Cálculo I

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MATERIAL DIDÁTICO 
 
CÁLCULO I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
U N I V E R S I DA D E
CANDIDO MENDES
 
CREDENCIADA JUNTO AO MEC PELA 
PORTARIA Nº 1.282 DO DIA 26/10/2010 
 
Impressão 
e 
Editoração 
 
0800 283 8380 
 
www.ucamprominas.com.br 
 
2 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 3 
UNIDADE 1 – LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES ................................ 11 
UNIDADE 2 – A DERIVADA ................................................................................ 29 
REFERÊNCIAS .................................................................................................... 76 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
INTRODUÇÃO 
 
Vamos iniciar a disposição teórica de uma das disciplinas mais importantes 
que compõem a sua matriz curricular, que é a disciplina de Cálculo I, ou seja, uma 
disciplina em que estaremos estudando as definições, resultados e métodos do 
Cálculo Diferencial e Integral de uma função y = f(x). Ou seja, aqui teremos as 
apresentações de forma intuitiva e bem informal, talvez com nenhum rigor 
matemático em demonstrações de resultados. Didaticamente falando, poderíamos 
dizer que isto está correto, já que pela própria natureza dos temas discutidos, os 
mesmos tiveram o seu desenvolvimento a partir do século XVII até 
aproximadamente 1820 de maneira intuitiva e, baseados na informalidade. 
Em verdade, de acordo com Guidorizzi (2003), as ideias referentes ao 
Cálculo Diferencial e Integral já faziam parte dos estudos de Arquimedes (287-212 
a.C.), já que o mesmo já praticava cálculos envolvendo áreas de figuras planas e 
volumes de superfícies. Entretanto, de acordo com Boulos (2006), é interessante 
salientar que o Cálculo Diferencial e Integral não se desenvolveu na antiguidade, 
ficou esperando mais de dezoito séculos para desabrochar por inteiro, o que só 
aconteceu nos tempos modernos. Foi se desenvolvendo aos poucos durante todo 
o século XVII e, foi só no final daquele século que o Teorema Fundamental do 
Cálculo foi claramente reconhecido como elemento importante de ligação entre a 
noção de derivada e a noção de integral. 
 
Figura 01: A caminhada do Cálculo Diferencial e Integral no século XVII. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
4 
 
Cabe ressaltar que um dos motivos primordiais para o não 
desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral com Arquimedes e sucessores 
imediatos foi na exclusão da noção do infinito, idealizada por matemáticos gregos. 
Segundo Boulos (2006), contornava a situação com o complicado método de 
“dupla redução ao absurdo”, graças ao qual conseguia provar seus resultados. 
Mas como descobria esses resultados? Muito provavelmente ele se valia de 
passagens ao limite. Em outras oportunidades recorria a raciocínios físicos, que 
eram seguidos de demonstrações rigorosas. 
 
 
Figura 02: Arquimedes e o medo do “infinito”. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
 
 Falando da Matemática na Grécia, a sua principal característica era 
precisamente essa insistência no rigor e no cuidado em não utilizar o conceito do 
infinito, pelas contradições que podia acarretar. Como vários abalizados 
historiadores da ciência já observaram, esse traço do pensamento grego foi a 
causa principal que levou a Matemática da época a uma completa estagnação. 
De fato, a descoberta dos incomensuráveis no século V a.C. marcou a primeira 
crise de fundamentos, pois foi interpretada como significado morte certa do ideal 
pitagórico de tudo explicar no mundo dos fenômenos em termos do número. 
 
5 
 
 
Figura 03: A Matemática da Grécia. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
 Certamente seria assim desde que por “número” se entendesse apenas os 
números naturais. Tivessem eles alargado o conceito de número, incorporando as 
frações e os irracionais, e tudo prosseguira muito bem, com o próprio ideal 
pitagórico enriquecido em sua interpretação, em vez de descartado. Mas não, 
dentro daquela orientação excessivamente rigorosa, os gregos encontraram uma 
saída para a crise na teoria das proporções de Eudoxo (séc. IV a.C.). Essa teoria, 
descrita no Livro V dos Elementos de Euclides, é realmente genial, mas acabou 
enveredando a Matemática grega para um caminho excessivamente geométrico. 
 Segundo Guidorizzi (2003), o fato de a Matemática grega haver se 
enveredado pelo lado da Geometria, com prejuízo da Matemática numérica 
(Aritmética e Álgebra), especialmente o simbolismo algébrico, foi sem dúvida 
outra razão por que o Cálculo não pôde se desenvolver na antiguidade. Essa 
Matemática numérica só veio a aparecer no Ocidente europeu a partir do século 
XIII da nossa era, importada da Índia através dos árabes. E foi só em fins do 
século XVI que a Álgebra alcançou a maturidade necessária para o definitivo 
desenvolvimento do Cálculo no século seguinte. 
 
 
6 
 
 
Figura 04: Surgimento da Matemática numérica. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
 Outro fator importante, preparando o caminho para o surgimento do 
Cálculo Diferencial e Integral, foi a familiaridade que os matemáticos dos tempos 
modernos travaram com as obras clássicas antigas. É verdade que essas obras, 
principalmente as de Euclides (cerca de 300 a.C.) e Arquimedes, embora 
estivessem disponíveis em traduções latinas havia séculos, demoraram para 
serem devidamente assimiladas, coisa que só começou a acontecer plenamente 
em fins do século XVI. E a partir de então tiveram influência decisiva nos novos 
desenvolvimentos. Paralelamente, há que se considerar ainda a atitude dos 
matemáticos da época, que não se pautavam pelos mesmos padrões de rigor dos 
matemáticos gregos. Eles preferiam avançar no desenvolvimento dos novos 
métodos e técnicas mesmo que isso custasse à falta de rigor. 
 De acordo com Boulos (2006), no século XVII, o cálculo de áreas e 
volumes pelos métodos infinitesimais teve início com os trabalhos de Kepler 
(1571 – 1630), em conexão com a descoberta de sua 2ª lei planetária, ou “lei 
das áreas. Nesse estudo, Kepler é levado a considerar somas de infinitos 
termos de áreas infinitesimais, produzindo áreas finitas. Uma situação mais 
simples em que isso é fácil de entender é a do cálculo do volume da esfera. 
Kepler lembra que o procedimento usado por Arquimedes no cálculo da área do 
7 
 
círculo equivalia a considerar o círculo como união de uma infinidade de 
triângulos infinitesimais, todos de vértice no centro e base na circunferência do 
círculo. E adota procedimento semelhante no cálculo do volume da esfera. Esta é 
considerada como a união de uma infinidade de pirâmides de vértices no centro e 
base na superfície da esfera. A soma dos volumes dessa pirâmides, de altura 
igual ao raio da esfera, resulta no produto de 1/3 do raio pela soma das áreas das 
bases (que é a área 4. .r 2 da superfície da esfera), ou seja, 
3
.4 3r
. Kepler 
publicou um livro sobre o cálculo de volumes de tonéis, numa tentativa de ajudar 
os comerciantes de vinho, que só sabiam avaliar esses volumes de forma muito 
empírica. Mas é pouco provável que esses cálculos tenham tido importância 
prática e, é bom que se diga que eles foram de menor valor quando comparados 
às descobertas astronômicas de Kepler. 
 
 
 
Figura 05: As contribuições de Kepler. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
 A importância maior do trabalho de Kepler sobre o cálculo de volumes de 
tonéis está no método dos indivisíveis que ele desenvolveu e utilizou. Demorou 
um pouco, mas alguns anos depois da publicação do livro de Kepler, vários outros 
matemáticos seguiram no mesmo caminho. Essencialmente, o que eles faziam 
8 
 
era imaginar a figura, cuja área ou volume se pretendia calcular, como união de 
uma infinidade de elementos infinitesimais, como explicamos anteriormente 
para o caso do círculo epara o caso da esfera. Desta forma, vemos que os 
matemáticos do século XVII, ao dividirem as figuras em elementos 
infinitesimais, imitavam o procedimento de Arquimedes, só que ficavam apenas 
na parte intuitiva, sem se preocuparem em demonstrar rigorosamente seus 
resultados, como fazia Arquimedes. 
 Galileu, em seus “Diálogos sobre duas novas ciências”, também tratou 
o cálculo de áreas pelos métodos infinitesimais. Bonaventura Cavalieri (1598 – 
1647), que foi seu discípulo e seguidor, depois professor em Bolonha, teve um 
papel importante no desenvolvimento desses métodos. Estimulado pelo próprio 
Galileu, ele calculava a área de uma figura plana considerando-a constituída de 
uma infinidade de segmentos de retas paralelas, que ele chamava “indivisíveis 
de área”. Similarmente, um sólido geométrico era interpretado como constituído 
de uma infinidade de figuras planas paralelas, de espessura infinitesimal, 
dispostas numa pilha com as páginas de um livro. Essas figuras eram os 
“indivisíveis de volume”. Os matemáticos do século XVII não usavam limites: 
eles consideravam as figuras geométricas já decompostas numa infinidade de 
indivisíveis. Raciocinando dessa maneira, Cavalieri foi levado aos princípios que 
hoje são conhecidos por seu nome. Como esses métodos careciam de uma 
razoável fundamentação lógica, Cavalieri foi criticado e tentou responder aos 
críticos, todavia, sem sucesso, já que não dominava a teoria de limites ou a teoria 
de integração. A justificação dos métodos, dizia ele, deveria preocupar os 
filósofos, não os matemáticos. O fato é que os raciocínios com os 
infinitesimais, sem a devida fundamentação lógica, eram eficazes e foram 
largamente utilizados ate o início do século XIX. 
Antes de iniciarmos propriamente dito todos os aspectos teóricos 
relacionados à disciplina em si, listamos aqui cinco problemas que podem ser 
resolvidos com a teoria do Cálculo Diferencial e Integral, principalmente quando 
falamos na derivada sendo entendida como uma taxa de variação e na integral 
indefinida. 
9 
 
Aplicação 01 (Taxa de Variação): Um ponto P(x,y) se move ao longo do gráfico 
da função y = 1/x. Se a abscissa varia à razão de 4 unidades por segundo, qual é 
a taxa de variação da ordenada quando a abscissa é x = 1/10? 
Aplicação 02 (Máximos e Mínimos): Uma rede de água potável ligará uma 
central de abastecimento situada à margem de um rio de 500 metros de largura a 
um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 2000 metros abaixo da 
central. O custo da obra através do rio é de R$640,00 por metro, enquanto, em 
terra, custa R$360,00. Qual é a forma mais econômica de instalar a rede de água 
potável? 
Aplicação 03 (Taxa de Variação): Acumula-se areia em um monte com a forma 
de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a 
uma taxa de 10 m 3 /h, a que razão aumenta a área da base quando a altura do 
monte é de 4 m? 
Aplicação 04 (Problema na Área da Física – Integral): Um projétil é lançado 
verticalmente para cima com velocidade de 10 m/s. Supondo a aceleração da 
gravidade g = – 9,8 m/s
2
, encontrar a altura atingida 2 segundos após o 
lançamento. 
Aplicação 05 (Problema na Área da Física – Integral): A aceleração de uma 
partícula é dada por k.t 2 . No instante inicial, sua velocidade é de 2 m/s. Sabendo-
se que a partícula parte da origem, determine o valor de k, se para t = 1 segundo, 
ela se encontra a 4 metros da origem. 
A fim de atingirmos os nossos objetivos, o nosso guia de estudos está 
estruturado em duas Unidades, descritas a seguir: 
 
 Unidade 01 (Limites e Continuidade de Funções): apresentaremos a 
noção intuitiva de limite, a definição formal e regras operatórias principais, 
além disso, será apresentada a álgebra das funções contínuas; lembrando 
que como será visualizado a noção de limite, sendo fundamental, já que 
para a definição de derivada é definida em termos de um limite. 
 Unidade 02 (A Derivada): apresentaremos a interpretação geométrica, a 
definição formal e as mais importantes regras para o cálculo das derivadas 
envolvendo funções, tais como, a regra da cadeia e da função inversa. 
10 
 
Além disso, aqui serão apresentadas as metodologias de cálculos de 
derivadas de funções implícitas e na forma paramétrica, bem como, a 
noção de diferenciais. 
 
