Atividade M1- CDI III

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Atividade M1- Cálculo Diferencial e Integral III 
A maioria das questões está na forma de questões objetivas. Você deve 
assinalar a alternativa correta mas cada questão deverá ter a sua 
resolução. Caso contrário, não será considerada. 
1) Considere a função real de duas variáveis reais definida por f(x,y) =
 
 . 
 Avalie as seguintes afirmações: 
 
I) f(-4,0) = 0 
II) O ponto (0,4) não pertence ao domínio de f 
III) A fronteira do domínio de f é uma circunferência com centro (0,0) e raio 16. 
As afirmações corretas são: 
a) I, apenas. 
b) II, apenas. 
c) III, apenas. 
d) I e II, apenas. 
e) II e III, apenas. 
 
 
Referência: aulas 01,02,03 e 04 
 
Resolução da questão 01 
 
2) Seja f(x,y) = ln( x+y-1). Avalie as seguintes afirmações: 
 
I) f(1,1) = 0 
II) f( e,1) = 1 
III) O domínio de f = { (x,y) ∈ 𝑅 / (x+y-1) ≥ 0} 
 
As afirmações corretas são: 
a) I, II e III 
b) I, apenas. 
c) II, apenas. 
d) III, apenas. 
e) I e II, apenas 
 
 
 
 
 
Referência: aulas 01,02,03 e 04 
 
 
3) Uma loja vende apenas dois produtos, o primeiro a R$500,00 a unidade e o segundo a R$600,00 
a unidade. Sejam x e y, respectivamente, as quantidades vendidas dos dois produtos por mês. 
Avalie as seguintes afirmações: 
I) A expressão da receita mensal de vendas é dada por R(x,y) = 500x + 600y. 
II) O valor da receita mensal se forem vendidas 10 unidades do primeiro produto e 15 
unidades do segundo é de R$15.000,00 
III) Os pontos (x,y) para os quais a receita é de R$300.000,00 pertencem ao gráfico da reta 
de equação: + = 1 
 
 
Resolução da questão 02 
As afirmações corretas são: 
a) I, apenas. 
b) II, apenas. 
c) I e II, apenas. 
d) I e III, apenas. 
e) III e IV, apenas. 
 
Referências: aulas 01,02,03 e 04 
 
4) Seja f(x,y) = uma função real de duas variáveis reais. 
Avalie as seguintes afirmações: 
 
I) O domínio de f é 𝐷 = {x ∈ 𝑅|1- 𝑥 - 𝑦 >0} 
II) O ponto (1,0) ∈ 𝐷 
III) O gráfico do domínio de f é o conjunto de pontos do plano exteriores à circunferência de centro (0,0) 
e raio 1. 
Resolução da questão 03 
 
As afirmações corretas são: 
a) II, apenas. 
b) III , apenas. 
c) I e II, apenas. 
d) II e III, apenas. 
e) II, III e IV, apenas. 
 
Referência : aulas 01,02,03,04 
5) Considere a função real de duas variáveis reais definida por f(x,y) = 6 – 3x -2y. 
Avalie as seguintes afirmações: 
I) O gráfico de f é uma reta que intercepta o eixo y no ponto (0,3). 
II) O gráfico de f é um plano que intercepta o eixo y no ponto (0,3,0). 
III) O gráfico de f é um plano que intercepta o eixo x no ponto (2,0,0). 
As afirmações corretas são: 
a) II, apenas. 
b) III , apenas. 
c) I e II, apenas. 
Resolução da questão 04 
d) II e III, apenas. 
e) II, III e IV, apenas. 
 
Referência: aula 05 
 
6) Uma placa fina de metal, localizada no plano xy, tem temperatura T(x,y) no ponto (x,y). As curvas de 
nível de T são chamadas isotérmicas porque todos os pontos em uma isotérmica têm a mesma 
temperatura. Se a função temperatura for dada por T(x,y) = 
 
, T em ℃ e x e y em cm, avalie 
as asserções I e II que se relacionam: 
 
I: Os pontos da placa que têm a mesma temperatura do ponto (1,0) são pontos de uma elipse 
 
 PORQUE 
 II: A equação que representa a temperatura do ponto (1,0) é 𝑥 + = 1 
Dadas as instruções, assinale a alternativa CORRETA: 
a) As asserções I e II são proposições falsas. 
b) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
c) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
Resolução da questão 05 
d) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
e) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I . 
Referência: aula 06 
 
 
 
 
7) Seja z = 
 
. Determine: 
a) 
b) 
c) Mostre que x. + y. = z 
 
Resolução da questão 06 
 
 
 
8) Uma chapa de metal se encontra no plano xy de modo que a temperatura T em (x,y) seja dada 
por T(x,y) = 10(𝑥 + 𝑦 ) , 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑇 é 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑒𝑚 ℃ 𝑒 𝑥 𝑒 𝑦 𝑒𝑚 𝑐𝑒𝑛𝑡í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠. 
Avalie as seguintes afirmações: 
 
I) Quando se toma a direção do eixo x, a partir do ponto (1,2), a temperatura tende a diminuir. 
II) Quando se toma a direção do eixo y, a partir do ponto (1,2), a temperatura tende a aumentar 
III) A temperatura no ponto (1,2) é de 250℃ 
 
As afirmações corretas são: 
 
Resolução da questão 07 
a) I , II e III 
b) I, apenas. 
c) I e II, apenas. 
d) I e III, apenas. 
e) II e III, apenas. 
 
Referência: aulas 07 e 08 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução da questão 08 
Resolução da questão 09 
9) Uma função f de x e y é harmônica se + = 0. Mostre que f(x,y) = ln 𝑥 + 𝑦 é harmônica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referência : aula 09 
 
10) Considere f(x,y) = 𝑥 + 𝑦 - 4xy +1. 
Avalie as seguintes asserções que se relacionam: 
 
I) O valor do Hessiano da função f(x,y) = 𝑥 + 𝑦 - 4xy +1 no ponto (1,1) = 160 
 
 
 PORQUE 
 
II) O Hessiano de f em um ponto (x,y) = 144𝑥 𝑦 + 16 
 
Dadas as instruções, assinale a alternativa CORRETA: 
a) As asserções I e II são proposições falsas. 
b) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
c) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
d) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
e) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I . 
 
 
Referência: aula 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução da questão 10