Espaço Vetorial

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ÁLGEBRA LINEAR II
PROFESSOR WANDERSON MATTOS
ALUNO(A):________________________________________________
ESPAÇO VETORIAL
1) Vetores no plano e no espaço
1.1) Pense numa força atuando sobre um corpo. Você conseguirá precisá-la determinando sua intensidade e direção. Força é um típico exemplo de grandeza representada por um vetor. Como outros exemplos podemos citar a velocidade e o deslocamento. Neste capítulo desenvolveremos o conceito de vetor de uma forma bastante ampla, de modo que, por exemplo, soluções de sistemas de equações lineares também possam ser representadas por vetores. 
1.2) Vetores no plano
De início introduziremos a idéia de vetor, restringindo-nos ao plano. Para tanto, consideremos o plano cartesiano. Fixada uma unidade de comprimento, um ponto P do plano pode ser identificado com o par (a, b) de números reais, que são suas coordenadas. 
Dados dois pontos P e Q do plano, consideremos o segmento de reta orientado PQ, com ponto inicial P e ponto final Q. Veja que, embora como conjunto de pontos os segmentos PQ e QP sejam iguais, como segmentos orientados eles são distintos. Diremos que eles são segmentos opostos. Vamos estabelecer que dois segmentos orientados são equivalentes se tiverem o mesmo comprimento e direção. 
Para qualquer segmento orientado no plano existe outro equivalente a ele cujo ponto inicial é a origem. 
Vamos passar a considerar agora, apenas os segmentos orientados com ponto inicial na origem, denominados vetores no plano. É importante notar que vetores no plano são determinado exclusivamente pelo seu ponto final, já que o ponto inicial é fixo na origem. Assim, para cada ponto do plano P (a, b), está associado um único vetor v = OP e, reciprocamente, dado um vetor, associamos um único ponto do plano, que é seu ponto final. Isto é, a correspondência entre pontos do plano e vetores é biunívoca. 
Usando a notação da matriz-coluna v = , ou mesmo a identificação v = (a, b). Por exemplo, V = ou v = (2, 5). Observe que, deste modo, à origem do plano ficará associado um vetor que tem os pontos inicial e final coincidentes com esta. Denominamos tal vetor (que é só um ponto) de vetor nulo, e este será representado por (0, 0). 
O oposto de um vetor v = OP é o vetor w = OQ, que tem o mesmo comprimento e direção oposta. Em termos de coordenadas, se v = (a, b), então w = (-a, -b) e, por essa razão, denotamos w = -v. 
1.3) Operações com Vetores no Plano 
a) Multiplicação de um vetor por um número 
Multiplicar um vetor v por um número k > 0 é considerar um novo vetor w = kv, que tem a mesma direção de v e que possui comprimento k vezes o comprimento de v. Se k < 0, o vetor w = kv será igual ao oposto do vetor | k | . v. Se k = 0, w = kv será o vetor nulo. 
Observe que a multiplicação de vetor por um número corresponde à multiplicação da matriz-linha (ou coluna) por este número. Assim, se v = (a, b) e w = kv, então w = (ka, kb). 
b) Adição de dois vetores. 
Se v = (a, b) e w = (c, d), então o vetor-soma será v + w = (a + c, b + d). Observe que somar vetores corresponde simplesmente a somar as matrizes que os representam. As operações entre vetores herdam, portanto, todas as propriedades das operações correspondentes para matrizes. 
Podemos ainda observar que a soma de um vetor v = (a, b) com seu oposto w = -v = (-a, -b) é o valor nulo. Isto é, v + w = v + (-v) = (a – a, b – b) = (0, 0). 
Por diferença entre dois vetores v e w, entendemos a soma do primeiro com o oposto do segundo vetor, v – w = v + (-w). 
1.4) Vetores no Espaço 
Analogamente ao que foi feito no plano, podemos considerar vetores no espaço. Teremos então um sistema de coordenadas dado por três retas orientadas, perpendiculares duas a duas, e, uma vez fixada uma unidade de comprimento, cada ponto P do espaço estará identificado com uma terna de números reais (x, y, z), que dá suas coordenadas. 
Da mesma forma os vetores são dados por segmentos orientados, com ponto inicial na origem, e existe uma correspondência biunívoca entre vetores e pontos do espaço que a cada vetor OP associa seu ponto final P = (a, b, c). Deste modo, o vetor v = OP costuma ser denotado pelas coordenadas de P. 
A origem fixada para o espaço representará o vetor nulo (0, 0, 0). 
