6-MecanicaFluidosII-CamadaLimite

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1
ESCOAMENTO EXTERNO
• Analisando escoamentos externos, observa-se gradientes acentuados 
de velocidade, somente em uma região muito próxima as superfícies 
sólidas. Esta região é chamada de região da camada limite. Fora dessa 
região, pode-se aplicar a equação de Euler. 
 
Camada Limite 
 
U 
laminar transição turbulento 
x 
y 
xc 
L 



 = espessura da camada limite, região próxima à superfície sólida, onde
a velocidade varia de zero a 0,99 U
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2
Como o regime de escoamento varia 
ao longo da superfície. define-se 
então
número de Reynolds local: 
 
Camada Limite 
 
U 
laminar transição turbulento 
x 
y 
xc 
L 



O número de Reynolds reinante na coordenada onde ocorre a transição de 
regime laminar para turbulento é chamado de número de Reynolds crítico: 
Se Rex  Rec regime laminar
Se Rex > Rec regime turbulento
Como já visto, em geral, considera-se o número de Reynolds crítico como 
Rec = 5 x 10
5

 xU
xRe


 cxU
cRe

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EQUAÇÕES DA CAMADA LIMITE
 Em 1904, Prandtl simplificou as equações de Navier-Stokes, através 
de uma análise de ordem de grandeza, derivando as equações da 
camada limite
Hipóteses:
1. Fluido Newtoniano 
2. Propriedades constantes   e  constantes
3. Regime laminar
4. Regime permanente   / t=0
5. Bi-dimensional  w=0 ;  / z=0
6.  < < L
4
 
 Vamos fazer uma análise de ordem de grandeza. Sabemos que a ordem de grandeza de: 
 u é U ; ● x é L ; ● y é  
 Continuidade: 0Vcte 

 
  
0
z
w
y
v
x
u
zeroV
L
U











  

 U
L
V logo v <<< u 
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5
 Quantidade de movimento linear 
 direção x 
    





























































zero
z
u
U
y
u
L
U
x
u
zero
x
)5(zero
z
u
U
L
U
y
u
L
U
U
x
u
)4(zero
t
u
2
2
2
2
2
2
2
2
x
p
gwvu

 
 
Analisando a equação acima, pode-se concluir que 





2
2
2
2
yx
 0
x2
2



 
Eq. (I)
Variação da espessura ao longo 
da superfície como esperado:
 x0,5


  2
U
x
U
U 



U
x
 concorda com comportamento 
observado 
 





 xUx
 
xRe
1
x


 


  2
U
x
U
U 



U
x
 concorda com comportamento 
observado 
 





 xUx
 
xRe
1
x


 
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6
 direção y (II) 

  


















































zero
z
v
L/U
y
v
L
L/U
x
v
zero
z
v
L/U
L
U
y
v
L
U
L
U
x
v
zero
t
v
2
2
2
2
2
2
2
2
y
p
g
wvu

 
Analisando a equação acima, pode-se concluir novamente que 
0
xyx 2
2
2
2
2
2









 
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7
Observa-se também que os termos convectivos e viscosos da equação (II) são muito menores 
do que estes termos da equação (I), isto é 
 
eq (II) 
L

 eq(I) isto é eq v < < eq. u 
 
logo 


maxyondeCygpg
y
p
 
 
A pressão só varia devido ao peso da coluna de fluido, pode-se então introduzir a seguinte 
aproximação 
 
 zero
y
p



 
Esta conclusão é muito conveniente, pois se a pressão não varia com y, 
então para uma determinada coordenada x, a pressão dentro da camada 
limite é igual a pressão fora da camada limite
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8
Px 
Px+dx 
U 
Px Px+dx 
Camada limite 
Fora da camada limite,  0 
 
 
 
CL
fora
CL
dentro x
p
x
p










 
 
 
 
 
Fora da camada limite, a equação de Bernoulli (para fluidos não viscosos) é válida 
 
 
cte
2
U
p
2


  logo 
xd
Ud
U
x
p 



 
Esta conclusão é muito conveniente, pois se a pressão não varia 
com y, então para uma determinada coordenada x, a pressão 
dentro da camada limite é igual a pressão fora da camada limite
zero
y
p



