Exercícios de Oscilações em Física

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ÁREA 1: FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
Professora: Naiane Santana
Disciplina: Fenômenos Oscilatórios e Termodinâmica
1a Lista de Exerćıcios - Oscilações
Oscilações Livres - MHS
1. Considere que o carrinho do sistema massa-mola da figura abaixo tenha massa m =
5, 00kg e k = 2000N/m. Puxado para a direita do ponto de equiĺıbrio e depois solto, o
sistema se comporta como um oscilador harmônico simples. (a) Qual o peŕıodo deste
oscilador? (b) Qual a frequência? (c) Qual deve ser a massa do carrinho para que o
peŕıodo seja igual a 1, 00s? Resposta: (a) 0, 314s; (b) 3, 18Hz; (c) 50, 7kg
Figura 1: Questão 1
2. Uma part́ıcula realiza um MHS segundo a função x(t) = 20sen(5πt + π/2) com as
unidades no S.I. Determine: (a) sua posição em t = 60s; (b) a sua velocidade em
t = 60s; (c) a sua aceleração em t = 30s; (d) a sua frequência angular; (e) a amplitude;
(f) a velocidade e a aceleração máximas; (g) a frequência e o peŕıodo. Resposta: (a)
20m; (b) 0; (c) −500π2m/s2; (d) 5πrad/s; (e) 20m; (f) 100πm/s, 500π2m/s2; (g)
2, 5Hz; 0, 4s
3. A figura abaixo mostra a oscilação de um corpo com massa 0,5 kg preso a uma mola.
(a) Quanto vale a constante elástica da mola? (b) Escreva a equação que descreve
x(t); (c) Obtenha as expressões para as energias potencial, cinética e mecânica total do
oscilador em função do tempo. Resposta: (a) 50N/m; (b) x(t) = 10sen(10t+ π/4)cm;
(c) U(t) = 1/4sen2(10t+ π/4)J , K(t) = 1/4cos2(10t− π/4)J e E = 1/4J
Figura 2: Questão 3
4. Determine a posição de uma part́ıcula que realiza um MHS presa a uma mola de
constante elástica k, no instante que a energia cinética é o dobro da energia potencial,
para o caso onde a amplitude é A. Resposta: A/
√
3
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5. Uma massa de 2kg realiza um movimento harmônico simples presa a uma mola de
constante elástica 200N/m. A amplitude do movimento é 3m. Calcule a velocidade
máxima, a aceleração máxima, a frequência e o peŕıodo. Resposta: (a) 30m/s,(b)
300m/s2, (c) 5/πHz e π/5s
6. Uma part́ıcula descreve movimento harmônico simples de peŕıodo 4, 0s e amplitude
10cm. Qual o módulo de sua velocidade ao passar por um ponto de trajetória, cuja
elongação é 6, 0cm? Resposta: 4πcm/s
7. Dois sistemas massa-mola oscilam com as frequências fA e fB. As constantes das molas
são iguais e fA = 2fB. Determine a relação entre as massas MA e MB dos dois sistemas.
Resposta: MB = 4MA
8. Na figura abaixo, duas molas iguais, de constante elástica igual a 7580N/m, estão
ligadas a um bloco de massa 0, 245kg. Qual é a frequência de oscilação no piso sem
atrito? Resposta: 39, 6Hz
Figura 3: Questão 8
9. Uma mola cuja constante elástica k = 400N/m, tendo uma de suas extremidades fixas
no teto do laboratório, de acordo com a figura abaixo, pende livre na vertical. Na
sua extremidade livre é preso um objeto de massa m = 4, 0kg. A mola se alonga
um valor y0 até encontrar o ponto de equiĺıbrio. Em seguida, o objeto é levado até
uma elongação y = −0, 10m (em relação ao ponto de equiĺıbrio), de onde, após solto,
executa um movimento harmônico simples. Adotar g = 10m/s2. (a) Determinar a
coordenada y0 da mola; (b) Escrever a equação do MHS; (c) Determinar o peŕıodo do
movimento; (d) Esboce o gráfico da energia potencial do sistema. Resposta: y0 = 0, 1m;
(b) y(t) = 0, 1 cos(10t+ π); (c) T = 0, 628s
Figura 4: Questão 9
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10. Uma part́ıcula movimenta-se no espaço e as projeções nos eixos x, y e z são x(t) =
3 cos(2t), y(t) = 2 cos(4t) e z(t) = −2 sin(8t). Calcule o módulo da velocidade e da
aceleração desta part́ıcula em t = π/4s. Resposta:
√
292m/s; 32m/s2
11. A energia total de um móvel de 4, 0kg que realiza movimento harmônico simples, preso a
uma mola de constante elástica k = 100N/m é 5000J . Calcule a amplitude, a frequência
e o peŕıodo desse movimento. Resposta: A = 10m, f = 5/2πHz e T = 2π/5s
12. Uma part́ıcula oscila ligada a uma mola leve executando movimento harmônico simples
de amplitude 2, 0m. O diagrama abaixo representa a variação da energia potencial
elástica (Ep) acumulada na mola em função da elongação da part́ıcula (x). Qual a
energia cinética da part́ıcula no ponto de elongação x = 1, 0m? Resposta: 3.103J
Figura 5: Questão 12
13. O gráfico abaixo representa o movimento harmônico simples de uma part́ıcula que oscila
presa a uma mola de constante elástica k, sendo esta força conservativa e admitindo
que não há outra força atuando sobre a part́ıcula são feitas as seguintes afirmações:
(I) A sua energia mecânica é 18 J; (II) A energia total é 9 J; (III) Em x = -2m a
potencial é 7 J; (IV) A energia cinética em x = 1 m é 8 J.
