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Escriturário
Probabilidade e Estatística
Prof. Dudan
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Probabilidade e Estatística
Professor Dudan
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Edital
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA. Análise combinatória; Noções de probabilidade; Teorema de 
Bayes; Probabilidade condicional; Noções de estatística; População e amostra; Análise e inter-
pretação de tabelas e gráficos; Regressão, tendências, extrapolações e interpolações; Tabelas 
de distribuição empírica de variáveis e histogramas; Estatística descritiva (média, mediana, va-
riância, desvio padrão, percentis, quartis, outliers, covariância).
BANCA: Cesgranrio
CARGO: Escriturário
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Aula XXAula XXMódulo 1
ESTATÍSTICA
A ciência encarregada de coletar, organizar e interpretar dados é Chamada de estatística. Seu 
objetivo é obter compreensão sobre os dados coletados. Muitas vezes utiliza-se de técnicas 
probabilísticas, a fim de prever um determinado acontecimento.
Nomenclatura
 • População: quantidade total de indivíduos com mesmas características submetidos a uma 
determinada coleta de dados.
 • Amostra: Como em geral as populações são muito grandes, se faz necessário o uso de 
amostras para representá-las. Estas são formadas por uma fração da população em estudo.
 • Frequência Absoluta: quantidade de vezes que determinado evento ocorreu.
 • Frequência Relativa: é a razão entre a frequência absoluta e a quantidade de elementos 
da população estatística. É conveniente a representação da frequência relativa em forma 
percentual.
Exemplo Resolvido 1: 
Uma pesquisa foi realizada com os 200 funcionários de uma empresa de comércio atacadista, 
no intuito de analisarem as preferências por esportes. Dentre as opções esportivas foram 
fornecidas as seguintes opções: futebol, vôlei, basquete, natação, tênis e ciclismo. Observe os 
resultados: 
Futebol: 70
Vôlei: 50
Basquete: 40
Natação: 20
Tênis: 15
Ciclismo: 5 
 
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Modalidade Esportiva Frequência Absoluta Frequência Relativa
Futebol 70 70/200 = 0,35 = 35%
Vôlei 50 50/200 = 0,25 = 25%
Basquete 40 40/200 = 0,20 = 20%
Natação 20 20/200 = 0,10 = 10%
Tênis 15 15/200 = 0,75 = 7,5%
Cilismo 5 5/200 = 0,025 = 2,5%
Total 200 100%
Exemplo Resolvido 2:
Em uma empresa, os salários dos 60 funcionários foram divididos de acordo com a seguinte 
informação:
R$ Frequência Absoluta
600 α 690 6
690 α 780 15
780 α 870 30
870 α 960 6
960 α 1050 3
Vamos determinar a frequência relativa dos salários dessa empresa:
R$ Frequência Absoluta Frequência Relativa
600 α 690 6 6/60 = 0,10 = 10%
690 α 780 15 15/60 = 0,25 = 25%
780 α 870 30 30/60 = 0,50 = 50%
870 α 960 6 6/60 = 0,10 = 10%
960 α 1050 3 3/60 = 0,05 = 5%
Total 60 100%
Exemplo Resolvido 3: 
Numa prova de matemática a nota 6 foi obtida por cinco alunos. Sabendo que essa turma 
possui um total de 20 alunos, qual é a frequência relativa dessa nota?
Sabendo q a nota 6 foi obtida por 5 dos 20 alunos, temos que sua frequência absoluta é 5 e a 
frequência relativa é 5
20
 = 1
4
 = 25%.
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Exemplo Resolvido 4:
Às pessoas presentes em um evento automobilístico foi feita a seguinte pergunta: Qual é a sua 
marca de carro preferida?
Foi então construída uma tabela para melhor dispor os dados:
Marcas Frequência Absoluta (FA) Frequência Relativa (FR)
Ford 4 16,7%
Fiat 3 12,5%
GM 6 25%
Nissan 1 4,2%
Peugeot 3 12,5%
Renault 2 8,3%
Volks 5 20,8%
Total 24 100%
Frequência absoluta: quantas vezes cada marca de automóvel foi citada.
Frequência relativa: é dada em porcentagem. A marca Ford tem frequência relativa 4 em 24 ou 
4
24
 ou ~0,166 ou 16,66% ou 16,7%.
Exemplo Resolvido 5: 
Em uma empresa foi realizada uma pesquisa a fim de saber a quantidade de filhos de cada 
funcionário. Os dados da pesquisa foram organizados na seguinte tabela:
Número de filhos Frequência Absoluta Frequência Relativa
0 30 30/160 = 0,1875 = 18,75%
1 36 36/160 = 0,225 = 22,5%
2 60 60/160 = 0,375 = 37,5%
3 24 24/160 = 0,15 = 15%
4 10 10/160 = 0,625 = 6,25%
Total 160 100%
Veja a análise: 
18,75% dos funcionários não possuem filhos. 22,5% possuem exatamente um filho. 37,5% 
possuem dois filhos. 15% possuem três filhos. 6,25% possuem quatro filhos. 
 