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Equações da Camada Limite
9
0
y
v
x
u






2
2
y
u
y
u
x
u
x
p1
vu











xd
Ud
U
x
p1 





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10
 A solução das equações da camada limite pode ser obtida através da 
integração das equações de conservação na região da camada limite. 
Pode-se utilizar 
 Um procedimento rigoroso associado a um método numérico. 
Solução “exata” de Blasius
 Uma análise aproximada, onde as equações de conservação são 
integradas na região da camada limite. 
 Apesar da grande simplificação obtida, ainda temos algumas 
dificuldades para resolver esta equação. 
Observa-se que o perfil de velocidade é 
similar, isto é, o perfil de velocidade 
adimensional é o mesmo em qualquer 
coordenada x. 







 
y
função
U
u
x
x
Re



y
 x
x
y
Re

 
U
x
y
21/
Vimos que
Filmes/Filme_camadaLimite/PerfilCamadaLimite.mov
Filmes/Filme_camadaLimite/PerfilCamadaLimite.mov
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11
A solução “exata” para uma placa plana 
obtida por Blasius em 1908. 
Equações da Camada Limite para Placa Plana (Solução de Blasius) 
 
 
0
xd
Ud
U
x
p


 
 
 




u
x
v
y
  0 ; 2
2
y
u
y
u
x
u
vu






 
Condições de contorno: 
1. x = 0  u = U 
2. y = 0  u = v = 0 
3. y   u = U (y =   u = 0,99 U) 
u 
u 
x 
U=cte 

y 
0
1



 
xd
Ud
U
x
p

Equações da Camada Limite para Placa Plana (Solução de Blasius) 
 
 
0
xd
Ud
U
x
p


 
 
 




u
x
v
y
  0 ; 2
2
y
u
y
u
x
u
vu






 
Condições de contorno: 
1. x = 0  u = U 
2. y = 0  u = v = 0 
3. y   u = U (y =   u = 0,99 U) 
u 
u 
x 
U=cte 

y 
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12
 Inicialmente, a função de corrente será utilizada, para eliminarmos uma equação, pois a 
continuidade fica automaticamente satisfeita 
 
u
y
v
x
  
 

 

, 
 
 Substituindo na equação de quantidade de mvimento obtem-se uma única equação 
diferencial parcial de 3
a.
 ordem 
 
2
2
y
u
y
u
x
u
vu






 
3
3
2
22
yyxyxy 









 
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13
Observa-se que o perfil de velocidade é similar, isto é, o perfil de velocidade adimensional é o 
mesmo em qualquer coordenada x. Propõe-se uma mudança de variáveis, visando transformar 
a equação acima numa equação diferencial ordinária. 
 









y
função
U
u
 sendo 
xRe
x
 
Define-se 


y
 então xRe
x
y
 
A função de corrente é adimensionalizada com 
xRe
f


 
Introduzindo as variáveis xRe
x
y
 e 
xRe
f


 
na equação de quantidade de movimento, obtêm-se 
 
 0
d
fd
f
d
fd
2
2
2
3
3




 (*) 
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14
Para especificar as condições de contorno para essa equação, deve-se relacionar os 
componentes de velocidade u e v com f e . 
 
















  fU
x
Ref
Re
yy
u
x
x
x
'f
U
u


 
 



















































2/3x
x
x
1
2
1U
y
d
fd
Re
x
1
2
1U
f
xxx
v
 
 








  f
d
fd
Re
U
2
1
v
x
  ff
2
1
Re/Uv '
x


 
xRe
x
y
 xf Re
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16
A equação pode ser resolvida por um método numérico de integração de 
equações diferenciais ordinárias, como por exemplo, o método de Runge-Kutta.
 ff
2
1
Re/U
v '
x


