo dessas duas visitas seja da ordem de $10 e que a receita obtida com um contrato fechado seja da ordem de $50, pergunta-se:
Exercício Resolvido
Defina a v.a. como sendo o lucro obtido durante o período de interesse. Assim, 
Exercício Resolvido
Finalmente, a distribuição de probabilidades da v.a. , definida anteriormente, fica dada por 
Qual a probabilidade de se ter prejuízo num dia?
Exercício Resolvido
Qual a variância do lucro?
E(X) = 90 x 0,04 + 40x 0,15 + (-10) x 0,81 = 1,5
E(X2) = (90)2 x 0,04 + (40)2 x 0,15 + (-10)2 x 0,81 = 645
Var(X) = E(X2) – [E(X)]2 = 645- (1,5)2 = 642,75 
Exercício Resolvido
Exercício Proposto
Um rapaz está pensando em convidar sua namorada para sair. O problema é que as despesas correm por sua conta. Eles podem ir ao cinema ou ao teatro. 70% das vezes ela prefere ir ao cinema, nesse caso, ele gasta $30,00 com os ingressos. Quando eles vão ao teatro, o gasto fica em $90,00. Se eles forem ao cinema, ele sabe que em 80% das vezes ela pede para ir jantar, a despesa somente com o jantar fica em $100,00; 20% das vezes, eles vão direto para casa. Levando a namorada ao teatro, em 40% das vezes ela pede para ir jantar e 60% das vezes eles vão direto para casa. 
Pergunta-se:
Qual a distribuição de probabilidades do gasto que o rapaz tem com a namorada?
Qual o valor esperado do gasto?
Exercício Proposto (cont.)
EXERCÍCIOS EXTRAS
38
Exercício 1
Suponha que assuma um dos valores , e 2. Se para alguma constante
, determine 
Exercício 2
Uma moeda com probabilidade de dar cara é jogada até que de cara ou coroa duas vezes. Determine o número esperado de jogadas.
Exercício 3
Um apostador escreve um número positivo em um pedaço de papel vermelho, mostra o papel a um observador imparcial, e então o coloca sobre a mesa com a face escrita para baixo. O observador então joga uma moeda honesta. Se der cara, ele escreve o valor em pedaço de papel azul, que é então colocado sobre a mesa com a face escrita para baixo. Se der coroa, ele escreve o valor neste mesmo papel. Sem saber o valor de ou se a moeda deu cara ou coroa, você tem a opção de virar para cima o papel vermelho ou azul. Após fazer isso e observar o número escrito no papel, você deve escolher entre receber como prêmio aquela quantia ou a quantia (desconhecida) escrita no outro papel. 
Exercício 4
A cada dia meteorologistas dão probabilidade de chuva para o dia seguinte. Para julgar quão boa é a capacidade de prever o tempo, vamos classificar os meteorologistas da seguinte forma: Se um meteorologista diz que vai chover com probabilidade então ele ou ela receberá uma nota de
As notas são anotadas ao longo de um determinado período de tempo e o meteorologista com maior nota média é aquele que melhor faz previsão do tempo. Supondo que um determinado meteorologista esteja ciente do mecanismo de notas adotado e queira maximizar sua nota esperada e que ele acredita verdadeiradamente que choverá amanhã com probabilidade . Que valor ele ou ela deve declarar para maximizar a sua nota esperada?
Exercício 5
Se tal que
Determine tal que .
Espaço Amostral 
1
o
 dia 2
o
 dia 
Ganho 
V V 
201 
V N 
-1 
N V 
-1 
N N 
-199 
 
	Espaço Amostral
	Ganho
	1o dia
	2o dia
	
	V
	V
	201
	V
	N
	-1
	N
	V
	-1
	N
	N
	-199
Espaço Amostral 
1o cliente 2o cliente 
Ganho Probabilidade 
V V 
201 0,36 
V N 
-1 0,24 
N V 
-1 0,24 
N N 
-199 0,16 
 
g P(G=g) 
201 0,36 
-1 0,48 
-199 0,16 
 
	Espaço Amostral
	Ganho
	Probabilidade
	1o cliente
	2o cliente
	
	
	V
	V
	201
	0,36
	V
	N
	-1
	0,24
	N
	V
	-1
	0,24
	N
	N
	-199
	0,16
	g
	P(G=g)
	
	
	201
	0,36
	-1
	0,48
	-199
	0,16
Espaço Amostral
 
1o cliente
 
2o cliente
 
Comissão
 
Probabil
i
d
ade
 
C
 
C
 
100
 
0,04
 
C
 
N
 
50
 
0,16
 
N
 
C
 
50
 
0,16
 
N
 
N
 
0
 
0,64
 
 
	Espaço Amostral
	Comissão
	Probabilidade
	1o cliente
	2o cliente
	
	
	C
	C
	100
	0,04
	C
	N
	50
	0,16
	N
	C
	50
	0,16
	N
	N
	0
	0,64
  



k
i
ii
k
i
iiX
pxxXPxXE
11

Comissão Probabilidade 
100 0,04 
50 0,16 + 0,16 = 0,32 
0 0,64 
 
	Comissão
	Probabilidade
	
	
	100
	0,04
	50
	0,16 + 0,16 = 0,32
	0
	0,64

 )
i
xP(X
i
x)E(X
22
 
222
22
)( (E(X)))E(X)xP(X)XE(x
E(X))(XEVar(X)σ
ii
X



).()( xXPxF 
(
)
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
³
<
£
<
£
<
=
£
=
.
2
,
1
2
1
,
75
,
0
1
0
,
25
,
0
0
,
0
)
(
 se x
;
x
 se 
;
x
 se 
;
 se x
x
X
P
x
F
Espaço Amostral 
1a visita 2a visita 
Probabilidade 
F F 
0,04 
F N 
0,06 
N F 
0,09 
N N 
0,81 
 
Espaço Amostral 
1a visita 2a visita 
Custo 
Fixo 
Receita Lucro 
F F 
10 100 90 
F N 
10 50 40 
N F 
10 50 40 
N N 
10 0 -10 
 
	Espaço Amostral
	Probabilidade
	1a visita
	2a visita
	
	F
	F
	0,04
	F
	N
	0,06
	N
	F
	0,09
	N
	N
	0,81
	Espaço Amostral
	Custo
Fixo
	Receita
	Lucro
	1a visita
	2a visita
	
	
	
	F
	F
	10
	100
	90
	F
	N
	10
	50
	40
	N
	F
	10
	50
	40
	N
	N
	10
	0
	-10
Espaço Amostral 
1a visita 2a visita 
X 
Probabilidade 
F F 
90 0,04 
F N 
40 0,06 
N F 
40 0,09 
N N 
-10 0,81 
 
	Espaço Amostral
	X
	Probabilidade
	1a visita
	2a visita
	
	
	F
	F
	90
	0,04
	F
	N
	40
	0,06
	N
	F
	40
	0,09
	N
	N
	-10
	0,81
X 
Prob. 
90 0,04 
40 0,06+0,09=0,15 
-10 0,81 
Total 1,00 
 
810)0( ,XP 
	X
	Prob.
	90
	0,04
	40
	0,06+0,09=0,15
	-10
	0,81
	Total
	1,00
X 
Prob. 
90 0,04 
40 0,15 
-10 0,81 
Total 1,00 
 
	X
	Prob.
	90
	0,04
	40
	0,15
	-10
	0,81
	Total
	1,00