Aula 02 - Cálculo de Limites Laterais

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[Curso: Tecnólogo em Gestão Ambiental 
[Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 
[Professor: 
[Contato do professor: e-mail e telefone 
[Aula: 01 
[Título: Conceito Geral de Limites 
[Revisor(a): 
[Contato do revisor: e-mail e telefone 
 
 
[REVISÃO LINGUÍSTICA 
Ao revisor: observações do autor. 
 
Ao autor: observações do revisor. 
 
[DIAGRAMAÇÃO 
Ao autor: 
1. As figuras com função de ilustração (adornamento) podem ser apenas 
sugeridas no texto limitando por chaves “{“ e “}”. 
Ex.: {inserir figura de uma pessoa adulta gesticulando} 
2. O aparecimento da mascote também pode ser sugerido da mesma forma. 
Ex.: {inserir mascote} 
 
Ao diagramador: observações do autor. 
 
 
[CONTEÚDO: 
LIMITES LATERIAS E CÁLCULO DE LIMITES 
 
[APRESENTANDO A AULA 
No módulo 01 desta disciplina, que vocês estudaram anteriormente, você 
trabalhou com o conceito geral de limites de uma função em um ponto. 
Aprendeu, dentre outras coisas, o que acontece quando estamos “bem 
próximos de um determinado ponto, mas não exatamente neste ponto”, 
fazendo para isso essa função se aproximar pela direita e pela esquerda. 
Particularmente nesta aula iremos entender como fazer o cálculo algébrico de 
limites laterais. Na aula anterior, quando tratamos da ideia geral de limites, 
falamos um pouco de limites laterais, que é simplesmente o cálculo de limite a 
direita e a esquerda em um determinado ponto 𝑎, bem como limites de uma 
função em pontos onde a função não está definida, encontrando expressões 
equivalentes para isso. Essas expressões equivalentes serão obtidas a partir de 
fatorações que iremos revisar também nesta aula. 
 
 
DEFININDO OBJETIVOS 
Com esta aula esperamos que vocês sejam capazes de: 
 Calcular limites laterais; 
 Calcular de limites de uma função em um ponto onde esta função não 
está definida. 
 
DESENVOLVENDO O CONTEÚDO 
 
Cálculo de limites laterais 
Para tratar de limites laterais, iremos fazer uso da seguinte notação: 
𝑥 → 𝑎+, significa 𝑥 tendendo a 𝑎 pela direita, ou seja, atribuímos a 𝑥 
valores maiores que 𝑎; 
𝑥 → 𝑎−, significa 𝑥 tendendo a 𝑎 pela esquerda, ou seja, atribuímos a 𝑥 
valores monores que 𝑎; 
Vamos acompanhar agora alguns exemplos: 
Exemplo 01: Considere a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + |𝑥 − 3|. Determinar, 
lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥), se possível. 
SOLUÇÃO: 
Antes você deve lembrar, das equações modulares, que: 
|𝑥 − 3| = {
𝑥 − 3, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3
−(𝑥 − 3), 𝑠𝑒 𝑥 < 3
 
dessa forma podemos reescrever a função 𝑓(𝑥), da seguinte maneira: 
𝑓(𝑥) = {
2𝑥 + 𝑥 − 3, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3
2𝑥 − (𝑥 − 3), 𝑠𝑒 𝑥 < 3
 
simplificando temos: 
𝑓(𝑥) = {
3𝑥 − 3, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3
𝑥 + 3, 𝑠𝑒 𝑥 < 3
 
Dessa forma, podemos dizer que: 
lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→3+
3𝑥 − 3 = 3.3 − 3 = 9 − 3 = 6, porque neste caso 
devemos atribuir valores maiores que 3, e neste intervalo a função é definida 
por 3𝑥 − 3. 
 
 
lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→3−
𝑥 + 3 = 3 + 3 = 6, porque neste caso devemos atribuir 
valores menores que 3, e neste intervalo a função é definida por 𝑥 + 3. A 
figura 01, ilustra bem essa situação. 
 
 
Figura 01: representação da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + |𝑥 − 3| 
 
Fonte: Autoria própria. 
 
