Aula 26 - Equações Diferenciais Ordinárias - parte 2

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Sumário
7. Equações Diferenciais Ordinárias7. Equações Diferenciais Ordinárias
• Introdução
• Métodos de Passo Simples:
• Método de Euler
• Métodos de Runge-Kutta
• Métodos de Passos Múltiplos:
• Métodos de Adams-Bashfort
• Equações Diferenciais Ordinárias de Ordem Superior
• Método de Euler
Aula 26 1Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
 Vimos os métodos de Euler, Euler Inverso e Euler 
Aprimorado para resolver problemas de valores 
iniciais (PVI’s)
 Estes métodos são classes de métodos de Runge-
Kutta como veremos
 
    00, yxyyxfy  com 
Aula 26 2Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
 Carl David Runge (1856-1927) - Físico alemão – 
Trabalho de 1895 sob soluções numéricas de 
EDO’s.
 M. Wilhelm Kutta (1867-1944) – Matemático 
alemão – Aprimorou o método em 1901 ao estudar 
aerodinâmica de aerofólios.
Aula 26 3Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
 A série de Taylor de y(x) em torno de x=xn é dada 
por:
   
       
 
 xx
k
xx
y
k
xx
xy
xx
xyxxxyxyxy
nx
k
n
x
k
k
n
n
k
n
nnnn
, onde
!1
)(
!
)( 
.....
!2
)()()()(
1
1
2











Aula 26 4Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
 A série de Taylor de y(x) em x=xn+1 é
 
 
 
 
 
  to. truncamende erro o é !1
)(
 
 e passo do tamanhoo é onde
!
.....
!2
!
)(.....
!2
)()()()(
1
1
1
2
1
2
1











kx
k
n
nn
k
k
nnnnn
k
n
k
nnnn
h
k
y
xe
xxh
k
h
y
h
yhyyy
k
h
xy
h
xyhxyxyxy
k representa a ordem da aproximação
Aula 26 5Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
 A idéia dos métodos que estudaremos é aproveitar as 
séries de Taylor sem a sua maior desvantagem que é o 
cálculo de derivadas de f(x,y).
 Os métodos de Runge-Kutta de ordem p caracterizam-se 
pelas propriedades:
1. São métodos de passo um;
2. Não calculam derivadas;
3. Em mesma ordem, as fórmulas de Taylor e Runge-Kutta são 
semelhantes.
Aula 26 6Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
 O método de Runge-Kutta de 1ª ordem é o método de 
Euler ou de Taylor de 1ª ordem:
onde
Note que (1) satisfaz as três propriedades dos métodos de Runge-
Kutta.
Método de Runge-Kutta de 1ª Ordem
  (1) 1 h,yxfyy nnnn  
  .][dx ,1 nn
x
x
,yxfhyxf
n
n


Aula 26 7Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
 Os métodos de Runge-Kutta de 2ª ordem devem ter 
fórmulas que devem ser semelhantes às fórmulas do 
Método de Taylor até termos de segunda ordem em h.
 Consideremos o método de Euler aprimorado:
Método de Runge-Kutta de 2ª Ordem
   
(2) h
yxfyxf
yy nnnnnn 2
,, 11
1




Aula 26 8Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
 Reescrevendo a fórmula do método de Euler aprimorado:
1) Observamos que para calcular usamos 
apenas , então dizemos que o Método de Euler 
Aprimorado é de Passo Um ou de Passo Simples
2) O Método de Euler Aprimorado não tem derivadas de f(x,y)
3) Resta verificar a terceira condição
Método de Runge-Kutta de 2ª Ordem
     (2) yhy,hxf ,yxf hyy nnnnnnn  21
 11   nn xyy
 nn xyy 
Aula 26 9Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
 Resta verificar se a fórmula de Euler Aprimorada
é semelhante às fórmulas de Taylor até termos de segunda 
ordem em h
 Da fórmula de Taylor de y(x) em x=xn+1
Método de Runge-Kutta de 2ª Ordem
     (2) yhy,hxf ,yxf hyy nnnnnnn  21
!2
!2
)()()()(
2
1
2
1
h
yhyyy
h
xyhxyxyxy
nnnn
nnnn




Aula 26 10Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
 Calculemos a fórmula de Taylor de 2ª ordem:
erro de truncamento:
Método de Runge-Kutta de 2ª Ordem
   
