02 - Tensões e Deformações

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MET146 – Transformação Mecânica dos Metais
2008/2
Prof. Ricardo Domingues
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
Dentro do binômio SOLICITAÇÃO  RESPOSTA, analisaremos primeiramente as solicitações, que são descritas por meio de forças.
TENSÃO EM UM PONTO
A1
A2
 O cilindro de área A1 está mais solicitado do que o de área A2. Assim, para descrever o nível de solicitação de um 
corpo, é necessário considerar 
a força aplicada e a área sobre
a qual ela atua:
 
Tensão média
xP
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t
s
q
n
Exercício 1.1 (Ref. 3)
 
xP
x
P
DA
x
P
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VARIAÇÃO DA TENSÃO COM O PLANO DE CORTE
A tensão no ponto P deverá ser avaliada para cada plano de corte.
xP
x
P
DA1
xP
DA2
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DA1
a
a
n
DA
s
t
P
P
Exercício 1.2 (Ref. 3)
Exercícios 1.3, 1.4 e 1.5 (Ref. 3)
Para um plano genérico,
Exemplo 1.1 (Ref. 4)
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O desmembramento da tensão s1 nas duas tensões s(a) e t(a) é, de fato, uma transformação de coordenadas:
Rigorosamente, tal transformação deveria ser feita com as forças, pois tensões não são grandezas vetoriais. Tendo isto em mente, é possível aceitar esta “licença”. 
Uma abordagem cientificamente mais rigorosa do estado de tensões
em um ponto pode ser feita a partir da representação do ponto P por um corpo de pequenas dimensões dx, dy, dz, mantido em equilíbrio por forças tais como F1, F2 e F3:
Cada uma dessas forças pode ser resolvida em componentes paralelas às três direções coordenadas, e se cada uma das nove componentes é dividida pela área em que atua, o estado total de tensões em P é descrito, então, pelas nove componentes de tensão:
a
x
y
y´
x´
dx
dy
dz
x
y
z
F1
F2
F3
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Esta coleção de tensões é chamada de tensor de tensões, designado por sij .
Em notação tensorial, é expresso por:
Significado físico da notação de duplo subscrito:
	O subscrito i define a normal ao plano sobre o qual uma componente age, enquanto o subscrito j define a direção (x, y ou z) da componente;
	Uma combinação de i e j em que ambos são positivos ou ambos são negativos define uma componente positiva;
	Uma combinação de i e j em que um é positivo e o outro é negativo define uma componente negativa.
x
y
z
dx
dy
dz
sxx
sxy
sxz
szx
szy
szz
syx
syy
syz
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	No tensor de tensões, dois subscritos idênticos (xx) indicam uma tensão normal, enquanto dois diferentes (xy) indicam uma tensão cisalhante. 
Para simplificar, as tensões normais serão designadas com apenas um subscrito (si) e as cisalhantes como tij. Além disso, o equilíbrio implica na ausência de efeitos rotacionais em torno de qualquer eixo, de modo que tij = tji .
Assim:
Embora as componentes do tensor de tensões estejam perfeitamente definidas, alguns aspectos físicos do estado de tensões não se evidenciam a partir da equação do tensor. Em muitas situações reais, algumas componentes podem ser nulas. O exemplo mais óbvio é o do ensaio de tração.
Mesmo no caso de estados de tensão mais genéricos, há um conjunto de eixos coordenados (1, 2, 3) para o qual as tensões cisalhantes desaparecem. As tensões normais s1, s2 e s3 , ao longo desses eixos, são chamadas tensões principais.
Os valores das tensões
principais são as três raízes 
da seguinte equação cúbica:
onde:
Exemplos 1.2 e 1.3 (Ref. 4)
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Como vimos na análise da tração pura, os planos em que as tensões cisalhantes se anulam são ortogonais entre si e, neles, a tensão normal é máxima ou mínima.
Pode-se mostrar, também, que uma destas tensões normais é o maior valor de s agindo em P, uma outra dá o menor valor e a terceira é um valor intermediário.
Os planos onde t = 0 recebem o 
nome de “Planos Principais” e as tensões s1, s2 e s3 recebem o 
nome de “Tensões Principais”. 
Por convenção, s1 ³ s2 ³ s3 .
 