EXEMPLO 02: Considere a função 𝑓(𝑥) =
|𝑥|
𝑥
 Determinar, lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) e 
lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥), se possível. 
SOLUÇÃO: 
Antes você deve lembrar, das equações modulares, que: 
 
 
|𝑥| = {
𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 
dessa forma podemos reescrever a função 𝑓(𝑥), da seguinte maneira: 
𝑓(𝑥) = {
𝑥
𝑥
, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−
𝑥
𝑥
, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 
simplificando temos: 
𝑓(𝑥) = {
1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−1, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 
Dessa forma, podemos dizer que: 
lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0+
1 = 1, porque neste caso devemos atribuir valores 
maiores que 0, e neste intervalo a função é definida simplesmente por 1. 
lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0−
−1 = −1, porque neste caso devemos atribuir valores 
menores que 0, e neste intervalo a função é definida simplesmente por −1. A 
figura 02, ilustra bem essa situação. 
 
Figura 02: representação da função 𝑓(𝑥) =
|𝑥|
𝑥
 
 
Fonte: Autoria própria. 
 
EXEMPLO 03: Considere a função 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 Determinar, 
lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥), se possível. 
SOLUÇÃO: 
 
 
Antes você deve lembrar que o domínio desta função é 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≥
1} (assunto visto na disciplina de matemática), isso significa que para valores 
menores que 1 está função não está definida (não existe imagem). 
Dessa forma, podemos dizer que: 
lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1+
√𝑥 − 1 = √1 − 1 = √0 = 0, porque neste caso 
devemos atribuir valores maiores que 1, e neste intervalo a função está 
definida. 
lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) não existe, porque neste intervalo onde os valores de x são 
menores que 1 está função não está definida. A figura 03, ilustra bem essa 
situação. 
 
Figura 03: representação da função 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 
 
Fonte: Autoria própria. 
 
EXEMPLO 04: Considere a função 𝑓(𝑥) = {
3 − 2𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1
𝑥2 − 2𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 > 1
} 
Determinar, lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥), se possível. 
SOLUÇÃO: 
Assim temos que: 
lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1+
𝑥2 − 2𝑥 = 12 − 2.1 = 1 − 2 = −1, porque neste caso 
devemos atribuir valores maiores que 1, e neste intervalo a função é definida 
por 𝑥2 − 2𝑥. 
 
 
lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1−
3 − 2𝑥 = 3 − 2.1 = 3 − 2 = 1, porque neste caso 
devemos atribuir valores menores que 1, e neste intervalo a função é definida 
por 3 − 2𝑥. A figura 04, ilustra bem essa situação. 
 
Figura 04: representação da função 𝑓(𝑥) = {
3 − 2𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1
𝑥2 − 2𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 > 1
} 
 
Fonte: Autoria própria. 
 
O teorema abaixo, apenas formaliza o que já foi dito informalmente na 
aula 01. De acordo com (FLEMING, GONÇALVES, 2006, p.78) temos que 
 
Teorema (Limietes Laterais): O limite de uma função existe em um 
ponto a, se e somente se, existirem os limites laterais no mesmo ponto a e 
tiverem o mesmo valor, ou seja, 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒, lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 = lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) 
 
De acordo com os exemplos anteriores temos que: 
no exemplo 01, lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) = 6, porque lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) = 6 = lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) ; 
no exemplo 02, lim
𝑥→0
𝑓(𝑥), não existe, porque lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) ; 
no exemplo 03, lim
𝑥→1
𝑓(𝑥), não existe, porque lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) ; 
no exemplo 04, lim
𝑥→1
𝑓(𝑥), não existe, porque lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) ; 
 
 
 
ATIVIDADE 01 
 
01. Calcule lim
𝑥→3
𝑓(𝑥), para 𝑓(𝑥) = {
𝑥2 − 5 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 3
√𝑥 + 13 𝑠𝑒 𝑥 > 3
 (Lembre-se que neste 
caso devemos calcular primeiro os limites laterais). 
 