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17
Note que f ’ corresponde a velocidade axial adimensional. 
Observa-se excelente concordância com dados experimentais para 
uma grande faixa de número de Reynolds
Outros resultados importantes a serem obtidos da tabela, são: tensão 
cisalhante na parede e determinação da espessura da camada limite.
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18

 x
Espessura da Camada Limite 
A espessura da camada limite é definida como a coordenada y onde u = 0,99 U . 
Pela tabela vemos que f’= u/U=0,99 quando  = 5 , logo sabendo que 
 
xRe
x
y
  xRe
x
5

 
 
xRe
x5
 5,0x 
 

 xU
xRe

18
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19
A figura ilustra o perfil dos 
componentes u e v
adimensionais em função de 
'f
U
u





 

ff
U
v
x
'
Re/

2
1
x
x
y
Re
Note que existe fluxo de massa através da linha que delimita a região da 
camada limite, o componente vertical da velocidade em y =  é 
 = 5,0  f ’= 0,9915 e f = 3,2833  8370,
Re/

 xU
v
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20
Para água [=1000 kg/m
3
; =0.001 kg/(ms)] com velocidade Uo= 1 cm/s 
x=0,1 m ; Rex=10
3
 ; = 1,58 cm x=1 m ; Rex=10
4
= 5 cm 
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
u/Uo 
0.0
0.5
1.0
1.5
y
/d
e
lt
a
 
1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 1E-2 1E-1
v/Uo
0.0
0.5
1.0
1.5
y
/d
e
lt
a
água, Uo=1cm/s
x=0.1 m
x=1.0 m
 
 
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
u/Uo 
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
y


cm
 
1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 1E-2 1E-1
v/Uo 
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
y


cm
 
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21
x

Tensão Cisalhante ao Longo da Placa 
 
A tensão cisalhante na superfície é definida como 
0y
s
y
u
)x(



 
em termos nas novas coordenadas, podemos rescrever a tensão como 
 

332,0
0
2
22/1
2
0
'
x
s
d
fd
xU
U
d
fd
Re/x
U
)x(

















 
 
x
2
s
6640
2
U
x
Re
,
)( 

 2/1x 
 
 
 
x

Tensão Cisalhante ao Longo da Placa 
 
A tensão cisalhante na superfície é definida como 
0y
s
y
u
)x(



 
em termos nas novas coordenadas, podemos rescrever a tensão como 
 

332,0
0
2
22/1
2
0
'
x
s
d
fd
xU
U
d
fd
Re/x
U
)x(

















 
 
x
2
s
6640
2
U
x
Re
,
)( 

 2/1x 
 
 
 Coeficiente de Atrito Local: tensão cisalhante adimensional 
2
s
U
2
1
x
xCf



)(
)( 
 
Para placa plana no regime laminar (Rex  Rec) 
xRe
664,0
)x(Cf  
Tensão Cisalhante ao Longo da Placa
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22
Força total na placa    ssss Ad)x(AF 
 
A tensão média é   ss
s
s Ad)x(
A
1
 podendo ser obtida a partir do 
coeficiente local de atrito   s
2
s
s AdU
2
1
)x(Cf
A
1
 
 
para U=constante  s
s
2
s Ad)x(Cf
A
1
U
2
1
 
 




s
s
Ls
s2
s Ad)x(Cf
A
1
CfAd)x(Cf
A
1
U
2
1
 
 
 
2
s
L
U
2
1
Cf


 é o Coeficiente de Atrito Médio 
 
Para uma placa plana de comprimento L e largura b, a área superficial é As = b L e o elemento 
de área superficial é d As = b dx. O coeficiente de atrito médio neste caso é 
 
 
L
0 x
s
s
L xdb
Re
664,0
Lb
1
Ad)x(Cf
A
1
Cf
L
L
Re
328,1
Cf  
Força total na placa    ssss Ad)x(AF 
 
A tensão média é   ss
s
s Ad)x(
A
1
 podendo ser obtida a partir do 
coeficiente local de atrito   s
2
s
s AdU
2
1
)x(Cf
A
1
 
 
para U=constante  s
s
2
s Ad)x(Cf
A
1
U
2
1
 
 




s
s
Ls
s2
s Ad)x(Cf
A
1
CfAd)x(Cf
A
1
U
2
1
 
 
 
