4 DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO LOCAL DA GRAVIDADE (1)

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DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO LOCAL DA GRAVIDADE
1. OBJETIVOS
Determinar a relação entre o período e o comprimento de um pêndulo, e o valor da aceleração da gravidade.
2. INTRODUÇÃO TEÓRICA
A equação de movimento para um pêndulo simples de massa m é 
(1) 				 + ² sen( = 0
onde é a freqüência angular dada por 
(2) 					² = 
g é a aceleração da gravidade e L o comprimento do pêndulo. Para pequenas oscilações, isto é, para <<1, temos que sen , o que nos leva a escrever a equação de movimento com boa aproximação como
(3)					 +² = 0
cuja solução é 
(4)					θ(t) = cos ( 
O movimento é então harmônico simples com amplitude e fase inicial φ, que são determinados a partir das condições iniciais. Da eq2 e de temos a seguinte expressão para o período 
(5)					T = 2
Em um tratamento mais completo devemos levar em conta a dissipação, que nesse caso é devido essencialmente a força de arrasto devido ao ar. Para pequenas velocidades essa força é proporcional a velocidade, 
(6)					
onde b depende das características do corpo. A equação do movimento, considerando a dissipação, é então (para ângulos pequenos) 
(7)				 + + = 0
Onde . Na situação em que , o movimento é harmônico amortecido, e a solução da eq7 é
(8)				
onde 
(9)				
e 
(10) 				
onde A(t) é a amplitude do movimento e a amplitude inicial.
3. MATERIAL UTILIZADO
· Pêndulo simples;
· Cronômetro;
· Trena ou fita métrica;
· Régua.
4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
PARTE 1 
Para 5 (cinco) valores diferentes do comprimento (L) do pêndulo foi medido o período T. A imprecisão das medidas foi reduzida, pois para cada comprimento, forem feitas várias medidas independentes e foi tomada a média como o valor do período para aquele comprimento. Foram feitas cinco medidas de T para cada comprimento do pêndulo. Ao fazer cada medida o pêndulo foi deixado livre para oscilar algumas vezes, e assim foi medido o tempo total e divido pelo número de oscilações. 
PARTE 2 
O pêndulo foi colocado para oscilar e medidos os valores da amplitude em função do tempo. Em seguida, esses valores foram colocados numa tabela, que segue nos resultados.
5. RESULTADOS
	
	Comprimento L (mm)
	Período T (s)
	Média dos Períodos (s)
	
	
	1
	2
	3
	4
	5
	
	1
	1580,0
	24,99
	25,12
	25,08
	25,09
	25,32
	25,12
	2
	1490,0
	24,27
	27,08
	24,13
	24,46
	23,85
	24,76
	3
	1390,0
	23,34
	23,23
	23,33
	22,71
	23,26
	23,17
	4
	1275,0
	22,14
	22,29
	22,10
	22,42
	22,18
	22,23
	5
	1158,0
	21,11
	21,16
	21,15
	20,77
	21,09
	21,06
	6
	1010,0
	19,85
	19,87
	20,00
	19,90
	20,11
	19,95
	7
	860,0
	18,32
	18,40
	18,44
	18,20
	18,53
	18,38
	8
	765,0
	17,22
	16,63
	17,27
	17,11
	17,34
	17,11
	9
	680,0
	16,37
	16,30
	16,03
	16,19
	16,16
	16,21
	10
	570,0
	14,79
	14,96
	14,87
	14,85
	14,93
	14,88
Tabela 1 – PARTE 1
	Comprimento L (cm)
	158,00
	
	Amplitude A (cm)
	Instante t (s)
	1
	15,0
	00,00
	2
	14,0
	02,88
	3
	13,0
	04,67
	4
	12,0
	07,08
	5
	11,0
	09,58
	6
	10,0
	12,16
	Média
	12,5
	06,06
Tabela 2 – PARTE 2
6. QUESTIONÁRIO
PARTE 1 
1. Construa uma tabela contendo os valores de L, T, e os respectivos desvios.
Tabela 3 - valores de L, T, e os respectivos desvios.
Os desvios foram calculados para cada determinação avaliando de T1 a T5 e de L1 a L10, a partir da fórmula:
Depois foi calculado a média dos desvios:
 	 Para chegar a seguinte conclusão:
	L (média) m
	
	T (média)
S
	
	1,08
	0,30
	2,03
	0,02
 
 Tabela 4 – conclusão do calculo da media dos desvios.
		 