02. Seja 𝑓(𝑥) = {
2𝑥3 − 1 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 2
√𝑥 + 8 𝑠𝑒 𝑥 > 2
, calcule, se possível: 
 
a) lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) 
b) lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) 
c) lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) 
 
03. Seja 𝑓(𝑥) = 3 + |3𝑥 − 2|, calcule, se possível: 
 
a) lim
𝑥→
2
3
+
𝑓(𝑥) 
b) lim
𝑥→
2
3
− 𝑓(𝑥) 
c) lim
𝑥→
2
3
𝑓(𝑥) 
04. Seja 𝑓(𝑥) = |4𝑥 − 3|, calcule, se possível: 
 
a) lim
𝑥→
3
4
+
𝑓(𝑥) 
b) lim
𝑥→
3
4
− 𝑓(𝑥) 
c) lim
𝑥→
3
4
𝑓(𝑥) 
 
05. Seja 𝑓(𝑥) = {
2𝑥
|𝑥|
 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0
0 𝑠𝑒 𝑥 = 0
, calcule, se possível: 
 
a) lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) 
 
 
b) lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) 
c) lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) 
 
06. Seja 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 5, calcule, se possível: 
 
a) lim
𝑥→
5
2
+
𝑓(𝑥) 
b) lim
𝑥→
5
2
− 𝑓(𝑥) 
c) lim
𝑥→
5
2
𝑓(𝑥) 
 
Cálculo de Limites 
 
No cálculo de limites é comum nos depararmos com indeterminações do 
tipo 
0
0
, ou seja, seu resultado não é definido. Por isso teremos que fazer uma 
fatoração, que nada mais é do que encontrar uma fração equivalente a primeira 
com resultados mais simples. Vejamos no exemplo: 
 
Exemplo 01: Calcule o valor do lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1
. 
 
Solução: 
Se fizermos a substituição direta teremos como resultado a inderminação 
0
0
, 
mas a função 𝑓(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥−1
 para 𝑥 ≠ 1 é equivalentea função 𝑓(𝑥) =
(𝑥−1)(𝑥+1)
𝑥−1
 para 𝑥 ≠ 1, fazendo o cancelamento de fatores comuns temos: 
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, para 𝑥 ≠ 1, ou seja, uma expressão com os mesmos valores da 
original, mas com resultados mais simples. Quando falamos de limites de uma 
função em um determinda ponto, o que nos interessa são os valores nas 
proximidades deste ponto, então temos que: 
lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
𝑥 + 1 = 1 + 1 = 2 
 
 
A seguir veremos algumas regras de fatoração que irão nos auxiliar nesses 
tipos de limites. 
 
 QUADRADO DA SOMA 
 
𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = (𝑥 + 𝑦)2 
 
Exemplo 02: Resolva lim
𝑥→−
1
2
4𝑥2+4𝑥+1
2𝑥+1
. 
 
Solução: 
lim
𝑥→−
1
2
4𝑥2 + 4𝑥 + 1
2𝑥 + 1
= lim
𝑥→−
1
2
(2𝑥 + 1)2
2𝑥 + 1
= lim
𝑥→−
1
2
(2𝑥 + 1)(2𝑥 + 1)
2𝑥 + 1
= lim
𝑥→−
1
2
(2𝑥 + 1) 
lim
𝑥→−
1
2
(2𝑥 + 1) = 2. (−
1
2
) + 1 = −1 + 1 = 0 
Observação: isso não siginifica dizer que 
0
0
= 0. 
 
QUADRADO DA DIFERENÇA 
 
𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = (𝑥 − 𝑦)2 
 
Exemplo 03: Resolva lim
𝑥→
1
2
4𝑥2−4𝑥+1
2𝑥−1
. 
 
Solução: 
lim
𝑥→
1
2
4𝑥2 − 4𝑥 + 1
2𝑥 − 1
= lim
𝑥→
1
2
(2𝑥 − 1)2
2𝑥 − 1
= lim
𝑥→
1
2
(2𝑥 − 1)(2𝑥 − 1)
2𝑥 − 1
= lim
𝑥→
1
2
(2𝑥 − 1) 
lim
𝑥→
1
2
(2𝑥 − 1) = 2. (
1
2
) − 1 = 1 − 1 = 0 
 
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA 
 
𝑥2 − 𝑦2 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) 
 
 
 
Exemplo 03: Resolva lim
𝑥→−
1
2
4𝑥2−1
2𝑥+1
. 
 
Solução: 
lim
𝑥→−
1
2
4𝑥2 − 1
2𝑥 + 1
= lim
𝑥→−
1
2
(2𝑥 + 1)(2𝑥 − 1)
2𝑥 + 1
= lim
𝑥→−
1
2
2𝑥 − 1 = − 1 − 1 = −2 
 
RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU 
 
𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2), sendo 𝑥1 e 𝑥2 as raízes da equação 𝑥
2 +
𝑏𝑥 + 𝑐 
 
Exemplo 04: Resolva lim
𝑥→2
𝑥2−5𝑥+6
𝑥−2
. 
 
