Aula 5 - Estrutura Cristalina

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UFR
Disciplina: Ciência dos Materiais
1°Semestre de 2019
Professora: Dra. Vanessa Motta Chad
E-mail: vanessamotta@ufmt.br
AULA 
ESTRUTURA CRISTALINA (Parte 3) 
PLANOS E DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
➢ Os índices de Miller são usados para descrever o conjunto de direções e
planos existentes em uma célula unitária, ou seja, em um cristal. Cristais
não hexagonais (h k l); cristais hexagonais (h k i l).
➢ Os parâmetros de rede a, b, c nos eixos x, y, z, em sistemas cúbicos
assumem valor igual a 1, ou seja, a = b = c = 1
Célula unitária de lados a, b, c
Sistema de coordenadas x, y, z
x
y
z
a
c
b
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
➢ Para a identificação de um plano cristalográfico é conveniente a
utilização dos índices de Miller.
➢Os índices de Miller relacionados aos planos representam os valores
inversos (recíprocos) das interseções do plano considerado com os eixos
coordenados.
→ h=1/a k=1/b l=1/c
➢ Caso o plano seja paralelo ao eixo (ou aos eixos), considera-se o
intercepto infinito. Neste caso, o inverso é zero.
➢ Índices negativos são representados por uma barra sobre os mesmos,
exemplo: (1 1 1), ou seja, (-1 1 1). Os índices NÃO são separados por
vírgula.
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
➢ Exemplo:
(Valores inversos)
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
➢ Exemplo:
a b ∞c
1 1 ∞
1 1 0
(110)
Intercepto: a 1b 1c
Intercepto em termos de a, b, c:  1 1
Recíprocos (Valores inversos): 0 1 1
Notação: (0 1 1)
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
➢ Exemplo: Identifique o plano representado abaixo:
Intercepto: 1/2a 1b c
Intercepto em termos de a, b, c: 1/2 1 
Recíprocos (Valores inversos): 2 1 0
Notação: (2 1 0)
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
➢ Exemplo: Identifique o plano representado abaixo:
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Índices de Miller de alguns planos em cristais cúbicos.
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
➢ Uma família de planos contêm todos aqueles planos que são
cristalograficamente equivalentes, ou seja, que possuem o mesmo
empacotamento atômico.
➢ Exemplo de família de planos em cristais cúbicos:
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
➢ Exemplo de família de planos em cristais cúbicos:
➢ Procedimento para construir um plano localizado no interior de uma
célula unitária cúbica:
1 – Construir a célula unitária cúbica
2 – Remover os índices dos parênteses
3 – Calcular seus valores inversos, h=1/a k=1/b l=1/c
4 – Desenhar o plano
Obervações:
→ Um índice h, k ou l igual a zero indica que sua interseção com o eixo x, y
ou z será no infinito, portanto, o plano será paralelo a esse eixo.
→ Índices obtidos devem ser apresentados entre parênteses:
(h k l)
→ O plano a ser determinado não pode passar pela origem (0,0,0), caso isso
aconteça, é necessário fixar uma nova origem.
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
x
y
z
➢ Exemplo: Desenhar o plano (111) em uma célula unitária cúbica
1a
1b
1c
x
y
z
Plano (111)
1a
1b
1c
Remover os índices dos parênteses: 1 1 1
Calcular valores inversos: 1 1 1
Interseção: 1a 1b 1c
EXEMPLO
➢ Exemplo: Desenhar o plano (112) em uma célula unitária cúbica
x
y
z
1a
1b
-1/2c
Remover os índices dos parênteses: 1 1 -2
Calcular valores inversos: 1/1 1/1 -1/2
Interseção: 1a 1b -1/2c
EXEMPLO
➢ Exemplo: Desenhar o plano (100) em uma célula unitária cúbica
x
y
z
1a
Remover os índices dos parênteses: 1 0 0
Calcular valores inversos: 1/1  
Interseção: 1a b  c
b
c
x
y
z
Plano (100)
1a
b
c
EXEMPLO
DENSIDADE ATÔMICA PLANAR (DPlanar)
➢ Planos cristalográficos equivalentes possuem a mesma densidade
atômica planar.
➢ O plano de interesse está posicionado de modo que ele passa
através dos centros dos átomos.