Para finalizarmos os aspectos introdutórios da nossa disciplina, deve-se 
destacar que “aprendizagem” não significa, apenas, realizar os acréscimos na 
estrutura cognitiva do aluno; é preciso, sobretudo, estabelecer modificações para 
que ela se configure como uma aprendizagem significativa. Dessa forma, é muito 
importante que você pesquise em outras fontes bibliográficas, tais como artigos, 
revistas e, principalmente, nas nossas referências bibliográficas. Além disso, 
tentaremos buscar uma linguagem bastante simples como forma de propiciar um 
bom entendimento dos aspectos discutidos na disciplina. Sempre refaça os 
diversos exemplos ilustrativos deste material de apoio. 
 
“O único lugar onde sucesso vem antes de trabalho é no dicionário.” 
(Albert Einstein) 
 “A felicidade não se resume na ausência de problemas, mas sim na 
sua capacidade de lidar com eles”. 
(Albert Einstein) 
“Os números governam o mundo”. 
(Platão) 
"A noção de infinito, de que é preciso se fazer um mistério em Matemática, 
resume-se no seguinte princípio: depois de cada número inteiro existe 
sempre um outro." 
(J. Tannery) 
 
"O livro da natureza foi escrito exclusivamente com figuras e símbolos 
matemáticos." 
(Galileu) 
 
 
 
11 
 
UNIDADE 1 – LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 
 
1. Objetivos da Unidade 
 Nesta unidade é de nosso interesse apresentar a noção intuitiva de 
limite, bem como a sua definição formal e propriedades operatórias. Além disso, 
estaremos relacionando funções contínuas com a definição de limites. Neste 
sentido, ao final desta unidade, o aluno será capaz de: 
- apresentar os conceitos do cálculo diferencial e integral de uma variável; 
- compreender a importância do estudo de funções de uma variável para a 
resolução de diversas situações dentro da matemática e da física; 
- interpretar intuitivamente a noção de limite de uma função; 
- interpretar e aplicar a noção de limite na resolução de problemas simulados; 
- estar plenamente familiarizado com os principais conceitos e resultados 
envolvendo limites; 
- relacionar a noção de função contínua com a definição de limite; 
- identificar funções contínuas algebricamente e geometricamente; 
- estar plenamente familiarizado com as principais propriedades das funções 
contínuas; 
- visualizar uma série de exemplos resolvidos envolvendo os aspectos teóricos 
discutidos ao longo da unidade. 
 
2. A Noção Intuitiva de Limite 
 Aqui, estaremos interessados em estudar o comportamento de funções y 
= f(x), nas quais tais funções não sejam de comportamento muito simples, como é 
o que acontece com as funções do primeiro e segundo graus. Para tanto, 
estaremos introduzindo o conceito de limite de uma função y = f(x)? Neste 
sentido, primeiramente, vamos averiguar de forma intuitiva, o significado do limite 
de uma função, para que depois possamos definir formalmente tal conceito. 
Segundo Boulos (2006), sabe-se que no conjunto dos números reais  , podemos 
sempre escolher um conjunto de números segundo qualquer regra pré-
estabelecida. Por exemplo, vamos considerar algumas sequências de números a 
12 
 
seguir: 
(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... 
 
(2) ½, 2/3, ¾, 4/5, 5/6, ... 
 
(3) 1, 0, -1, -2, -3, ... 
 
(4) 1, 3/2, 3, 5/4, 5, 7/6, 7, ... 
 
 Vamos interpretar o comportamento dessas sequências numéricas? 
Observe que na sequência numérica (1), os termos tornam-se cada vez maiores 
sem atingir um LIMITE. Sendo assim, podemos pensar que dado um número real 
qualquer, por maior que o mesmo seja, podemos sempre encontrar nasequência, 
um termo maior. Ou seja, neste caso, podemos falar então que os termos dessa 
sequência numérica tendem para o infinito ou que o limite da sequência é infinito. 
Denotamos tal situação por x  . Por outro lado, na sequência numérica (2) os 
termos crescem mas não de forma ilimitada, ou seja, ilimitadamente. Os números 
aproximam-se cada vez mais do valor 1, sem nunca obviamente atingirem o 
mesmo. Sendo assim, aqui falamos que a sucessão tende a 1 e, escrevemos 
x1. De modo análogo, com relação à terceira sequência exemplificada, a 
mesma tende a menos infinito, ou seja, x  . Com relação à sequência (4), 
podemos notar que a mesma oscila sem tender a nenhum valor limite. 
 Sendo assim, aqui nesta unidade, é de nosso interesse então, ampliar 
o conceito de LIMITE apresentado anteriormente com relação às sequências 
numéricas citadas para as diversas situações envolvendo Limites de Funções 
Reais. Vejamos num primeiro momento algumas situações que ilustram o 
comportamento de funções diversas do tipo y = f(x). 
Exemplo 01: Seja a função y = f(x) = 1 – 
x
1
, cujo gráfico é apresentado na Figura 
01 a seguir. 
13 
 
 
Figura 01: O gráfico da função f(x) = 1 – 
x
1
 gerado no programa Winplot. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
 Vamos descrever nos dois quadros abaixo, os valores de f(x) para 
alguns valores particulares de x, tentando averiguar o comportamento da função 
em questão. 
Quadro 01: Valores tabulados de f(x) para valores positivos de x. 
x 1 2 3 4 5 6 ... 500 ... 1000 ... 
f(x) 0 1/2 2/3 3/4 4/5 5/6 ... 499/500 ... 999/1000 ... 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
14 
 
Quadro 02: Valores tabulados de f(x) para valores negativos de x. 
x -1 -2 -3 -4 -5 ... -100 ... -500 ... 
f(x) 2 3/2 4/3 5/4 6/5 ... 101/100 ... 501/500 ... 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 Logo, podemos verificar que a função f(x) = 1 – 
x
1
 tende para 1 quando 
x tende para o infinito. Basta observarmos os quadros anteriores e o gráfico 
apresentado na Figura 62 para caracterizarmos que y1 quando x  . A 
notação utilizada para tal fato é 






 xx
1
1lim = 1. 
Exemplo 02: A função polinomial y = x 2 + 3x – 2 (polinômio de grau 2) tende 
para  quando x tende x . Sendo assim, neste caso, a notação que 
utilizamos é )23(lim 2 

xx
x
 = + . 
 De forma intuitiva, basta analisarmos os Quadros 03 e 04 abaixo, bem 
como o gráfico da função apresentado na Figura 02 a seguir. 
Quadro 03: Valores tabulados de y para valores positivos de x. 
x 1 2 3 4 5 6 ... 100 ... 1000 ... 
y 2 8 16 26 38 52 ... 10298 ... 1002998 ... 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Quadro 04: Valores tabulados de y para valores negativos de x. 
x -1 -2 -3 -4 -5 -6 ... -100 ... -500 ... 
y -4 -4 -2 2 8 16 ... 9698 ... 248498 ... 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
15 
 
 
Figura 02: O gráfico da função y = x
2
 + 3x – 2: gerado no programa Winplot. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Exemplo 03: A função y= 
1
12


x
x
 tende para 2 quando x , e 
escrevemos
1
12
lim


 x
x
x
 = 2. 
 
 
 
 
16 
 
 
Figura 03: O gráfico da função y= 
1
12


x
x
: gerado no programa Winplot. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
 Além disso, podemos tabular os valores de y a partir de valores 
específicos de x, como mostrados nos Quadros 05 e 06 abaixo. 
 
Quadro 05: Valores tabulados de y para alguns valores positivos de x. 
x 3 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 ... 
y 3,5 5 8 14 32 302 3002 30002 ... 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
17 
 
Quadro 06: Valores tabulados de y para valores de x. 
x -1 0 0,9 0,99 0,999 0,9999 ... 
y 0,5 -1 -28 -
298 
-2998 -29998 ... 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
 Observando o gráfico da função na Figura 03 anterior, bem como os 
Quadros 05 e 06, ainda podemos dizer que y  quando x 1 através de 
valores maiores do que 1, e que y  quando x 1 através de valores 
menores do que 1. Neste caso, estamos nos referindo aos limites laterais (que 
discutiremos de forma detalhada mais a frente) denotados por: 
Limite lateral à direita: 
1
12
lim
1 

 x
x
x
 =  
Limite lateral à esquerda: 
1
12
lim
1 

 x
x
x
 =  
 
Desta forma, a partir da ilustração desses exemplos, ou seja, visualizando 
de forma intuitiva a noção de limite, agora é de nosso interesse apresentar a 
definição formal de limite como segue na seção subsequente. Para maiores 
detalhes e mais exemplos sobre a noção intuitiva de limite, você, aluno(a), pode 
pesquisar nas referências [1], [2] e [3]. 
 
3. A Definição Formal de Limite 
 De acordo com Guidorizzi (2003), sendo uma função f(x) definida em um 
intervalo aberto I, contendo o ponto a, exceto possivelmente no próprio ponto a 
definimos o limite da função f(x) no ponto a de maneira formal como segue. 
18 
 
Definição (Limite de uma Função): Dizemos que o limite de f(x) quando x 
aproxima-se de a é o número L, e escrevemos )(lim xf
ax
 = L, se para todo  > 0, 
existe um  > 0, tal que | f(x) – L | <  sempre que tivermos 0 < | x – a | <  . 
Saiba Mais? Grosso modo isto significa dizer que L está tão próximo de f(x), 
a partir do momento que x estiver bem próximo do ponto a. 
Verifiquemos o cálculo de um limite via a definição formal. 
Exemplo 04: (Guidorizzi 2003) Vamos mostrar que )13(lim
1


x
x
= 2 através da 
definição formal de limite. 
Solução: De início, observe que de acordo com a definição formal de limite, que 
devemos mostrar que, para todo  > 0, existe um  > 0, tal que | (3x – 1) – 2 | < 
 sempre que 0 < | x – 1 | <  . Além disso, salientamos que a averiguação com 
relação a desigualdade que envolve o número positivo  nos possibilita uma 
chave para encontrarmos o  . Observemos então, que as seguintes 
desigualdades são equivalentes: 
| (3x – 1) – 2 | <  
| 3x – 1 – 2 | <  
| 3x – 3 | <  
3. | x – 1| <  
| x – 1| < 
3

 
Logo, a última desigualdade acima nos sugere a escolha para o número  . Ou 
seja, tomando  = 
3

, vem que: 
| (3x – 1) – 2 | <  sempre que 0 < | x – 1 | <  . 
Portanto, concluímos que )13(lim
1


x
x
= 2. 
Dica? Quando trabalhamos com a definição formal devemos exibir o número 
 sempre em função de  . 
Vejamos agora alguns resultados que nos permite calcular limites de uma 
19 
 
forma mais direta, que são as regras operatórias envolvendo os limites. Para 
maiores detalhes com relação às justificativas de tais regras, você, aluno(a), pode 
pesquisar em [1], [2] e [3]. 
 
