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Lista 8 - Álgebra Linear
Autovalores, autovetores e diagonalização
3◦ quadrimestre de 2014 - Professores Mauŕıcio Richartz e Vladislav Kupriyanov
obs: a letra grega α denota a base canônica do espaço em questão e β denota uma base
de autovetores.
1. (a) λ1 = 1+
√
2, λ2 = 1−
√
2. v1 = (1,
√
2), v2 = (1,−
√
2). (b) λ1 = −3, λ2 = 1. v1 = (0, 1,−1),
v2 = (−4,−1, 1). (c)λ1 = 1, λ2 = −1. v1 = 1 + x, v
′
1 = x
2, v2 = 1 − x. (d) λ = 0. v = 1. (e)
λ1 = 1, λ2 = −1. v1 =
[
1 0
0 0
]
, v ′1 =
[
0 0
0 1
]
, v ′′1 =
[
0 1
1 0
]
, v2 =
[
0 1
−1 0
]
.
2. (a) λ1 = 1, λ2 = −1. v1 = (1, 0), v2 = (1,−1). (b) λ1 = 2, λ2 = 0. v1 = (1, 1), v2 = (1,−1).
(c) λ1 = 6, λ2 = −4. v1 = (3, 1), v2 = (1,−3). (d) λ = 1. v = (1, 0, 0). (e) λ1 = 4, λ2 = −2.
v1 = (1, 1, 0), v
′
1 = (−1, 0, 1), v2 = (1, 0, 1). (f) λ1 = −3, λ2 = 9. v1 = (2, 1, 0), v
′
1 = (−7, 0, 1),
v2 = (1, 1, 1).
3. 1a,1c,1e, 2a, 2b, 2c, 2e, 2f são diagonalizáveis pois possuem uma base de autovetores. A matriz
M, em cada caso, é a matriz mudança de base da base de autovetores para a base canônica (as
colunas da matriz M são os autovetores). A matriz diagonal M−1AM é a matriz que tem na
diagonal principal os autovalores da transformação.
4. (a) [I]βα =
[
1+
√
2 1
1 −1−
√
2
]
, [T ]ββ =
[√
2 0
0 −
√
2
]
. (b) [I]βα =
[
1 1 5
0 3 1
0 −3 1
]
, [T ]ββ =
[
2 0 0
0 −1 0
0 0 3
]
. (c) Não
é diagonalizável: λ1 = 3, λ2 = 4; v1 = (1, 0, 0, 0), v
′
1 = (0, 0, 0, 1), v2 = (0, 0, 1, 0). (d)
[I]βα =
[
1 1 1
−1 1 1
0 −1 2
]
, [T ]ββ =
[
1 0 0
0 0 0
0 0 3
]
. (e) Não é diagonalizável: λ1 = 1, λ2 = 0, λ3 = 3; v1 =
(1, 0, 0, 0), v2 = (0, 0, 1,−2), v3 = (0, 0, 1, 1). (f) Não é diagonalizável: λ = 1, v = 1. (g) Não é
diagonalizável: λ = 0, v = 1.
5. (a) λ1 = 14, λ2 = 1. Autovalores distintos ⇒ é diagonalizável em C. (b) λ1 = 2 + i√3,
λ2 = 2 + i
√
3. Autovalores distintos ⇒ é diagonalizável em C. (c) λ1 = 3, λ2 = 2 (mult.
algébrica = 2). Apenas um autovetor LI (1, 0, 0) associado a λ2 = 2 ⇒ não é diagonalizável em
C. (d) matriz triangular superior ⇒ autovalores são 0, −2, π, √3, −1, 7 ⇒ todos distintos ⇒ é
diagonalizável em C.
6. (a) λ1 = 1, λ2 = −1 (mult. algébrica = 2). Dois autovetores LI ((1, 0, 1) e (0, 1, 1) ) associado a
λ2 = 2 ⇒ é diagonalizável em R. (b) λ1 = 1, λ2 = 2 (mult. algébrica = 2). Dois autovetores LI
((0, 1, 0) e (0, 0, 1) ) associado a λ2 = 2 ⇒ é diagonalizável em R. (c) λ1 = 3, λ2 = i, λ3 = −i.
Autovalores complexos ⇒ não é diagonalizável em R. (d) Matriz simétrica ⇒ é diagonalizável
em R.
7. (a) A−1 =
[
−1/2 1
1/2 0
]
. (b) Autovalores de A: −1 e 2. Autovalores de A−1: −1 e 1/2 (são os inversos
dos autovalores de A). (c) Use a definição de autovalor/autovetor para fazer a demonstração.
8. (a) M =