	s > 0  tração
	s < 0  compressão.
	Os coeficientes I1, I2 e I3 independem do sistema de coordenadas escolhido e, por isso, são chamados de invariantes. Como resultado disso, as tensões principais para um dado estado de tensões são únicas (s1, s2, s3). 
Além de permitirem o cálculo das tensões principais, os invariantes ganharão importância no próximo capítulo, na previsão do início do escoamento.
xP
Planos principais
s1
s3
s2
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CÍRCULOS DE MOHR
2a
A
s
t
tmax
D
E
t
½(s1-s2)
0
Exercício 1.6 (Ref. 3)
	 Os ângulos a e 2a são contados sempre 
 no mesmo sentido.
0
Exercícios 1.7 e 1.8 (Ref. 3)
	 Se t é positivo, provoca “giro” no plano A 
 em torno de O no sentido horário.
a
s
t
Plano 
genérico A
s1
s1
Plano 1
s2
s2
Plano 2
Chapa carregada em seu plano
s
t
s1
s2
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CÍRCULOS DE MOHR PARA TRÊS DIMENSÕES
plano1
plano3
plano2
s1
s3
tmax
s2
plano1
plano2
plano3
É possível demonstrar que os valores de s e t 
 para um plano com inclinação qualquer passando 
 por P corresponderão sempre a pontos dentro
 da região sombreada do círculo de Mohr. 
x
P
A
s
t
0
s2
s2
s3
s3
s1
s1
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s3
s3
s1
s1
s3
s3
s1
s1
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s1
tmax
s2 = s3 =
TRAÇÃO PURA
s
t
0
s1
s1
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s1
s3 =
s2
tmax
ESTADO PLANO DE TENSÕES
s
t
0
s2
s2
s1
s1
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s1
s3
tmax
s2
DIMINUIÇÃO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA
s
t
0
s2
s2
s1
s1
s3
s3
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s1
tmax = 0
s2 = s3 =
ESTADO HIDROSTÁTICO DE TENSÕES
s
t
0
s1
s1
s2
s2
s3
s3
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s1
s3
tmax
s2
AUMENTO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA
Exercícios 1.9 e 1.10 (Ref. 3)
Exemplo 1.5 (Ref. 4)
s
t
0
s2
s2
s1
s1
s3
s3
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Analise cuidadosamente as três aplicações apresentadas no item 1.6 da Ref. 3 e proponha mais uma outra aplicação diferente. Descreva os estados de tensão correspondentes e desenhe os respectivos círculos de Mohr.
Haverá um sorteio para apresentação da análise das aplicações e do resultado da aplicação proposta.
Exercício Extra
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Deformação convencional
A DEFORMAÇÃO LINEAR
Agora, dentro do binômio
SOLICITAÇÃO-RESPOSTA, 
analisaremos a resposta.
lo
Dl
Dl
2Dl
Ou, considerando incrementos infinitesimais de comprimento, por
É mais preciso dizer que a deformação total é dada por
Alongamento
s1’
s1
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Tomando o limiteda somatória, para infinitas etapas de alongamento, temos:
 Como
, é óbvio que
	 			 Dentre as muitas vantagens da deformação verdadeira, uma é que se podem somar os incrementos de deformação sofridos pelo corpo, obtendo-se no final a deformação total, o que não é verdade para o caso da deformação convencional. 
 Essas vantagens ficarão evidenciadas após a resolução dos exercícios 1.11 da ref. 3 e dos exemplos 1.6 a 1.8 da ref. 4. 
 A grandeza e é denominada deformação verdadeira ou logarítmica e seu valor 
	 é sempre menor que o de e, mas, para pequenas deformações, a diferença é pequena. 
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A DEFORMAÇÃO POR CISALHAMENTO