Regra 01: (Guidorizzi 2003) Se a, m e n são números reais, então )(lim nmx
ax


 = 
m.a + n. 
Regra 02: (Guidorizzi 2003) Se )(lim xf
ax
 e )(lim xg
ax
 existem lim e, c é um número 
real qualquer, então: 
a) )]()([lim xgxf
ax


)]([lim)]([lim xgxf
axax 
 
b) )(lim.)(.lim xfcxfc
axax 
 
c) )(lim).(lim)().(lim xgxfxgxf
axaxax 
 
d) .0)(lim,
)(lim
)(lim
)(
)(
lim 




xfcom
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
ax
 
e) n
ax
xf )]([lim

 = [ )(lim xf
ax
] n , para qualquer inteiro positivo n. 
f) n
ax
xf )(lim

 = n
ax
xf )(lim

, se )(lim xf
ax
> 0 e n inteiro ou se )(lim xf
ax
 ≤ 0 e n é 
um inteiro positivo ímpar. 
g) )](limln[)](ln[lim xfxf
axax 
 , se )(lim xf
ax
> 0. 
h) )](limcos[)](cos[lim xfxf
axax 
 . 
i) )](lim[)]([lim xfsenxfsen
axax 
 . 
j) 
)(lim
)(lim
xf
xf
ax
axee 

 
 
Vejamos alguns exemplos que ilustram a aplicação de tais regras no cálculo 
de limites. 
20 
 
Exemplo 04: Vamos determinar os limites de algumas funções utilizando a Regra 
01 descrita anteriormente. Desta forma, temos que: 
a) )32(lim
1


x
x 
53)1.(2
3
2



n
m 
 
b) )57(lim
0


x
x
55)0.(7
5
7



n
m
 
c) )13(lim
1


x
x
2131)1.(3
1
3


n
m
 
d) )4(lim
4


x
x
04)4.(1
4
1



n
m
 
e) )2(lim
1
x
x
20)1.(2
0
2



n
m
 
Exemplo 05: Vamos determinar os limites de algumas funções utilizando a Regra 
02 descrita anteriormente. Desta forma, temos que: 
a) )5(lim 23
1


xxx
x
451)1()1( 23  
b) 3
2
.5lim x
x
40)2.(5lim.5 33
2


x
x
 
c) 
7
5
lim
33 

 x
x
x 10
1
20
2
727
2
7)3(
53
7
5
lim
333













 x
x
x
 
d) 
1
1
lim
2
3 

 x
x
x
413)1(lim
1
)1).(1(
lim
1
1
lim
33
2
3








x
x
xx
x
x
xxx
 
e) 14lim 4
2


xx
x
5251)2.(4)2()14(lim 44
2


xx
x
 
 
Você Sabia? (Unicidade do Limite): Se )(lim xf
ax
= L e )(lim xf
ax
= M então L = M, 
ou seja, o limite de uma função f(x) quando existe é único. 
 
4. Limites Laterais 
 De acordo com Guidorizzi (2003), sendo uma função f(x) definida em um 
intervalo aberto I, contendo o ponto a, exceto possivelmente no próprio ponto a 
21 
 
definimos o limite da função f(x) no ponto a de maneira formal como segue. 
Definição (Limite Lateral à Direita): seja a função definida em um intervalo 
aberto (a, c). Dizemos que um número L é o limite à direita da função f quando 
x tende para a, e escrevemos: 
)(lim xf
ax 
 = L  Se para todo  > 0, existe um  > 0, tal que | f(x) – L | <  
sempre que tivermos a < x < a +  . 
Analogamente, definimos o limite lateral à esquerda como segue. 
Definição (Limite Lateral à Esquerda): seja a função definida em um intervalo 
aberto (d, a). Dizemos que um número L é o limite à esquerda da função f 
quando x tende para a, e escrevemos: 
)(lim xf
ax 
 = L  Se para todo  > 0, existe um  > 0, tal que | f(x) – L | <  
sempre que tivermos a –  < x < a. 
Saiba Mais! Usamos o símbolo xa  para indicar que os valores de x são 
sempre maiores do que a. Contrariamente, utilizamos a notação xa  para 
indicar que os valores de x são sempre menores do que a. 
 
Exemplo 06: Consideremos a função modular f(x) = | x |, Pede-se para 
determinar se existir: )(lim
0
xf
x 
e )(lim
0
xf
x 
. 
Solução: Neste caso, temos que se x ≥ 0, então f(x) = x. Logo, 

)(lim
0
xf
x
x
x 0
lim = 
0. De outra forma, se x < 0 então f(x) = – x e, portanto, 

)(lim
0
xf
x
)(lim
0
x
x


= 0. 
Exemplo 07: Consideremos a função y = f(x) definida por: 
f(x) = 





1,28
1,42
xsex
xsex
 
Pede-se: 
a) Calcule )(lim
1
xf
x 
 
b) Calcule )(lim
1
xf
x 
 
c) Desta forma, o limite bilateral )(lim
1
xf
x
 existe? Justificar a sua resposta. 
22 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
a) Aqui, notamos que quando x tende a 1 pela direita (i.e., valores de x 
maiores do que 1) f(x) = 8x – 2, logo: 
)(lim
1
xf
x 
= )28(lim
1


x
x
= 8.1 – 2 = 6 
b) Aqui, notamos que quando x tende a 1 pela esquerda (i.e., valores de x 
menores do que 1) f(x) = 2x + 4, logo: 
)(lim
1
xf
x 
= )42(lim
1


x
x
= 2.1 + 4 = 6 
c) Como )(lim
1
xf
x 
= )(lim
1
xf
x 
= 6, segue que existe )(lim
1
xf
x 
e é igual a 6, ou 
seja, )(lim
1
xf
x 
= 6. 
Importante! Guidorizzi (2003) – Se a função f é definida em um intervalo 
aberto contendo a, exceto possivelmente no ponto a, então )(lim xf
ax
= L se e 
somente se )(lim xf
ax 
= L e )(lim xf
ax 
 = L. Ou seja, em outras palavras, 
percebemos que o limite bilateral da função f existe se e somente se, os 
limites laterais existem e são iguais. 
 
5. Indeterminações? O que são? Como fugir das mesmas? 
 No cálculo de limites podem surgir algumas expressões, tais como: 
0
0
, 


,  , 0 x  , 00 , 0 , 1 
Segundo Thomas (2003), tais expressões são conhecidas como 
indeterminações. Desta maneira, uma pergunta natural a ser respondida é 
“Como podemos interpretar as mesmas?” O que isso significa para os 
nossos propósitos? Vamos exemplificar através de alguns exemplos. 
 Exemplo 08: Vamos determinar 
x
x
x
22
lim
0


. 
Solução: Note que se realizarmos a substituição de x por 2 , encontraremos 
uma indeterminação do tipo 
0
0
. Para fugirmos da mesma, neste caso, para este 
23 
 
problema estaremos utilizando o artifício da racionalização do numerador da 
função, desta forma temos que: 
x
x
x
22
lim
0


= 
)22(
)22(
.
)22(
lim
0 

 x
x
x
x
x
= 
)22.(
)2()2(
lim
22
0 

 xx
x
x
= 
)22.(
22
lim
0 

 xx
x
x
=
)22(
1
lim
0  xx
 =
22
1
 
Exemplo 09: Qual é o valor do limite 
4
23
lim
2
3
2 

 x
xx
x
? 
Solução: Neste caso, temos que: 
4
23
lim
2
3
2 

 x
xx
x
= 
)2).(2(
)2).(12(
lim
2
2 

 xx
xxx
x
=
)2(
)12(
lim
2
2 

 x
xx
x
 = 
4
9
 
Exemplo 10: Vamos determinar 
1
1
lim
3
1 

 x
x
x
. 
Solução: Neste caso, para facilitar o cálculo, estaremos realizando uma troca de 
variáveis, em verdade, faremos a substituição de variáveis x = t 6 , t ≥ 0. Além 
disso, podemos perceber claramente que se x1 então t1 também. Logo: 
1
1
lim
3
1 

 x
x
x
= 
1
1
lim
6
3 6
1 

 t
t
t
= 
1
1
lim
3
2
1 

 t
t
t
= 
)1).(1(
)1).(1(
lim
21 

 ttt
tt
t
=
)1(
)1(
lim
21 

 tt
t
t
= 
3
2
 
 
Saiba Mais! Os limites que seguem envolvendo as funções trigonométricas 
e exponencial são chamados de limites fundamentais. 
(Limite Trigonométrico Fundamental) 
x
senx
x 0
lim

 = 1 
(Limite Exponencial Fundamental) x
x
x
1
)1(lim 

 = e 
 
 
6. Funções Contínuas 
 Você já ouviu falar em funções contínuas? Sabe o seu significado? 
Com certeza, você já presenciou vários casos envolvendo continuidade de 
funções. Vamos trabalhar então com este conceito importante sobre funções, que 
nos ajuda a entender o comportamento das mesmas. Vejamos as Figuras 04, 05, 
24 
 
06 e 07 que nos mostram diversos exemplos de funções que não são contínuas 
em pontos x = a. Nestes casos, já podemos visualizar que uma função que não é 
contínua em um ponto x = a, neste ponto o seu gráfico sofre uma espécie de 
“salto”, ou seja, “furo”. 
 
 
Figura 03: Um exemplo de função que não é contínua num ponto x = a. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Figura 04: Um exemplo de função que não é contínua num ponto x = a. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
25 
 
 
 
Figura 05: Um exemplo de função que não é contínua num ponto x = a. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
 
 
Figura 06: Um exemplo de função que não é contínua num ponto x = a. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Definição (Função Contínua) Guidorizzi (2003): dizemos que uma função f é 
contínua no ponto a se as seguintes condições forem satisfeitas: 
i) f(a) é definida no ponto a, i.e., existe f(a); 
 
ii) )(lim xf
ax 
existe; 
26 
 
iii) )(lim xf
ax
= f(a). 
 
Contrariamente, se f não for contínua em a, dizemos que f é descontínua em a. 
 
Figura 07: Condições necessárias para que f seja contínua em a. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos envolvendo a continuidade de funções. 
 
Exemplo 11: Qualquer função polinomial é contínua para qualquer ponto x = a 
real, sendo assim, especificamente falando a função f(x) = 2x – 3 e a função g(x) 
= x² + 2x – 1 são contínuas em  . 
Exemplo 12: A função f(x) = 
2
4
2 

x
x
 é contínua no ponto x = 1, já que: 
i) No ponto a = 1, temos que: f(x) = 
3
3
2)1(
41
2




 = – 1 
 
ii) 
 
)(lim
1
xf
x 
existe, já que )(lim
1
xf
x
= 
3
3
2
4
lim
21




 x
x
x
 = – 1 
 
iii) Além disso, percebemos claramente de acordo com os cálculos anteriores 
27 
 
que: )(lim
1
xf
x
= f(1). 
Portanto, concluímos que a função f(x) é contínua em a = 1. 
 
Exemplo 13: Vamos olhar agora a função f(x) = 
1
12


x
x
. Note que a função f(x) 
não está definida para x = 1, ou seja, não existeo valor de f(1). Portanto, a função 
f(x) não satisfaz a condição (i) da definição de continuidade e, portanto, 
concluímos que a função f(x) = 
1
12


x
x
 
não é contínua em a = 1. 
 