→ A densidade atômica planar pode ser obtida pela seguinte
expressão:
P
A
Planar
A
n
D =
nA: número de átomos no plano
AP: área do plano
Calcule a densidade atômica planar (em átomos/nm2), do plano (110)
do -ferro, cuja rede é CCC. O parâmetro de rede do -ferro é 0,287
nm.
Exercício 1 
Dados:
Plano: (110)
-ferro: Estrutura CCC
a = 0,287 nm
P
A
Planar
A
n
D =
nA: número de átomos no plano
AP: área do plano
DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
➢ Utilizam-se direções cristalográficas para indicar uma orientação específica
de um material cujos grãos estão preferencialmente orientados.
➢ Os índices negativos são representados por uma barra sobre os mesmos.
➢ Quaisquer direções paralelas são equivalentes.
➢ Uma direção é dada pelas componentes do vetor que a escreve no sistema
ortogonal x, y ,z, partindo da origem, até o ponto (x, y, z).
➢ As coordenadas são reduzidas ao menor conjunto de números inteiros.
➢ A notação empregada é [u v w] (entre colchetes) e representa uma linha que
vai da origem até um ponto de coordenadas u, v, w.
DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
➢ Uma família de direções indica várias direções não-paralelas com índices
diferentes, que são equivalentes, isto significa que o espaçamento entre os
átomos ao longo de cada direção é o mesmo.
➢ Exemplo de família de direções em cristais cúbicos
Comparação de Notação:
(h k l): plano
[u v w]: direção
{h k l}: família de planos
<u v w>: família de direções
DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
Exemplos de direções [100], [110] e [111] dentro de uma célula unitária 
cúbica.
Origem: x = 0, y = 0, z = 0
DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
➢ Se o que se deseja é desenhar a direção em uma célula unitária cúbica, o
procedimento que deverá ser seguido é o seguinte:
1 – Construir a célula unitária cúbica
2 – Remover os índices dos colchetes
3 – Dividir seus valores por um fator comum
4 – Posicionar o vetor de tal modo que ele passa através da origem do
sistema de coordenadas
➢ Uma direção cristalográfica é definida como uma linha entre dois
pontos, ou um vetor.
➢ [u v w] representa os Índices de Miller da direção de uma linha que vai
de uma origem (x, y, z) até um ponto de coordenadas (x1, y1, z1).
➢ Exemplo: Desenhar a direção [121] em uma célula unitária cúbica
x
y
z
1/2a
1b
Desenhar a célula unitária cúbica
Remover os índices dos colchetes: 1 2 1
Dividir por um fator comum: 1/2 2/2 1/2
Projeção: 1/2a 1b 1/2c
1/2c
x
y
z
1/2a
1b
1/2c
Direção [121]
Direção: [121]
SOLUÇÃO:
Origem: 0,0,0
EXEMPLO
x
y
z
1/2a-1b
Desenhar a célula unitária cúbica
Remover os índices dos colchetes: 1 - 2 1
Dividir por um fator comum: 1/2 -2/2 1/2
Projeção: 1/2a -1b 1/2c
1/2c
x
y
z
1/2a
-1b
1/2c
➢ Exemplo: Desenhar a direção [121] em uma célula unitária cúbica
Origem: 0,0,0
Direção: [121]
SOLUÇÃO:
EXEMPLO
x
y
z
1a
Desenhar a célula unitária cúbica
Remover os índices dos colchetes: 1 0 0
Dividir por um fator comum: 1 0 0
Projeção: 1a 0b 0c
➢ Exemplo: Desenhar a direção [100] em uma célula unitária cúbica
Origem: 0,0,0
Direção: [100]
SOLUÇÃO:
x
y
z
1a
EXEMPLO
DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
➢ Qualquer vetor pode ser movido dentro da célula unitária sem sofrer
alterações, desde que seu paralelismo seja mantido.
➢ Se o que se deseja é identificar os índices de Miller de uma direção já
representada na célula unitária cúbica, pode-se empregar o seguinte
procedimento:
1 - Definir dois pontos por onde passa a direção (ponto alvo e ponto
origem)
2 – Fazer a subtração: ALVO – ORIGEM
3 - Eliminar as frações e reduzir a números inteiros
4 - Escrever entre colchetes a direção [u v w], se houver números
negativos, o sinal é colocado sobre o número:
[ u v w ]
➢ Exemplo: Determine os índices de Miller das direções A, B e C.