1√
2
1√
3
1√
6
0 1√
3
− 2√
6
1√
2
− 1√
3
− 1√
6
, com MtAM =
 3 0 00 3 0
0 0 −9
.
(b) [obs: bastante conta]M =

1√
3
1
2 +
1
2
√
3
1
2 −
1
2
√
3
− 1√
3
1√
3
− 1√
3
− 1√
3
1
2 −
1
2
√
3
1
2 −
1
2
√
3
, comMtAM =
 1 0 00 1+√3 0
0 0 1−
√
3
.
9. (a) An =
[
9.6n + (−4)n 3.6n − 3.(−4)n
3.6n − 3.(−4)n 6n + 9.(−4)n
]
. (b) An =
[
10n−1 3.10n−1
3.10n−1 9.10n−1
]
.
(c) An = 12
[
1+ 3−n 1− 3−n
1− 3−n 1+ 3−n
]
. (d) An =
 3n 0 00 (−1)n2 0
0 0 (−1)
n
2

10. (a) polinômio: λ2 − (a + d)λ + (ad − bc). (b) se (a − d)2 + 4bc > 0, os autovalores são reais e
distintos e, portanto, a transformação é diagonalizável em R. Se a = d, b = c = 0, os autovalores
são iguais mas existe uma base de autovetores e, portanto, a transformação é diagonalizável.
Para todos os outros casos não é diagonalizável em R. (c) Nesse caso, autovalores complexos são
posśıveis e, portanto, a transformação só não é diagonalizável se (a−d)2+ 4bc = 0, com a 6= d.
11. (a) Comece com a definição de autovalor/autovetor [T(v) = λv] e aplique a transformação
sucessivas vezes para mostrar que Tn(v) = λnv = 0 e concluir que λ = 0. (b) qualquer matriz
da forma
[
±
√
bc b
c ∓
√
bc
]
, por exemplo
[
2 −1
4 −2
]
. (c) Suponha, por absurdo, que existe uma base
{v1, ...vn} de autovetores. Como os autovalores são todos nulos, então T(v1) = ... = T(vn) = 0.
Use isso para concluir que T(v) = 0 para qualquer v.
12. (a) Comece com a definição de autovalor/autovetor [T(v) = λv] e, portanto, T 2(v) = T(v) ⇒
λ2v = λv. Conclua que λ = 0 ou λ = 1. (b) qualquer matriz da forma
[
a b
a(1−a)/b 1−a
]
ou[
0 0
c 1
]
(existem outras possibilidades). Por exemplo,
[
5 10
−2 −4
]
(c) (Dif́ıcil) Seja T um operador
idempotente. Junte uma base da imagem de T com uma base do núcleo de T e, através do
teorema do núcleo-imagem, mostre que esse conjunto de vetores é uma base de autovetores do
espaço. (dica: qualquer vetor v pode ser escrito como v = T(v) + (v − T(v))).
13. (a) x(t) = 3C1e
6t + C2e
−4t, y(t) = C1e
6t − 3C2e
−4t. (b) x(t) = C1e
t + 3C2e
−t, y(t) = C1e
t +
5C2e
−t.
14. (a) obs: a matriz que aparece é a mesma do exerćıcio 8a:
(
x ′
3
)2
+
(
y ′
9
)2
−
(
z ′√
3
)
= 1; hiperbolóide
circular de uma folha. (b) obs: a matriz que aparece é a mesma do exerćıcio 8b: x
′2
4 +
1+
√
3
4 y
′2+
1−
√
3
4 z
′2 = 1; hiperbolóide eĺıptico de uma folha. (c) 34x
′2+ y
′2
4 = 1 (elipse), base do novo sistema
de coordenadas é { 1√
2
(1, 1), 1√
2
(1,−1)}. (d) 928
(
x ′ − 43
)2
+ 328y
′2 = 1 (elipse), base do novo sistema
de coordenadas é { 1√
2
(1, 1), 1√
2
(1,−1)}.
2