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ÁREA 1: FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
Professora: Naiane Santana
Disciplina: Fenômenos Oscilatórios e Termodinâmica
2a Lista de Exerćıcios - Movimento Ondulatório
Ondas
1. Uma corda uniforme de 20m de comprimento e massa de 2kg está esticada sob uma
tensão de 10N . Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com am-
plitude de 3cm e frequência de 5 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da
extremidade é de 1,5 cm para cima. a) Ache a velocidade de propagação v e o com-
primento de onda λ da onda progressiva gerada na corda. b) Escreva, como função do
tempo, o deslocamento transversal y de um ponto da corda situado à distância x da
extremidade que se faz oscilar, após ser atingido pela onda e antes que ela chegue à
outra extremidade. Resposta: (a) 10m/s e 2m; (b) y(x, t) = 0, 03 cos(πx− 10πt+π/3)
2. Depois de uma tempestade, um alpinista de 80,0 Kg está preso em uma elevação na
montanha. Um helicóptero o resgata pairando acima e baixando um cabo para ele. A
massa do cabo é de 8,00 Kg, e seu comprimento, 15,0 m. Um suporte de 70,0 kg de
massa está ligado à extremidade do cabo. O alpinista se prende ao suporte, e depois o
helicóptero acelera para cima. Aterrorizado por estar suspenso por um cabo no ar, o
alpinista tenta sinalizar para o piloto, enviando pulsos transversais pelo cabo. Um pulso
leva 0,250 s para percorrer o comprimento do cabo. Qual a aceleração do helicóptero?
Suponha que a tensão no cabo seja uniforme. Resposta: (a) 3, 00m/s2
3. Uma onda senoidal propaga-se ao longo de uma corda esticada sobre o eixo x, no sentido
positivo. A Figura 1 mostra duas fotografias tiradas em instantes de tempo diferentes
nesta corda. A primeira fotografia (linha cheia) foi tirada no instante t = 0 e a segunda
(linha tracejada), no instante t = 0,5 s. (a) Determine a velocidade de propagação da
onda na corda; (b) Determine a amplitude, o número de onda, a frequência angular e a
constante de fase; (c) Escreva a equação da onda harmônica; (d) Determine a velocidade
transversal máxima de um ponto da corda. Resposta: (a) v = 2 m/s; (b) A = 9,1 m;
k = 0, 5πm−1; w = πs−1; φ = 0; (c) y(x, t) = 0, 1 cos((π/2)x− πt); (d) 0, 1πm/s
Figura 1: Questão 3
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4. Um pescador, balançando o barco em que se encontra, produz ondas na superf́ıcie de
um lago cuja profundidade é constante até a margem. Nessa situação, ele observa que:
1o) o barco executa 30 oscilações por minuto; 2o) a cada oscilação aparece a crista de
uma onda; 3o) cada crista gasta 10 s para alcançar a margem. Considerando essas
observações e sabendo que o barco se encontra a 18 m da margem, qual o comprimento
de onda das ondas formadas no lago? Resposta: 3, 6m
5. Numa corda vibrante homogênea, que executa pequenas oscilações livres e transversais,
a mı́nima distância entre dois pontos que estão sempre em oposição de fase é de 0,2
m. Sendo de 400 Hz a frequência das oscilações, qual a velocidade de fase das ondas
geradas na corda? Resposta: 160m/s
6. A Figura 2 mostra uma onda propagando-se para a direita em uma onda, com veloci-
dade de 12,0 m/s. O ponto P, ao ser atingido pela onda, leva 3, 0.10−2s para retornar
pela primeira vez a posição inicial. Qual seria o comprimento de onda dessa onda
progressiva? Resposta: 7, 2.10−1m
Figura 2: Questão 6
7. Mostre que a função de onda y = eb(x−vt) é uma solução da equação da onda lienar
∂2y
∂x2
=
1
v2
∂2y
∂t2
, (1)
onde b é uma constante.