       
        


 nnnnynnxnnnn
yxyx
yxfyxfyxf
h
yxfhyy
fff
dx
dy
xyxfxyxfxyxf
dx
d
xy
xyxfxy
,,,
2
,
)(,)(,)(,
)(,
2
1
)(
!3
)(
2
1 y
h
xE n 
Aula 26 11Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
 No Método de Euler Aprimorado trabalhamos com 
 
Método de Runge-Kutta de 2ª Ordem
 
       
       
    
   nn
nnxy
nyynxx
nnnynnnxnn
n
yyxx
yyxxf
yyfxxf
yyyxfxxyxfyxfyxf
yxyxf
,,
,
,
2
1
,
2
1
,,),(),(
),)(,
22







 e com
 
 
(x de torno em Expandindo n
 nnn yhy,hxf 
Aula 26 12Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
 Segue que:
e o Método de Euler Aprimorado escreve-se:
Método de Runge-Kutta de 2ª Ordem
   
          22 ,,2,
2
,,),(),
nyynxyxx
nnnynnxnnnnn
yfyff
h
yhyxfhyxfyxfyhyhxf


 
(
    
 nnn
nnnnnnn
,yxf 
h
y
yhy,hxf ,yxf 
h
yy
{
2
21


    
          },,2,
2
,,),(
2
2
nyynxyxx
nnnynnxnn
yfyff
h
yhyxfhyxfyxf


 
 
Aula 26 13Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
Então:
Logo, o Método de Euler Aprimorado é um método de 
Taylor de 2ª ordem e, devido às 3 propriedades verificadas, 
também é um Método de Runge-Kutta de 2ª ordem
Método de Runge-Kutta de 2ª Ordem
    
      

,),(,),(2,
2
 
,),(,
2
),(
2
3
2
1
yynnxynnxx
nnynnnnxnnnn
fyxffyxff
h
yxfyxfyxf
h
yxfhyy
Aula 26 14Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
 A Fórmula geral de Runge-Kutta de 2ª ordem tem a forma:
 No caso do Euler Aprimorado
Método de Runge-Kutta de 2ª Ordem
  (3) ,),( 21211 nnnnnnn yhbyhbxfahyxfahyy 
1,
2
1
,
2
1
2121  bbaa
Aula 26 15Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
 Questão: A expressão (3) sempre é semelhante a fórmula 
de Taylor com termos até segunda ordem em h?
 Realizando um procedimento semelhante àquele realizado 
para o Método de Euler Aprimorado, verificamos que os 
parâmetros devem ser tais que 
Método de Runge-Kutta de 2ª Ordem
  (3) ,),( 21211 nnnnnnn yhbyhbxfahyxfahyy 
2
1
,
2
1
,1 221221  babaaa
Aula 26 16Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
Como temos um parâmetro arbitrário, tomamos, por 
exemplo,
de modo que a fórmula de Runge-Kutta de 2ª ordem 
escreve-se como:
Método de Runge-Kutta de 2ª Ordem
  




  ),(2
,
2
),(11 nnnnnnnn yxfw
h
y
w
h
xfwhyxfwhyy
w
bbwawa
2
1
,1 2112 
Aula 26 17Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
 De forma análoga podemos construir a fórmula de métodos 
de Runge-Kutta de 3ª ordem
 Sejam PVI’s do tipo , então uma 
fórmula de Runge-Kutta de 3ª ordem escreve-se como:
Método de Runge-Kutta de 3ª Ordem
 
 
4
3
,
4
3
 
2
,
2
 ),( onde
432
9
2
3
1
21
3211















hK
y
h
xfK
K
hy
h
xfKyxfK
KKK
h
yy
nn
nnnn
nn
    00, yxyyxfy  com 
Aula 26 18Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
 De forma análoga podemos construir a fórmula de métodos 
de Runge-Kutta de 4ª ordem
 Sejam PVI’s do tipo , então uma 
fórmula de Runge-Kutta de 4ª ordem escreve-se como:
Método de Runge-Kutta de 4ª Ordem
 
 3423
1
21
43211
, , 
2
,
2
2
,
2
 , ),( onde
22
6
hKyhxfK
K
hy
h
xfK
K
hy
h
xfKyxfK
KKKK
h
yy
nnnn
nnnn
nn