(1/2,1,0)
(0,1,1/3)
x
y
z
(0,0,1)
(1,1,1)
(0,0,0)
A
B
C
Direção A
Definição de alvo e origem: (0,1,1/3) e (0,0,0)
Alvo-Origem: 0,1,1/3 - 0,0,0 = 0-0, 1-0, (1/3)-0  0,1,1/3
Redução a números inteiros = 3(0, 1, 1/3) = 0, 3, 1
Notação: [0 3 1]
Direção B
Definição de alvo e origem: (1,1,1) e (0,0,0)
Alvo-Origem: 1,1,1 - 0,0,0 = 1-0, 1-0, 1-0  1, 1, 1
Não é necessário reduzir a números inteiros
Notação: [1 1 1]
Direção C
Definiçãode alvo e origem: (0,0,1) e (1/2,1,0)
Alvo-Origem: 0,0,1 – ½,1,0 = 0-(1/2), 0-1, 1-0  -1/2, -1, 1
Redução a números inteiros: 2(-1/2, -1, 1) = -1, -2, 2
Notação: [1 2 2]
SOLUÇÃO:
EXEMPLO
PRINCIPAIS DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS NA ESTRUTURA HC
Plano 
Prismático Plano 
Piramidal
Plano Basal
➢ Sistema de quatro eixos: a1, a2, a3 e c
➢ Direções são indicadas por quatro índices: h, k, i, l apresentados entre
colchetes: [h k i l]
➢ Os índices h, k, i, l são associados aos eixos a1, a2, a3 e l, respectivamente
➢ h + k = -i
DENSIDADE ATÔMICA LINEAR (DLinear) 
➢ A densidade linear é o número de pontos de rede por unidade de
comprimento ao longo da direção considerada.
➢ O vetor direção está posicionado de forma a passar através dos centros
dos átomos.
→ A densidade linear pode ser obtida pela seguinte expressão:
L
D
Linear
L
n
D =
nD: número de átomos centrados sobre o vetor direção
LL: comprimento da linha selecionada
Calcule a densidade atômica linear (em átomos/nm) na direção [110] da
rede cristalina do cobre. O cobre é CFC e o parâmetro de rede é 0,361 nm.
Exercício 2
Dados:
Direção: [110]
Cobre: Estrutura CFC
a = 0,361 nm
a
a
L
D
Linear
L
n
D =
nD: número de átomos centrados sobre o vetor direção
LL: comprimento da linha selecionada
Densidade linear e planar
 Estão relacionadas ao processo de deslizamento:
 mecanismo pelo qual os metais se deformam plasticamente.
 O deslizamento ocorre nos planos cristalográficos mais 
compactos e, nesses planos, ao longo das direções que 
possuem o maior empacotamento atômico.
DIREÇÕES E PLANOS SUPERCOMPACTOS
➢ Nas direções supercompactas os átomos estão sempre em contato.
➢ Planos supercompactos são planos que possuem uma densidade
máxima de empacotamento dos átomos ou esferas.
➢ Nas células CFC e HC há pelo menos um conjunto de planos
supercompactos em cada uma delas.
→ Nessas estruturas há uma sequência de empilhamento dos planos
compactos.
DIREÇÕES E PLANOS SUPERCOMPACTOS
➢ Estrutura CFC
→Os planos mais compactos são da família {111}.
→Quando planos {111} paralelos são empilhados, os átomos do plano B se
encaixam simultaneamente sobre os vales do plano A, e os átomos do
plano C se encaixam sobre os valores dos planos A e B.
→Desta forma, obtemos a sequência de empilhamento ABCABCABC… para
o plano (111) da estrutura CFC.
DIREÇÕES E PLANOS SUPERCOMPACTOS
➢ Estrutura HC
→Os planos mais compatos na estrutura HC são os planos (0001) e (0002)
e recebem o nome de planos basais.
→Os átomos do plano B, que é o plano (0002), se encaixam nos vales entre
os átomos do plano A, que é o plano (0001) inferior. Se outro plano
idêntico em orientação ao plano A for colocado nos vales do plano B,
será criada uma estrutura HC.