Aula 17 - Interpolação - parte 2

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Sumário
4. Interpolação4. Interpolação
• Introdução
• Interpolação Linear
• Interpolação Quadrática
• Interpolação de Lagrange
• Interpolação por Diferenças Divididas
• Interpolação por Splines
Aula 17 1Cálculo Numérico Computacional
Interpolação
 Diferenças Divididas: Dado um conjunto de pontos (xi,yi), i = 0,...,n, 
então a diferença dividida de primeira ordem é dada por:
 As notações yi e f[xi,xi+1] também podem ser utilizadas
 A diferença dividida de ordem zero é dada por:
 A diferença dividida de primeira ordem é dada por:
Interpolação por Diferenças Divididas
Aula 17 2Cálculo Numérico Computacional
Interpolação
 Podemos generalizar e definir a diferença dividida de ordem n:
ou:
Interpolação por Diferenças Divididas
Aula 17 3Cálculo Numérico Computacional
Interpolação
 Exemplo: Seja a seguinte tabela:
Interpolação por Diferenças Divididas
i xi f(xi)
0 0.2 1.22
1 0.4 1.49
2 0.6 1.82
3 0.8 2.23
4 1.0 2.72
As diferenças de primeira ordem são:
As diferenças de segunda ordem são:
Aula 17 4Cálculo Numérico Computacional
Interpolação
Interpolação por Diferenças Divididas
As diferenças de terceira ordem são:
E a diferença de quarta ordem é:
Dispondo todos os dados em uma tabela, temos:
i xi f(xi) [xi , xi+1] [xi , xi+1 , xi+2] [xi , xi+1 , xi+2, xi+3] [xi , xi+1 , xi+2, xi+3, xi+4]
0 0.2 1.22 1.35 0.75 0.41667 -0.78125
1 0.4 1.49 1.65 1.00 -0.20833 -
2 0.6 1.82 2.05 0.875 - -
3 0.8 2.23 2.40 - - -
4 1.0 2.72 - - - -
Aula 17 5Cálculo Numérico Computacional
Interpolação
 Usando as diferenças divididas, podemos interpolar nossos dados 
através do chamado Polinômio de Newton:
Interpolação por Diferenças Divididas
Aula 17 6Cálculo Numérico Computacional
Interpolação
 Exemplo: Dada a tabela abaixo, calcular o valor interpolado para x=0.4
Interpolação por Diferenças Divididas
i xi yi yi 2yi 3yi 4yi
0 0.1 1.115 1.46 1.60 0.325 -0.5
1 0.2 1.261 1.78 1.73 0.075 -
2 0.3 1.439 2.30 1.76 - -
3 0.5 1.899 2.83 - - -
4 0.6 2.182 - - - -
Aula 17 7Cálculo Numérico Computacional
Interpolação
 A interpolação por splines consiste em aplicar interpolação 
de polinômios de baixa ordem a subconjuntos de pontos
 As conexões entre os polinômios é feita de forma que a 
interpolação seja suave ao longo do conjunto de pontos 
dados
 Veremos como aplicar esta ideia para gerar splines 
quadráticas e splines cúbicas
Interpolação por Splines
Aula 17 8Cálculo Numérico Computacional
Interpolação
 O objetivo é derivar um polinômio de segunda ordem para cada 
intervalo entre dois pontos consecutivos
 O polinômio para o i-ésimo intervalo pode ser representado de 
forma genérica por:
 Para um conjunto de n+1 pontos temos n intervalos e, 
consequentemente, 3n incógnitas
 Para determinar as 3n incógnitas precisamos definir 3n 
equações
Interpolação por Splines Quadráticas
Aula 17 9Cálculo Numérico Computacional
Interpolação
 As 3n equações serão obtidas a partir das seguintes condições:
1) Os valores da função interpoladora em polinômios adjacentes devem ser 
iguais nos pontos internos (cada ponto contribui com 2 equações, exceto os 
2 pontos externos, totalizando 2n–2 equações)
2) O primeiro e o último polinômio devem passar pelos pontos externos (2 
equações):
Interpolação por Splines Quadráticas
Aula 17 10Cálculo Numérico Computacional
Interpolação
3) A primeira derivada deve ser igual nos pontos internos para polinômios 
adjacentes (n–1 equações):
4) Até agora temos 3n–1 equações. Para completar as 3n equações 
necessárias, assumiremos que a segunda derivada é zero no primeiro 
ponto (isto significa que os dois primeiros pontos serão conectados por 
uma reta):
Interpolação por Splines Quadráticas
Aula 17 11Cálculo Numérico Computacional
Interpolação
 Exemplo: Determinar a interpolação por splines quadráticas dos 
pontos
 Temos n=3 intervalos, que 
irão requerer 3n = 9 equações:
Interpolação por Splines Quadráticas
x 3 3.5 4 4.5
f (x) 2.7 3.8 3.1 4.3
Aula 17 12Cálculo Numérico Computacional
Interpolação
 A solução do sistema nos dá os seguintes polinômios:
Interpolação por Splines Quadráticas
p1(x)
p2(x)
p3(x)
Aula 17 13Cálculo Numérico Computacional
Interpolação
 O objetivo é derivar um polinômio de terceira ordem para cada 
intervalo entre dois pontos consecutivos
 O polinômio para o i-ésimo intervalo pode ser representado de 
forma genérica por:
 Para um conjunto de n+1 pontos temos n intervalos e, 
consequentemente, 4n incógnitas
 Para determinar as 4n incógnitas precisamos definir 4n 
equações
Interpolação por Splines Cúbicas
Aula 17 14Cálculo Numérico Computacional
Interpolação
 As 4n equações serão obtidas a partir das seguintes condições:
1) Os valores da função interpoladora em polinômios adjacentes devem ser 
iguais nos pontos internos (2n–2 equações)
2) O primeiro e o último polinômio devem passar pelos pontos externos (2 
equações) 
3) A primeira derivada deve ser igual nos pontos internos para polinômios 
adjacentes (n–1 equações)
4) A segunda derivada deve ser igual nos pontos internos para polinômios 
adjacentes (n–1 equações)
5) A segunda derivada deve ser zero nos pontos externos (2 equações)
Interpolação por Splines Cúbicas
Aula 17 15Cálculo Numérico Computacional
Interpolação
1) A tabela a seguir apresenta resultados empíricos que relacionam o 
tempo t e a intensidade de corrente elétrica i. Estime o valor de i para 
t = 0.3 utilizando o método das diferenças divididas.
2) Sabendo-se que a equação x – e-x=0 admite uma raiz no intervalo [0,1], 
estime o seu valor através de interpolação usando diferenças divididas 
sobre os pontos de abcissa 0, 0.5 e 1.
Exercícios
t 0.1 0.2 0.4 0.8
i 2.48 2.66 2.58 2.00
Aula 17 16Cálculo Numérico Computacional
Interpolação
3) Usando interpolação por diferenças divididas, estime o valor da raiz 
quadrada de 115 considerando os pontos a seguir. Calcule, também, 
uma estimativa do erro relativo. 
4) Determine a interpolação por splines cúbicas dos pontos abaixo.
Exercícios
x 100 121 142
y 10 11 11.9164
x 3 3.5 4 4.5
y 2.7 3.8 3.1 4.3
Aula 17 17Cálculo Numérico Computacional
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	Interpolação
	Interpolação
	Interpolação
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