2. Obtenha o valor médio de g e o seu desvio (utilize as notas de aula sobre erros). 
Considerando a média de T igual a 2,03 e a média de L igual a 1,08 pode-se calcular g médio através de:
Para obter o desvio utilizaremos a base de erros, em que:
δg = 
δg = 10,33 . 
δg = 2,89 m/s²
Obtém-se dessa forma o seguinte valor e variação para a gravidade experimental: 
g = 10,33±2,89 m/s²
3. Construa o gráfico (em papel milimetrado).
Gráfico (1) em anexo. 
4. Construa o gráfico (em papel milimetrado).
Gráfico (2) em anexo. A equação da reta foi calculada através do método dos mínimos quadrados e dos dados da tabela a seguir, encontrando-se Y= 4,0708X – 0,1515. 
	 
	T² (s²)
	L (m)
	δ T² (s²).
	δ L (m)
	δ T² (s²).δ L (m)
	(δt(s) )²
	1
	6,30
	1,58
	2,06
	0,50
	1,04
	0,25
	2
	6,15
	1,49
	1,91
	0,41
	0,79
	0,17
	3
	5,38
	1,39
	1,15
	0,31
	0,36
	0,10
	4
	4,93
	1,28
	0,69
	0,20
	0,14
	0,04
	5
	4,45
	1,16
	0,22
	0,08
	0,02
	0,01
	6
	3,96
	1,01
	-0,28
	-0,07
	0,02
	0,00
	7
	3,39
	0,86
	-0,85
	-0,22
	0,19
	0,05
	8
	2,92
	0,77
	-1,31
	-0,31
	0,41
	0,10
	9
	2,66
	0,68
	-1,58
	-0,40
	0,63
	0,16
	10
	2,22
	0,57
	-2,02
	-0,51
	1,02
	0,26
	MÉDIA
	4,24
	1,08
	 
	SOMA
	4,60
	1,13
Tabela 5 – dados para construcao do gráfico.
5. A partir do gráfico obtenha o valor de g e o seu desvio. 
O valor de g foi encontrado através do cálculo dos coeficientes angular das retas de inclinação máxima e mínima, ou seja, através das tangentes, sendo, pela equação (5):
 
Assim, calculando amáx e amín, temos:
Encontrando para amáx g = 11,53m/s2 e para amín g = 5,58m/s2.
Calculando a média das gravidades, os desvios e sua média, temos que:
m/s2 com desvio de 2,98 m/s2.
PARTE 2 
1. Faça um gráfico (em papel milimetrado) da amplitude em função do tempo, ou seja, A versus t, (lembre-se que t é o tempo decorrido desde o início do movimento, e A a amplitude (em radianos) das oscilações). 
Gráfico (3) em anexo. A equação da reta foi calculada através do método dos mínimos quadrados e dos dados da tabela a seguir, encontrando-se Y= Y = - 0,0027X + 0,0952.
	 