8. A função y(x, t) = 15 cos(πx− 15πt), com x em cent́ımetros e t em segundos, descreve
uma onda em uma corda esticada. Qual é a velocidade transversal de um ponto na
corda no instante em que este ponto possui o deslocamento y = +12, 0cm? Resposta:
1, 35πm/s
9. Uma corda ao longo da qual ondas podem se propagar tem 2,6 m de comprimento
e 260 g de massa. A tensão na corda é 250 N. Qual deve ser a frequência de ondas
progressivas com amplitudes de 77 cm para que a potência média seja 85 W? Resposta:
1,205 Hz
10. Uma corda esticada possui densidade linear µ = 100g/m e está sujeita a uma tensão
T = 45 N. Enviamos uma onda senoidal com frequência f = 120 Hz e amplitude A =
8,5 mm ao longo da corda. Com que taxa média a onda transporta energia? Resposta:
43,6 W
11. Duas ondas senoidais idênticas, propagando-se no mesmo sentido ao longo de uma corda
esticada, interferem uma na outra. A amplitude de cada onda é 9,8 mm, e a diferença
de fase entre elas é 120o. a) Qual a amplitude da onda resultante desta interferência?
b) Que diferença de fase dará à onda resultante uma amplitude de 4,9 mm? Resposta:
9,8 mm; 2,64 rad
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12. A Figura 3 representa uma configuração de ondas estacionárias produzida num labo-
ratório didático com uma fonte oscilante. a) Sendo d = 12 cm a distância entre dois nós
sucessivos, qual o comprimento de onda da onda que se propaga no fio? b) O conjunto
P de cargas que traciona o fio tem massa m = 180 g. Sabe-se que a densidade linear
do fio é µ = 5, 0 × 10−4kg/m. Determine a frequência de oscilação da fonte. Resposta:
0,24 m; 250 Hz
Figura 3: Questão 12
13. Uma onda estacionária, de frequência igual a 24Hz, é estabelecida em uma corda,
vibrante fixa nos extremos. Sabendo que a frequência imediatamente superior a essa,
que pode ser estabelecida na mesma corda, é de 30 Hz, qual é a frequência fundamental
da corda? Resposta: 6 Hz
14. Uma corda sonora de comprimento L = 2,0 m tem as duas extremidades fixas. Estabelece-
se na corda um sistema de ondas estacionárias com a formação de três ventres e com
frequência igual a 120 Hz. Determine: (a) o comprimento de onda das ondas que deram
origem às ondas estacionárias; (b) o módulo da velocidade de propagação na corda das
ondas que deram origem às ondas estacionárias; (c) a distância entre um nó e um ventre
consecutivos. Resposta: 4/3m; 160 m/s; 1/3 m
15. Um fio de aço de 60 cm de comprimento é mantido tracionado pelas suas extremidades
fixas. Nesse fio, quando excitado por uma fonte de onda de 60 Hz, origina-se uma fonte
de onda estacionária, conforme a Figura 4. Determine a velocidade de propagação da
onda no fio. Resposta: 18 m/s
Figura 4: Questão 15
Som
16. A pressão de uma onda sonora é dada pela equação ∆p = (1, 50Pa) sinπ[(0, 9m−1)x−
(315s−1t]. Encontre a (a) amplitude de pressão, (b) frequência, (c) comprimento de
onda e (d) a velocidade de propagação da onda. Resposta: (a) 1,5 Pa; (b) 157,5 Hz;
(c) 2,22 m; (d) 350 m/s
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17. Duas máquinas idênticas são posicionadas à mesma distância de um trabalhador. A
intensidade do som emitido por cada máquina operando no local onde está o trabalhador
é de 2.10−7W/m2. (a) Encontre o ńıvel do som ouvido pelo trabalhador quando uma
máquina está funcionando. (b) Encontre o ńıvel do som ouvido pelo trabalhador quando
duas máquinas estão funcionando. Resposta: (a) 53 dB; (b) 56 dB
18. A norma reguladora 15 (NR-15), que dispõe sobre atividades e operações insalubres,
indica que o limite do ńıvel de intensidade sonora para um trabalhador não deve ultra-
passar 120 dB. Suponha que, em uma fábrica, uma máquina (que pode ser considerada
uma fonte esférica) emite um som uniforme e isotrópico. A 100 m da fonte, o ńıvel de
intensidade sonora é de 80 dB. Até que distância um trabalhador pode se aproximar
dessa máquina sem ultrapassar o limite do ńıvel de intensidade sonora estabelecido pela
