apol 2 - Geometria Euclidiana nota 100

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Questão 1/10 - Geometria Euclidiana
Analise o fragmento de texto que segue: 
“Triângulo é a figura plana formada pela união de três segmentos com extremidades em três pontos não-colineares. [...] Um triângulo, segundo seus ângulos, pode ser retângulo, se possuir um ângulo reto; obtusângulo, se possuir um ângulo obtuso, ou acutângulo, se possuir os três ângulos agudos”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GONÇALVES JUNIOR, Oscar. Matemática por assunto: Geometria plana e espacial. MG: Scipione, 1988, p. 37 e 39. 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre triângulos, é correto afirmar que, em todo triângulo:
Nota: 10.0
	
	A
	há, pelo menos, dois ângulos internos agudos (menores que 90º).
Você acertou!
Em todo triângulo, há, pelo menos, dois ângulos internos agudos (menores que 90º). Demonstração: Se um triângulo possuísse dois ângulos internos não agudos, então a soma desses seria maior ou igual a 180º, contrariando a proposição anterior que diz que a soma das medidas de quaisquer dois ângulos internos de um triângulo é menor que 180º (livro-base, p. 88).
	
	B
	há, pelo menos, dois ângulos internos obtusos (maiores que 90º).
	
	C
	há três ângulos internos obtusos (maiores que 90º).
	
	D
	há dois ângulos de 150º
	
	E
	 há três ângulos retos (iguais a 90º).
Questão 2/10 - Geometria Euclidiana
Considere a citação a seguir: 
“A noção de altura da edificação está associada à noção de ‘invólucro da edificação’, isto é, ao volume total definido pelos paramentos exteriores do edifício, incluindo a cobertura. É este ‘invólucro da edificação’ que interessa definir nos instrumentos de planeamento territorial, dado que é ele que estabelece a quantidade de construção que é realizada ou pode ser realizada numa dada porção do território”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: <https://www.engenhariacivil.com/dicionario/altura-da-edificacao>. Acesso em 22 mar. 2017. 
Considerando a citação apresentada e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre triângulos, qual deve ser a altura mínima de uma escada a ser encostada no topo de um prédio que possui 30m
de altura, sabendo que o pé da escada deve distar 8,5m
da base do prédio? Observação: se necessário, considere a alternativa com o valor mais próximo.
Nota: 10.0
	
	A
	98m
	
	
	B
	1972m
	
	
	C
	7225m
	
	
	D
	80,5m
	
	
	E
	31,18m
Você acertou!
Conforme o livro-base (p. 146-152), podemos visualizar a situação com a seguinte representação:
Como o prédio forma um ângulo reto com o chão, visualizamos um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o comprimento mínimo da escada e os catetos são a altura do prédio (30m)
e a distância entre o prédio e o pé da escada (8,5m). Aplicando o teorema de Pitágoras podemos encontrar a terceira medida (x):
x2=302+8,52x2=900+72,25x2=972,25x=√972,25x≅31,18m
	
Questão 3/10 - Geometria Euclidiana
Considere as seguintes definições:
“Inscrição - Um polígono é inscrito em uma circunferência se cada vértice do polígono é um ponto da circunferência e, nesse caso, dizemos que a circunferência é circunscrita ao polígono. Circunscrição - Um polígono circunscrito a uma circunferência é o que possui seus lados tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferência está inscrita no polígono”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: BRASIL. MEC-SEED / MCT. Geometria: Inscrição e circunscrição. <http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/21665/saibamais.html>. Acesso em 22 mar. 2017. 
De acordo com as definições apresentadas e com os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre círculos e polígonos, analise as afirmativas a seguir:
I.  O circuncentro é o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo.
II. As mediatrizes dos lados de um triângulo encontram-se em um mesmo ponto, chamado de incentro do triângulo.
III. Um quadrilátero convexo pode ser inscrito em um círculo se, e somente se, possuir um par de ângulos opostos suplementares.
IV. Todo triângulo pode ser inscrito em um círculo.
São corretas apenas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I e II
	
	B
	II e III
	
	C
	III e IV
Você acertou!
Estão corretas as afirmativas III e IV. A afirmativa III está correta, pois um “quadrilátero convexo pode ser inscrito em um círculo se, e somente se, possuir um par de ângulos opostos suplementares” (livro-base, p. 178). A afirmativa IV está correta, pois "Todo triângulo está inscrito em um círculo (livro-base, p.177). A afirmativa I está incorreta pois o circuncentro é ponto de encontro das mediatrizes (livro base, p. 178) e a afirmativa II está incorreta, pois incentro é o ponto de encontro das bissetrizes do triângulo” (livro-base, p. 181).
	
