Setima_Lista_de_Exercicios_de_Algebra_Linear_II

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Sétima Lista de Exercícios de Álgebra Linear II 
 
 
1- Verifique se as funções abaixo são realmente transformações lineares: 
 a) 
( ) ( )zyxzyx
RRT
+→
→
,,,
:
2
23
 
 
 
 b) ( ) ( )yxzyx
RRT
2,,,
: 23
→
→
 
 
 c) ( ) ( )byaxyx
RRT
++→
→
,,
: 22
 , a e b { }0−∈ R 
 
 
 
2- Seja 23: RRT → uma transformação linear tal que T(1,0,0) = (2,4), 
T(0,1,0) = (3,5) e T(0,0,1) = (1,1). Indique a lei de foemação de T: 
 
3- Seja 23: RRT → uma transformação linear definida por T(1,1,1) = (1,2), 
T(1,1,0) = (2,3) e T(1,0,0) = (3,4). 
 a) Determine T(x,y,z) 
 b) Determine (x,y,z) 3R∈ tal que ( ) ( )4,3,, =zyxT 
 c) Determine (x,y,z) 3R∈ tal que ( ) ( )0,0,, =zyxT 
 
4- Indique a lei de 1−T para a transformação linear: 
 ( ) ( )xyyx
RRT
−→
→
,,
: 22
 
 
5- Considere B = {v,u,w} uma base do 3R , onde v = (1,2,3), u = (2,5,3) e 
w = (1,0,1). 
 a) Ache uma fórmula para a transformação linear 23: RRT → tal que 
T(v) = (1,0), T(u) = (1,0) e T(w) = (0,1). 
 b) Encontre uma base e a dimensão de N(T). 
 c) Encontre uma base e dimensão de Im(T) 
 d) T é invertível? Justifique. 
 
 
 
 
 
6- Seja 23: RRT → tal que T(x,y,z) = (x+y,x+z). Indique: 
 a) [ ]ABT considerando A e B bases canônicas 
 b) [ ]CDT onde C = {(1,0,0), (0,-1,0), (0,0,2)} e D = {(1,2), (3,5)} 
 
7- Sejam S e T operadores lineares de 2R definidos por: S(x,y) = (x+2y,y) 
e T(x,y) = (x,3y). Determine: 
 a) S+T 
 b) 2S + 4T 
 c) SoT 
 d) ToS 
 
8- Seja T a transformação linear determinada pela matriz 










− 40
04
02
. 
 a) Determine a lei de formação de T(x,y). 
 b) Calcule T(-2,1) 
 
9- Seja T o operador linear no 3R definida por T(x,y,z) = (2y+z,x-4y, 3x). 
 a) Encontre a matriz T na base B = {(1,1,0), (1,0,1), (1,0,0)} 
 b) Encontre ( )[ ]BBT 1,0,1 − utilizando [ ]BBT . 
 
10- Seja T a transformação linear associada a matriz 










−
002
103
201
. 
 a) Ache uma base para N(T). 
 b) Ache uma base para Im(T). 
 c) T é sobrejetora? Injetora? 
 d) Determine a matriz associada a T em relação a base 
{(1,2,0),(0,-1,1),(0,1,2)} 
 
 
Gabarito 
 
1- a) não b) sim c) não 
 
2- T(x,y,z) = (2x+3y-4z, 4x+5y-8z) 
 
 
3- a) T(x,y,z) = (3x-y-z, 4x+5y-8z) 
 b) ( ){ }Rzzz ∈− ,,6,1 
 c) ( ){ }Ryyy ∈− ,,,0 
 
4- ),(),(
1 xyyxT −=− 
 
5- a) 




 −−++−=
8
39
,
8
33
),,(
zyxzyx
zyxT 
 b) N(T) =





 ∈



 Ryyy ,0,,
3 
 c) Im(T) = 2R 
 d) Não, pois não é injetora. 
 
6- a) 





101
011
 
 b) 





−−
−
221
652
 
 
7- a) S+T = (2x+2y,4y) 
 b) 2S+4T = (6x+4y,14y) 
 c) SoT = (x+6y,3y) 
 d) ToS = (x+4y,y) 
 
8- a) T(x,y) = (2x,4x,-4y) 
 b) T(-2,1) = (-4,-8,-4) 
 
9- a) 










−−
−
432
333
113
 
 b) (1,3,-5) 
 
10- a) N(T) =[(0,1,0)] 
 b) Im(T) = [(1,3,2),(2,-1,0)] 
 c) Nem sobrejetora, nem injetora 
 d) 












−−
3
10
3
51
3
20
3
100
421