APOL segunda tentativa

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Questão 1/10 - Cálculo Numérico
Leia trecho de texto a seguir:
"Na capitalização composta, essa história vai ficar um pouco diferente. Nos juros compostos, a base de cálculo será sempre o montante e não mais apenas o capital sozinho, ou seja, a cada nova capitalização (geração do juro) a taxa de juros será multiplicada pelo somatório do capital com o juro anterior (montante). "
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em http://proedu.ifce.edu.br/bitstream/handle/123456789/584/Aula_06.pdf?sequence=6&isAllowed=y. Acesso em 22 Mai. 2018.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo numérico sobre arredondamento, considere o seguinte problema: Florisvaldo decidiu adquirir um carro e, para tal fez um empréstimo bancário. Para adquirir o carro zero, Florisvaldo precisou de R$  30.000,0030.000,00 (capital, C), que serão pagos em 36 meses (período, n), a uma taxa de 2%2%   (taxa no período, i=0,02) ao mês de juros compostos. O montante (M) ou o valor pago no final do período é dado pela expressão: M=C(1+i)nM=C(1+i)n e foi calculado pelo banco, que apresentou o valor de R$  61.196,62 61.196,62 a ser pago pelo Florisvaldo no final dos 36 meses. 
Agora, leia as seguintes afirmações: 
I. O valor da expressão (1+i)n(1+i)n, com arredondamento na segunda casa é de 2,04; 
II. O valor do montante, com arredondamento efetuado na terceira casa decimal em cada operação realizada, é R$ 61.170,0061.170,00; 
III. O erro relativo ocasionado pelo arredondamento, considerando o valor que R$ 61.170,0061.170,00 é o valor aproximado e o valor dado pelo banco seja o exato é de 0,000435.... 
Estão corretas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I e II.
	
	B
	II e III.
	
	C
	I.
	
	D
	I e III.
Você acertou!
Comentário: 
Afirmativa I, (1+0,02)36=2,039887343=2,040(1+0,02)36=2,039887343=2,040 logo esta afirmativa é correta.
Afirmativa II, M=30000.(1+0,02)36=30000.2.039887343=30000.2.040=61200M=30000.(1+0,02)36=30000.2.039887343=30000.2.040=61200 Afirmativa II está incorreta.
Afirmativa III, ERx=|x−¯¯¯x|¯¯¯x=|61196,62−61170,00|61170,00=0,000435...ERx=|x−x¯|x¯=|61196,62−61170,00|61170,00=0,000435..., logo tem-se afirmativa correta.
(livro-base, p. 9-11).
	
	E
	I, II e III.
Questão 2/10 - Cálculo Numérico
Considerando os conteúdos da Aula 3, Videoaula 6 - Tema 5 -integração numérica, assinale a alternativa que dá a aproximação da integral ∫20√2x2+1dx∫022x2+1dx, pelo método 1/3 de Simpson com 8 subintervalos.
Dado: Tabela com os valores da função f(x).f(x).
Nota: 10.0
	
	A
	3,800143,80014
	
	B
	3,669903,66990
	
	C
	3,6301713,630171
Você acertou!
Calculamos o valor de hh:
h=b−a6=2−08=0,25h=b−a6=2−08=0,25
Calculamos a aproximação, pelo método 1/3 de Simpson:
∫20√2x2+1dx≈h2.((f(x0)+2.(f(x1)+f(x3)+f(x5)+f(x7))++2(f(x2)+f(x4)+f(x6))+f(x8))∫022x2+1dx≈h2.((f(x0)+2.(f(x1)+f(x3)+f(x5)+f(x7))++2(f(x2)+f(x4)+f(x6))+f(x8))
∫20√2x2+1dx≈0,253(1+4(1,060660+1,457738++2,031010+2,669270)+2(1,224745+1,732051+2,345208)+3)≈3,630171∫022x2+1dx≈0,253(1+4(1,060660+1,457738++2,031010+2,669270)+2(1,224745+1,732051+2,345208)+3)≈3,630171
(Roteiro de estudos - aula 3 - vídeo 6 -tema 5 -integração numérica --3:32 s)
	