2
s
L
U
2
1
Cf


 é o Coeficiente de Atrito Médio 
 
Para uma placa plana de comprimento L e largura b, a área superficial é As = b L e o elemento 
de área superficial é d As = b dx. O coeficiente de atrito médio neste caso é 
 
 
L
0 x
s
s
L xdb
Re
664,0
Lb
1
Ad)x(Cf
A
1
Cf
L
L
Re
328,1
Cf  
Força total na placa    ssss Ad)x(AF 
 
A tensão média é   ss
s
s Ad)x(
A
1
 podendo ser obtida a partir do 
coeficiente local de atrito   s
2
s
s AdU
2
1
)x(Cf
A
1
 
 
para U=constante  s
s
2
s Ad)x(Cf
A
1
U
2
1
 
 




s
s
Ls
s2
s Ad)x(Cf
A
1
CfAd)x(Cf
A
1
U
2
1
 
 
 
2
s
L
U
2
1
Cf


 é o Coeficiente de Atrito Médio 
 
Para uma placa plana de comprimento L e largura b, a área superficial é As = b L e o elemento 
de área superficial é d As = b dx. O coeficiente de atrito médio neste caso é 
 
 
L
0 x
s
s
L xdb
Re
664,0
Lb
1
Ad)x(Cf
A
1
Cf
L
L
Re
328,1
Cf  
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23
Perfil Aproximado de Velocidade 
 
Como os resultados de Blasius encontram-se em forma de tabela, não são muito convenientes 
para estimar a velocidade. Pode-se, então utilizar um perfil aproximado. 
 
Supõe-se que o perfil de velocidade é dado por uma função arbitrária, e os coeficientes desta 
função são determinados de forma a satisfazer as condições de contorno conhecidas para a 
velocidade. 
 
Por exemplo: Vamos supor que para o regime laminar de escoamento o perfil de velocidade 
adimensional u/U pode ser dado por um perfil cúbico de  = y/ 
 
32
y
d
y
c
y
ba
U
u


















 
 
Devemos determinar as constantes a, b, c e d de tal forma que o perfil acima satisfaça as seguintes condições de 
contorno para a velocidade u 
Angela Nieckele – PUC-Rio
24
32
y
d
y
c
y
ba
U
u


















 
 
1. y = 0  u = 0  a = 0 
2. y =   u = U  1 = b + c + d (*) 
3. y =   


























2
yd3yc2b
U
y
u
0
y
u
  b = - 2 c - 3 d (+) 
 
4. y = 0  















yd6c2
U
y
u
0
y
u
222
2
2
2
  c = 0 
  
















2
2
y
u
zero
y
u
zero
x
u
vu0yem 
 
Resolvendo as equações (*) e (+), obtemos d = -1/2 e b = 3/2, sendo o perfil aproximado 
3
y
2
1y
2
3
U
u











 Perfil de Eckert 
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
u/Uo 
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
y
/d
e
lt
a
Blasius
Aproximado
Resolvendo as equações (*) e (+), obtemos 
d = -1/2 e b = 3/2, sendo o perfil aproximado 
3
y
2
1y
2
3
U
u











 Perfil de Eckert 
Angela Nieckele – PUC-Rio
25
ESCOAMENTO TURBULENTO
O escoamento turbulento é governado pelas mesmas 
equações que o escoamento laminar. No entanto, 
rigorosamente falando, este é sempre tridimensional e 
transiente.
Observa-se, no entanto, que o 
escoamento pode ser descrito 
por um valor médio e mais uma 
flutuação u’ (muitas vezes da 
ordem de 1% de )
'uuu 
u
Angela Nieckele – PUC-Rio
26
'uuu 
Para o engenheiro, muitas vezes é suficiente conhecer o 
comportamento do valor médio. 
Note que com relação ao valor médio, podemos fazer a hipótese de 
regime permanente, pois 
Observamos ainda que se o vetor velocidade é dado por 
poderemos fazer a hipótese de 2-D com relação aos valores médios. 
Dessa forma, podemos simplificar bastante o problema. Desejamos 
então determinar o campo médio de velocidades. Nestecaso, é 
preciso obter equações de conservação para essa grandeza. A 
expressão é introduzida nas equações de 
conservação e uma média no tempo é realizada 
resultando em
0t/u 
kwj)vv(i)uu(V





t
tdequação
t
1
0
y
v
x
u






 vu
y
vu
2
2
y
u
y
u
x
u










Angela Nieckele – PUC-Rio
27
Note que a equação obtida é semelhante a equação utilizada para obter a solução do regime 
laminar, porém, temos um termo novo vu  . Podemos reescrever esta equação como 
 