NR-15? Resposta: 1,00 m
19. Dois pequenos alto falantes emitem ondas sonoras esféricas de diferentes frequências.
O alto falante A tem uma sáıda de 1,0 mW e o alto falante B tem uma sáıda de 1,5
mW. Determine o ńıvel sonoro (em dB) no ponto C (Figura 5) se (a) somente o alto
falante A emite som, (b) somente o alto falante B emite som e (c) ambos emitem som.
Resposta: (a) 65 dB; (b) 67,8 dB; (c) 69,6 dB
Figura 5: Questão 19
20. Mostre que a diferençaentre os ńıveis de decibéis β1 e β2 de um som está relacionada
com a razão das distâncias r1 e r2 da fonte sonora por:
β2 − β1 = 20log(
r1
r2
) (2)
21. Um aparelho simples para mostrar ressonância em uma coluna de ar é mostrado na
figura abaixo. Um tudo verticalmente aberto nas duas extremidades é parcialmente
submerso em água, e um diapasão vibrando em frequência desconhecida é colocado
perto do topo do tubo. O comprimento L da coluna de ar pode ser ajustado movendo
o tubo verticalmente. As ondas sonoras geradas pelo diapasão são reforçadas quando
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L corresponde a uma das frequências de ressonância do tubo. Para o tubo, o menor
valor de L para o qual o pico ocorre na intensidade do som é 9,00 cm. (a) Qual a
frequência do diapasão? (b) Quais são os valores de L para as duas próximas condições
de ressonância? Resposta: (a) 953 Hz; (b) 0,270 m e 0,450 m
Figura 6: Questão 21
22. O meio da corda Dó natural em um piano tem frequência fundamental de 262 Hz, e a
corda para o primeito Lá natural acima do Dó natural, de 440 Hz. Se as duas cordas
têm a mesma densidade linear de massa µ e comprimento L, determine a proporção
das tensões nas duas cordas e interprete o resultado. Resposta: 2,82
23. Um submarino viaja através da água a uma velocidade de 8,00 m/s, emitindo uma onda
de sonar a uma frequência de 1400 Hz. A velocidade do som na água é de 1533 m/s.
Outro submarino é localizado de tal modo que os dois estão viajando diretamente um
em direção ao outro. O segundo se move a 9,00 m/s. (a) Qual frequência detectada por
um observador no primeiro submarino, conforme os submarinos se aproximam?(b) Os
submarinos quase se tocam e passam um pelo outro. Qual frequência é detectada por
um observador no segundo submarino, conforme os submarinos se afastam? Resposta:
(a) 1416 Hz; (b) 1385 Hz
24. Um rádio-relógio desperta você com um permanente e irritante som de frequência de
600 Hz. Certa manhã, ele não funciona direito e não pode ser desligado. Frustado,
você o joga para fora da janela do seu dormitório que está a 15 m do solo. Suponha
que a velocidade do som é 343 m/s. Conforme você ouve o rádio relógio caindo, qual é
a frequência que ouve justamente antes do rádio bater no chão? Resposta: 571 Hz
25 Dois trens, A e B, apitam simultaneamente com a mesma frequência de 392 Hz. O
trem A está em repouso e o trem B se desloca para a direita (se afastando de A) com
velocidade igual a 35,0 m/s. Um ouvinte está entre os dois apitos e se desloca para a
direita com velocidade igual a 15,0 m/s, conforme a Figura 7. (a) Qual a frequência
que o ouvinte escuta do apito de A? (b) Qual a frequência que ele escuta de B? (c)
Qual é a frequência dos batimentos que o ouvinte escuta? Resposta: (a) 375 Hz; (b)
371 Hz; (c) 3,59 Hz
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Figura 7: Questão 25