Lista de Vetores no Plano

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Universidade do Estado da Bahia UNEB
DCET II – Alagoinhas – BA
Disciplina – GA e AL
Prof. Carlos Queiroz
VETORES NO PLANO
1)Determine em cada caso o ponto D, tal que CD AB, onde A = (-1, -1) e 
B = (2, 
2
1
). Faça também a construção dos segmentos orientados no plano cartesiano.
a) C=(1, -1) b) C=(1, 2) d) C= (0, 
2
-
) e) C= (
3
 
,
2
-
) 
2)Dados os vetores u = (-1, 3) v = (2, -1) e w =(- 1, 1). Calcule as operações.
a) 2u – 3v + w
b) 10u + v -3 w
c) 
w
v
u
5
3
2
2
1
+
-
d) 
w
v
u
5
2
3
2
2
1
+
-
-
3)Determine as coordenadas do ponto P, tal que D=(
AB
OP
=
), onde:
a) A=(1, -1), B=(3, 4) b) A=(
2
1
 
,
2
3
-
), B=(
4
5
 
,
3
4
) c) A=(
2
1
 
,
2
3
), B=(
2
3
-
 
,
2
1
-
)
4)Determine se os vetores AB = CD, onde:
a)A=(1, 1), B=(2, 0), C=(-1, -1), D=(0, -2) 
b)A=(1, 1), B=(2, 0), C=(1, -1), D=(0, 0)
c)A=(-2, -1), B=(
1
 
,
2
1
), C=(
1
 
-
 
,
2
1
-
), D=(-1, 1)
5)Determine os vértices C e D do paralelogramo ABDC, sabendo que A=(1, 1), B=(3,2) e as diagonais AD e BC se cortam no ponto M=(4, 2).
6) Sejam P=(1,0), Q=(2, 4)e R=(3, 3) pontos do plano. Determine o ponto S do plano de modo que P, Q, R e S sejam vértices de um paralelogramo.
7) Localize os pontos A=(1, 1), B=(-3,0), C=(4,1), D=(2, -3), E=(3, -2) e F=(-4, -3) no plano cartesiano e efetue os seguintes cálculos:
a) AB+AC+AD
b)2(BC-EC)+3EF -2AD
c)AB+BC+CD+DE+EA
d)AB+BC+CD+DE+EF+FA
e) 
4
1
AB +
4
1
AC+
4
1
AD+
4
1
AE
f) AB - (AC+2CD)+ED-(EB-DC)
8)A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes. São verdadeiras ou falsas as afirmações que seguem?
ED
DE
e
MC
BL
d
OP
BC
c
PH
AM
b
OF
AB
a
-
=
-
=
=
=
=
)
)
)
)
)
 
FG
AJ
j
LD
JO
i
HI
AC
h
FI
KN
g
MG
AO
f
//
)
//
)
//
)
)
)
=
=
 
AM
PN
o
NB
PN
n
EC
PE
m
BL
AM
l
EG
AB
k
^
^
^
^
^
)
)
)
)
)
 
|
|
|
|
)
2
)
|
|
|
|
)
)
|
|
|
|
)
BL
AM
t
NP
AO
s
AC
AJ
r
MF
IF
q
FP
AC
p
=
=
=
=
=
9) A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo:
BC
AF
d
CG
AB
c
HG
AB
b
BF
DH
a
^
^
-
=
=
)
)
)
)
 
coplanares
são
BC
AB
h
ED
BG
g
DF
AG
f
HF
AC
e
 
CG 
 
e
 
,
)
//
)
|
|
|
|
)
)
=
=
coplanares
são
FG
AB
i
 
EG 
 
e
 
,
)
 EMBED Equation.3 coplanares
são
CB
EG
j
 
 
HF
 
e
 
,
)
coplanares
são
DB
AC
k
 
FG 
 
e
 
,
)
 EMBED Equation.3 coplanares
são
BG
AB
l
 
 
CF
 
e
 
,
)
coplanares
são
DC
AB
m
 
 
CF
 
e
 
,
)
 EMBED Equation.3 ABC
 
plano
 
ao
 
ortogonal
 
é
 
)
AE
n
BCG
 
plano
 
ao
 
ortogonal
 
é
 
)
AB
o
 EMBED Equation.3 HEF.
 
plano
 
ao
 
paralelo
 
é
 
)
DC
p
10) A figura abaixo representa um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O, o ponto de interseção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
D
H
O
H
e
B
O
O
C
d
HG
DO
c
CH
AF
b
OG
EO
a
-
=
-
-
=
-
=
=
=
)
)
)
)
)
 