Solução: 
lim
𝑥→2
𝑥2 − 5𝑥 + 6
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
𝑥 − 2
lim
𝑥→2
𝑥 − 3 = 2 − 3 = −1 
 
CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS 
 
𝑥3 + 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 + 𝑦3 = (𝑥 + 𝑦)3 
 
Exemplo 05: Resolva lim
𝑥→−2
𝑥3+6𝑥2+12𝑥+8
𝑥+2
. 
 
Solução: 
lim
𝑥→−2
𝑥3 + 6𝑥2 + 12𝑥 + 8
𝑥 + 2
= lim
𝑥→−2
𝑥3 + 3𝑥2. 2 + 3𝑥. 22 + 23
𝑥 + 2
 
lim
𝑥→−2
(𝑥 + 2)3
𝑥 + 2
= lim
𝑥→−2
(𝑥 + 2)2 = 0 
 
CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS 
 
𝑥3 − 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 − 𝑦3 = (𝑥 − 𝑦)3 
 
 
 
Exemplo 06: Resolva lim
𝑥→2
𝑥3−6𝑥2+12𝑥−8
𝑥−2
. 
 
Solução: 
lim
𝑥→2
𝑥3 − 6𝑥2 + 12𝑥 − 8
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
𝑥3 − 3𝑥2. 2 + 3𝑥. 22 − 23
𝑥 − 2
 
lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)3
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)2 = 0 
 
DIFERENÇA DO CUBO DE DOIS TERMOS 
 
𝑥3 − 𝑦3 = (𝑥 − 𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2) 
 
Exemplo 07: Resolva lim
𝑥→2
𝑥3−8
𝑥−2
. 
 
Solução: 
lim
𝑥→2
𝑥3 − 8
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
𝑥3 − 23
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)(𝑥2 + 2𝑥 + 4)
𝑥 − 2
 
lim
𝑥→2
𝑥2 + 2𝑥 + 4 = 22 + 2.2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 16 
 
SOMA DO CUBO DE DOIS TERMOS 
 
𝑥3 + 𝑦3 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2) 
 
Exemplo 08: Resolva lim
𝑥→−2
𝑥3+8
𝑥+2
. 
 
Solução: 
lim
𝑥→−2
𝑥3 + 8
𝑥 + 2
= lim
𝑥→−2
𝑥3 + 23
𝑥 + 2
= lim
𝑥→−2
(𝑥 + 2)(𝑥2 − 2𝑥 + 4)
𝑥 + 2
 
lim
𝑥→−2
𝑥2 − 2𝑥 + 4 = (−2)2 − 2. (−2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 16 
 
 
 
É necessário que você esteja bem atento a essas regras, porque lhe serão 
muito úteis no cálculo de limites, logo mais veremos mais alguns exemplos 
mais elaborados, na qual faremos uso dessas regras. 
 
Exemplo 09: Calcule o limite a seguir lim
𝑥→2
√𝑥−√2
𝑥−2
. 
 
Solução: É importante que você perceba que (√𝑥)
2
= 𝑥 e que (√2)
2
= 2, 
dessa forma podemos reescrever a limite da seguinte maneira. 
lim
𝑥→2
√𝑥−√2
(√𝑥)
2
−(√2)
2 , ou seja, fizemos as substituições de 𝑥 e 2 no denominador, 
para que embaixo tivessemos a diferença do quadrado de dois termos 
continuando temos o seguinte: 
lim
𝑥→2
√𝑥−√2
(√𝑥)
2
−(√2)
2 = lim
𝑥→2
√𝑥−√2
(√𝑥−√2).(√𝑥+√2)
, após o cancelamento temos que: 
lim
𝑥→2
√𝑥−√2
(√𝑥−√2).(√𝑥+√2)
= lim
𝑥→2
1
(√𝑥+√2)
=
1
(√2+√2)
=
1
2√2
, racionalizando o 
denominador temos: 
1
2√2
=
1.√2
2√2.√2
=
√2
2√4
=
√2
2.2
=
√2
4
 (Lembre-se número 01) 
 
Exemplo 10: Calcule o limite a seguir lim
𝑥→2
𝑥3−8
𝑥2+2𝑥−8
. 
 
