Álgebra Linear: Produto Interno

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Lista 4 - Álgebra Linear
Produto interno
3◦ quadrimestre de 2014 - Professores Mauŕıcio Richartz e Vladislav Kupriyanov
Leitura recomendada: seções 8.1 - 8.5 do Boldrini e seções 1.11 - 1.15 do Apostol.
1 — Determine se 〈u,v〉 é ou não produto interno para o espaço vetorial V em questão. Em
caso negativo, explicite quais dos axiomas que definem um produto interno não são satisfeitos [obs:
u = (u1, . . . , un) e v = (v1, . . . , vn)].
a) V = R3, 〈u,v〉 = 2u1v1 + 3u2v2 + u3v3.
b) V = R4, 〈u,v〉 = u1v1 + u2v2 + u3v3 − u4v4.
c) V = R2, 〈u,v〉 = 2u1v1 − u1v2 − u2v1 + u2v2.
d) V = R2, 〈u,v〉 = (u1v1)2 + (u2v2)2.
e) V = {funções cont́ınuas em[0, 1]}, 〈f, g〉 =
∫1
0 f(x)g(x)dx
2 — Seja V = R3 com o produto interno usual.
a) Encontre todos os vetores de norma igual a 2 que são ortogonais simultaneamente a (2, 1, 2) e
(−1, 3, 4).
b) Determine os valores de k para os quais os vetores (1 + k, 2, 3) e (3, k − 1, 0) são ortogonais.
Qual a norma de cada vetor nesse caso?
c) Determine os valores de α, β, γ para que os vetores (1, α, 1), (β, 2, 2) e (3, 3, γ) formem uma
base ortogonal de R3.
3 — Utilizando o processo de Gram-Schmidt, encontre uma base ortonormal do espaço em questão
a partir da base dada (considere o produto interno usual):
a) V = R2, β = {(1, 2), (2, 1)}.
b) V = R3, β = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 2, 0)}.
c) V = R3, β = {(1, 1, 1), (1,−1, 1), (1, 0, 1)}.
4 — No espaço dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2, considere o produto interno dado
por
〈f, g〉 =
∫ 1
0
f(x)g(x)dx.
a) Determine α para que os polinômios αx2 + 1 e x sejam ortogonais.
b) Prove que as as funções f0(x) = 1 f1(x) = 2x − 1 f2(x) = 6x
2 − 6x + 1 formam uma base
ortogonal para o espaço. Obtenha, a partir dessa base, uma base ortonormal.
c) Encontre as coordenadas do polinômio g(x) = x2 na base ortonormal obtida acima através dos
coeficientes de Fourier. Qual a norma desse polinômio?
5 — No espaço das matrizes 2 × 2 reais, é posśıvel mostrar que 〈A,B〉 = Tr(ABt) é um produto
interno (os śımbolos Tr e t representam, respectivamente, o traço e a transposta da matriz).
a) Encontre todas as matrizes que são ortogonais simultaneamente a
[
1 −1
0 0
]
,
[
1 0
0 −1
]
e
[
2 1
1 2
]
b) Utilizando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt, construa uma base ortonormal para
esse espaço partindo da base
{[
1 0
0 1
]
,
[
1 1
0 0
]
,
[
1 0
1 1
]
,
[
1 1
1 1
]}
.
c) Encontre as coordenadas da matriz
[
1 2
3 4
]
na base obtida no item b) calculando os coeficientes
de Fourier. Qual a norma da matriz
[
1 2
3 4
]
?
6 — Dado S o subespaço de R3 definido como S = {(x, y, z)|x− y+ z = 0}
a) Determine uma base ortonormal (em relação ao produto interno usual) para esse subespaço de
R3.
b) Determine S⊥ (em relação ao produto interno usual).
c) Escreva o vetor (−2, 3, 1) como uma soma de dois vetores, sendo um deles pertencente a S e o
outro pertencente a S⊥.
7 — Considere o espaço vetorial R4 munido do produto interno usual. Seja U o subespaço gerado
pelos elementos u1 = (1,−1, 1, 1) e u2 = (1, 2, 0, 1).
a) Determine uma base para o subespaço U⊥.
b) Escreva o vetor (2, 1, 1,−1) como uma soma de dois vetores, sendo um deles pertencente a U e
o outro pertencente a U⊥.
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