	D
	3,4569873,456987
	
	E
	3,2456013,245601
Questão 3/10 - Cálculo Numérico
Leia trecho de texto a seguir:
"Como dependendo das grandezas envolvidas o erro absoluto pode não ser muito significativo, portanto empregamos o erro relativo que é o erro absoluto dividido pelo valor aproximado ¯¯¯xx¯." 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em http://silveiraneto.net/estudos/erro-absoluto-e-erro-relativo/. Acesso em 22 Mai. 2018.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo Numérico sobre erros, leia as seguintes informações:
Seja a expressão a.b−c.da.b−c.d, tal que os valores exatos de a, b, c e d são, respectivamente, a=2,362, b=4,287, c=5,863 e d=4,893a=2,362, b=4,287, c=5,863 e d=4,893, assinale a alternativa que dá o valor aproximado, com arredondamento na primeira casa decimal para cada operação, da expressão dada.
Nota: 10.0
	
	A
	-18,6
Você acertou!
Comentário: 
Cálculo do valor exato: 2,362×4,287−5,863×4,893=10,125894−28,687659=−18,5617652,362×4,287−5,863×4,893=10,125894−28,687659=−18,561765 
Cálculo do valor aproximado: 2,362×4,287−5,863×4,893=10,1259−28,6877=10,1−28,7=−18,6.2,362×4,287−5,863×4,893=10,1259−28,6877=10,1−28,7=−18,6. 
(livro-base, p. 9-12).
	
	B
	-18,5
	
	C
	-18,56
	
	D
	-18,57
	
	E
	-19
Questão 4/10 - Cálculo Numérico
Leia o trecho sobre o método de Newton-Raphson: 
"Este método, sob determinadas condições, apresenta vantagens sobre os  método anteriores: é de convergência mais rápida e, para encontrar as raízes, não é  obrigatória a condição f(a)×f(b)<0f(a)×f(b)<0." 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
www2.ufersa.edu.br/portal/view/uploads/setores/114/arquivos/matematica/calculo_numerico/met_newton_raphson.pdf. Acesso em 02 jun. 2018. 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo Numérico sobre o método da Newton-Raphson e a função f(x)=x2+x−6f(x)=x2+x−6, assinale a alternativa que dá o zero da função com valor inicial x0=1,5x0=1,5, pelo método de Newton-Raphson, com critério de parada |xn−xn+1||xn−xn+1| e precisão ϵ=0,07ϵ=0,07. 
Complete a tabela a seguir (utilize as primeiras linhas que forem necessárias, até atingir a precisão desejada).
nxf(x)f´(x)|(xn−xn+1|01234nxf(x)f´(x)|(xn−xn+1|01234
Nota: 10.0
	
	A
	1,9551,955
	
	B
	2,06252,0625
	
	C
	2,00076212,0007621
Você acertou!
Comentário: Construindo a tabela, pelo método de Newton, temos:
nxf(x)f´(x)|(xn−xn+1|01,5−2,254∗12,06250,316406255,1250,562522,0007621950,0038115575,001524390,061737805nxf(x)f´(x)|(xn−xn+1|01,5−2,254∗12,06250,316406255,1250,562522,0007621950,0038115575,001524390,061737805
A raiz é x=2,0007621x=2,0007621 e o erro absoluto é igual 0,061737805.0,061737805.
(livro-base p. 44-46)
	