g = q1 + q2
q1 e q2 são positivos nos sentidos indicados.
Para q1 e q2 pequenos, pode-se escrever:
 Para excluir o efeito de uma eventual rotação rígida (quando q1  q2), à qual não está associada uma deformação do corpo, deve-se tomar
 e considerar os ângulos 
e
iguais a g/2.
A
B
D
C
h2
h1
a
b
q2
q1
O
A’
B’
C’
t
t
t
t
DA = DA’
DC = DC’
ADC
A’DC’
ADA’
C’DC
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Na realidade, este valor da deformação angular refere-se ao plano x-y .
Assim, sua notação correta seria gxy e as dos outros dois planos gxz e gyz .
Tal como foi feito para o caso das tensões, quando as deformações são pequenas, elas também podem ser descritas por um tensor:
Com grandes deformações, as distorções provocadas por um componente podem afetar outros componentes, o que pode fazer com que a análise de deformações pelo cálculo tensorial dê origem a erros. 
Outro ponto a se considerar é o fato de a deformação angular gxy ser resultante da ação de duas tensões cisalhantes txy e tyx. 
E, analogamente ao tensor de tensões, 
Então:
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VARIAÇÃO DA DEFORMAÇÃO COM A DIREÇÃO
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DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS
No estudo realizado com os quadrados desenhados nas folhas de borracha, verificamos que existem duas direções onde não ocorrem deformações por cisalhamento, mas somente deformações lineares. 
Há uma semelhança formal com o caso das tensões e aqui também pode-se mostrar, por meio de uma análise rigorosa do problema, que é sempre possível encontrar, para cada ponto de um corpo carregado, três direções mutuamente perpendiculares, para as quais as deformações angulares são nulas. 
							 Ainda em ana-logia com o caso de tensões, pode-se mostrar que as deformações lineares que ocorrem normalmente aos planos em questão correspondem a extremos, ou seja, uma delas (e1) é a maior de todas as deformações lineares, outra (e3) é a menor, e a terceira apresenta um valor intermediário.
Podem ser construídos círculos de Mohr também para deformações: 
As deformações e1, e2 e e3 chamam-se “deformações principais” e são respecti-vamente colineares com s1, s2 e s3 para materiais isotrópicos. 
 