 
  
























t
s
vu
y
vu
y
u
y
u
x
u
 
 
O termo vu  é chamado de tensão de Reynolds ou tensão turbulenta. Como este termo 
envolve flutuações, não sabemos com avaliá-lo. Introduzimos um modelo de turbulência. 
Dentre os modelos mais populares, temos os modelos baseados na hipótese de Boussineq, os 
quais fazem uma analogia entre a tensão laminar e turbulenta, definindo a tensão turbulenta 
como 
 
y
u
vu t


 
onde t é a viscosidade turbulenta, a qual depende do escoamento, não é uma propriedade do fluido. 
Angela Nieckele – PUC-Rio
28
Próximo a parede, a viscosidade turbulenta é desprezível e a tensão cisalhante na parede é dada por 
 
0y
s
y
u



 
Definimos a tensão como sendo 









y
u
y
u
vu
y
u
tt 
tefeft ;
y
u
y
u
)( 





 
 
Analisando o escoamento próximo à parede, observamos 
 
t 
t 
t 
núcleo turbulento 
camada amortecedora 
sub-camada laminar 
Angela Nieckele – PUC-Rio
29
Para resolver as equações de conservação, precisamos definir como a viscosidade turbulenta 
varia com o escoamento. Existem diversos modelos, cada um deles com um grau de 
complexidade diferente, e com uma abrangência diferente. Os mais populares são: 
 
 modelo de comprimento de mistura de Prandtl: t = K y 
 modelo de duas equações diferenciais  (energia cinética turbulenta - dissipação) 
 modelos anisotrópicos 
 modelo de tensões de Reynolds 
 etc. 
 
Uma vez selecionado um modelo, a equação de conservação de quantidade de movimento linear pode ser 
resolvida. 
y 
t 
Angela Nieckele – PUC-Rio
30
Para a obtenção da solução é conveniente adimensionalizar a equação de conservação. 
Introduz-se uma velocidade de referência chamada de velocidade de atrito u
*
 
 
 


 s*u 
A velocidade e a coordenada são adimensionalizados com 
 


 
yu
y;
u
u
u
*
*
 
 
A equação de quantidade de movimento pode ser resolvida para a região da camada limite, resultando nas 
seguintes expressões 
Angela Nieckele – PUC-Rio
31
 sub-camada laminar 5yparayu   
 
 núcleo turbulento 50ypara0,5yln5,2u   
 
A figura abaixo ilustra os perfis acima, juntamente com os dados experimentais. Note que na 
região entre 50y5   , correspondente a região amortecedora, os pontos experimentais 
não coincidem com nenhuma das duas curvas, pois é uma região de transição, mais difícil de 
ser modelada. 
 
Angela Nieckele – PUC-Rio
32
As expressões anteriores são de difícil utilização, pode-se então utilizar um perfil mais 
simples, obtido empiricamente para avaliar a velocidade na região da camada limite no 
regime turbulento 
7/1
y
U
u









 
 
Infelizmente, este perfil não é adequado para avaliar a tensão cisalhante na parede, pois prevê 
 y/u na parede. Recomenda-se a utilização do seguinte perfil empírico 
 
4/1
2
s
U
U0233,0 











 para Rex > 5 x 10
5
 
 
A espessura da camada limite pode ser estimada a partir da seguinte correlação empírica 
 
x
5/1
x Re
27010
Re
381,0
x


 para Rex > 5 x 10
5 
Angela Nieckele – PUC-Rio
33
x

x-1/5
x-1/2 turbulento
laminar
xc
O coeficiente de atrito local pode ser obtido, sendo igual a 
 
