Unidade 2 - Parte 6

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Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
 
DISCIPLINA:CÁLCULO II 
UNIDADE 2: (Parte 6) 
2.6 Volumes 
Definiremos volumes de sólidos cujas seções transversais são regiões planas. 
Uma seção transversal de um sólido S é a região plana formada pela interseção entre S e 
um plano. 
 
Definição do volume 
Seja S um sólido que está entre x = a e x = b. Se a área da seção transversal de S 
no plano Px, passando por x e perpendicular ao eixo x, é S(x), onde S é uma função 
contínua, então o volume de S é 
𝑉 = lim
𝑛→∞
∑ 𝑆(𝑥𝑖) ∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
= ∫ 𝑆(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Quando usamos a fórmula de volume V=∫ 𝑆(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 é importante lembrar que 
S(x) é a área de uma seção transversal móvel obtida pelo fatiamento passando por x 
perpendicular ao eixo x. 
Calculando o volume de um sólido 
1) Esboce o sólido e uma região transversal típica 
2) Encontre uma fórmula para S(x), a área de uma seção transversal típica. 
3) Encontre os limites de integração. 
4) Integre S(x) usando o Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
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Exemplo: Volume de uma pirâmide 
Uma pirâmide com 3m de altura tem uma base quadrada com 3 m de lado. A seção 
transversal da pirâmide, perpendicular à altura x metros abaixo do vértice, é um 
quadrado com x metros de lado. Determine o volume da pirâmide. 
 
 
 
 
 
 
𝑉 = ∫ 𝑆(𝑥)𝑑𝑥
3
0
= ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 =
𝑥3
3
|
3
0
3
0
= 9 𝑚3 
 
Volume de um Sólido de Revolução 
Fazendo uma região plana girar em torno de uma reta no plano, obtemos um 
sólido, que é chamado de revolução. A reta ao redor da qual a região gira é chamada 
eixo de revolução. 
Por exemplo, fazendo a região limitada pelas curvas y = 0, y = x e x = 4 girar 
em torno do eixo dos x, o sólido de revolução obtido é um cone. 
 
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Se o retângulo delimitado pelas retas x = 0, x = 1 e y = 3 girar em torno do eixo 
dos y, obtemos um cilindro. 
 
Definição: Seja y = f(x) uma função contínua não negativa em [a,b]. Seja R a região sob 
o gráfico de f de a até b. O volume do sólido T, gerado pela revolução de R em torno do 
eixo dos x, é definido por: 
𝑉 = lim𝑛→∞ 𝜋 ∑ [𝑓(𝑐𝑖)]
2. ∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 (1) 
Esta soma que aparece em (1) é uma soma de Riemann da função [f(x)]
2
. Como f 
é contínua, o limite em (1) existe, e então pela definição da integral definida, temos: 
𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑓(𝑥)]2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 (2) 
A fórmula (2) pode ser generalizada para outras situações: 
1) A função f(x) é negativa em alguns pontos de [a,b]. 
A Figura (c) mostra o sólido gerado pela rotação da Figura (a), ao redor do eixo 
dos x, que coincide com o sólido gerado pela rotação, ao redor do eixo dos x, da região 
sob o gráfico da função |𝑓(𝑥)| de a até b (Figura b). Como |𝑓(𝑥)|2 = (𝑓(𝑥))2, a 
fórmula (1) permanece válida neste caso. 
 
 
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Exemplo: A região R, limitada pela curva 𝑦 =
1
4
𝑥2, o eixo dos x e as retas 𝑥 = 1 e 
𝑥 = 4, gira em torno do eixo dos x. Encontrar o volume do sólido de revolução gerado. 
 
 
𝑉 = 𝜋 ∫ (
1
4
𝑥2)
2
𝑑𝑥
4
1
=
𝜋
16
.
𝑥5
5
|
4
1
=
𝜋
80
(45 − 1) =
1023𝜋
80
 𝑢. 𝑣 
 
2) A região está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b. 
 
Supondo 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], o volume do sólido T, gerado pela rotação 
de R em torno do eixo dos x, é dado por: 
𝑉 = 𝜋 ∫ ([𝑓(𝑥)]2 − [𝑔(𝑥)]2)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 (3) 
 
 
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Exemplo: A região limitada pela curva 𝑦 = 𝑥2 + 1 e pela reta 𝑦 = −𝑥 + 3 gira em 
torno do eixo x para gerar um sólido. Determine o volume. 
 