	A (cm)
	A (m)
	A (rad)
	t (s)
	δA (rad)
	δ t(s)
	δ A(rad).δt(s)
	(δt(s))²
	1
	15,0
	0,15
	0,09
	0,00
	0,02
	-6,06
	-0,10
	36,74
	2
	14,0
	0,14
	0,09
	2,88
	0,01
	-3,18
	-0,03
	10,12
	3
	13,0
	0,13
	0,08
	4,67
	0,00
	-1,39
	0,00
	1,94
	4
	12,0
	0,12
	0,08
	7,08
	0,00
	1,02
	0,00
	1,04
	5
	11,0
	0,11
	0,07
	9,58
	-0,01
	3,52
	-0,03
	12,38
	6
	10,0
	0,1
	0,06
	12,16
	-0,02
	6,10
	-0,10
	37,19
	MÉDIA
	12,5
	
	0,08
	6,06
	
	SOMA
	-0,26
	99,41
Tabela 6 – dados para construção do gráfico de A x t.
2. Em um papel para gráficos tipo mono-log, traçe a curva para A versus t. 
Gráfico (4) em anexo.
3. Encontre o valor de γ. 
Utilizando a equação 10, obtemos o valor de γ para cada valor da amplitude
A (t) = 
ln (A(t)) = 
	Comprimento L (m)
	1,58
	ln (A(t))
	- 
	
	 
	Amplitude A (m)
	Instante t (s)
	
	
	
	1
	0,15
	0,00
	-1,90
	0,00
	0,00
	2
	0,14
	2,88
	-1,97
	-0,22
	9,10
	3
	0,13
	4,67
	-2,04
	-0,35
	5,83
	4
	0,12
	7,08
	-2,12
	-0,53
	3,99
	5
	0,11
	9,58
	-2,21
	-0,72
	3,07
	6
	0,10
	12,16
	-2,30
	-0,91
	2,52
	Média
	0,13
	6,06
	-2,08
	-0,45
	4,58
Tabela 7 - Valores calculados de para cada valor da amplitude.
E o valor médio de pode ser obtido pela fórmula seguinte
ln (
Onde é a média das amplitudes medidas em metros, é a amplitude inicial em metros e é a média dos intervalos de tempo medidos em segundos.
Substituindo os valores na equação acima, temos que
ln (0,13) = -
Assim, 
 = 4,58
4. Obtenha o valor da aceleração local da gravidade usando a eq.9 e estime o erro que foi cometido por ter sido desprezado o amortecimento na parte 1 da prática. Comente. Use o método dos mínimos quadrados e trace a curva.
Temos as equações 2 e 9
Substituindo a eq. 2 na eq. 9, temos 
 
Onde foi obtido usando a seguinte fórmula
Utilizando a equação obtida acima e substituindo-se os valores, obtemos os valores de g para cada comprimento L.
	Comprimento L (m)
	1,58
	
	
	
	
	L
	g
	
	
	Amplitude A (m)
	Instante t (s)
	
	
	
	
	
	
	
	1
	0,15
	0,00
	0,00
	0,00
	0,00
	0,00
	1,58
	0,00
	-9,97
	2
	0,14
	2,88
	2,18
	4,75
	9,10
	20,71
	1,58
	40,24
		30,27
	
	3
	0,13
	4,67
	1,34
	1,81
	5,83
	8,48
	1,58
	16,26
	6,29
	4
	0,12
	7,08
	0,89
	0,79
	3,99
	3,99
	1,58
	7,54
	-2,42
	5
	0,11
	9,58
	0,66
	0,43
	3,07
	2,36
	1,58
	4,41
	-5,56
	6
	0,10
	12,16
	0,52
	0,27
	2,52
	1,59
	1,58
	2,94
	-7,03
	Valor Médio
	0,13
	6,06
	1,04
	1,07
	4,58
	5,23
	1,58
	9,97
	0,00
Tabela 8 - Valores calculadosde g para cada comprimento L.
Utilizando o Método dos Mínimos Quadrados, chegamos aos seguintes resultados:
	TABELA MMQ
	
	A (m)
	A (rad)
	A (log)
	t (s)
	