 
Figura 08: O gráfico da função f(x) = 
1
12


x
x
. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Exemplo 14: Consideremos a função g(x) =









1,1
1,
1
12
xse
xse
x
x
. Observemos que 
neste caso existe g(1), ou seja, g(1) = 1. Por outro lado, notemos que: 
1
1
lim
2
1 

 x
x
x
= 
1
)1).(1(
lim
1 

 x
xx
x
 = )1(lim
1


x
x
= 1 + 1 = 2 
28 
 
Ou seja, temos que )(lim
1
xg
x
≠ g(1) logo não satisfaz a condição (iii) da definição 
de continuidade e, portanto, concluímos que g(x) não é contínua no ponto a = 1. 
 
Saiba Mais? Temos que: 
i) Uma função racional é contínua em todos os pontos de seu domínio. 
iii) As funções f(x) = senx e f(x) = cosx são contínuas para todo número real 
x. 
iv) A função exponencial f(x) = e x é contínua para todo número real x. 
 
7. Resumo da Unidade e Diretrizes para a Próxima Unidade 
Observe que nesta primeira Unidade, trabalhamos inicialmente apresentando 
algumas notas históricas envolvendo o Cálculo Diferencial e Integral. A seguir, foi 
apresentado o primeiro tópico importante do Cálculo Diferencial e Integral que é a 
noção de limite, bem como suas propriedades operatórias e os limites laterais. 
Além disso, foi dado um aparato teórico sobre funções contínuas. Cabe ressaltar 
que em toda a Unidade 01, foi apresentada uma série de exemplos e exercícios 
resolvidos envolvendo os aspectos teóricos discutidos anteriormente. Sendo 
assim, a partir do momento que discutimos os principais conceitos e resultados da 
teoria de limites e continuidade, discutiremos na próxima Unidade a parte 
relacionada à Teoria das Derivadas, conteúdo de extrema importância para a 
resolução de diversas situações nas mais variadas áreas do conhecimento dentro 
e fora do Cálculo Diferencial e Integral. A definição de derivada que 
apresentaremos na segunda Unidade está diretamente relacionada à parte de 
limites. Além disso, apresentaremos na Unidade 02 as propriedades operatórias 
das derivadas e resultados associados. 
 
 
 
29 
 
UNIDADE 2 – A DERIVADA 
 
1. Objetivos da Unidade 
 Nesta unidade é de nosso interesse apresentar a noção geométrica e 
formal da derivada, que em verdade representa a taxa de variação da função em 
cada ponto x, bem como suas principais regras operatórias. Neste sentido, ao 
final desta unidade, o aluno será capaz de: 
- apresentar os principais conceitos acerca da derivada de uma função y = f(x); 
- interpretar geometricamente o conceito de derivada de uma função y = f(x); 
- interpretar a derivada na Física – velocidade e Aceleração; 
- compreender o conceito de derivada como uma taxa de variação; 
- compreender a importância do estudo das derivadas de funções de uma variável 
para a resolução de diversas situações dentro da matemática, física e outras 
áreas do conhecimento; 
- interpretar e aplicar a noção de derivada na resolução de problemas simulados 
nas áreas da matemática e da física; 
- estar plenamente familiarizado com os principais conceitos e resultados 
envolvendo derivadas e regras operatórias; 
- reconhecer a importância da disciplina na sua área de atuação. 
 
2. Notas Históricas Envolvendo as Derivadas 
Segundo Guidorizzi (2003), o conceito de derivada foi introduzido em 
meados dos séculos XVIII e XVIII em estudos de problemas de Física ligados ao 
estudo dos movimentos. Entre outros, destacam-se neste estudo o físico e 
matemático inglês Issac Newton (1642 – 1727), o filósofo e matemático Gottfried 
Leibniz (1646 – 1716) e o matemático francês Joseph-Louis Lagrange (1736 – 
1813, que em verdade nasceu em Turim na Itália, mas viveu praticamente toda 
sua vida na França). 
 
30 
 
 
Figura 09: Nomes importantes para o desenvolvimento das derivadas. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
3. Interpretação Geométrica da Derivada: Qual o significado da Reta 
Tangente? 
 Os principais conceitos sobre derivadas foram introduzidos por 
Newton e Leibniz, no século XVIII. Tais ideias, já estudadas antes por Fermat, 
estão fortemente relacionadas com a noção de reta tangente a uma curva no 
plano. Uma ideia simples do que significa a reta tangente em um ponto P de 
uma circunferência é uma reta que toca a circunferência exatamente em um ponto 
P e é perpendicular ao segmento OP, como vemos na Figura 10, abaixo. 
 
Figura 10: A ideia do significado da reta tangente. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
31 
 
Ao tentar estender essa ideia acerca da reta tangente a uma curva 
qualquer e tomarmos um ponto P sobre a curva, esta definição perde o sentido, 
como mostramos na Figura 11, abaixo. 
 
Figura 11: A ideia do significado da reta tangente. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Nessas figuras, consideramos a reta tangente à curva no ponto P. Na 
primeira figura, a reta corta a curva em outro ponto Q. Na segunda figura, a curva 
está muito "achatada" perto do ponto P e a suposta reta tangente toca a curva em 
mais do que um ponto. Na terceira figura, a reta também é tangente à curva no 
ponto Q. 
 Sendo assim, vamos definir a inclinação de uma curva y = f(x) para, em 
seguida, encontrar a equação da reta tangente a curvas num ponto dado, de 
acordo com o realizado por Newton e Leibniz, no século XVIII. 
 De acordo com Guidorizzi (2003), consideremos y = f(x) uma curva 
definida no intervalo aberto (a,b), como na Figura 12, abaixo. 
 
Figura 12: Uma função y = f(x) definida num intervalo aberto (a, b). 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
32 
 
 Sejam P(x 1 , y 1 ) e Q(x 2 , y 2 ) dois pontos distintos da curva y = f(x). Além 
disso, consideremos a reta s reta secante que passa pelos pontos P e Q. 
Considerando o triângulo retângulo PMQ, na Figura 12 acima, temos que a 
inclinação da reta s (ou o coeficiente angular de s) é dada por: 
Coeficiente angular de s = tgα = 
x
y
xx
yy





12
12 
 Agora, vamos supor quem, mantendo o ponto P fixo, Q se mova sobre 
a curva em direção ao ponto P. Diante disto, a inclinação da reta secante s 
sofrerá uma variação. Notemos que à medida que Q vai se aproximando cada vez 
mais do ponto P, a inclinação da secante varia cada vez menos, tendendo para 
um valor limite constante, como mostramos na Figura 13, abaixo. 
 
Figura 13: A interpretação do valor limite na inclinação da reta s. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
 Esse valor limite é chamado de inclinação da reta tangente à curva no 
ponto P, ou também inclinação da curva em P. Sendo assim, temos a seguinte 
definição associada. 
 
Definição (Inclinação da Reta Tangente) Guidorizzi (2003): dada uma curva y = 
f(x), seja o ponto P(x 1 , y 1 ) um ponto sobre ela. A inclinação da reta tangente no 
ponto P é dada por: 
33 
 
(1) m(x 1 ) = 
x
y
PQ 


lim = 
12
12 )()(lim
12 xx
xfxf
xx 


, quando o limite existe. 
Ou ainda, 
(2) m(x 1 ) = 
x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0
. 
 
Você Sabia? Se conhecermos a inclinação da reta tangente à curva no ponto 
P, podemos encontrar a equação da reta tangente à curva em P. 
 
Definição (Equação da Reta Tangente) Guidorizzi (2003): se a função y = f(x) é 
contínua em x 1 , então a reta tangente à curva y = f(x) em P(x 1 , y1 ) é dada por: 
i) A reta que passa por P tendo inclinação: 
m(x 1 ) = 
x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0
, se este limite existe. 
Neste caso, temos a equação: 
y – f(x 1 ) = m.(x – x 1 ) 
ii) A reta x = x 1 se 
x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0
 for infinito. 
 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos. 
Exemplo 15: Vamos encontrar a equação da reta tangente à curva y = 2x 2+ 3 no 
ponto cuja abscissa é 2. 
Solução: Inicialmente, notemos que o ponto da curva y = 2x 2 + 3 cuja abscissa 
é 2, é o ponto P(2, f(2)) = (2,11). Daí, devemos então encontrar a inclinação da 
curva y = 2x 2 + 3 no ponto P(2, 11). Para tal, vamos encontrar primeiramente a 
inclinação da curva em um ponto P(x 1 , y 1 ) qualquer. Temos que: 
m(x 1 ) = 
x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0
 
34 
 
m(x 1 ) = 
x
xx
x 


)3(2.-3 ) .(x 2.
lim
2
1
2
1
0
 
m(x 1 ) = 
x
xx
x 


32x-3 ) 2(+ . x4.+ 2x
lim
2
1
2
1
2
1
0
 
m(x 1 ) = 
x
xx
x 


) 2.(4x 
lim 1
0
 
m(x 1 ) = 4.x 1 
Como m(x 1 ) = 4.x 1 , então m(2) = 4.2 = 8. Logo, podemos escrever a equação da 
reta tangente à curva y = 2x 2 + 3 em P(2,11) como segue: 
y – f(x 1 ) = m.(x – x 1 ) 
y – 11 = 8.(x – 2) 
Ou seja, 
8x – y – 5 = 0 
 
A Figura 14, abaixo, nos mostra a representação geométrica descrita neste 
exemplo. 
 
Figura 14: A interpretação geométrica do exemplo. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
35 
 
Exemplo 16: Encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função definida 
por y = x 3 – 3.x + 4 no ponto (2, 6). 
Solução: Como a inclinação da reta tangente em qualquer ponto (x 1 ,y 1 ) é dada 
por m(x 1 ) = 3. x 1
2 – 3 (Por quê?) à inclinação da reta tangente no ponto (2, 6) é 
m(2) = 9. Portanto, uma equação da reta pedida na forma ponto-inclinação é: 
y – 6 = 9.(x – 2) 
9.x – y – 12 = 0 
 
4. Interpretando a Derivada na Física: Velocidade e Aceleração 
 É sabido que em um curso introdutório de Mecânica, importante ramo 
da Física, estudamos conceitos bem simples, bem conhecidos do nosso dia-a-dia, 
como, por exemplo, Velocidade e Aceleração. Sendo assim, exemplificando 
melhor, quando dirigimos um automóvel, podemos medir a distância percorrida 
num dado intervalo de tempo decorrido, além disso, podemos tirar conclusões 
acerca da velocidade a partir dos valores mostrados no velocímetro, bem como, a 
partir do momento que pisamos no freio, podemos analisar a aceleração. Mas 
afinal, como poderíamos relacionar este aparato com a noção de derivada? 
Vamos ver? Em verdade, temos que a aceleração é a derivada da velocidade em 
função do tempo, enquanto que a velocidade é a derivada do espaço com relação 
ao tempo. 
 
