Prova - Seleção Mestrado 2019 - Estatística

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PPGM Nome (Légivel):
Prova de Seleção/2019.1 CPF: 222222.222222.222222–2222
Área de Concentração: Estat́ıstica
Tempo Limite: 240 minutos Data: 26/11/2018
Esta prova contém 4 páginas (incluindo esta capa) e 6 questões. Por favor, verifique se nenhuma
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uma resposta incorreta suportada por cálculos e
explicações substancialmente corretos poderá rece-
ber pontuação parcial.
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das páginas; indicar claramente quando você tiver
feito isto.
4. Responder apenas 5 questões. Indicar de
forma clara as questões escolhidas.
Por favor, não escreva no quadro à direita!
Questões Pontos Escores
1 20
2 20
3 20
4 20
5 20
6 20
Total: 100
PPGM Prova de Seleção/2019.1 - Página 2 de 4 26/11/2018
1. (20 Pontos) Consideremos uma urna contendo n bolas, das quais n1 ≥ 1 são brancas e n2 ≥ 1
são pretas com n = n1+n2. Escolhe-se, ao acaso, uma amostra de r bolas, com r ≤ n1 e r ≤ n2.
Qual a probabilidade de que exatamente k bolas nessa amostra sejam brancas, se 0 ≤ k ≤ r.
2. (20 Pontos) Sejam A1, A2, ..., An eventos do espaço amostral S, onde está definida a probabi-
lidade P . Mostre que:
P (A1 ∩A2 ∩ ... ∩An) = P (A1)P (A2|A1)...P (An−1|A1 ∩A2 ∩ ... ∩An−2)
3. (20 Pontos) Durante o mês de agosto a probabilidade de chuva em um dia determinado é de
4/10. Um time de futebol F ganha um jogo em um dia com chuva com probabilidade 6/10 e
em dia sem chuva com probabilidade 4/10. Sabendo-se que o time F ganhou um jogo naquele
dia de agosto, qual a probabilidade de que choveu nesse dia?
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4. (20 Pontos) Suponha que a variável aleatória cont́ınua X tenha função densidade de probabi-
lidade (fdp) dada por:
f(x) = 2xe−x
2
, x > 0
Seja Y = X2. Calcule E(Y ) :
(a) (10 Pontos) Diretamente, sem primeiro obter a fdp de Y .
(b) (10 Pontos) Primeiramente, obtendo a fdp de Y .
5. (20 Pontos) Calcule a densidade da variável aleatória Y = e−2X, onde X ∼ Exp(1).
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6. (20 Pontos) Seja X1, X2, ... uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identica-
mente distribúıdas com média µ e variância σ2. Seja Sn =
n∑
i=1
Xi. Mostre que
Sn
n
converge para µ em probabilidade