2/U
)x(
)x(Cf
2
s


 
5/1
xRe
0592,0
)x(Cf  para 5 x 10
5
 Rex  10
7 
 
 
A variação da tensão ao longo da superfície encontra-se ilustrada na figura abaixo. Para determinar a força 
resultante em uma placa é preciso levar em consideração que na parte anterior da plca, x < xc o regime é laminra 
e a tensão cai com x - 1/2, e em xc ocorre uma mudança de regime, a transferência de quantidade de movimento 
cresce, e a tensão cisalhante cresce substancialmente, passando a cair com x - 1/5 . 
Angela Nieckele – PUC-Rio
34
A força sobre a placa é 
sL
2L
x
turb
x
0
lam
2
L
0
2
s
A
2
ssss
ACf
2
U
xdb)x(Cfxdb)x(Cf
2
U
dxb)x(Cf
2
U
Ad)x(Cf
2
U
Ad)x(AF
c
c
s





















 
 








 
cx
0
lamturb
L
0
turbL xd)]x(Cf)x(Cf[xd)x(Cf
L
1
Cf 
 
L
5/1
L
L
Re
1740
Re
074,0
Cf  para 5 x 10
5
 Rex  10
7 
 
  L58,2L
L
Re
1610
Relog
455,0
Cf  para 5 x 105 Rex  10
9 (**) 
Angela Nieckele – PUC-Rio
35
Se xc< < L , a camada limite sobre a placa é praticamente toda turbulenta, pode-se então 
aproximar o coeficiente de atrito médio para 
Se xc< < L então 
5/1
L
L
Re
074,0
Cf  para 5 x 10
5
 Rex  10
7
 (++) 
Se xc< < L então 
  58,2L
L
Relog
455,0
Cf  para 5 x 10
5
 Rex  10
9
 (##) 
 
 
 
(**) 
(##) 
(++) 
L
L
3281
Cf
Re
,

Angela Nieckele – PUC-Rio
36
Exemplo 2. Deseja-se colocar um tubo de pitot a 10 cm da extremidade 
dianteira de um pequeno dirigível, na parte inferior. A velocidade do dirigível 
varia entre 40 Km/h e 160 Km/h e a temperatura do ar é 0 oC. Qual deve ser o 
comprimento da haste do tubo de pitot?
Solução: ar 0 oC3kg/m3 ;  1,7 × 10 -5 kg/(ms)

 xU
x
Re
)(Re,Re
max,
max, laminar10510952
55 

cx
xU


410387 

,Re
min,
min,

 xU
x
min,
max
Rex
x5

mmm
x
x
84110841
5 3
,,
Re min,
max 

mmhh 2 max
Angela Nieckele – PUC-Rio
37
Exemplo 3. Considere ar-padrão escoando sobre uma placa plana de largura 
b = 2m, com uma velocidade de corrente livre igual a U= 4,3 m/s. 
1. Para x = 0,5 m determine a espessura da camada-limite. 
2. Nesta mesma coordenada, estime a distância da superfície na qual u = 0,3 
U. 
3. Repita os cálculos para a extremidade da placa, sabendo que a mesma, 
possui comprimento igual a L = 1m
4. Determine a força de arraste total devido ao atrito superficial.
5. Determine a força de arraste que atua na primeira metade da placa.
Solução: ar 2kg/m3 ;  1,8 × 10 -5 kg/(ms)
1.
2.
3.
)(Re,Re laminar10510431 55   cx
xU


m
x
x
310606
5  ,
Re
3
2
1
2
3
 
U
u
mmy 3212020
2
1
2
3
30 3 ,,,,  
)(Re,Re laminar10510872 55   cL
LU


m
L
L
310349
5  ,
Re

3
2
1
2
3
 
U
u
mmy 8712020
2
1
2
3
30 3 ,,,,  


y
Angela Nieckele – PUC-Rio
Exemplo 3. Considere ar-padrão escoando sobre uma placa plana de largura 
b = 2m, com uma velocidade de corrente livre igual a U= 4,3 m/s. 
1. Para x = 0,5 m determine a espessura da camada-limite. 
2. Nesta mesma coordenada, estime a distância da superfície na qual u = 0,3 
U. 
3. Repita os cálculos para a extremidade da placa, sabendo que a mesma, 
possui comprimento igual a L = 1m
4. Determine a força de arraste total devido ao atrito superficial.
5. Determine a força de arraste que atua na primeira metade da placa.
Solução:
4. 
5.
310482
3281  ,
Re
,
L
LCf
sss AdAxF   )( )(; LbFUCf sLs   
2
2
1
)(Re,Re laminar10510872 55   cL
LU