Definição (Velocidade Média) Guidorizzi (2003): consideremos que um corpo se 
mova em linha reta e que s = s(t) represente o espaço percorrido pelo móvel no 
instante t. Então, o intervalo de tempo entre t e t +  t, o corpo sofre um 
deslocamento s = s(t+  t) – s(t). Sendo assim, definimos a velocidade média 
nesse intervalo de tempo pela expressão v m = 
t
tstts

 )()(
. 
Importante! Em outras palavras, a velocidade média significa o quociente 
entre o espaço percorrido pelo tempo gasto para percorrê-lo. 
 Além disso, podemos observar que em linhas gerais, a velocidade 
média ainda não nos dá nenhum tipo de informação acerca da velocidade do 
36 
 
corpo no instante t. Sendo assim, definimos a velocidade instantânea do móvel 
como segue. 
Definição (Velocidade Instantânea) Guidorizzi (2003): a velocidade 
instantânea ou a velocidade no instante t é o limite das velocidades médias 
quando  t se aproxima de zero, ou seja, em símbolos escrevemos v(t) = 
t
s
t 

 0
lim 
= 
t
tstts
t 


)()(
lim
0
. 
 Agora, podemos introduzir de modo análogo o conceito de aceleração 
como realizado para velocidade. 
Definição (Aceleração Média) Guidorizzi (2003): a aceleração média no 
intervalo de tempo t e t +  t é dada a m = 
t
tsttv

 )()(
. 
Definição (Aceleração Instantânea) Guidorizzi (2003): similarmente, definimos a 
aceleração instantânea como sendo o limite a(t) = 
t
tvttv
t 


)()(
lim
0
= v’(t). 
Vejamos um exemplo ilustrativo. 
Exemplo 17 - Fleming e Gonçalves (1992): no instante t = 0 um corpo inicia um 
movimento em linha reta. Sua posição no instante t é dada por s(t) = 16t – t 2 , 
onde t é mensurado em segundos e a distância em metros. Desta forma: 
a) Qual a velocidade média do corpo no intervalo de tempo [2;4]? 
 
b) Qual a velocidade do corpo no instante t = 2 segundos? 
 
c) Qual a aceleração média no intervalo [0;4]? 
 
d) Qual a aceleração no instante t = 4? 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
a) A velocidade média do corpo no intervalo de tempo [2;4] é dada por: 
v m = 
t
tstts

 )()(
=
24
)2()4(

 ss
 = 
24
)22.16()44.16( 22


= 
2
2848 
= 10 m/s 
37 
 
b) A velocidade do corpo no instante t = 0 é dada por: 
 
v(t) = 
t
tstts
t 


)()(
lim
0
= 
t
tttttt
t 


]16[])().(16[
lim
22
0
 = 
t
tttt
t 


2
0
)(..2.16
lim = ).216(lim
0
tt
t


 = 16 – 2t (m/s) 
 
 Desta forma, para t = 2 temos que: v(2) = 16 – 2.2 = 12 unid. 
veloc. 
 
c) A aceleração média no intervalo [0;4] é dada por: 
 
a m = 
t
tsttv

 )()(
 = 
04
)2()4(

 vv
 
 Como v(t) = 16 – 2t, temos que: 
 
a m = 
04
)2()4(

 vv
=
4
)0.216()4.216( 
= 
4
168 
= – 2 m/s² 
 
d) A aceleração no instante t = 4 é dada por: 
 
a(t) = 
t
tvttv
t 


)()(
lim
0
= 
t
ttt
t 


216).(216
lim
0
 
 
a(t) = 
t
ttt
t 


216.2.216
lim
0
 
a(t) = 
t
t
t 


.2
lim
0
 
 
a(t) = – 2 m/s² 
Importante! Note que a aceleração negativa significa que o corpo está com a 
sua velocidade diminuindo. A aceleração no instante t = 4 é dada por a(4) = – 
2 m/s². 
38 
 
 
Exemplo 18 – Fleming e Gonçalves (1992): a equação do movimento de um 
corpo em queda livre é s = 
2
1
.gt 2 , sendo g um valor constante. Determinar a 
velocidade e a aceleração do corpo em um instante qualquer t. 
Solução: Num instante qualquer t, a velocidade é dada por: 
v(t) = 
t
tstts
t 


)()(
lim
0
= 
t
tgttg
t 


22
0
..
2
1
).(.
2
1
lim 
v(t) = 
t
tgttg
t 


2
0
).(.
2
1
..
lim 
v(t) = 







ttg
t
.
2
1
.lim
0
 
v(t) = g.t m/s 
 
A aceleração num instante t qualquer é dada por: 
a(t) = 
t
tvttv
t 


)()(
lim
0
= 
t
tgttg
t 


.).(
lim
0
 
a(t) = 
t
tgtgtg
t 


..
lim
0
 
a(t) = 
t
tg
t 

 0
lim 
a(t) = g unid. aceler. 
 
Notemos que g é a aceleração da gravidade e tem aproximadamente o valor de 
9,8 m/s 2 . 
 
5. Definindo a Derivada de Uma Função em um Ponto 
 Agora, vamos definir em linhas formais o conceito de derivada da 
função y = f(x) em um ponto x de seu domínio. 
Definição (Derivada num ponto x) - Fleming e Gonçalves (1992): a derivada de 
uma função f(x) no ponto x, denotada por f ’(x) (vamos ler f linha de x, no 
39 
 
ponto x), é definida pelo limite f ’(x) = 
x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0
 ou f ’(x) = 
12
12 )()(lim
12 xx
xfxf
xx 


quando este limite existe. 
 
Importante! Em outras palavras, este limite nos dá a inclinação da reta 
tangente à curva y = f(x) no ponto (x, f(x)). Ou seja, geometricamente 
falando, a derivada da função y = f(x) no ponto x representa a inclinação da 
curva neste ponto. 
 
Além disso, segundo Guidorizzi (2003), vamos falar que uma função é derivável 
quando existe a derivada em todos os pontos de seu domínio. Abaixo, 
listamos algumas outras notações que são utilizadas para a representação da 
derivada de uma função y = f(x). 
i) D x f(x) (vamos ler: derivada de f(x) em relação a x). 
ii) D x y (vamos ler: derivada de y com relação a x). 
iii) 
dx
dy
 (vamos ler: derivada de y com relação a x). 
iv) 
0xx
dx
dy







 (vamos ler: derivada de y com relação a x no ponto x = x 0 ). 
 
 Vamos apresentar dois exemplos ilustrativos, em que determinamos a 
derivada de uma função f(x) através da definição formal de derivada. 
Exemplo 19: Vamos encontrar a derivada da funçãof(x) = x 2 no ponto x 0 = 3? 
Solução: Neste caso, temos que: 
f '(3) = 
x
fxf
x 


)3()3(
lim
0
 = 
x
x
x 


22
0
3)3(
lim = 
x
xx
x 


2
0
)(6
lim = )6(lim
0
x
x


 = 
6 
40 
 
Note que isso significa que um pequeno acréscimo x dado a x, a partir de ,30 x 
acarretará um correspondente acréscimo f que é aproximadamente 6 vezes 
maior que o acréscimo .x 
Exemplo 20: Qual a derivada de f(x) = x 2 no ponto x 0 = – 2? 
Solução: Neste caso, temos que: 
f '( – 2) = 
x
fxf
x 


)2()2(
lim
0
 = 
x
x
x 


22
0
)2()2(
lim 
= 
x
xx
x 


2
0
)(.4
lim = )4(lim
0
x
x


 = – 4 
Ou seja, isso significa que um pequeno acréscimo de  x dado a x, a partir de x 0 = 
– 2 acarretará em um correspondente decréscimo  f que é aproximadamente 4 
vezes maior que o acréscimo  x, em valor absoluto. 
 
Exemplo 21 - Fleming e Gonçalves (1992): consideremos a função f(x) = | x | 
(valor absoluto de x ou módulo de x). A função f(x) apresenta derivada no ponto 
x 0 = 0? 
Solução: Neste caso, temos que: 
f '(0) = 
x
fxf
x 


)0()0(
lim
0
 = 
x
fxf
x 


)0()(
lim
0
 = 
x
x
x 

 0
lim 
Desta forma, percebemos que: 
 Se  x tende a 0 pela direita, então  x > 0 e | x| =  x e, 
consequentemente o limite de f ’(0) = 
x
x
x 

 0
lim é igual a 1, ou seja, 
x
x
x 

 0
lim 
= 1. 
 Se  x tende a 0 pela esquerda, então temos que  x < 0 e | x| = - x e, 
desta maneira o limite de f ’(0) = 
x
x
x 

 0
lim é igual a -1, ou seja, 
x
x
x 

 0
lim = -
1. 
 
Como os limites laterais são diferentes, concluímos que não existe o limite para 
 x tendendo a 0. Logo, não existe a derivada de f(x) no ponto x 0 = 0. 
 
41 
 
Saiba Mais! Em outras palavras, a derivada de y = f(x), que é f’(x), 
geometricamente falando, representa a inclinação da reta tangente ao 
gráfico de f(x) no ponto de abscissa x, ou ainda, em termos algébricos, 
representa a taxa de variação da função y = f(x) no ponto x. 
 
6. Continuidade e Derivada: Estudando a Continuidade de Funções 
Deriváveis 
Quando relacionamos continuidade e derivada, vimos, por exemplo, que a 
função módulo de x f(x) = | x | é contínua em x = 0, porém não admite derivada 
neste ponto, ou seja, uma função que é contínua num ponto não implica que a 
mesma é derivável naquele ponto. Porém, temos que a recíproca é verdadeira, 
como apresentamos no resultado abaixo, isto é, se uma função f(x) é derivável 
em um ponto então a mesma é contínua naquele ponto. 
 
Teorema 01 - Guidorizzi (2003): toda função derivável num ponto x 1 é contínua 
nesse ponto. 
Prova: Consideremos f(x) uma função tal que a mesma é derivável no ponto x 1 
(Hipótese). Devemos provar que a função f(x) é contínua no ponto x 1 , ou seja, 
devemos provar de acordo com a definição de função contínua, visualizada na 
primeira Unidade que: 
i) f(x 1 ) é definida no ponto a, i.e., existe f(x 1 ); 
 
ii) 
)(lim
1
xf
xx
 
existe; 
 
iii) )(lim
1
xf
xx
= f(x 1 ). 
 
Por hipótese, como f(x) é derivável em x 1 . Logo, f ’(x 1 ) existe e pela fórmula, f 
’(x 1 ) = 
1
1)()(lim
1 xx
xfxf
xx 


 concluímos que f(x 1 ) deve existir para que o limite acima 
tenha sentido, isto é, tenha significado. Além disso, temos que: 
42 
 
 )()(lim 1
1
xfxf
xx


= 









1
1
1
)()(
)(lim
1 xx
xfxf
xx
xx
= )(lim 1
1
xx
xx


. 
1
1)()(lim
1 xx
xfxf
xx 


 
Ou seja, 
 )()(lim 1
1
xfxf
xx


= 0. f ’(x 1 ) = 0 
Desta forma, podemos observar que: 
)(lim
1
xf
xx
=  )()()(lim 11
1
xfxfxf
xx


=  )()(lim 1
1
xfxf
xx


+  )(lim 1
1
xf
xx
= 0 + f(x 1 ) = 
f(x 1 ). 
Portanto, concluímos que são válidas as três condições que definem a 
continuidade da função f(x) no ponto x 1 , ou seja, concluímos que f(x) é contínua 
em x 1 . 
 
8. Qual o significado das Derivadas Laterais? 
 Vamos entender agora a noção sobre as derivadas laterais, em 
verdade, poderíamos dizer que as derivadas laterais surgem diretamente dos 
limites laterais que vimos na parte envolvendo a Teoria de Limites. Além disso, 
estaremos relacionando a existência das derivadas laterais e o conceito de ponto 
anguloso ao gráfico da função. 
Definição (Derivada à Direita) – Guidorizzi (2003): se a função y = f(x) está 
definida em x 1 , então a derivada à direita de f em x 1 , denotada por f
'
 (x 1 ) é 
definida por: 
f ' (x 1 ) = 
x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0
 = 
1
1)()(lim
1 xx
xfxf
xx 



, caso este limite exista. 
 