 
 
𝑥2 + 1 = −𝑥 + 3 ⟹ 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 ⟹ 𝑥 = −2 𝑒 𝑥 = 1 
𝑉 = 𝜋 ∫ [(−𝑥 + 3)2 − (𝑥2 + 1)2]𝑑𝑥 ⟹
1
−2
 
𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑥2 − 6𝑥 + 9 − 𝑥4 − 2𝑥2 − 1]𝑑𝑥 ⟹
1
−2
 
𝑉 = 𝜋 ∫ [8 − 6𝑥 − 𝑥2 − 𝑥4]𝑑𝑥 ⟹
1
−2
 
𝑉 = 𝜋 [8𝑥 − 3𝑥2 −
𝑥3
3
−
𝑥5
5
]
1
−2
=
117𝜋
5
 𝑢. 𝑣 
3) A região R gira em torno do eixo dos y. 
 
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Neste caso, temos: 
𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑔(𝑦)2] 𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 (4) 
Exemplo: Determine o volume do sólido obtido com a rotação em torno do eixo y, da 
região compreendida entre o eixo y e a curva 𝑥 =
2
𝑦
, 1 ≤ 𝑦 ≤ 4. 
 
𝑉 = 𝜋 ∫ (
2
𝑦
)
2
𝑑𝑦
4
1
⟹ 
𝑉 = 𝜋 ∫
4
𝑦2
𝑑𝑦
4
1
⟹ 
𝑉 = 4𝜋 ∫
1
𝑦2
𝑑𝑦
4
1
⟹ 
𝑉 = 4𝜋 [−
1
𝑦
]
4
1
⟹ 
𝑉 = 𝜋 [−
1
4
+ 1] = 4𝜋.
3
4
⟹ 𝑉 = 3𝜋 𝑢. 𝑣 
4) A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados. 
Se o eixo de revolução for a reta 𝑦 = 𝐿, temos: 
𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑓(𝑥) − 𝐿]2
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 (5) 
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Exemplo: Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta 𝑦 = 4, 
da região limitada por 𝑦 =
1
𝑥
, 𝑦 = 4 e 𝑥 = 4. 
 
𝑉 = 𝜋 ∫ [
1
𝑥
− 4]
2
𝑑𝑥
4
1
4
⟹ 
𝑉 = 𝜋 ∫ (
1
𝑥2
−
8
𝑥
+ 16) 𝑑𝑥
4
1
4
⟹ 
𝑉 = 𝜋 [−
1
𝑥
− 8 ln|𝑥| + 16𝑥]
4
1
4
⟹ 
𝑉 = 𝜋 [−
1
4
− 8 ln 4 + 64 + 4 + 8 ln
1
4
− 4] ⟹ 
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𝑉 = 𝜋 [
255
4
− 8 ln 16] 𝑢. 𝑣 
 
Se o eixo de revolução for a reta 𝑥 = 𝑀, temos: 
𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑔(𝑦) − 𝑀]2
𝑑
𝑐
𝑑𝑦 (6) 
 
Exemplo: A região R, delimitada pela parábola 𝑥 =
1
2
𝑦2 + 1 e pelas retas 𝑥 = −1, 
𝑦 = −2 e 𝑦 = 2 gira em torno da reta 𝑥 = −1. Determinar o volume do sólido de 
revolução obtido. 
 
𝑉 = 𝜋 ∫ [
1
2
𝑦2 + 1 − (−1)]
2
𝑑𝑦
2
−2
⟹ 
𝑉 = 𝜋 ∫ [
1
2
𝑦2 + 2]
2
𝑑𝑦
2
−2
⟹ 
𝑉 = 𝜋 ∫ [
1
4
𝑦4 + 2𝑦2 + 4] 𝑑𝑦
2
−2
⟹ 
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𝑉 = 𝜋 [
𝑦5
20
+
2𝑦3
3
+ 4𝑦]
2
−2
⟹ 
𝑉 = 𝜋 [
32
20
+
16
3
+ 8 +
32
20
+
16
3
+ 8] ⟹ 𝑉 =
448𝜋
15
 𝑢. 𝑣