	D
	2,122352,12235
	
	E
	1,89991,8999
Questão 5/10 - Cálculo Numérico
Leia trecho de texto a seguir:
"O método de Gauss-Seidel é uma variante do anterior, onde se busca acelerar a solução. Para tanto, aplica-se a aproximação inicial ao cálculo de x1x1, isto é:x1=f1(0,0...0)x1=f1(0,0...0) e em seguida já se utiliza esse novo valor de x1x1 no cálculo de x2x2, isto é: x2=f2(x1,0...0)x2=f2(x1,0...0) e assim por diante. Em princípio esse método tende a convergir mais rápido que o de Jacobi, havendo casos em que isso não ocorre por compensação de erros.."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: http://www.raymundodeoliveira.eng.br/Metodo_Gauss_Seidel.htm. Acesso em 18 Jun. 2018.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base cálculo numérico sobre o método de Gauss-Seidel para sistemas de equações lineares e o sistema de equações a seguir:
⎧⎪⎨⎪⎩5x+y+z=53x+4y+z=63x+3y+6z=0{5x+y+z=53x+4y+z=63x+3y+6z=0
Agora, analise as seguintes afirmativas.
I. O critério de linhas é satisfeito.
II. Usando uma atribuição inicial
x(0)=⎡⎢⎣000⎤⎥⎦x(0)=[000]
, a aproximação obtida na interação seguinte é
x(1)=⎡⎢⎣1,0250,95−0,9875⎤⎥⎦x(1)=[1,0250,95−0,9875]
III. Usando uma atribuição inicial
x(0)=⎡⎢⎣10,75−0,875⎤⎥⎦x(0)=[10,75−0,875]
, a precisão na segunda iteração (x(2))x(2)) é menor que 0,1.
Estão corretas somente as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	III
Você acertou!
Afirmativa I, O critério não é satisfeito pois 5>|1|+|1|,4>|3|+|1|(falso) e 6>|3|+|3|(falso)5>|1|+|1|,4>|3|+|1|(falso) e 6>|3|+|3|(falso),logo item incorreto.
Afirmativa II, Isolando as variáveis da diagonal principal, temos
⎧⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪⎩x=5−y−z5y=6−3x−z4z=−3x−3y6{x=5−y−z5y=6−3x−z4z=−3x−3y6
, substituindo x=y=z=0x=y=z=0, temos
⎧⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪⎩x=5+0−05y=6−3.1+04z=−1−0,756{x=5+0−05y=6−3.1+04z=−1−0,756
A solução da primeira iteração é x=1,y=0,75,z=−0,875x=1,y=0,75,z=−0,875, logo item incorreto.
Afirmativa III, calculamos a solução x(1),x=1,y=0,75,z=−0,875x(1),x=1,y=0,75,z=−0,875, então temos⎧⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪⎩x=5−0,75+0,8755=1,025y=6−3.1,025+0,8754=0,95z=−3.1,025−3.0,956=−0,9875{x=5−0,75+0,8755=1,025y=6−3.1,025+0,8754=0,95z=−3.1,025−3.0,956=−0,9875
, temos a aproximação x=1,025,y=0,95 e z=−0,9875x=1,025,y=0,95 e z=−0,9875, subtraímos
|x(1)−x(2)|=⎡⎢⎣0,26660,3041670,6333⎤⎥⎦|x(1)−x(2)|=[0,26660,3041670,6333]
Agora a segunda iteração.
⎧⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪⎩x=5−0,95+0,98755=1,0075y=6−3.1,0075+0,98754=0,99125z=−3.1,0075−3.0,991256=−0,99938{x=5−0,95+0,98755=1,0075y=6−3.1,0075+0,98754=0,99125z=−3.1,0075−3.0,991256=−0,99938
, temos a aproximação x=1,025,y=0,95ez=−0,9875x=1,025,y=0,95ez=−0,9875, subtraímos
|x(1)−x(2)|=⎡⎢⎣0,01750,041250,011875⎤⎥⎦|x(1)−x(2)|=[0,01750,041250,011875]
logo a precisão deve ser menor que 0,1, correto. (livro-base, p. 78-79).
	
	B
	I e III
	
	C
	I, II e III
	
	D
	II e III
	
	E
	II
Questão 6/10 - Cálculo Numérico
Leia o trecho a seguir sobre regra do trapézio:
"O que caracteriza as quadraturas newtonianas é o espaçamento constante entre os pontos. O caso mais simples é denominado regra do trapézio na qual apenas dois pontos são utilizados. De acordo com o sistema, a quadratura com dois pontos é dada pela fórmula ∫baf(x)dx≈C1f(a)+C2f(b).∫abf(x)dx≈C1f(a)+C2f(b).
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: \url{http://www.mat.ufrgs.br/~guidi/grad/MAT01032/calculo_numerico.cap7.pdf}. Acesso em 03 Jul. 2018.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base cálculo numéricocálculo numérico sobre integração numérica e o método dos trapézios, calcule a integral ∫1,80√1+exdx∫01,81+exdx, empregando o método dos trapézios com 6 subintervalos. Apresente todo o desenvolvimento.
Nota: 10.0
	
	A
	3,612543,61254
	
	B
	3,4581891823,458189182
Você acertou!
Calculamos o valor de hh: 
h=b−a6=1,8−06=0,3h=b−a6=1,8−06=0,3
construímos a tabela com os valores para x e f(x):
x00,30,60,91,21,51,8f(x)1,4142135621,5329249191,6799163081,8600008362,0784890962,3413007222,655117222x00,30,60,91,21,51,8f(x)1,4142135621,5329249191,6799163081,8600008362,0784890962,3413007222,655117222
Calculamos a aproximação, pela fórmula dos trapézios para 8 subintervalos:
∫1,80√1+exdx≈h2.((f(x0)+2.(f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)+f(x5))+f(x6))∫01,81+exdx≈h2.((f(x0)+2.(f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)+f(x5))+f(x6))∫1,80√1+exdx≈0,32(1,414213562+2(1,532924919+1,679916308+1,860000836+2,078489096+2,341300722)+2,655117222)≈3,458189182∫01,81+exdx≈0,32(1,414213562+2(1,532924919+1,679916308+1,860000836+2,078489096+2,341300722)+2,655117222)≈3,458189182
(livro-base p. 64-66)
	