								 locam-se
na abcissa as deformações lineares (e) e, na ordenada, a deformação por cisalhamento (g/2); 
		 assim, conhecidos os valores de e1, e2 e e3, é possível conhecer e e g/2 para qualquer plano com uma certa inclinação em relação aos planos onde agem e1, e2 e e3 .
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DEFORMAÇÃO VOLUMÉTRICA
Vo = l1 l2 l3
l’1 = l1 (1+e1)
l’2 = l2 (1+e2)
l’3 = l3 (1+e3)
Após a aplicação de s1, s2 e s3 ,
 Vf = l1 l2 l3(1+e1)(1+e2)(1+e3) = = l1l2l3(1+e1+e2+e3+e1e2+e1e3+e2e3+e1e2e3)
Se as deformações e1, e2 e e3 forem pequenas, pode-se escrever:
Vf = l1 l2 l3 (1+e1+e2+e3)
A deformação volumétrica é definida como .
Assim, . 
 Fim deste tópico
s2 e2
s1 e1
s1 e1
s2 e2
s3 e3
s3 e3
l1
l2
l3
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Exercício 1.1
x
P
t
s
q
n
Em P age uma força
 = 1500 kgf, aplicada uniformemente em uma área de 2 cm2, contida num plano cuja normal faz um ângulo q = 30° com a força.
Calcule s e t. 
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Exercício 1.2
Demonstrar que 
a
d/cos a = eixo maior da elipse de área DA
 (o eixo menor é d)
d = diâmetro do círculo de área DA1
DA1
a
a
n
DA
s
t
P
P
c.q.d.
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Exemplo 1.1 (adaptado da página 5 da Ref. 4)
Considere a figura do exercício 1.2. 
Se uma força de 50kN age como mostrado e o diâmetro da barra é 5cm, determine os valores das tensões normal e cisalhante que agem num plano cuja normal faça um ângulo de 30o com a direção de aplicação da força.
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Exercício 1.3
Traciono um cilindro de área da seção transversal unitária e seção circular.
A força aplicada é 20.000 kgf. 
Calcular s e t em planos que fazem ângulo de 10° a 90° (de 10 em 10°) com a seção transversal do cilindro.
Exercício 1.4
Considerando um sistema de eixos cartesianos s, t (s na abcissa e t na ordenada), usando a mesma escala para s e t nos dois eixos, fazer uma curva de t ´ s para os pontos do exercício 1.3; completar o exercício para ângulos a até 180°.
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Gráf2
		20000
		19396.9262078591
		17660.4444311898
		15000
		11736.4817766693
		8263.5182233307
		5000
		2339.5555688102
		603.0737921409
		0
		603.0737921409
		2339.5555688102
		5000
		8263.5182233307
		11736.4817766693
		15000
		17660.4444311898
		19396.9262078591
		20000
		19396.9262078591
		17660.4444311898
		15000
		11736.4817766693
		8263.5182233307
		5000
		2339.5555688102
		603.0737921409
		0
		603.0737921409
		2339.5555688102
		5000
		8263.5182233307
		11736.4817766693
		15000
		17660.4444311898
		19396.9262078591
		20000
sigma
tau
0
3420.2014332567
6427.8760968654
8660.2540378444
9848.0775301221
9848.0775301221
8660.2540378444
6427.8760968654
3420.2014332567
0
-3420.2014332567
-6427.8760968654
-8660.2540378444
-9848.0775301221
-9848.0775301221
-8660.2540378444
-6427.8760968654
-3420.2014332567
-0
3420.2014332567
6427.8760968654
8660.2540378444
9848.0775301221
9848.0775301221
8660.2540378444
6427.8760968654
3420.2014332567
0
-3420.2014332567
-6427.8760968654
-8660.2540378444
-9848.0775301221
-9848.0775301221
-8660.2540378444
-6427.8760968654
-3420.2014332567
-0
Plan1
		graus		radianos		sigma		tau
		0		0		20000		0
		10		0.1745329252		19396.9262078591		3420.2014332567
		20		0.3490658504		17660.4444311898		6427.8760968654
		30		0.5235987756		15000		8660.2540378444
		40		0.6981317008		11736.4817766693		9848.0775301221
		50		0.872664626		8263.5182233307		9848.0775301221
		60		1.0471975512		5000		8660.2540378444
		70		1.2217304764		2339.5555688102		6427.8760968654
		80		1.3962634016		603.0737921409		3420.2014332567
		90		1.5707963268		0		0
		100		1.745329252		603.0737921409		-3420.2014332567
		110		1.9198621772		2339.5555688102		-6427.8760968654
		120		2.0943951024		5000		-8660.2540378444
		130		2.2689280276		8263.5182233307		-9848.0775301221
		140		2.4434609528		11736.4817766693		-9848.0775301221
		150		2.617993878		15000		-8660.2540378444
		160		2.7925268032		17660.4444311898		-6427.8760968654
		170		2.9670597284		19396.9262078591		-3420.2014332567
		180		3.1415926536		20000		-0
		190		3.3161255788		19396.9262078591		3420.2014332567
		200		3.490658504		17660.4444311898		6427.8760968654
		2103.6651914292		15000		8660.2540378444
		220		3.8397243544		11736.4817766693		9848.0775301221
		230		4.0142572796		8263.5182233307		9848.0775301221
		240		4.1887902048		5000		8660.2540378444
		250		4.36332313		2339.5555688102		6427.8760968654
		260		4.5378560552		603.0737921409		3420.2014332567
		270		4.7123889804		0		0
		280		4.8869219056		603.0737921409		-3420.2014332567
		290		5.0614548308		2339.5555688102		-6427.8760968654
		300		5.235987756		5000		-8660.2540378444
		310		5.4105206812		8263.5182233307		-9848.0775301221
		320		5.5850536064		11736.4817766693		-9848.0775301221
		330		5.7595865316		15000		-8660.2540378444
		340		5.9341194568		17660.4444311898		-6427.8760968654
		350		6.108652382		19396.9262078591		-3420.2014332567
		360		6.2831853072		20000		-0
Plan1
		