Dessa forma, se chamarmos de V um conjunto de vetores no espaço, podemos identificar 
V = { } = 
1.5) Operações com Vetores no Espaço 
A soma de dois vetores e o produto de um vetor por um escalar também são definidos da mesma forma que no plano. 
Propriedades
1) (u + v) + w = u + ( v + w)
2) u + v = v + u 
3) Existe 0 ( V tal que u + 0 = u. (0 é chamado vetor nulo.) 
4) Existe –u 
Î
 V tal que u + (-u) = 0. 
5) a (u + v) = au + av. 
6) (a + b) v = av + bv
7) (ab) v = a (bv) 
8) 1u = u 
Estas propriedades servirão para caracterizar determinados conjuntos que, apesar de terem natureza diversa dos vetores no espaço, “comportam-se” como eles. Tais conjuntos receberão o nome de espaços vetoriais. 
2) ESPAÇOS VETORIAIS 
2.1) Definição:
 Um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas operações: soma, V x V 
¾
®
¾
+
 V, e multiplicação por escalar, R x V 
¾
®
¾
.
 V, tais que, para quaisquer u, v, w 
Î
 V e a, b 
Î
 R, as propriedades de 1 a 8 estejam satisfeitas. 
Se na definição acima, ao invés de termos como escalares, números reais, tivermos números complexos, então V será um espaço vetorial complexo. 
Daqui em diante usaremos a palavra vetor para designar um elemento de um espaço vetorial. Assim, por exemplo, se considerarmos o espaço vetorial V = M (2, 2), os vetores serão matrizes. Convém mostrar que M (2, 2) é realmente um espaço vetorial. Lembre que os vetores u, v e w deste espaço vetorial são matrizes 2 x 2 e os escalares ainda números reais. Vejamos agora outros exemplos de espaços vetoriais. 
Exemplo 1: O conjunto dos vetores do espaço.
Exemplo 2: No lugar de ternas de números reais consideremos como vetores n-uplas de números reais. 
Aqui perderemos a visão geométrica de “vetores”, pois sairemos de um espaço de “dimensão” 3 da Geometria e passaremos a um espaço de “dimensão” n. Apesar disto, podemos trabalhar com estes espaços da mesma maneira que em R3 .
Exemplo 3: Considere n = 5; V = R5 
Observe que, neste caso, o vetor nulo é (0, 0, 0, 0, 0). 
As n-úplas de números reais ou, equivalentemente, matrizes-linha 1 x n (ou ainda, matrizes coluna n x 1) aparecem naturalmente na descrição de muitos problemas que envolvem várias variáveis. 
Exemplo 4: Seja V = M(m, n) o conjunto das matrizes m x n com a soma e produto por escalar usuais. 
Em particular consideremos V = M(2, 2) = 
ú
û
ù
î
í
ì
ê
ë
é
d
b
c
a
: a, b, c, d 
Î
 R
þ
ý
ü
 
Qual é o vetor nulo deste espaço vetorial? 
Outra particular situação é considerar V = M(1,n) = {[a11, a12, ..., a1n]: a1i 
Î
 R}. Observe que este espaço vetorial pode ser identificado como V = Rn. 
Exemplo 5: Seja V = Pn, o conjunto dos polinômios com coeficientes reais, de grau menor ou igual a n (incluindo o zero). As operações são soma de polinômios e multiplicação destes por números reais. 
Em particular: n = 2 
Todos os exemplos anteriores foram de espaços vetoriais reais. O próximo exemplo será de um espaço vetorial complexo. 
Exemplo 6: V é o conjunto das matrizes 2 x 2 cujos elementos são números complexos. As operações são adição de matrizes e multiplicação destas por números complexos. 
Os espaços complexos aparecem, por exemplo, no estudo de sistemas de equações diferenciais, no Cálculo Diferencial e Integral. 
3) SUBESPAÇOS VETORIAIS
3.1) Às vezes, é preciso detectar, dentro de um espaço vetorial V, subconjuntos W que sejam eles próprios espaços vetoriais “menores”. Tais conjuntos serão denominados subespaços de V. 
Veja que a reta W funciona sozinha como espaço vetorial pois, ao somarmos dois vetores de W, obtemos um outro vetor em W. Da mesma forma, se multiplicarmos um vetor de W por um número, o vetor resultanteainda estará em W, ou seja, o subconjunto W é “fechado” em relação à soma de vetores e à multiplicação destes por escalares. Estas são as condições exigidas para que um subconjunto W de um espaço vetorial V seja um subespaço. 
3.2) Definição
 Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se: 
1) Para quaisquer u, v 
Î
 W tivermos u + v 
Î
 W. 