HG
GF
j
CD
AF
i
DB
OA
h
BD
AC
g
C
O
E
H
f
//
)
//
)
2
1
)
)
)
=
=
-
=
-
 
FE
OB
o
HF
AO
n
CB
EO
m
OH
AB
l
OC
AO
k
-
=
^
^
^
)
)
)
)
//
)
11) Determine as somas que se pedem:
GC
FG
EF
AE
)
e
BH
BG
FG
EF
HE
)
d
BC
BG
BF
)
c
BF
DB
ED
)
b
AG
HB
GC
DH
CD
AD
)
a
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
RESP: 
AC
e)
 
BG
d)2
 
BG
c)2
 
EF
b)
 
AC
)
a
12)Dados os pontos A =(1,-1), B=(2, 1), C’ = (0, -1) e C= (-1, -3) verifique se o quadrilátero ABC´C é um paralelogramo.
13) Dados A(–1,–1) e B(3,5), determinar C, tal que 
a)
AB
2
1
AC
=
 b)
B
A
3
2
C
A
r
r
=
. RESP:a) x = 1 e y = 2 b) 
3
5
x
=
 e y
14) Dados os vetores 
a
r
=( 2,–1 ) e 
b
r
=( 1,3) , determinar um vetor 
x
r
, tal que:
 a) 
[
]
2
x
a
b
)
a
x
(
2
2
1
x
3
2
r
r
r
r
r
r
+
=
-
+
+
 b) 
2
a
x
b
3
1
x
2
a
4
r
r
r
r
r
+
-
=
-
RESP: a) 
x
r
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
7
12
,
7
3
 b)
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
9
33
,
9
52
x
r
15) No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(–2,3) e C(0,5):
 a) determinar a natureza do triângulo;
 b) calcular o comprimento da mediana AM. Sendo M o ponto médio do lado BC.
RESP: a) isósceles b) ((
M
A
r
((= 
2
2
16) Quais são as coordenadas do ponto P”, simétrico do ponto P = (1; 3) em relação ao ponto M = (-1; 2)? 
17) Encontre x e y tal que xv + yu = w, sendo que v = (2: -1) u = (-1, 2) e 
w = ( 2; -5) . Os vetores são u, v e w.
18) Determine o vetor 
v
v
=(x,y), tal que : (
v
v
+
a
r
) ((
b
r
 e (
v
v
+
c
r
) ((
d
r
, sendo dados os vetores 
a
r
=(1, –2), 
b
r
=(3, –1), 
c
r
=(2, -1) e 
d
r
=(1, –3).
19) Determine os versores do vetor v=(2, 4).
20) Sejam os vetores a e b de módulos
3
 e 1, e ortogonais entre si. Sendo m = a + b, determine o módulo do vetor R = m + b. resp 
7
21)Determine os valores de a para que o vetor 
u
®
= (a, -2) tenha módulo 4.
22) Determine os valores de a para que o vetor 
u
®
= (a, -1/2) seja unitário.
23) Determine BA em função de u , sabendo que A - u = B + u . Resp: BA = 2u
24) Provar que os pontos A(-2, -1), B(2, 2), C(-1, 6) e D(-5, 3) nesta ordem, são os vértices de um quadrado.
25) Encontrar um ponto P no eixo x de modo que a sua distância ao ponto 
A(2, -3) seja igual a 5.
26) Encontrar um ponto P no eixo y de modo que a sua distância ao ponto 
A(2, -3) seja igual a 5.
27)Sejam A = (1; 2), B = (3; 1) e C = (4; 0). Determine as coordenadas do
Vetor 
®
®
=
AB
 
 
v
 e as coordenadas do ponto D tal que
®
®
=
CD
 
 
v
 .
28) Sejam A = (0; 1) e B = (1; 0). Determinemos os representantes CD, CD’ e
CD’’ dos vetores 
®
®
®
AB
2
 
e
 
AB
 
2
-
 
,
AB
, respectivamente, com origem no ponto C = (1; 1). Resp. D = (2; 0), D’ = (-1; 3) e D’’ = (3;-1). 
29)Dados os vetores u = (1, 1) e v = (−1, −1), existem escalares α, β ∈ R tais que αu + βv = (1, 0)? Justifique sua resposta.
30) Sejam u = (2, −7), v = (1, 6) e w = (√ 3, −π) vetores do plano. Calcule os seguintes vetores: 
a) u + 2v; b) u + v − w; c) 3u − 1 πw; d) 2u − 3v + (0, 3).
31) Determine se o triangulo cujos vértices são os pontos (−2, −3), (5, 1) e (−2, 5) é equilátero, isósceles ou escaleno.
32) Prove que se 
®
®
=
v
 
 
b
a
v
 , se v
®
®
¹
0
 
 
v
, então . 
b
a
 
 
=
.
33)Prove que 
®
®
®
=
AC
BA
 
-
 
BC
 
.
34) Prove que se
®
®
®
=
+
BC
AC
 
 
AB
 
então A = B.
� EMBED Equation.3 ���
�
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