sigma
tau
Plan2
		
Plan3
		
Plan1
		graus		radianos		sigma		tau
		0		0		20000		0
		10		0.1745329252		19396.9262078591		3420.2014332567
		20		0.3490658504		17660.4444311898		6427.8760968654
		30		0.5235987756		15000		8660.2540378444
		40		0.6981317008		11736.4817766693		9848.0775301221
		45		0.7853981634		10000		10000
		50		0.872664626		8263.5182233307		9848.0775301221
		60		1.0471975512		5000		8660.2540378444
		70		1.2217304764		2339.5555688102		6427.8760968654
		80		1.3962634016		603.0737921409		3420.2014332567
		90		1.5707963268		0		0
		100		1.745329252		603.0737921409		-3420.2014332567
		110		1.9198621772		2339.5555688102		-6427.8760968654
		120		2.0943951024		5000		-8660.2540378444
		130		2.2689280276		8263.5182233307		-9848.0775301221
		140		2.4434609528		11736.4817766693		-9848.0775301221
		150		2.617993878		15000		-8660.2540378444
		160		2.7925268032		17660.4444311898		-6427.8760968654
		170		2.9670597284		19396.9262078591		-3420.2014332567
		180		3.1415926536		20000		-0
		190		3.3161255788		19396.9262078591		3420.2014332567
		200		3.490658504		17660.4444311898		6427.8760968654
		210		3.6651914292		15000		8660.2540378444
		220		3.8397243544		11736.4817766693		9848.0775301221
		230		4.0142572796		8263.5182233307		9848.0775301221
		240		4.1887902048		5000		8660.2540378444
		250		4.36332313		2339.5555688102		6427.8760968654
		260		4.5378560552		603.0737921409		3420.2014332567
		270		4.7123889804		0		0
		280		4.8869219056		603.0737921409		-3420.2014332567
		290		5.0614548308		2339.5555688102		-6427.8760968654
		300		5.235987756		5000		-8660.2540378444
		310		5.4105206812		8263.5182233307		-9848.0775301221
		320		5.5850536064		11736.4817766693		-9848.0775301221
		330		5.7595865316		15000		-8660.2540378444
		340		5.9341194568		17660.4444311898		-6427.8760968654
		350		6.108652382		19396.9262078591		-3420.2014332567
		360		6.2831853072		20000		-0
Plan1
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
sigma
tau
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Plan2
		
Plan3
		
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Exercício 1.5
Considerando o desenho ao lado, 
mostrar que as coordenadas do
ponto P são dadas pelas equações:
s
t
s1
2a
P
s
t
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Exemplo 1.2 (Ref. 4)
Considere um estado de tensões em que sx = 10, sy = 5 e txy = 3, todos em ksi, e sz = txz = tyz = 0 . Calcule as magnitudes das tensões principais no plano x-y .
As raízes desta equação quadrática fornecem s1 = 11,4 ksi e s2 = 3,6 ksi
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Exemplo 1.3 (Ref. 4)
Repita o exemplo 1.2 mantendo todas as tensões iguais, exceto quanto a sz = 8, em vez de zero.
Como sz = 8 é uma tensão principal, pois as tensões cisalhantes no plano normal à direção z são nulas, uma das raízes da equação cúbica é conhecida.
A equação quadrática referente a este polinômio é idêntica à do exemplo 1.2 . Assim, as duas tensões principais restantes são novamente 11,4 e 3,6 ksi.
Este exemplo mostra que quando z é uma direção principal (não importando se sz é zero, de tração, ou de compressão), as tensões principais restantes são independentes de sz .
Basta, então, dividir o polinômio cúbico por sp – 8 e encontrar .
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Exercício 1.6
A partir do equilíbrio do triângulo, 
demonstrar que
e que
A
B
C
s1
s2
s
t
a
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Exercício 1.7
Dado um quadrado onde agem s1 = 20 kgf/mm2 e s2 = 4 kgf/mm2, calcular s e t em planos cujas normais fazem 30°, 45° e 80° com a direção de s1.
Exercício 1.8
Para o estado de tensões ao lado, 
				 calcular s1, s2, tmax e o ângulo que o plano onde atua s1 faz com Ox, empregando círculos de Mohr. Dados: 	sx = 1.000 psi
			sy = 4.000 psi
			t = 2.000 psi
sx
sy
0
x
y
t
t
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*
Plan1
														alfa		radianos		sigma		tau
														30		0.5235987756		16		6.9282032303
														45		0.7853981634		12		8
														80		1.3962634016		4.4824590337		2.7361611466
				sigma 1		20kgf/mm2
				sigma 2		4kgf/mm2
Plan2
		