Definição (Derivada à Esquerda) – Guidorizzi (2003): se a função y = f(x) está 
definida em x 1 , então a derivada à direita de f em x 1 , denotada por f
'
 (x 1 ) é 
definida por: 
f ' (x 1 ) = 
x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0
 = 
1
1)()(lim
1 xx
xfxf
xx 



, caso este limite exista. 
 
43 
 
 Sendo assim, temos que uma função é derivável em um ponto, 
quando as derivadas à direita e à esquerda nesse ponto existem e são 
iguais. 
 
Importante! Uma função f(x) é derivável em um ponto x 1 quando as 
derivadas à direita e à esquerda existem e são iguais em x 1 . 
 
Definição (Ponto Anguloso) – Fleming e Gonçalves (1992): quando as 
derivadas laterais (direita e esquerda) existem e são diferentes em um ponto x 1 , 
dizemos que este ponto é um ponto anguloso do gráfico da função. 
 
Exemplo 22: Consideremos a função f(x) definida por dupla sentença, 
f(x) = 





2,7
2,13
xsex
xsex
 
Desta forma, pede-se: 
a) Mostrar que f é contínua em x = 2. 
b) Determinar f ' (2) e f
'
 (2). 
 
Solução: Inicialmente, vamos observar o gráfico da função f(x) mostrada na 
Figura 15, abaixo. 
 
 
44 
 
Figura 15: A representação do gráfico da função f(x) = 





2,7
2,13
xsex
xsex
. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Sendo assim, temos que: 
a) A função f(x) é contínua em x = 2, já que: 
)(lim
2
xf
x
= )7(lim
2
x
x


= )13(lim
2


x
x
= 5 
E, finalmente, 
)(lim
2
xf
x
= f(2) = 5 
b) Vamos encontrar as derivadas f ' (2) e f
'
 (2) através das definições 
anteriores, ou seja, temos que: 
f ' (2) = 
x
fxf
x 


)2()2(
lim
0
 = 
x
x
x 


5)]2(7[
lim
0
 = 
x
x
x 


55
lim
0
 
f ' (2) = )1(lim
0

x
 
f ' (2) = – 1 
E 
f ' (2) = 
x
fxf
x 


)2()2(
lim
0
 = 
x
x
x 


5]1)2.(3[
lim
0
 = 
x
x
x 


5136
lim
0
 
f ' (2) = 3lim
0x
 
f ' (2) = 3 
Como, 
 
x
fxf
x 


)2()2(
lim
0
≠ 
x
fxf
x 


)2()2(
lim
0
 
 
45 
 
Concluímos que não existe o limite 
x
fxf
x 


)2()2(
lim
0
. Portanto, a função f(x) 
não é derivável em x 1 = 2. Neste caso, dizemos que o ponto x 1 = 2 é um ponto 
anguloso do gráfico de f(x). 
 
Exemplo 23: Consideremos a função f(x) = (x – 2).| x |. Vamos encontrar f ' (0) e 
f ' (0). 
Solução: Inicialmente, notemos que podemos escrever a função f(x) do exemplo 
de outra forma, como segue: 
f(x) = 






0,2)).(2(
0,2).2(
2
2
xsexxxx
xsexxxx
 
A Figura 16, a seguir, nos mostra a representação geométrica da função f(x) do 
exemplo. 
 
Figura 16: A representação do gráfico da função f(x) do exemplo. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Desta forma, temos que: 
f ' (0) = 
x
fxf
x 


)0()0(
lim
0
 = 
x
xx
x 


2)(
lim
2
0
 = )2(lim
0


x
x
= – 2 
E 
46 
 
f ' (0) = 
x
fxf
x 


)0()0(
lim
0
 = 
x
xx
x 


2)(
lim
2
0
 = )2(lim
0


x
x
= 2 
Concluímos desta forma que não existe f’(0) porque f ' (0) ≠ f
'
 (0). Além disso, 
podemos concluir que o gráfico da função f não admite uma reta tangente no 
ponto (0, 0). Utilizando as derivadas laterais obtemos: 
y – 0 = (– 2).(x – 0) = – 2x 
E 
y –0 = (2).(x – 0) = 2x 
Estas duas retas podem ser visualizadas na Figura 16, anterior. Note que não 
existe o limite 
x
fxf
x 


)2()2(
lim
0
. Portanto, a função f(x) não é derivável em x 1 = 
2. Neste caso, dizemos que o ponto x 1 = 2 é um ponto anguloso do gráfico de 
f(x). 
 
Exemplo 24: Consideremos os gráficos descritos nas Figuras 17 e 18, a seguir, 
desta forma, pede-se para discutir a existência da derivada nos pontos x = 1 e x = 
4, respectivamente. 
 
 
Figura 17: Primeiro gráfico do exemplo. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
47 
 
 
 
Figura 18: Segundo gráfico do exemplo. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
Solução: Salientamos inicialmente que para realizarmos uma análise gráfica da 
existência da derivada em um ponto, podemos traçar retas secantes que passam 
pelo ponto dado e por outro ponto na sua vizinhança e observarmos a sua 
posição limite (posição de tangência). Quando as secantes não têm uma 
única posição limite ou se tornam verticais, a derivada não existe. Sendo 
assim, observando as figuras dadas, podemos afirmar que em ambos os casos a 
derivada não existe. 
 No caso do gráfico mostrado na Figura 17, é possível observarmos que as 
retas secantes convergem para a posição vertical. Logo, dizemos que estamos 
diante de um ponto cuspidal. 
 No caso do gráfico mostrado na Figura 18, é possível notarmos que as 
secantes assumem duas posições diferentes no seu limite. Desta maneira, 
estamos diante da situação em que as derivadas laterais existem, mas são 
diferentes, portanto, a derivada no ponto x = 4 não existe. Aqui, falamos então 
que estamos diante de um ponto anguloso. 
 
 
48 
 
 
Figura 19: Tipos de pontos. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
9. Regras Operatórias das Derivadas 
 Neste momento, estaremos interessados em apresentar a aritmética 
envolvendo as derivadas, ou seja, descreveremos as principais regras 
operatórias das derivadas, tais como, a derivada de uma constante, a derivada 
de uma soma, de um produto, entre outras. Salientamos que não é de nosso 
interesse apresentar as provas envolvendo tais regras, para tais provas você 
pode encontrar nas referências bibliográficas [1], [2] e [3]. 
Desta forma, enumeramos as regras operatórias envolvendo as derivadas como 
segue. 
R1) (Derivada de Uma Constante): se c é uma constante e f(x) = c para todo x, 
então temos que f ’(x) = 0, ou seja, a derivada de uma função constante é zero. 
Exemplo 25: Se y = f(x) = 2 então 
dx
dy
 = 0. 
R2) (Regra da Potência): se n é um número inteiro positivo (n > 0) e f(x) = x n 
então temos que f ’(x) = n. x 1n . 
Exemplo 26: Desta forma, note, por exemplo, que: 
a) Sendo f(x) = x 3 então f ’(x) = 3.x 2 ; 
 
b) Se f(x) = x então f’(x) = 1; 
c) Se tivermos f(x) = x 5 então 
dx
dy
 = 5.x 4 ; 
49 
 
d) Seja f(x) = 
3
1
x
 = x 3 então f’(x) = – 3.x 13 = – 3.x 4 . 
 
R3) (Derivada do Produto de uma Constante por uma Função): consideremos 
f(x) uma função, c uma constante e g a função definida por g(x) = c.f(x). Se f ’(x) 
existe então g’(x) = c.f ’(x). 
Exemplo 27: Desta forma, observe, por exemplo, que: 
a) Consideremos a função f(x) = 8.x 2 então f ’(x) = 8.(2x) = 16x . 
 
b) Se f(x) = 3x então f ’(x) = 3.(1) = 3 . 
c) Se y(t) = 3t 5 então 
dt
dy
 = 3.(5t 4 ) = 15.t 4 . 
 
R4) (Derivada de Uma Soma): consideremos f(x) e g(x) duas funções e h(x) a 
função definida por h(x) = f(x) + g(x). Se f ’(x) e g’(x) existem, então h’(x) = f ’(x) 
+ g’(x). 
 
Importante! Salientamos que a Regra 4 se aplica a um número finito de 
funções, isto é, a derivada de uma soma de um número finito de funções é 
igual à soma de suas derivadas, se estas existirem. 
 
Exemplo 28: Desta forma, note, por exemplo, que: 
a) Se f(x) = 3x 4 + 8x + 5 então f ’(x) = 3.(4x 3 ) + 8.(1) + 0 = 12x 3 + 8. 
 
b) Se f(x) = 3x – 4 então f ’(x) = 3.(1) – 0 = 3. 
 
c) Seja g(y) = 9y 5 – 4y 2 + 2y + 7 então g ’(y) = 9.(5y 4 ) – 4.(2y) + 2.(1) + 0 = 
45y 4 – 8y + 2 . 
 
R5) (Derivada de Um Produto): consideremos f(x) e g(x) duas funções e h(x) a 
função definida por h(x) = f(x).g(x). Se f ’(x) e g’(x) existem, então h’(x) = 
f(x).g’(x) + f ’(x).g(x). 
Exemplo 29: Desta forma, observe, por exemplo, que: 
50 
 
a) Seja f(x) = (2x – 1).(x + 3) então f ’(x) = (2x – 1).(1) + (2).(x + 3) = 2x – 1 + 2x 
+ 6 = 4x + 5. 
 
b) Seja f(x) = (4x + 7).(5x + 2) então f ’(x) = (4x + 7).(5) + (4).(5x + 2) = 20x + 35 + 
20x + 8 = 40x + 43. 
 
c) Seja f(x) = (4x + 7).(x 2 + 2) então f ’(x) = (4x + 7).(2x) + (4).(x 2 + 2) = 8x 2 + 14x 
+ 4x 2 + 8 = 12x 2 + 14x + 8. 
R6) (Derivada de Um Quociente): consideremos f(x) e g(x) duas funções e h(x) 
a função definida por h(x) = 
)(
)(
xg
xf
, onde g(x) ≠ 0. Se f ’(x) e g’(x) existem, então 
h’(x) = 
2)]([
)().(')().('
xg
xfxgxgxf 
. 
 
Exemplo 30: Por exemplo, temos que: 
a) Seja h(x) = 
23
1


x
x
, logo: 
 
h’(x) = 
2)]([
)().(')().('
xg
xfxgxgxf 
 = 
2)23(
)1).(3()23.(1


x
xx
 = 
2)23(
3323


x
xx
 = 
2)23(
5


x
 
b) Se h(x) = 
35
24


x
x
, então: 
 
h’(x) = 
2)]([
)().(')().('
xg
xfxgxgxf 
 = 
2)35(
)24).(5()35).(4(


x
xx
= 
2)35(
10201220


x
xx
 = 
2)35(
2
x
 
c) Sendo h(x) = 
35
32
2
4


xx
x
 então: 
 
h’(x) = 
2)]([
)().(')().('
xg
xfxgxgxf 
 = 
22
423
)35(
)32).(52()35).(8(


xx
xxxxx
 
 
51 
 
10. A Regra da Cadeia: Calculando a Derivada de Uma Função Composta 
É sabido que em diversas situações nos deparamos com uma função que se 
escreve como uma composição de outras funções, desta forma, é necessária a 
determinação da derivada de tal função. Sendo assim, aqui é de nosso objetivo 
descrever a regra que caracteriza o cálculo da derivada de uma função 
composta. Tal regra é conhecida como a Regra da Cadeia. Ou seja, segundo 
Guidorizzi (2003), as regras já apresentadas permitem derivar funções que podem 
ser representadas por expressões com termos simples, o que ocorre com funções 
conhecidas, porém tais regras não se aplicam a funções mais complexas, como, 
por exemplo, f(x) = (2x – 3)15, pois é praticamente impossível derivar um produto 
com 15 termos pela regra usual do produto. No entanto, podemos expressar esta 
função como a composta de duas funções mais simples, motivo pelo qual, 
aprenderemos a derivar qualquer função formada pela composição de funções 
com derivadas conhecidas. A seguir, apresentamos a Regra da Cadeia, que nos 
dá a derivada da função composta. 
 