Quais afirmações estão corretas? Justifique. Resposta: II e IV
Figura 6: Questão 13
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14. Uma massa m presa a um fio ideal de 0, 4m oscila realizando um MHS, no plano vertical,
em um local onde a aceleração da gravidade é 9, 81m/s2. O movimento assemelha-se
a um pêndulo simples. A outra extremidade do fio está fixa no teto de uma sala.
Determine: (a) o peŕıodo e (b) a frequência. Resposta: (a) T = 2π/5s; (b) 5/2πHz
15. Seja T o peŕıodo de um pêndulo simples que realiza um MHS com uma part́ıcula de
massa m presa a uma das extremidades livres de um fio de comprimento L e com a
extremidade superior fixa. Se essa mesma part́ıcula for presa a um fio de comprimento
4L, determine o seu novo peŕıodo em função de T. Resposta: T ′ = 2T
16. Um pêndulo simples de comprimento L, quando oscila em uma região onde a aceleração
da gravidade é g, apresenta peŕıodo T e frequência f. Se o pêndulo for levado para um
local onde a aceleração da gravidade é g/2 e, sendo mantido as condições climáticas do
local anterior, determine, em função de T e f, o novo peŕıodo e a nova frequência com
que o pêndulo passará a oscilar. Resposta: T ′ = T
√
2; f ′ = f/
√
2
17. Considere dois osciladores, um pêndulo simples e um sistema massa-mola que, na su-
perf́ıcie da Terra, têm peŕıodos iguais. Se levados para um planeta onde a gravidade
na superf́ıcie é 1/4 da gravidade da superf́ıcie da Terra, qual a razão entre o peŕıodo
do pêndulo e o peŕıodo do sistema massa-mola, medida na superf́ıcie do tal planeta?
Resposta: 2
18. Um pêndulo f́ısico consiste de uma esfera uniforme de massa M e raio R suspensa por um
cabo com massa despreźıvel e comprimento L. Levando em conta o tamanho da bola,
qual é o peŕıodo de pequenas oscilações desse pêndulo? Resposta: 2π
√
2R2+5(L+R)2
5g(L+R)
19. Na Figura a seguir, o pêndulo consiste em um disco uniforme com raio r = 10, 0cm
e massa de 500g preso a uma haste uniforme com comprimento L = 500mm e massa
de 270g. (a) Calcule o momento de inércia em torno do ponto de pivô; (b) Qual é a
distância entre o ponto de pivô e o centro de massa do pêndulo? (c) Calcule o peŕıodo
de oscilação. Resposta: 0, 205kg.m2; 0, 477m; 1, 50s
Figura 7: Questão 19
20. Na Figura a seguir, uma haste de comprimento L = 1, 85m oscila como um pêndulo
f́ısico. (a) Que valor da distância x entre o centro de massa da haste e o seu ponto de
pivô O fornece o menor peŕıodo? (b) Qual é este peŕıodo mı́nimo? Resposta: 0, 53m;
2, 1s
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Figura 8: Questão 20
Oscilações Amortecidas e Forçadas
21. Um corpo de massa m = 40g está preso em uma mola de constante elástica k =
100N/m. Este sistema é colocado para oscilar e depois imerso num meio cujo coeficiente
de atrito viscoso é b = 0, 08kg/s. (a) Determine a frequência natural do sistema; (b)
Escreva a equação do movimento, explicitando os valores numéricos dos coeficientes;
(c) Qual o regime de oscilação? (d) Qual a frequência angular? Resposta: (a)50rad/s;
(b)τ = 2s−1 e w2o = 2500rad
2/s2; (d)49, 99rad/s
22. Um corpo de massa m = 1, 0kg oscila livremente, quando preso a uma mola, com
frequência angular wo = 2, 0rad/s. Posteriormenteeste conjunto é colocado num fluido
cujo coeficiente de resistência viscosa é b = 2
√
3kg/s. (a) Escreva a equação do movi-
mento e sua solução com as condições iniciais x(0) = 0, 50m e v(0) = 0m/s; (b) Deter-
mine o tempo necessário T para que a amplitude do movimento diminua um fator 1/e
em relação ao valor inicial. Resposta: (a)ẍ+2
√
3ẋ+4x = 0 e x(t) = e−
√
3t cos(t−π/3);
(b)
√
3/3s
23. O gráfico de x(t), mostrado na figura abaixo, representa a equação horária de um
oscilador criticamente amortecido, para um sistema composto de um corpo de massa
m = 1, 0kg preso a uma mola de constante elástica k e imerso num ĺıquido viscoso de
resistência b. Resposta: (a)t = 3s; (b)A = 0, 5m e B = −0, 5m/s; (c)b = 1, 0kg/s e
k = 2, 5N/m; (d)v0 = −0, 75m/s
(a) Em que instante de tempo a velocidade do corpo será nula?