Plan3
		
(
)
(
)
a
-
+
+
=
2
cos
σ
σ
2
1
σ
σ
2
1
σ
2
1
2
1
2cosσσ
2
1
σσ
2
1
σ
2121
(
)
a
-
=
2
sen
σ
σ
2
1
τ
2
1
2senσσ
2
1
τ
21
MBD000A961F.unknown
MBD000A9621.unknown
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s1
s2
tmax
x
y
2a
a = 116,57°
s1 = 5000 psi
s2 = 0
tmax = 2500 psi
4000
1000
s
t
-2000
2000
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*
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Exercício 1.9
Calcule tmax para os estados de tensão a seguir:
a) s1 = 10.000 psi ; s2 = 4.000 psi ; s3 = 1.000 psi
b) s1 = 10 kgf/mm2 ; s2 = 2 kgf/mm2 ; s3 = -8 kgf/mm2 
c) s1 = -80 MPa ; s2 = -150 MPa ; s3 = -200 MPa
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*
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Exercício 1.10
b) s3 = -60 psi
c) s1 = 10 kgf/mm2
	 s2 = -10 kgf/mm2
	 s3 = -50 kgf/mm2 
a) 	s1 = 20 Mpa
	s3 = -60 MPa
Para cada caso a seguir, desenhe círculos de Mohr e determine tmax e s no plano onde atua tmax (tensões não fornecidas são nulas) 
s = -20 MPa
tmax = 40 Mpa
s = -30 psi
tmax = 30 psi
s = -20 kgf/mm2
tmax = 30 kgf/mm2
s
t
tmax
s
t
tmax
tmax
t
s
s1
s3
s2
s1
s3
s2
s1
s3
s2
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Exemplo 1.5 (ref. 4)
Para o estado de tensões do exemplo 1.2, determine as tensões prin-cipais e a tensão de cisalhamento máxima, por meio da construção em escala de círculos de Mohr para três dimensões.
s1 = 11,4
sz = 0
tmax = 5,7
y
x
sx = 10 ksi
sy = 5 ksi
txy = 3 ksi
sz = 0
txz = tyz = 0
s2 = 3,6
s3 = 0
s
t
-3
3
5
10
sz = 0 é uma tensão principal
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Exercício 1.11
Um arame de comprimento inicial 200,0 mm é estirado de 20 mm; após esta operação, sofre outro estiramento adicional de 50 mm, obtendo-se um valor total de 70 mm. Calcular e e e para cada etapa de deformação, a sua soma, e comparar esta soma com os valores obtidos para a deformação total.
Exercício 1.12
Considerando um pequeno quadrado em torno do ponto P, com um de seus lados inicialmente na horizontal, desenhar sua forma final após as seguintes deformações angulares:
	a) q1 = 0,1 ; q2 = 0,1		c) q1 = 0,1 ; q2 = -0,1
	b) q1 = 0,2 ; q2 = 0		d) q1 = -0,1 ; q2 = -0,1
Calcular g em cada caso, comparando seuvalor com as formas finais encontradas.
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Exercício 1.13
Quando o volume de um corpo não é alterado pela deformação, tal deformação é dita plástica e tem-se D = 0 ; para este caso, já se de-monstrou que e1 + e2 + e3 ≈ 0 (válido para deformações pequenas).
Provar que, para deformação plástica, e1 + e2 + e3 é sempre nulo. 
Exemplo 1.6 (ref. 4)
	Uma barra de comprimento lo é esticada uniformemente até que seu comprimento se torne l = 2 lo . Calcule os valores da defor-mação convencional e da deformação verdadeira para este caso.
	Até qual comprimento final, l , uma barra de comprimento inicial lo precisa ser comprimida (sem atrito) para que as deformações sejam as mesmas do item (a)? (exceto pelo sinal, evidentemente).
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*
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Exemplo 1.7 (adaptado da ref. 4)
Uma barra de 250 mm de comprimento inicial é alongada até um comprimento de 500 mm por laminação em três estágios:
	estágio 1: 250 mm aumentaram para 300 mm
	estágio 2: 300 mm aumentaram para 375 mm
	estágio 3: 375 mm aumentaram para 500 mm
a) Calcule a deformação convencional total e compare-a com a soma das deformações convencionais de cada estágio.
b) Repita o mesmo cálculo com deformações verdadeiras.
Exemplo 1.8 (adaptado da ref. 4)
Um bloco de dimensões iniciais lo, wo, to é deformado até as novas dimensões l, w, t .
a) Expresse a deformação volumétrica verdadeira (ou logarítmica), ln(v/vo) em termos das deformações verdadeiras dos lados do bloco.
b) Repita o raciocínio feito no item 1.11 da ref. 3 , substituindo a definição de deformação volumétrica convencional (D) pela verda-deira (ou logarítmica). Compare com o obtido no exercício 1.13.
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*
A
F
 