NLbFPaUCf sLs 05501075234
2
21
10482
2
1 2232
,)(,,
,
,   
3
2
2 10513
3281  ,
Re
,
/
/
L
LCf)()( /// 22
1 2
222
L
bUCfAdAxF LsLssL 
  
3838  PaUCfLLs
22
22
10893
2
1
,//
 N
L
bF
LsL
0390
22
2 ,)(//

Note que a força que atua na 1ª. 
metade da placa é mais do que 
a metade da força que atua na 
placa inteira.
Angela Nieckele – PUC-Rio
39
Exemplo 4. Qual a velocidade mínima do ar soprando sobre um papel para 
arrastá-lo sobre uma mesa, sabendo que o mesmo encontra-se no centro da 
mesa. Sabe-se que o papel possui dimensões iguais a: largura b= 20 cm, 
comprimento L = 30 cm e espessura t= 0,5 mm. As propriedades do ar são: 
massa específica = 1,2 Kg/m3; e viscosidade absoluta  = 1,5 10-5 Kg/(m s). A 
massa do papel é 2 g e o coeficiente de atrito entre o papel e a mesa é =0,2. 
A mesa possui 2,0 m de comprimento.
Solução: gmPesoFF a   )( bLVCfF papel
2
2
1




























5050
22
22
50
2222
32811
50
166401
,,
, ,
,
, LL
VL
x
VL
Cf
L
Lpapel







ℓ
L









22
22
50
22
22
22
22
66401664011
L
L
L
L x
L
L
papel dxx
VL
dx
L
dxxCf
L
Cf






,,
Re
,
)(


)( bL
gm
VCf papel

22 
Angela Nieckele – PUC-Rio
40
Exemplo 4. Qual a velocidade mínima do ar soprando sobre um papel para 
arrastá-lo sobre uma mesa, sabendo que o mesmo encontra-se no centro da 
mesa. Sabe-se que o papel possui dimensões iguais a: largura b= 20 cm, 
comprimento L = 30 cm e espessura t= 0,5 mm. As propriedades do ar são: 
massa específica = 1,2 Kg/m3; e viscosidade absoluta  = 1,8 10-5 Kg/(m s). A 
massa do papel é 2 g e o coeficiente de atrito entre o papel e a mesa é =0,2. 
A mesa possui 2,0 m de comprimento.
Solução:
ℓ
L






























5050
23
2222
3281
2
,,
/ ,
LL
b
gm
V





)( bL
gm
VCf papel

22 
m/s579,V
Verificando regime de 
escoamento
)(Re,Re laminar105109842 55
2


 c
L
L
V

 

Angela Nieckele – PUC-Rio
41
Exemplo 5. Deseja-se instalar um cata-vento para gerar energia elétrica em um 
platô, o qual recebe um vento de 30 Km/h. Determine a altura do suporte das pás 
do cata-vento, de forma a obter o rendimento máximo. Sabe-se que as pás 
possuem 3 m de comprimento e que o cata-vento está localizado a 1000 m do 
início de um platô.

 xU
x
Re )(Re,Re turbulento
xU
cx
57 10510885  


mHmHm 10549546  ,,
  maxmax  HHH
x=1000
Ar: =1,2 kg/m3 ;  = 1,7 x 10-5 kg/(ms)
x
5/1
x Re
27010
Re
381,0
x