(b) Dada a equação x(t) = e−τt/2(A+Bt), determine A e B.
(c) Determine b e k.
(d) Determine a velocidade inicial do oscilador.
24. Um oscilador harmônico amortecido envolve um bloco (m = 1, 91kg), uma certa mola
(k = 12, 6N/m) e um meio amortecedor F = −bv. Inicialmente o bloco oscila com
amplitude de 26, 2cm. Por causa do amortecimento, a amplitude cai para 3/4 deste
valor inicial, depois de quatro ciclos completos. (a) Qual é o valor de b? Que quantidade
de energia foi “perdida” durante estes quatro ciclos? (b) Considere agora que este
oscilador tem um peŕıodo de 3 s. Sua amplitude decresce de 5% em cada ciclo. De
Fenômenos Oscilatórios e Termodinâmica 6/7
Figura 9: Questão 23
quanto a sua energia decresce em cada ciclo e qual é a constante de tempo (m/b)?
Resposta: (a)0, 11kg/s; 0, 19J ; (b)10%; 29s
25. Um sistema massa-mola amortecido oscila a 200Hz. A constante de tempo do sistema
(m/b) é de 2, 0s. No instante t = 0s, a amplitude da oscilação é de 6, 0cm e a energia
do sistema oscilante é de 60J . (a) Quais as amplitudes das oscilações nos instantes
t = 2, 0s e t = 4, 0s? (b) Que energia é dissipada no primeiro intervalo de 2, 0s e no
segundo intervalo de 2, 0s? (c) Determine a massa do sistema. Resposta: (a)3, 64cm e
2, 21cm; (b)37, 93J e 13, 95J ; (c)21, 1g
26. O amortecimento para um corpo de 0, 150kg pendurado em uma mola com k =
6, 30N/m é despreźıvel. Uma força senoidal com amplitude de 1, 70N impulsiona o
sistema. Com que frequência a força fará o corpo vibrar com amplitude de 0, 440m?
Resposta: 1, 31Hz
27. Um corpo de 2 kg oscila preso a certa mola com a constante de força k = 450N/m. A
constante de amortecimento tem o valor b = 2kg/s. O sistema é excitado por uma força
senoidal cujo valor máximo é de 10 N e a frequência angular é w = 10rad/s. (a) Qual
a amplitude da oscilação? (b) Se a frequência de excitação variar, em que frequência
ocorrerá a ressonância? (c) Qual a amplitude das oscilações na ressonância? Resposta:
(a)4cm; (b)15rad/s; (c)0, 33m
28. Um corpo de massa 1, 0kg movimenta-se de acordo com a equação diferencial:
ÿ + 2
√
5ẏ + 9y = 10cos(4t).
Considere que no instante t = 0s sua amplitude é de 20cm e sua fase é igual a 60o.
(a) Qual a frequência angular do movimento amortecido? (b) Qual a amplitude na
ressonância? (c) Qual a constante de tempo desse movimento? (d) Qual a amplitude do
movimento quando a frequência angular da força aplicada for igual a 5rad/s? Resposta:
(a)2rad/s; (b)
√
5/3m; (c)
√
5/10s; (d)36cm
29. Um corpo de massa 50g está preso a uma mola de constante k = 20N/m e oscila,
inicialmente, livremente. Este oscilador é colocado posteriormente num meio viscoso
Fenômenos Oscilatórios e Termodinâmica 7/7
onde b = 0, 9kg/s. Depois disso, o oscilador, ainda no meio viscoso, é excitado por
uma força externa F = Fo cos(wt), onde Fo = 9N e w = 20, 0rad/s. (a) Determine
a frequência natural do sistema; (b) Qual o regime de oscilação do sistema quando
imerso no meio viscoso, antes de ser excitado pela força externa? (c) Depois que a
força externa é aplicada e que o sistema entrou em regime estacionário, qual é o valor
da amplitude do movimento? (d) Qual deveria ser o valor exato da frequência externa
de excitação para que a amplitude de oscilação, no regime estacionário, fosse máxima?
Resposta: (a)wo = 20rad/s; (b) Subcŕıtico; (c)0, 5m; (d)w = 15, 43rad/s
30. O gráfico mostra a curva de ressonância de potência de um certo sistema mecânico su-
jeito a uma forca externa F = Fo sin(wt), onde Fo é constante e w é variável. Resposta:
(a)wo = 40rad/s; Q = 20; (b)16 ciclos
Figura 10: Questão 30
(a) Encontre wo e Q;
(b) A força externa deixa de agir. Depois de quantos ciclos de oscilações amortecidas
a energia do sistema é reduzida por um fator 1/e5 do seu valor inicial?