T
r
r
=
5
F
r
1
F
r
2
F
r
3
F
r
6
F
r
7
F
r
4
F
r
F
r
F
r
A
F
D
q
D
=
cos
r
s
A
F
D
q
D
=
t
sen
r
A
F
T
D
D
=
r
r
F
r
D
2
2
A
F
T
D
D
=
r
r
1
1
A
F
T
D
D
=
r
r
F
r
D
1
1
1
T
A
F
T
=
D
D
=
r
r
\
D
D
=
1
1
A
F
T
r
r
0
τ
,
A
F
σ
 
,
 
0
α
Para
1
1
1
=
D
D
=
=
r
α
 
cos
A
A
,
A
F
T
 
1
D
=
D
D
D
=
r
r
α
cos
A
F
cos
α
A
α
cos
F
A
α
cos
F
σ
2
1
1
D
D
=
D
D
=
D
D
=
r
r
r
(
)
a
+
=
=
2
cos
1
2
σ
α
cos
σ
σ
1
2
1
α
cos
α
sen
A
F
cos
α
A
sen
α
F
A
sen
α
F
τ
1
1
D
D
=
D
D
=
D
D
=
r
r
r
a
=
=
2
sen
2
σ
α
cos
α
sen
σ
τ
1
1
0
τ
,
0
α
,
σ
A
F
1
1
1
=
=
=
D
D
r
F
r
D
zz
yz
xz
zy
yy
xy
zx
yx
xx
ij
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
=
z
yz
xz
yz
y
xy
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xy
x
ij
s
t
t
t
s
t
t
t
s
s
=
0
3
2
2
1
3
=
-
-
-
I
I
I
p
p
p
s
s
s
2
2
2
3
2
2
2
2
1
2
xy
z
zx
y
yz
x
zx
yz
xy
z
y
x
x
z
z
y
y
x
xz
yz
xy
z
y
x
I
I
I
t
s
t
s
t
s
t
t
t
s
s
s
s
s
s
s
s
s
t
t
t
s
s
s
-
-
-
+
=
-
-
-
+
+
=
+
+
=
(
)
sen2
α
σ
σ
2
1
2
1
-
=
(
)
cos2
α
σ
σ
2
1
2
1
-
(
)
(
)
a
-
+
+
=
2
cos
σ
σ
2
1
σ
σ
2
1
σ
2
1
2
1
(
)
a
-
=
2
sen
σ
σ
2
1
τ
2
1
(
)
2
1
σ
σ
2
1
+
2
3
1
max
s
-
s
=
t
2
3
1
s
-
s
=
t
2
1
s
=
t
2
3
s
=
t
o
e
l
l
D
=
%
100
e
o
´
D
=
l
l
o
2
e
l
l
D
=
'
l
l
l
l
l
D
+
D
+
D
o
o
å
=
=
@
-
+
×
×
×
+
+
+
+
+
f
o
f
o
o
o
2
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
d
d
d
d
d
d
d
d
ò
=
=
e
f
o
o
f
l
l
l
l
l
l
ln
d
(
)
e
1
+
=
e
ln
2
1
2
1
tg
θ
tg
θ
h
b
h
a
γ
+
=
+
=
2
θ
θ
2
γ
2
1
+
=
zz
yz
xz
zy
yy
xy
zx
yx
xx
ij
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
=
z
y
x
ij
e
e
e
e
yz
xz
yz
xy
xz
xy
2
γ
2
γ
2
γ
2
γ
2
γ
2
γ
=
2
γ
xy
yx
xy
e
e
=
=
o
o
f
V
V
V
Δ
-
=
3
2
1
e
e
e
Δ
+
+
=
2
cm
2
0
cos
 