	C
	3,330023,33002
	
	D
	3,78813,7881
	
	E
	3,66663,6666
Questão 7/10 - Cálculo Numérico
Leia o trecho sobre o método iterativo linear:
"[...] para o caso de uma variável queríamos: f(x)=0f(x)=0. Reescreveríamos na forma x=ψ(x)x=ψ(x) e obtínhamos o seguinte processo iterativo: xk+1=ψ(xk)xk+1=ψ(xk)."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/andretta/ensino/aulas/sme0301-1-11/MILSistemas.pdf. Acesso em 03 jun. 2018.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo Numérico sobre o método iterativo linear e a função f(x)=x2−sen(x)+1f(x)=x2−sen(x)+1, assinale a alternativa cujo valor é o zero da função com valor inicial x0=1.3x0=1.3, pelo método iterativo linear com processo iterativo definido por xn+1=√sen(x)+1xn+1=sen(x)+1, com critério de parada |xn−xn+1|xn+1|xn−xn+1|xn+1 e precisão ϵ=0,001ϵ=0,001.
Complete a tabela a seguir (utilize as primeiras linhas que forem necessárias, até atingir a precisão desejada). 
nxnxn+1|xn−xn+1|xn+101234nxnxn+1|xn−xn+1|xn+101234
Nota: 10.0
	
	A
	1,500012441,50001244
	
	B
	1,39992161,3999216
	
	C
	1,493256261,49325626
	
	D
	1,555566111,55556611
	
	E
	1,4095961961,409596196
Você acertou!
Comentário: Construindo a tabela, pelo método MIL, temos: 
nxnxn+1|xn−xn+1|xn+101,31,4012702040,0722702911,4012702041,4091361990,0055821421,4091361991,4095961960,00032633234nxnxn+1|xn−xn+1|xn+101,31,4012702040,0722702911,4012702041,4091361990,0055821421,4091361991,4095961960,00032633234 
A raiz é x=1,409596x=1,409596 e o erro absoluto é igual 0,000326.0,000326.
(Livro-base p. 41-44)
Questão 8/10 - Cálculo Numérico
Leia trecho de texto a seguir:
" Conversões numéricas são utilizadas em muitos casos na computação. Isso porque nós somos acostumados com a base numérica decimal (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 , 11, ...), mas no mundo da tecnologia digital os dispositivos eletrônicos trabalham em baixo nível com a base numérica binária (0 ou 1), pois os números binários são facilmente representados na eletrônica através de pulsos elétricos. Além desses dois, as bases numéricas octal e hexadecimal também são muito utilizadas pela fácil representação. "
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: <https://dicasdeprogramacao.com.br/as-10-conversoes-numericas-mais-utilizadas-na-computacao/>. Acesso em 22 Mai. 2018.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos da vídeo-aula 1 sobre erros e conversões de bases, leia as seguintes as afirmações:
I. O número binário 1011210112 na base decimal é 11101110; 
II. A representação do número 3,25103,2510 na base binária é 11,01211,012; 
III. Se o valor exato de xx vale 1,51,5 e o seu valor aproximado é 1,491,49, então o erro relativo ERx=0,006711...ERx=0,006711....
Estão corretas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	Todas são verdadeiras
Você acertou!
Comentário: Afirmativa I, O número 10112=1.23+0.22+1.21+1.20=111010112=1.23+0.22+1.21+1.20=1110, correto. Afirmativa II, O número 3,25103,2510 tem a parte inteira igual a 112=1.21+1.20112=1.21+1.20. a parte decimal multiplica-se por 2, tomando sempre a parte inteira do produto: 0,25×2=0,50,25×2=0,5 (toma-se a parte inteira 0) e 0,5×2=1,00,5×2=1,0 (toma-se a parte inteira 1), então 3,2510=11,0123,2510=11,012, correto. Afirmativa III, ERx=|x−¯¯¯x|¯¯¯x=|1,5−1,49|1,49=0,006711...ERx=|x−x¯|x¯=|1,5−1,49|1,49=0,006711..., correto. (vídeo-aula 1).
	