Teorema 02 (A Regra da Cadeia) - Guidorizzi (2003), sejam f e g funções 
deriváveis e h a função composta definida por h(x) = (f g)(x) = f(g(x)). Se u = 
g(x) é derivável no ponto x e se y = f(u) é derivável no ponto u = g(x), então a 
função composta h é derivável no ponto x e a sua derivada é dada por: 
h'(x) = (f g)’(x) = [f(g(x)]’ = f ’(g(x)).g’(x) 
Para maiores detalhes, com relação à prova de tal resultado, você pode encontrar 
na referência citada do Teorema. 
 
Importante! O Teorema 02 nos diz que a derivada de uma função composta 
é igual à derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a 
derivada da função de fora. 
 
Exemplo 31: Por exemplo, utilizando a Regra da Cadeia, vamos encontrar a 
derivada das seguintes funções: 
a) h(x) = (2x + 1) 3 
 
b) h(x) = (x + 4) 10 
52 
 
 
c) h(x) = (3x + 2) 2 
 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
a) h(x) = (2x + 1) 3 : notemos que para h(x) = (2x + 1) 3 , temos que g(x) = 2x + 1 e 
f(x) = x 3 , ou seja, a função h(x) é a composta das funções f(x) e g(x), ou ainda, 
h(x) = f(g(x)), portanto devemos utilizar a regra da cadeia para encontrarmos 
a derivada da função h(x). Logo: 
[f(g(x)]’ = f ’(g(x)).g’(x) = f’(2x+1).g’(x) = 3.(2x+1) 2 .(2) = 6.(2x+1) 2 
b) h(x) = (x + 4) 10 : notemos que para h(x) = (x + 4) 10 , temos que g(x) = x + 4 e f(x) 
= x 10 , ou seja, a função h(x) é a compostadas funções f(x) e g(x), ou ainda, 
h(x) = f(g(x)), portanto devemos utilizar a regra da cadeia para encontrarmos 
a derivada da função h(x). Logo: 
[f(g(x)]’ = f ’(g(x)).g’(x) = f’(x+4).g’(x) = 10.(x+4) 9 .(1) = 10.(x+4) 9 
c) h(x) = (3x + 2) 2 : temos que g(x) = 3x + 2 e f(x) = x 2 , ou seja, a função h(x) é a 
composta das funções f(x) e g(x), ou ainda, h(x) = f(g(x)), portanto devemos 
utilizar a regra da cadeia para encontrarmos a derivada da função h(x). Logo: 
 
[f(g(x)]’ = f ’(g(x)).g’(x) = f’(3x+2).g’(x) = 2.(3x+2).3 = 6.(3x + 2) = 18x + 12 
 
Exemplo 32: Considerando a função y = h(x) = 
5
12
23








x
x
, vamos encontrar 
dx
dy
. 
Solução: Neste caso, podemos observar que a função h(x) é a composta 
envolvendo as funções g(x) = 







12
23
x
x
e f(x) = 5x , logo, devemos utilizar a regra 
da cadeia para encontrarmos a derivada 
dx
dy
. Além disso, devemos notar que 
quando ao determinarmos a derivada g’(x) na regra da cadeia, devemos utilizar a 
regra do quociente. Daí: 
dx
dy
 = h’(x) = [f(g(x)]’ = f ’(g(x)).g’(x) = 5.
4
12
23








x
x
.
  
)('
2)12(
)23.(2)12.(3
xg
x
xx


 
53 
 
Ou seja, 
dx
dy
 = h’(x) = 5.
4
12
23








x
x
.
2)12(
1


x
. 
 
11. A Derivada da Função Inversa 
Aqui, estaremos interessados em discutir o cálculo da derivada de uma 
função inversa, ou seja, a partir da derivada de uma função y = f(x), é nosso 
objetivo encontrar a derivada de sua função inversa a partir do conhecimento de f 
’(x). Para tal, temos o conhecido Teorema Derivada da Função Inversa que é 
descrito abaixo. 
 
Teorema 03 (Derivada da Função Inversa) - Guidorizzi (2003), seja y = f(x) uma 
função definida em um intervalo aberto (a, b). Suponhamos que f(x) admita uma 
função inversa x = g(y) contínua. Se f’(x) existe e é diferente de zero (f’(x)≠ 0) para 
qualquer x(a,b), então g = f 1 é derivável e é determinada pela expressão: 
g'(y) = 
)('
1
xf
 = 
))(('
1
ygf
 
Este resultado será muito importante para determinarmos a derivada de 
funções elementares que é a função inversa de outras funções, por exemplo, para 
encontrarmos a derivada da função logarítmica, usaremos o fato da mesma ser a 
função inversa da função exponencial. Tais derivadas de funções elementares 
serão discutidas na próxima seção. 
 
Exemplo 33: Consideremos a função y = f(x) = 4x – 3. Vamos calcular a derivada 
da sua inversa. 
 
Solução: Temos que a função inversa de f(x) é: 
x = g(y) = 
4
1
.(y + 3) 
Além disso, f’(x) = 4 e desta forma pelo Teorema da Derivada da Função 
Inversa, segue que, g'(y) = 
)('
1
xf
 = 
4
1
. 
 
54 
 
Exemplo 34: Na Figura 20 a seguir, apresentamos os gráficos referentes as 
funções f(x) = x 2 + 1 definida em [0; + ∞ ) e g(x) = 1x definida para o intervalo 
x[1; +∞ ). Pela simetria com a bissetriz dos quadrantes ímpares (reta y = x), 
podemos afirmar que f(x) e g(x) são funções inversas uma da outra. Propriedade 
esta relacionada a funções inversas, ou seja, duas funções inversas possuem os 
gráficos simétricos com relação a reta y = x. A equação da reta tangente à curva 
f(x) = x 2 + 1 no ponto (2, 5) é y = 4x – 3 e a equação da reta tangente à curva 
g(x) = 1x no ponto (5, 2) é dada por y = 
4
1
x – ¾. Podemos notar que as 
declividades são inversas uma da outra, que vem casado de acordo com o 
Teorema 03 anterior. 
 
 
Figura 20: A interpretação geométrica do exemplo. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
12. A Derivada de Funções Elementares da Matemática 
Agora é de nosso interesse apresentar as derivadas relacionadas às principais 
funções da Matemática, o que denominamos de funções elementares, que 
aparecem em diversas situações do Cálculo Diferencial e Integral. Sendo assim, 
por exemplo, podemos citar como funções elementares: a função exponencial, 
a função logarítmica, funções trigonométricas (seno, coseno, tangente, entre 
55 
 
outras), entre outras. Ressaltamos, que as regras apresentadas aqui serão 
utilizadas ao longo de todo o estudo do Cálculo Diferencial e Integral, sendo ele 
de uma variável real ou de várias variáveis. 
 
R7) (Derivada da Função Exponencial): consideremos a função exponencial de 
base a, f(x) = a x (a > 0 e a ≠ 1) então a sua derivada é dada por f ’(x) = a
x
.lna, (a 
> 0 e a ≠ 1). 
 
Exemplo 35: Desta forma, observe, por exemplo, que: 
a) Se considerarmos f(x) = 2 x (a função exponencial de base 2) então, temos que 
a sua derivada é dada por f ’(x) = 2 x .ln2. 
 
b) Se f(x) = 5 x então f ’(x) = 5 x .ln5. 
 
c) Se f(x) = e x então f ’(x) = e x .lne logo f ’(x) = e x . Note então que a derivada da 
função f(x) = e x é ela mesma. 
 
R8) (Derivada da Função Logarítmica): consideremos a função logarítmica f(x) 
= xalog (a > 0 e a ≠ 1) então a sua derivada é dada por f ’(x) = 
x
1
. ealog , (a > 0 e 
a ≠ 1). 
 
Exemplo 36: Desta forma, note, por exemplo, que: 
a) Se considerarmos a função logarítmica f(x) = x2log , então f ’(x) = 
x
1
. e2log . 
b) Se f(x) = x3log , então f ’(x) = 
x
1
. e3log . 
c) Se f(x) = lnx = loge x então f ’(x) = 
x
1
. loge e , daí f’(x) = 
x
1
. 
 
56 
 
R9) (Derivada da Função Exponencial Composta): se y = u v , onde u = u(x) e v 
= v(x) são funções de x, deriváveis num intervalo I e u(x) > 0, Ix , então y’ = 
v.u 1v .u’ + u v . v'. lnu. 
. 
Exemplo 37: Calcular as derivadas das seguintes funções a seguir: 
a) y = 3 132
2  xx 
 
b) y = 
x






2
1
 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
a) Vamos fazer u = 2.x 2 + 3x – 1, daí temos que y = 3 u , donde concluímos 
que: 
y' = 3 u .ln3. u’ 
y' = 3 132
2  xx .ln3. (4x + 3) 
b) Temos y = 
u






2
1
, onde u = x . Desta maneira: 
y' = 
u






2
1
.ln
2
1
. u’ 
y' = 
u






2
1
.ln
2
1
. 
x2
1
 
 
R10) (Derivada da Função Seno): Se y = senx, então y’ = cosx. 
 
Exemplo 38: Desta forma, note, por exemplo, que: 
a) Se f(x) = 2.senx então f ’(x) = 2.cosx. 
 
b) Se f(x) = sen²x, ou seja, f(x) = (senx).(senx) então f ’(x) = (cosx).(senx) + 
(cosx).(senx) = 2.senx.cosx. 
 
R11) (Derivada da Função Coseno): Se y = cosx, então y’ = – senx. 
57 
 
 
Exemplo 39: Desta forma, observe, por exemplo, que: 
a) Se f(x) = 3.cosx então f ’(x) = – 3.senx. 
 
b) Se f(x) = cos²x, ou seja, se f(x) = (cosx).(cosx) então f ’(x) = (– senx).( cosx) 
+ (– senx).( cosx) = – 2.senx.cosx. 
Além disso, para as demais funções trigonométricas que são obviamente 
definidas a partir das funções seno e coseno, temos as seguintes regras 
referentes à derivação, que são de fácil entendimento; tais regras são 
apresentadas no Quadro 07 a seguir. 
Quadro 07: Derivadas das demais funções trigonométricas. 
Função f(x) Derivada f ’(x) 
y = tgx = 
x
senx
cos
 y ’ = sec 2 x = 
x2cos
1
 
y = cotgx = 
senx
xcos
 y ’ = – cosec 2 x = 
xsen2
1
 
y = secx = 
xcos
1
 
y ’ = secx.tgx 
y = cosecx = 
senx
1
 
y ’ = – cosecx.cotgx 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
 Por outro lado, levando em consideração a Regra da Cadeia, obtemos as 
fórmulas gerais referentes à derivação de funções trigonométricas, como listadas 
no Quadro 08 abaixo. 
Quadro 08: Fórmulas Gerais de Derivadas das funções trigonométricas. 
Função f(x) Derivada f ’(x) 
y = senu y' = cosu.(u’) 
 
y = cosu y' = – senu.(u’) 
 
y = tgu 
 
y ’ = sec 2 u.(u’) 
58 
 
y = cotgu 
 
y ’ = – cosec 2 u.(u’) 
y = secu 
 
y ’ = secu.tgu .(u’) 
y = cosecu y ’ = – cosecu.cotgu.(u’) 
 Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
Vejamos alguns exemplos que ilustram o cálculo de derivadas envolvendo 
as funções trigonométricas. 
 