    00, yxyyxfy  com 
Aula 26 19Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
 1ª ordem:
 2ª ordem: (particular)
 3ª ordem:
Fórmulas de Runge-Kutta
  1 h,yxfyy nnnn      ,,
2 111 
 nnnnnn yxfyxf
h
yy
  ),(
2
,
2
),(11 




  nnnnnnnn yxfw
h
y
w
h
xfwhyxfwhyy
 
 
4
3
,
4
3
 , 
2
,
2
 , ),(
432
9
 
2
3
1
21
3211














K
hy
h
xfK
K
hy
h
xfKyxfK
KKK
h
yy
nnnnnn
nn
Aula 26 20Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
 4ª ordem:
Fórmulas de Runge-Kutta
 
 3423
1
21
43211
, , 
2
,
2
2
,
2
 , ),( onde
22
6
hKyhxfK
K
hy
h
xfK
K
hy
h
xfKyxfK
KKKK
h
yy
nnnn
nnnn
nn















Aula 26 21Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
OBS 1: As fórmulas de Runge-Kutta são médias ponderadas de valores 
de f(x,y) em pontos no intervalo 
OBS 2: As somas
podem ser interpretadas como um coeficiente angular médio.
OBS 3: Problema do passo fixo pode ser resolvido com o 
desenvolvimento de Métodos de Runge-Kutta adaptativos, os quais 
ajustam o passo de modo a manter o erro de truncamento local num 
nível de tolerância fixado.
 4321 226 KKKK
h
  321 4329 KKK
h

1 nn xxx
Aula 26 22Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
 Exemplo 1: Para o PVI dado, estime . 
PVI:
a) Runge-Kutta de primeira ordem.
Assim:
1000)0(04.0  yyy com 
)1(y
   
  nnnn
nnnn
yh hy yy
yx,yf h,yxfyy
04.0104.0
04.0 onde 
1
1




 
   
  ..3,2,1 para 100004.01
............................................................
100004.0104.01
100004.01
2
12
1



kh y
h yh y
h y
k
k
Aula 26 23Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
Definindo a partição do intervalo (0,1):
 
 
 
 
8108.1040)1(
7277.104010001.004.011.0
604.1040100025.004.0125.0
4.104010005.004.015.0
1040100004.011
10
10
4
4
2
2
1





y
 yh
 yh
 yh
 yh
 :exato Valor
Aula 26 24Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
b) Runge-Kutta de 2ª ordem. Euler aprimorado.
Analogamente ao Runge-Kutta de 1ª ordem:
     
  





 





2
1
1
1
04.0
2
04.01
04.004.004.0
2
,,,
2
h
hyy
yhyy
h
yy
yxfhyhxfyxf
h
yy
nn
nnnnn
nnnnnnnn
100004.0
2
04.01 2 




 
k
k
h
hy
Aula 26 25Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
Definindo a partição do intervalo (0,1):
8108.1040)1(
8107.1040100004.0
2
1.0
1.004.011.0
8101.1040100004.0
2
25.0
25.004.0125.0
808.1040100004.0
2
5.0
5.004.015.0
8.1040100004.0
2
1
04.011
10
2
2
10
4
2
2
4
2
2
2
2
2
1

































 
y
 yh
 yh
 yh
 yh
 :exato Valor
Aula 26 26Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
c) Runge-Kutta de 3ª ordem.
 



























4
3
04.0,
2
04.0,04.0
 
4
3
,
4
3
 , 
2
,
2
 , ),(
432
9
 
1
3
1
21
2
3
1
21
3211
K
yK
K
yKyK
K
y
h
xfK
K
y
h
xfKyxfK
KKK
h
yy
nnn
nnnnnn
nn
Aula 26 27Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
 
  18107.1040224.4148.403402
9
1
1000
224.418.40
4
3
100004.0
8.40
2
40
100004.0,40100004.0
432
9
1
3
21
32101






 





 

hy
K
KK
KKK
h
yy
 para :Logo
 
 Sendo 
Aula 26 28Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Runge-Kutta
 Utilize o Método de Runge-Kutta de 1ª, 2ª, 3ª e 4ª ordens, 
para calcular valores aproximados da solução y(x) do 
problema de valor inicial no intervalo [0,2].
Utilize partições h=0.5, h=0.25 e h=0.1
Exercício
1)0(41  yyxy com 
Aula 26 29Cálculo Numérico Computacional
	Sumário
	Métodos de Runge-Kutta
	Métodos de Runge-Kutta
	Métodos de Runge-Kutta
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