	B
	I.
	
	C
	I e II.
	
	D
	I e III.
	
	E
	II e III.
Questão 9/10 - Cálculo Numérico
Leia trecho de texto a seguir:
"Toda a produção de um determinado bem tem dois tipos associados de custos: Custo Fixo: Custos que não dependem do volume de produção, existem mesmo se a produção for zero. Exemplo: custos de instalação, seguro, manutenção, etc. Custos Variáveis: Custos que dependem do volume de produção, como por exemplo custo de matéria prima, energia, combustível, etc."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em https://pt-static.z-dn.net/files/dee/38aec09f31380e0501fce951d0845288.pdf. Acesso em 20 Mai. 2018.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo Numérico sobre erros, leia as seguintes informações:
A função custo total de um produto é dado em função dos seu volume de produção, que pode ser fracionário. Se a função custo total tem a forma ct(x)=0,5q3−8q2+233q+36,125ct(x)=0,5q3−8q2+233q+36,125, assinale a alternativa cujo valor é o custo total, quando o volume de produção for de 42,9542,95, efetuando o arredondamento na primeira casa decimal para cada operação.
Nota: 0.0
	
	A
	34900,8
	
	B
	34900,84
	
	C
	34900,9
Comentário: ct(x)=0,5q3−8q2+233q+36,125=0,5.42,953−8.42,952+233.42,95+36,125=39614,99−14757,6+10007,35+36,125=39615−14757,6+10007,4+36,1=34900,9ct(x)=0,5q3−8q2+233q+36,125=0,5.42,953−8.42,952+233.42,95+36,125=39614,99−14757,6+10007,35+36,125=39615−14757,6+10007,4+36,1=34900,9(livro-base, p. 5-12).
	
	D
	34900,8411875
	
	E
	34901
Questão 10/10 - Cálculo Numérico
Leia o trecho a seguir sobre integração numérica:
"Calcular integrais é uma tarefa rotineira em engenharia, aparecendo em quase todo problema que exige algum cálculo mais sofisticado. Diferente de outras operações matemáticas, integração de funções não é simples. Por exemplo, somos capazes de derivar quase qualquer função, por mais complicada que seja. Integração é uma história completamente diferente."
Após esta avaliação,caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: \url{http://homepages.dcc.ufmg.br/~assuncao/an/Integracao01.pdf}. Acesso em 13 jun. 2018.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base cálculo numéricocálculo numérico sobre integração numérica e regra de Simpson, assinale a alternativa cujo valor aproximado é o da integral 4∫1011+x2dx4∫0111+x2dx, obtido pelo empregando da regra 1/3 de Simpson com 8 subintervalos. 
Nota: 10.0
	
	A
	3,5014
	
	B
	3,1225...
	
	C
	3,0901
	
	D
	3,0099
	
	E
	3,1415...
Você acertou!
Calculamos o valor de hh:
 
h=b−a8=1−08=0,125h=b−a8=1−08=0,125
construímos a tabela com os valores para x e f(x):
x00,1250,250,3750,50,6250,750,8751f(x)10,9846153850,9411764710,8767123290,80,7191011240,640,5663716810,5x00,1250,250,3750,50,6250,750,8751f(x)10,9846153850,9411764710,8767123290,80,7191011240,640,5663716810,5
Calculamos a aproximação, pela regra 1/3 de Simpson para 8 subintervalos:
4∫1011+x2dx≈h3.(f(x1)+4.(f(x2)+f(x4)+f(x6)+f(x8))+2(f(x3)+f(x5)+f(x7))+f(x9))4∫0111+x2dx≈h3.(f(x1)+4.(f(x2)+f(x4)+f(x6)+f(x8))+2(f(x3)+f(x5)+f(x7))+f(x9))
4∫1011+x2dx≈4[0,1253(1+4(0,984615385++0,876712329+0,719101124+0,566371681)+2(0,941176471+0,8+0,64)+0,5))]≈3,1415925024∫0111+x2dx≈4[0,1253(1+4(0,984615385++0,876712329+0,719101124+0,566371681)+2(0,941176471+0,8+0,64)+0,5))]≈3,141592502
OBS.: O Valor exato é ππ . (livro-base p. 66-68)