Solução: lim
𝑥→2
𝑥3−8
𝑥2+2𝑥−8
, neste caso devemos fatorar o denominador e o 
numerador, ficando assim: 
lim
𝑥→2
𝑥3−8
𝑥2+2𝑥−8
= lim
𝑥→2
𝑥3−23
(𝑥−2)(𝑥+4)
= lim
𝑥→2
(𝑥−2)(𝑥2+2𝑥+4)
(𝑥−2)(𝑥+4)
, cancelando temos: 
lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)(𝑥2 + 2𝑥 + 4)
(𝑥 − 2)(𝑥 + 4)
= lim
𝑥→2
(𝑥2 + 2𝑥 + 4)
(𝑥 + 4)
=
22 + 2.2 + 4
2 + 4
=
12
6
= 2 
 
Exemplo 11: Calcule o limite a seguir lim
𝑥→1
√𝑥
3
−1
𝑥−1
. 
 
 
 
Solução: perceba que esta soluçaõ é semelhante ao exemplo 09, veja que 
(√𝑥
3
)
3
= 𝑥 e que (1)3 = 1, dessa forma podemos reescrever a limite da 
seguinte maneira. 
lim
𝑥→1
√𝑥
3
−1
( √𝑥
3
)
3
−(1)3
 , ou seja, fizemos as substituições de 𝑥 e 1 no denominador, 
para que embaixo tivessemos a diferença do cubo de dois termos continuando 
temos o seguinte: 
lim
𝑥→1
√𝑥
3
−1
( √𝑥
3
)
3
−(1)3
= lim
𝑥→1
√𝑥
3
−1
( √𝑥
3
−1)(( √𝑥
3
)
2
+2. √𝑥
3
+1)
, após o cancelamento temos 
que: 
lim
𝑥→1
√𝑥
3
− 1
(√𝑥
3
− 1) ((√𝑥
3
)
2
+ 2. √𝑥
3
+ 1)
= lim
𝑥→1
1
((√𝑥
3
)
2
+ 2. √𝑥
3
+ 1)
=
1
((√1
3
)
2
+ 2. √1
3
+ 1)
=
1
12 + 2.1 + 1
=
1
4
 
 
Exemplo 12: Calcule o limite a seguir lim
𝑥→0
√𝑥+3−√3
𝑥
 
 
Solução: lim
𝑥→0
√𝑥+3−√3
𝑥
, para este exemplo, usamos a recionalização do 
numerador, ou seja, multimplicamos o numerador e o denominador pelo 
conjugado do numerador. (Lembre-se número 02) 
Veja também que o conjugado de √𝑥 + 3 − √3 é √𝑥 + 3 + √3. Dessa 
forma, 
lim
𝑥→0
√𝑥 + 3 − √3
𝑥
= lim
𝑥→0
(√𝑥 + 3 − √3)(√𝑥 + 3 + √3)
𝑥. (√𝑥 + 3 + √3)
 
lim
𝑥→0
(√𝑥 + 3)
2
− (√3)
2
𝑥. (√𝑥 + 3 + √3)
= lim
𝑥→0
𝑥 + 3 − 3
𝑥. (√𝑥 + 3 + √3)
 
lim
𝑥→0
𝑥
𝑥.(√𝑥+3+√3)
= lim
𝑥→0
1
(√𝑥+3+√3)
=
1
√3+√3
=
1
2√3
 , racionalizando o 
denominador temos: 
1
2√3
=
1. √3
2√3. √3
=
√3
2√9
=
√3
2.3
=
√3
6
 
 
 
 
Exemplo 13: Calcule o limite a seguir lim
ℎ→0
2(𝑥+ℎ)2−2𝑥2
ℎ
 
 
Solução: lim
ℎ→0
2(𝑥+ℎ)2−2𝑥2
ℎ
= lim
ℎ→0
2(𝑥2+2𝑥ℎ+ℎ2)−2𝑥2
ℎ
= 
lim
ℎ→0
2𝑥2 + 4𝑥ℎ + 2ℎ2 − 2𝑥2
ℎ
= lim
ℎ→0
4𝑥ℎ + 2ℎ2
ℎ
= 
lim
ℎ→0
ℎ(4𝑥 + 2ℎ)
ℎ
= lim
ℎ→0
4𝑥 + 2ℎ = 4𝑥 
 