2) Para quaisquer a 
Î
 R, u 
Î
 W tivermos au 
Î
 W. 
Observações 
1ª) As condições da definição acima garantem que ao operarmos em W (soma e multiplicação por escalar), não obteremos um vetor fora de W. Tal fato nos permite afirmar que W é ele próprio um espaço vetorial, pois assim as operações ficam bem definidas e, além disso, não precisamos verificar as propriedades de 1 a 8 de espaço vetorial, porque elas são válidas em V, que contém W. 
2ª) Qualquer subespaço W de V precisa necessariamente conter o vetor nulo (por causa da condição 2 quando a = 0). 
3ª) Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços (que são chamados subespaços triviais), o conjunto formado somente pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial. 
Exemplo 1: 
Veja geometricamente a validade de 1 e 2. Observe que se W não passasse pela origem, não seria um subespaço. Note que na verdade os únicos subespaços de R3 são a origem, as retas e planos que passam pela origem, e o próprio R3. 
Exemplo 2: 
Exemplo 3: V = M (n, n) e W é o subconjunto das matrizes triangulares superiores. W é subespaço, pois a soma das matrizes triangulares superiores ainda é uma matriz triangular superior, assim como o produto de uma matriz triangular superior por um escalar também o é.
Exemplo 4: Uma importante situação na qual aparece um subespaço é encontrada ao resolvermos uma sistema linear homogêneo. 
ï
î
ï
í
ì
=
-
+
=
+
+
=
+
+
0
3
0
2
0
4
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Observe que, se colocarmos esse sistema na forma matricial, teremos 
Desta forma, estamos procurando, dentro do espaço vetorial M(3, 1) aqueles vetores que satisfazem a relação acima, isto é, aqueles vetores-solução do sistema. É desejável saber se o conjunto dos vetores-solução é um subespaço de M(3, 1). Para isto, tomemos dois vetores-solução. 
Logo, o conjunto W dos vetores-solução de é um subespaço de M(3, 1). (Considerando a identificação M = (3, 1), como R3, W pode ser dado geometricamente pela interseção dos três planos no espaço descritos por cada uma das equações do sistema. 
Com base nos resultados aqui obtidos, podemos afirmar que o conjunto-solução de uma sistema linear homogêneo de n incógnitas é um subespaço vetorial de M(n, 1). Tente provar isso. 
Vejamos agora alguns exemplos em que W não é subespaço de V.
Exemplo 6: V = R2, onde W é uma reta deste plano que não passa pela origem. 
W não é subespaço de V, pois existem u e v em W, tal que u + v 
Ï
 W. Outra maneira de ver que W não é subespaço de V é notar que o vetor nulo não pertence a W. 
Este último fato é usado freqüentemente para determinarmos que U 
Ì
 V não é subespaço de V, isto é, sempre que 0 
Ï
 U, podemos afirmar que U não é subespaço de V. Mas, cuidado: Não vale a recíproca, pois podemos ter 0 
Î
U sem que U seja subespaço, conforme fica claro no exemplo seguinte. 
Exemplo 7: V = R2 e W = {(x, x2); x 
Î
 R}. Se escolhermos u = (1, 1) e v = (2, 4), temos u + V = (3, 5) 
Ï
 W. Assim, W não é subespaço vetorial de V. 
Exemplo 8: V = M (n, n) e W é um subconjunto de todas as matrizes em que a11 
£
 0. Mostre que a condição 1 é satisfeita mas 2 não é; portanto, W não é subespaço. 
Exemplo 9: Se um sistema linear não for homogêneo, o que acontece com seu conjunto-solução? Considere o exemplo: 
(
)
ï
î
ï
í
ì
=
-
+
=
+
+
=
+
+
0
3
1
2
1
4
2
*
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Prove que a soma de dois vetores-solução nem sempre é um vetor-solução, e assim o conjunto-solução não é um subespaço de M(3, 1). 
3.3 Teorema: (Interseção de subespaços): Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V, a interseção W1 
Ç
 W2 ainda é um subespaço de V. 
Exemplo : V = R3
W1 
Ç
 W2 é uma reta de interseção dos planos W1 e W2. 
Uma vez que a interseção de dois subespaços ainda é um subespaço vetorial, poderíamos esperar o mesmo da reunião. Mas isto não acontece, como podemos ver no próximo exemplo. 
 V = R3
W1 e W2 são retas que passam pela origem. Então, W1 
Ç
 W2 = {0} e W1 W2 é o “feixe” formado pelas duas retas, que não é subespaço vetorial de R3. 
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