.
 
kgf
1500
°
3
=
2
cm
kgf
650
@
2
cm
2
0
sen
 
.
 
kgf
1500
°
3
=
2
cm
kgf
375
=
F
r
D
α
 
cos
A
A
1
D
=
D
4
α
 
cos
d
d.
 
π
A
=
D
4
d
 
π
A
2
1
=
D
α
 
cos
1
4
d
 
π
4
α
 
cos
d
d.
 
π
A
A
2
1
=
=
D
D
\
α
 
cos
A
A
1
D
=
D
\
α
cos
A
F
cos
α
A
α
cos
F
A
α
cos
F
σ
2
1
1
D
D
=
D
D
=
D
D
=
r
r
r
(
)
MPa
m
kN
1
,
19
30
cos
05
,
0
50
4
2
2
=
×
×
´
=
o
p
(
)
MPa
m
kN
0
,
11
30
cos
30
sen
05
,
0
50
4
2
=
×
×
×
´
=
o
o
p
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
0500010000150002000025000
sigma
tau
grausradianossigmatau
00200000
100,17453319396,933420,201
200,34906617660,446427,876
300,523599150008660,254
400,69813211736,489848,078
450,7853981000010000
500,8726658263,5189848,078
601,04719850008660,254
701,221732339,5566427,876
801,396263603,07383420,201
901,57079600
0
0
0
0
0
0
2
41
0
0
50
0
0
9
15
0
5
10
2
2
2
3
2
2
2
2
1
=
-
-
-
+
=
-
-
-
+
=
-
=
-
-
-
+
+
=
-
-
-
+
+
=
=
+
+
=
+
+
=
xy
z
zx
y
yz
x
zx
yz
xy
z
y
x
x
z
z
y
y
x
xz
yz
xy
z
y
x
I
I
I
t
s
t
s
t
s
t
t
t
s
s
s
s
s
s
s
s
s
t
t
t
s
s
s
0
41
15
0
41
15
0
2
2
3
3
2
2
1
3
=
+
-
Þ
=
+
-
Þ
=
-
-
-
p
p
p
p
p
p
p
p
I
I
I
s
s
s
s
s
s
s
s
328
72
0
0
0
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2
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80
40
50
0
0
9
23
8
5
10
2
2
2
3
2
2
2
2
1
=
-
-
-
+
=
-
-
-
+
=
-
=
-
-
-
+
+
=
-
-
-
+
+
=
=
+
+
=
+
+
=
xy
z
zx
y
yz
x
zx
yz
xy
z
y
x
x
z
z
y
y
x
xz
yz
xy
z
y
x
I
I
I
t
s
t
s
t
s
t
t
t
s
s
s
s
s
s
s
s
s
t
t
t
s
s
s
0
328
161
23
0
2
3
3
2
2
1
3
=
-
+
-
Þ
=
-
-
-
p
p
p
p
p
p
I
I
I
s
s
s
s
s
s
41
15
2
+
-
p
p
s
s
alfaradianossigmatau
300,523599166,928203
450,785398128
801,3962634,4824592,736161
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
°
=
a
1500
2000
180
2
arctg
psi
500
.
4
2
000
.
1
000
.
10
2
3
1
max
=
-
=
s
-
s
=
t
(
)
2
3
1
max
kgf/mm
9
2
8
10
2
=
-
-
=
s
-
s
=
t
(
)
MPa
60
2
200
80
2
3
1
max
=
-
-
-
=
s
-
s
=
t