	
	.
	()²
	1
	0,15
	0,09
	-1,02
	0,00
	0,08
	-6,06
	-0,50
	36,74
	2
	0,14
	0,09
	-1,05
	2,88
	0,05
	-3,18
	-0,17
	10,12
	3
	0,13
	0,08
	-1,08
	4,67
	0,02
	-1,39
	-0,03
	1,94
	4
	0,12
	0,08
	-1,12
	7,08
	-0,01
	1,02
	-0,01
	1,04
	5
	0,11
	0,07
	-1,16
	9,58
	-0,05
	3,52
	-0,18
	12,38
	6
	0,10
	0,06
	-1,20
	12,16
	-0,09
	6,10
	-0,57
	37,19
	MÉDIA
	0,13
	
	-1,11
	6,06
	
	SOMA
	-1,46
	99,41
Tabela 9 - Método dos mínimos quadrados.
Onde, é o desvio da amplitude em log e é o desvio do tempo em segundos, obtidos da seguinte forma
 = A(log) – MÉDIA A(log)
 = t (s) – MÉDIA t(s)
Sabemos que a equação que representa a curva no gráfico é do tipo 
Y = aX + b
em que, a e b são respectivamente, os coeficientes angular e linear da reta, obtidos por
a = 
b = - a.MÉDIA t(s) + MÉDIA A(log)
Dessa forma, obtemos a equação que representa a curva no gráfico:
	COEFICIENTE ANGULAR a
	-0,01
	COEFICIENTE LINEAR b
	-1,02
	EQUAÇÃO DA RETA
	Y = - 0,01X - 1,02
Tabela 10 - Equação da curva do gráfico 4.
O erro cometido na primeira parte do experimento ao se desprezar o amortecimento ou resistência do ar, é nitidamente observado na diferença dos valores de g obtidos em cada parte do experimento. Enquanto na parte 1 obtemos g = 10,33, na parte 2, considerando-se a resistência do ar, obtemos g = 9,97 m/s². Assim, o erro numérico entre os dois valores foi de 0,36, obtido da seguinte forma:
 - = 10,33 - 9,97 = 0,36 m/s²
Onde, é o valor de g obtido na primeira parte e é o valor de g obtido na segunda parte do experimento.
7. CONCLUSÕES
Os valores de g obtidos experimentalmente tanto na parte 1, g = 10,33 m/s², quanto na parte 2, g = 9,97 m/s², ficaram próximos ao valor geralmente usado a nível de cálculo, g = 9,8 m/s². Porém, na parte 1 da prática cometemos um erro experimental ao não considerar o amortecimento no movimento, o que nos levou a um valor mais aproximado de 9,8 na parte 2 da prática. 
8. BIBLIOGRAFIA
Guia para Física Experimental. Caderno de Laboratório, Gráficos e Erros. Instituto de Física, Unicamp. http://www.ifi.unicamp.br/~brito/graferr.pdf
Física Básica Experimental I. UFPR. http://fisica.ufpr.br/cf358/cons_an_graf_v12.pdf
CRUZ, C.H.B; FRAGNITO, H.L; COSTA, I.F.; MELLO, B.A. Guia para Física Experimental - Caderno de Laboratório, Gráficos e Erros. Instituto de Física, Unicamp. Disponível em: http://www.ifi.unicamp.br/~brito/graferr.pdf
UFPR. Construção e Análise de Gráficos - Física Básica Experimental I. Universidade Federal do Paraná . Disponível em: http://fisica.ufpr.br/cf358/cons_an_graf_v12.pdf.
BORGES, C.S.; BRITO, E.D. et al. PÊNDULO SIMPLES. Física Experimental II. FAESA– Campus II. Vitória, ES – 2010.
	
ANEXOS
12345
115802,52,512,512,512,532,510,010,50
214902,432,712,412,452,392,480,090,41
313902,332,322,332,272,332,320,020,31
412752,212,232,212,242,222,220,010,20
511582,112,122,122,082,112,110,010,08
610101,991,9921,992,011,990,010,07
78601,831,841,841,821,851,840,010,22
87651,721,661,731,711,731,710,020,31
96801,681,631,61,621,621,630,020,40
105701,481,51,491,491,491,490,010,51
0,020,30
δLδ
Média dos desvios
N°L (mm)
T (s)
TT