Exemplo 40: Considerando f(x) = sen(3x) vamos determinar f ’(x). 
Solução: Neste caso, além de utilizarmos a derivada da função seno de x, é 
necessário aplicarmos a Regra da Cadeia, como segue: fazendo u = 3x segue 
que u’ = 3,daí: 
f(x) = senu  f ’(x) = cosu.(u’) = 3.cos(3x) 
Ou seja, concluímos que f ’(x) = 3.cos(3x). 
 
Exemplo 41: Considerando f(x) = cos(5x) vamos determinar f ’(x). 
Solução: Neste caso, além de utilizarmos a derivada da função coseno de x, é 
necessário aplicarmos a Regra da Cadeia, como segue: fazendo u = 5x segue 
que u’ = 5, daí: 
f(x) = senu  f ’(x) = – cosu.(u’) = – 5.cos(5x) 
Ou seja, concluímos que f ’(x) = – 5.cos(5x). 
 
Exemplo 42: Considerando f(x) = sen 2 x + cos 2 x vamos determinar f ’(x). 
Solução: Neste caso, notemos que f(x) nada mais é do que a relação 
trigonométrica fundamental (i.e., sabemos que sen 2 x + cos 2 x = 1), donde 
conluímos que f ’(x) = 0. Podemos averiguar tal fato também como segue: 
f(x) = sen 2 x + cos 2 x  f ’(x) = [sen 2 x] ’ + [cos 2 x] ’ 
Ou seja, 
f ’(x) = 2.senx.[senx] ’ + 2.cosx.[cosx] ’ 
f ’(x) = 2.senx.cosx + 2.cosx.( – senx) 
f ’(x) = 2.senx.cosx – 2.cosx.senx 
59 
 
f ’(x) = 0 
 
Exemplo 43: Vamos calcular a derivada das seguintes funções: 
a) y = sen(x 2 ) 
b) y = cos(
x
1
) 
c) y = 3.tg( x ) + cotg(3x) 
 
d) y = 
gx
x
cot1
cos

 
e) y = sec(x 2 + 3x + 7) 
 
f) y = cosec(
1
1


x
x
) 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
a) y = sen(x 2 ): Fazendo u = x 2 temos que y = senu, logo y’ = senu.(u’), ou seja, 
y’ = (cosu).(u’) = [cos(x 2 )].(2x) = 2x.cos(x 2 ), portanto, y’ = 2x.cos(x 2 ) 
 
b) y = cos(
x
1
): Fazendo u = 
x
1
 temos que y = cosu, logo y’ = cosu.(u’), ou 
seja, y’ = (senu).(u’) = [ – sen(
x
1
)].(
2
1
x

) = 
2
1
x
.sen(
x
1
), portanto, y’ = 
2
1
x
.sen(
x
1
). 
 
c) y = 3.tg( x ) + cotg(3x), logo: 
 
 y’ = [3.tg( x )]’ + [cotg(3x)]’ = 3.sec 2 ( x ).( x )’ + [– cosec 2 (3x)].(3x)’ = 
3.sec 2 ( x ).(
x2
1
) – 3.cosec 2 (3x), portanto, y’ = 3.sec 2 ( x ).(
x2
1
) – 
3.cosec 2 (3x). 
60 
 
d) y = 
gx
x
cot1
cos

 logo utilizando a regra do quociente, segue que: 
y’ = 
2)cot1(
)'cot1.(cos)').(coscot1(
gx
gxxxgx


 
y’ = 
2
2
)cot1(
)cos.(cos)).(cot1(
gx
xecxsenxgx


 
y’ = 
2
2
)cot1(
cos.coscot.
gx
xecxgxsenxsenx


 
e) y = sec(x 2 + 3x + 7): Fazendo u = x 2 +3x + 7, temos que y = secu, logo: 
y’ = secu.tgu.(u’) = [sec(x 2 + 3x + 7).( tg(x 2 + 3x + 7)].(2x + 3) 
y’ = (2x + 3). sec(x 2 + 3x + 7).tg(x 2 + 3x + 7) 
f) y = cosec(
1
1


x
x
): Fazendo u = 
1
1


x
x
, temos que y = cosecu, logo: 
y’ = – cosecu.cotgu.(u’) = [– cosec(
1
1


x
x
).cotg(
1
1


x
x
)].(
2)1(
2


x
) 
y’ = 
2)1(
2
x
. cosec(
1
1


x
x
).cotg(
1
1


x
x
) 
 
13. Derivadas Sucessivas 
Consideremos f(x) uma função derivável em um determinado conjunto. Se a 
sua primeira derivada (f ') também for derivável, então a derivada de f ' é 
denominada derivada segunda de f e é representada por f " (f duas linhas). Se 
f" é uma função derivável, a sua derivada dada por f ' ' ', é denominada derivada 
terceira de f. A derivada de ordem n da função f(x) denotada por f (n) é obtida 
pela derivada da derivada de ordem n – 1 de f. Abaixo no Quadro 09 listamos 
algumas notações para derivadas de ordem superior. 
Quadro 09: Notações para derivadas de ordem superior. 
Derivada Notação Nomenclatura 
f ' 
f’(x) ou y’ ou 
dx
dy
 
Derivada de 
primeira ordem 
f ’’ = (f ')’ 
f’’(x) ou y’’ ou 
2
2
dx
yd
 
Derivada de 
segunda ordem 
61 
 
f ’’’ = (f ’’)’ 
f’’’(x) ou y’’’ ou 
3
3
dx
yd
 
Derivada de 
terceira ordem 
f ’’’’ = (f ’’’)’ 
f’’’’(x) ou y’’’’ ou 
4
4
dx
yd
 
Derivada de quarta 
ordem 
... ... ... 
f (n) = (f (n-1))’ 
f (n)(x) ou y (n) ou 
n
n
dx
yd
 
Derivada de ordem 
n (ou enésima 
derivada de f(x)) 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Exemplo 44: Consideremos a função f(x) = 3x 2 + 8x + 1, desta forma, temos que: 
f '(x) = 6x + 8 
f ’’(x) = 6 
f ’’’(x) = 0 
Exemplo 45: Consideremos a função f(x) = tgx, desta forma, temos que: 
f '(x) = sec 2 x 
f ’’(x) = 2.secx.secx.tgx = 2. sec 2 x.tgx 
 
Exemplo 47: Consideremos a função f(x) = 12 x , desta forma, temos que: 
f '(x) = )2.()1.(
2
1
2
1
2 xx

 = 2
1
2 )1.(

xx 
f ’’(x) = 1.)1()2.()1.(
2
1
. 2
1
22
3
2



xxxx = 
32
2
2 )1(1
1


 x
x
x
 
 
Exemplo 48: Consideremos a função f(x) = 4x 2 + 8x + 1, desta forma, temos que: 
f '(x) = 8x + 8 
f ’’(x) = 8 
f ’’’(x) = 0 
…………… 
f (n) (x) = 0, para todo n ≥ 3 
 
Exemplo 49: Consideremos a função f(x) = 3x 5 + 8x 2 , desta forma, temos que: 
62 
 
f '(x) = 15x 4 + 16x 
f ’’(x) = 60x 3 + 16 
f ’’’(x) = 180x 2 
f ’’’’(x) = 360x 
f (v) = = 360 
f (vi) = 0 
…………… 
f (n)(x) = 0, para todo n ≥ 6 
 
Exemplo 50: Consideremos a função f(x) = senx, logo: 
f '(x) = cosx 
f ’’(x) = – senx 
f ’’’(x) = – cosx 
 
f ’’’’(x) = senx 
 
…………… 
 
f (n)(x) = 











...,12,8,4,
...,11,7,3,cos
...,10,6,2,
,...9,5,1,cos
nparasenx
nparax
nparasenx
nparax
 
 
14. Derivação Implícita 
 Salientamos que as funções que trabalharmos até o presente momento, 
foram sempre apresentadas na forma explícita y = f(x), em que podemos 
determinar y em termos de x. Por exemplo, y = f(x) = esen(x) pode ser derivada 
pelas regras comuns, pois y e x estão separadas. Porém, em diversas situações, 
trabalhamos com equações em x e y, como por exemplo, x 2 + y 2 = 1 ou xy + 
sen(xy) = 3. Onde nem sempre se podemos explicitar para a variável y ser 
definida em função de x (deixar a variável y sozinha). As equações acima 
definem relações entre y e x, mas nem sempre se pode definir y como uma única 
função de x. Desta forma, poderemos explicitar y na primeira, porém não 
63 
 
explicitaremos y na segunda, por ser impossível. Para x 2 + y 2 = 1, temos 
associadas duas possíveis soluções, que são y = + 21 x , e obtemos as 
derivadas pelos processos comuns. No caso em que temos xy + sen(xy) = 3, não 
é possível extrair o valor de y em função de x e isto nos força a pensar na 
possibilidade da existência da derivada f ', mesmo que não exista uma função y = 
f(x). Sendo assim, vamos apresentar um processo que nos poupe cálculos, isto é, 
que nos poupe trabalho. 
Definição (Função na Forma Implícita) Fleming e Gonçalves (1992): 
consideremos a equação F(x, y) = 0. Dizemos que a função y = f(x) é definida 
implicitamente pela equação (I) se, ao substituirmos y por f(x) em (I), esta 
equação se transforma numa identidade. 
Exemplo 51: A equação x 2 + 
2
1
.y – 1 = 0 define implicitamente y = 2.(1 – x 2 ). 
De fato, para tal basta substituirmos y = 2.(1 – x 2 ) na equação x 2 + 
2
1
.y – 1 = 0, 
obtemos a identidade x 2 + 
2
1
.2.(1 – x 2 ) – 1 = 0. 
 
Exemplo 52: A equação x 2 + y 2 = 4 define, implicitamente, uma infinidade de 
funções. De fato, se resolvermos a equação para y como função de x, temos que 
y = 24 x . Duas funções na forma implícita são obtidas de forma natural como 
segue: 
y = 24 x e y = 24 x 
 Os gráficos dessas funções são, respectivamente, a 
semicircunferência superior e inferior da circunferência com centro na origem O 
(0, 0) e raio r = 2, como mostramos na Figura 21 a seguir. 
64 
 
 
Figura 21: Os gráficos das funções y = 
24 x e y = 24 x . 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
 De outra forma, podemos observar que se pode obter outras funções 
implícitas da equação x 2 + y 2 = 4. Se tomarmos um número real c (c  ) 
qualquer entre – 2 e 2, podemos definir a função: 
h(x) = 






.,4
,4
2
2
cxparax
cxparax
 
 A função h(x) é definida implicitamente pela equação x 2 + y 2 = 4, pois 
x 2 + [h(x)] 2 = 4 para todo x no domínio de h. Podemos visualizar o seu gráfico na 
Figura 22, abaixo. 
 
Figura 22: O gráfico da função h(x) = 






.,4
,4
2
2
cxparax
cxparax
. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
65