Angela Nieckele – PUC-Rio
42
Exemplo 6. Um novo trem aerodinâmico viaja a uma velocidade média de 172 
Km/h. Calcule a potência necessária para vencer a resistência superficial ao 
longo do teto e lados de um trem de 10 vagões. Os vagões possuem 25 m de 
comprimento, 3,4 m de largura e 4,5 m de altura. O ar está a 5 oC.
L = 10 x 25 m
H= 3,4 m
U= 172 km/h
para 5 x 105 Rex  10
9
)(Re,Re turbulento
LU
cx
58 10510569  

Ar: =1,2 kg/m3
 = 1,5 x 10-5 kg/(ms)
Pot = FA U )]([ WHLUCfF LA  2
2
1 2
 
00158010681001580
16104550 6
582
,,,
ReRelog
,
,
 
LL
LCf
HPWPotNFA 4301021310716
53  ,,
Note que xc =Rec  /( U) = 0,131m=13,1cm <<< L (região laminar desprezível)
Angela Nieckele – PUC-Rio
Espessura de Deslocamento, *
 A região da camada limite, é a região onde a velocidade apresenta 
gradientes acentuados, variando de zero a 99% de U. Como a 
velocidade tende assintoticamente para U é difícil avaliar 
experimentalmente a espessura . Uma outra grandeza 
relacionada com a camada limite, mais fácil de ser avaliada 
experimentalmente é a espessura de deslocamento *.
 Sabemos que o efeito das forças viscosas na camada limite é 
retardar o escoamento. A vazão em massa adjacente a uma 
superfície sólida é inferior à aquela que passaria pela mesma região 
na ausência da camada limite. Se as forças viscosas estivessem 
ausentes, a velocidade numa seção seria U. A espessura de 
deslocamento * é a distância da qual a fronteira sólida teria que 
ser deslocada num escoamento sem atrito para fornecer o mesmo 
déficit de vazão em massa que existe na camada limite. Deslocando 
a fronteira de uma distância *, resultaria em uma deficiência de 
vazão em massa de  U 
* b, onde b é a largura da superfície. 
43
Angela Nieckele – PUC-Rio
Queremos que a vazão real seja igual a vazão na ausência da 
camada limite, dessa forma, conforme a figura abaixo
44
 
 


 deficit
*
*
m
000
ydbUydbUydbUydbum 



 
onde 
  

zero
00
*
deficit ydb)uU(ydb)uU(ydb)uU(bUm 



 
então 








0
* yd
U
u
1 
Angela Nieckele – PUC-Rio
Espessura de Quantidade de Movimento, q
 De forma análoga ao déficit de vazão em massa devido ao efeito 
viscoso na camada limite, existe uma redução do fluxo de 
quantidade de movimento numa seção em comparação a um 
escoamento não viscoso.
 A espessura de quantidade de movimento q é definida com a 
espessura da camada de fluido com velocidade U, para a qual o 
fluxo de quantidade de movimento é igual ao déficit do fluxo de 
quantidade de movimento através da camada. Desta forma
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 





q

0
yd
U
u
1
U
u
Angela Nieckele – PUC-Rio
Exemplo . Um túnel de vento de laboratório tem seção de teste quadrada, com 
305 mm de lado. Os perfis de velocidade de camada limite são medidos em duas 
seções, e as espessuras de deslocamento são avaliadas a partir dos perfis 
medidos. Na seção (1), onde a velocidade de corrente livre é U1= 26 m./s, a 
espessura de deslocamento é *1=1,5 mm. Na seção (2), localizada a jusante da 
seção (1), *2=2,1 mm.. Calcule a variação da pressão estática entre as seções 
(1) e (2). Expresse o resultado como uma fração da pressão dinâmica de 
corrente livre na seção (1). Admita condições atmosféricas-padrão.
Solução: Na região central, onde não existe gradiente de velocidade, pode-se 
aplicar a equação de Bernoulli 
1 2 
L - 2*
L - 2*
1
U
U
2/U
pp
zg
2
Up
zg
2
Up
2
1
2
2
1
21
2
2
22
1
2
11 














Como a massa deve se conservar, pode-se aplicar a equação da continuidade 
2*
22
2*
11 )2L(U)2L(U  0161,01
2L
2L
2/U
pp
4
*
2
*
1
2
1
21 














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