 
 
ATIVIDADE 02 
 
01) Calcule os limites abaixo: 
 
a) lim
𝑥→0
𝑥3+𝑥2
2𝑥3+𝑥4+𝑥
 
b) lim
𝑥→−1
𝑥3+1
𝑥2−1
 
c) lim
𝑥→0
𝑥2+6𝑥+5
𝑥2−3𝑥−4
 
d) lim
𝑥→0
𝑥3+𝑥2
2𝑥3+𝑥4+𝑥
 
e) lim
𝑥→2
𝑥3−8
𝑥−2
 
f) 
2
652
2
lim


 t
tt
t
 
g) 
43
2
lim
2 

 x
xx
x
 
h) 
1
1
lim
1 

 x
x
x
 
i) lim
𝑡→0
(4+𝑡)2−16
𝑡
 
j) lim
𝑡→−2
𝑡3+4𝑡2+4𝑡
(𝑡+2)(𝑡−3)
 
 
02) Considerando 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
, calcule lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑝)
𝑥−𝑝
. 
 
 
 
03) Considerando 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥, calcule lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
. 
 
04) Calcule lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
 sendo 𝑓 dada por 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 𝑥. 
 
 
 
 
[LEMBRE-SE! – 
Primeiro - 01 
racionalização de denominadores consiste em se obter uma fração 
equivalente com denominador racional, para substituir uma outra com 
denominador irracional. 
 
Segundo - 02 
O conjugado de uma expressão do √𝑥 + 𝑎 + 𝑏 é dado por √𝑥 + 𝑎 − 𝑏 o que se 
faz é a troca do sinal entre os termos da expressão. 
 
[RESUMINDO 
 
Nesta aula, vimos como podemos calcular melhor os limites laterais tanto pela 
direita como pela esquerda, analisando também funções modulares. Vimos 
também como encontrar expressões equivalentes, a fim de resolver problemas 
de indeterminações em função, que é um problema comum em problemas de 
limites de uma função. Assim podemos calcular limites de funções em pontos 
onde apresentam tais indeterminações. 
 
[LEITURAS COMPLEMENTARES 
(Indicação de leituras complementares, seguida de rápido comentário da obra: 
texto, filme, site, etc) 
 
[AVALIANDO SEUS CONHECIMENTOS 
01) Calcule os limites abaixo. 
 
 
a) 
43
6427
lim
3
3
4 

 x
x
x
 
 
b)1
2
lim
2
1 

 x
xx
x
 
 
c) 
3
9
lim
2
3 

 h
h
h
 
 
 
 
02) Considere a função f: R  R definida por  






2,2
2,2
xsex
xsex
xf 
 
a) Determine )(lim
2
xf
x 
 e )(lim
2
xf
x 
; 
 
b) Se existir, determine o )(lim
2
xf
x
, justifique sua resposta. 
 
 
 
03) Seja f(x) a função definida pelo gráfico:Intuitivamente, encontre se 
existir: 
 
Figura 05: representação da função 𝑓(𝑥) = {
2𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 > 1
2 − 3𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1
 
 
Fonte: Autoria Própria 
 
a) )(lim
1
xf
x 
 
 
b) )(lim
1
xf
x 
 
 
c) )(lim
1
xf
x
 
 
 
 
04) Considerando 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 1| + 1. Determine os valores 
abaixo, justificando sua resposta: 
a) )(lim
2
1
xf
x


 
 
b) )(lim
2
1
xf
x


 
 
c) )(lim
2
1
xf
x
 
 
CONHECENDO AS REFERÊNCIAS 
 
ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. Ed. Porto Alegre: Bookman, 
2000. 1v. 
 
FINNEY, Maurice D., THOMAS Jr. George B., WEIR, Frank R. Giordano. 
Cálculo. 10. Ed. São Paulo: Addison Wesley, 2002. Volume 1. 
 
FLEMMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A. 6. Ed. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
 
GUIDORIZZI, Hmilton Luiz. Um curso de cálculo. 5. Ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2001. 1v. 
 
 
 
 
 
ILUSTRAÇÕES POR PÁGINA (responsabilidade do diagramador) 
 
IMPORTANTE! 
 
 
Professor: não esqueça de que, ao inserir uma imagem no meio da aula, 
você deve colocar abaixo a referência do site de onde retirou ou da obra da 
qual você a escaneou)