	D
	I, III e IV
	
	E
	II, III e IV
Questão 4/10 - Geometria Euclidiana
Observe trecho de texto que segue: 
“Os estudos trigonométricos possuem uma relação muito importante com o teorema de Pitágoras, pois através de sua aplicação determinamos valores de medidas desconhecidas. O teorema de Pitágoras é uma expressão que pode ser aplicada em qualquer triângulo retângulo (triângulo que tem um ângulo de 90°). [...]
O teorema de Pitágoras diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.  [...] Podemos utilizar esse teorema para facilitar o cálculo da diagonal de um quadrado e altura de um triângulo equilátero (triângulo com os lados iguais)”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: <http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/o-teorema-pitagoras-aplicado-no-estudo-trigonometria.htm>. Acesso em 19 abr. 2017. 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre o teorema de Pitágoras, qual a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 2m cada?
Nota: 10.0
	
	A
	2
	
	B
	2√2
Você acertou!
Pelo teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Assim, chamando a hipotenusa de a, temos:
a2=22+22a2=4+4a=√8=2√2
	
(livro-base, p. 146)
	
	C
	2√3
	
	
	D
	4
	
	E
	6/7
	
Questão 5/10 - Geometria Euclidiana
Observe a ilustração a seguir:
 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: COUCEIRO, Karen C.U.S. Geometria euclidiana. Curitiba: InterSaberes, 2016. p. 149.
Levando em consideração os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre triângulos, assinale a alternativa que representa o teorema demonstrado por meio da dada ilustração.
Nota: 10.0
	
	A
	Teorema das paralelas
	
	B
	Teorema de Tales
	
	C
	Teorema de Pitágoras
Você acertou!
Ilustração da demonstração do teorema de Pitágoras, onde o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos. Se somarmos as áreas dos quadrados de lado b (Área = b2) e de lado c (Área = c2), obteremos a área do quadrado da direita (a2) representado na segunda figura:  a2 = b2 + c2  “ (livro-base, p. 149).
	
	D
	Teorema das perpendiculares
	
	E
	Teorema da proporcionalidade
Questão 6/10 - Geometria Euclidiana
Analise os triângulos que seguem:
 
 
Fonte: Figuras elaboradas pelo autor desta questão.  
Considerando as imagens apresentadas e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre triângulos congruentes, é correto dizer que os dois triângulos são congruentes pelo caso:
Nota: 10.0
	
	A
	ALA (ângulo-lado-ângulo)
 
Você acertou!
Os triângulos ilustram o segundo caso de congruência de triângulos: ângulo-lado-ângulo (ALA), ou seja, um lado e dois ângulos iguais (livro-base, p. 72).
	
	B
	LAL (lado-ângulo-lado)
	
	C
	LLL (lado-lado-lado)
 
	
	D
	AAA (ângulo-ângulo-ângulo)
 
	
	E
	todas as alternativas estão corretas
Questão 7/10 - Geometria Euclidiana
Considere a citação a seguir: 
“A noção de altura da edificação está associada à noção de ‘invólucro da edificação’, isto é, ao volume total definido pelos paramentosexteriores do edifício, incluindo a cobertura. É este ‘invólucro da edificação’ que interessa definir nos instrumentos de planeamento territorial, dado que é ele que estabelece a quantidade de construção que é realizada ou pode ser realizada numa dada porção do território”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: <https://www.engenhariacivil.com/dicionario/altura-da-edificacao>. Acesso em 22 mar. 2017. 
Considerando a citação apresentada e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre triângulos, qual deve ser a altura mínima de uma escada a ser encostada no topo de um prédio que possui 30m
de altura, sabendo que o pé da escada deve distar 8,5m
da base do prédio?
Nota: 10.0
	
	A
	980m
	
	
	B
	972,25m
	
	
	C
	72,25m
	
	
	D
	12,7m
	
	
	E
	31,18m
Você acertou!
Conforme o livro-base (p. 146-152), podemos visualizar a situação com a seguinte representação:
Como o prédio forma um ângulo reto com o chão, visualizamos um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o comprimento mínimo da escada e os catetos são a altura do prédio (30m)
e a distância entre o prédio e o pé da escada (8,5m). Aplicando o teorema de Pitágoras podemos encontrar a terceira medida (x):
x2=302+8,52x2=900+72,25x2=972,25x=√972,25x≅31,18m
	
Questão 8/10 - Geometria Euclidiana
Analise o fragmento de texto que segue:  
“Sabemos que os elementos básicos de um triângulo são: os vértices, os lados e os ângulos, mas não são os únicos. Em um triângulo identificamos outros elementos, como mediana, bissetriz e altura”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: NOÉ, Marcos. Mediana, bissetriz e altura de um triângulo. <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/mediana-bissetriz-altura-um-triangulo.htm>. Acesso em 18 mar. 2017. 
Considerando o fragmento de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre triângulos, enumere, na ordem sequencial, as explicações que se relacionam a cada um dos elementos a seguir: 
1. Mediana
2. Bissetriz
3. Altura 
(  ) é um segmento de reta que possui origem em um dos vértices e é perpendicular ao lado oposto a este vértice. 
(  ) é um segmento de reta que possui origem em um dos vértices e divide o lado oposto em duas partes iguais. 
(  ) é um segmento que possui origem em um dos vértices  e extremidade no lado oposto a esse vértice, dividindo o ângulo formado nesse vértice em duas partes iguais.
Agora, marque a alternativa que apresenta a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	1 – 2 – 3 
 
	
	B
	3 – 2 – 1 
	
	C
	3 – 1 – 2 
 
Você acertou!
Sejam ABC um triângulo qualquer e D um ponto da reta que contém B e C. Dizemos que o segmento AD é a mediana do triângulo relativamente ao lado BC, se D for o ponto médio de BC. O segmento AD será bissetriz do ângulo  se a semirreta SAD dividir o ângulo BÂC em dois ângulos congruentes, ou seja, CÂD = DÂB. O segmento AD chama-se altura do triângulo relativa ao lado BC se AD for perpendicular à reta que contém B e C (livro-base, p. 74,75).
	
	D
	2 – 1 – 3 
	
	E
	2– 3 – 1 
Questão 9/10 - Geometria Euclidiana
Leia trecho de texto a seguir: 
“[...] consideremos um círculo com raio igual ao raio da Terra. Suponhamos ser possível cobrir toda a superfície deste círculo por uma outra superfície, modelável, ajustada a ele. Retiramos, em seguida, esta segunda superfície, aumentamos sua área de um metro quadrado, e a remodelamos, até se transformar novamente num círculo, com área, obviamente, um metro quadrado maior. Em seguida, justapomos as duas superfícies de modo a obter dois círculos concêntricos. Assim, haverá uma diferença x entre os raios dos dois círculos”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ABREU, José Faria. Geometria: Quando a intuição falha. Cap. 3, p. 123. <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf>. Acesso em 14 mar. 2017. 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre um círculo de centro A e raio r, sendo r um número real maior que zero, assinale a alternativa correta.
Nota: 10.0
	
	A
	O segmento de reta que liga um ponto A de dentro do círculo com um ponto D fora dele é sempre igual ao raio do círculo.
	
	B
	Se um ponto C tem distância de A menor do que r então dizemos que C é um ponto de dentro do círculo.
Você acertou!
Se um ponto C tem distância de A menor que o raio dizemos que C é um ponto de dentro do círculo. (livro base: página 48)
	
	C
	Se A e  B são dois pontos de um círculo de raio r então a expressão a seguir sempre é verdadeira ¯¯¯¯¯¯¯¯AB−¯¯¯¯¯¯¯¯BA=r.
	
	
	D
	Se D é um ponto fora do círculo então podemos concluir que a distância de D ao centro é menor que r.
	
	E
	Se A e B são dois pontos de um retângulo então podemos dizer que apresentam extremos.
Questão 10/10 - Geometria Euclidiana
Considere o trecho de texto que segue:
 “Em qualquer triângulo ABC, temos as três desigualdades: AB < AC + BC , AC < AB + BC e BC < AB + AC. A ideia por trás dessas desigualdades é que, em qualquer triângulo, nenhum lado pode ser maior que a soma dos outros dois lados”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: CHAGAS, Emiliano Augusto. Desigualdade triangular. <http://www.obm.org.br/content/uploads/2017/01/desigualdade_triangular-1.pdf>. Acesso em 19 abr. 2017. 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre desigualdade triangular, é possível construir um triângulo com as seguintes medidas:
Nota: 10.0
	
	A
	15, 20 e 37
	
	B
	8, 9 e 10
Você acertou!
Observe que 8+9= 17 > 10   e, conforme vimos, “em todo triângulo, a soma dos comprimentos de dois lados quaisquer é sempre maior que o comprimento do terceiro lado” (livro-base, p. 95).
	
	C
	12, 15 e 30
	
	D
	6, 12 e 24
	
	E
	4, 2 e 8