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Representação Gráfica
O uso do gráfico nas representações de situações estatísticas é de grande valia, pois auxilia 
na visualização dos dados. É prudente, porém, observar o tipo de gráfico escolhido para a 
representação, pois um gráfico inadequado pode omitir dados.
Os tipos de gráficos mais comuns são: o gráfico de colunas, de barras, o histograma, o gráfico 
de setores, também chamado de “torta” ou “pizza” e o gráfico de linha poligonal.
Gráfico de colunas
Exemplo: Distribuição das notas de Matemática de cinco alunos da 2ª série, ao longo do ano de 
2008.
Responda:
a) Qual é o aluno mais regular dessa turma?
b) Qual aluno ficou com média 6?
c) Qual aluno teve desempenho crescente ao longo do ano?
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Gráfico de barras
Exemplo: Salário mensal dos engenheiros da empresa “Minérios Brasil”.
Valores em milhares de reais.
Histograma
Exemplo: Estatura dos alunos do curso de Física. 
 
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Gráfico de Setores
Exemplo: Durante o primeiro semestre de 2009 a fatura telefônica de uma residência ficou 
distribuída conforme o gráfico:
Responda:
a) Qual é o ângulo central representado pelo mês de fevereiro?
b) Qual é o valor do menor ângulo central observado no gráfico?
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Linha Poligonal
Exemplo: Do ano 2002 a 2008 o mercado financeiro registrou uma grande oscilação no valor 
das ações X e Y, conforme representado no gráfico a seguir:
Valores em R$
Responda:
a) Em relação a 2002, as ações X, no fechamento de 2008 tiveram qual variação percentual?
b) Em 2006 qual era a ação mais valorizada? 
 
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Medidas de tendência central
Média Aritmética
A média aritmética é uma das formas de obter um valor intermediário entre vários valores. É 
considerada uma medida de tendência central e é muito utilizada no cotidiano.
Para calculá-la basta somar todos os elementos e dividí-los pelo total de elementos.
1 2 ... n
a
x x xM
n
+ + +
=
Exemplo Resolvido 1: 
Calcule a média anual de Carlos na disciplina de Matemática com base nas seguintes notas 
bimestrais:
1ºB = 6,0 2ºB = 9,0 3ºB = 7,0 4ºB = 5,0
Logo: Ma = (6,0 + 9,0 + 7,0 + 5,0) / 4 
Ma = 27/4 
Ma = 6,75
Exemplo Resolvido 2: 
O dólar é considerado uma moeda de troca internacional, por isso o seu valor diário possui 
variações. Acompanhando a variação de preços do dólar em reais durante uma semana 
verificou-se as variações de acordo com a tabela informativa: 
Segunda Terça Quarta Quinta Sexta
R$ 2,30 R$ 2,10 R$ 2,60 R$ 2,20 R$ 2,00
Determine o valor médio do preço do dólar nesta semana. 
Ma = (2,3 + 2,1 + 2,6 + 2,2 + 2) / 5 
Ma = 11,2 / 5 
Ma = 2,24 
O valor médio do dólar na semana apresentada foi de R$ 2,24.
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Média Ponderada 
Ponderar é sinônimo de pesar. No cálculo da média ponderada, multiplicamos cada valor do 
conjunto por seu “peso”, isto é, sua importância relativa.
1 1 2 2
1 2
...
...
n n
p
n
x P x P x PM
P P P
⋅ + ⋅ + + ⋅
=
+ + +
Exemplo Resolvido 3:
Paulo teve as seguintes notas nas provas de Matemática no ano de 2008: 8,5; 7,0; 9,5 e 9,0, 
nas quais os pesos das provas foram 1, 2, 3 e 4, respectivamente. Para obter uma nota que 
representará seu aproveitamento no bimestre, calculamos a média aritmética ponderada (MP).
Exemplo Resolvido 4: 
Marcos participou de um concurso, onde foram realizadas provasde Português, Matemática, 
Biologia e História. Essas provas tinham peso 3, 3, 2 e 2, respectivamente. Sabendo que Marcos 
tirou 8,0 em Português, 7,5 em Matemática, 5,0 em Biologia e 4,0 em História, qual foi a média 
que ele obteve?
p =
 
Portanto, a média de Marcos foi de 6,45.
MÉDIA GEOMÉTRICA
Essa média é calculada multiplicando-se todos os “n” valores e extraindo-se a raiz de índice n 
deste produto. 
 
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Exemplo: Calcule a média geométrica entre:
a) 2 e 32
b) 3, 3, 9, 81
MÉDIA HARMÔNICA
A média harmônica equivale ao inverso da média aritmética dos inversos de n valores. 
n321 x
...
xxx
n.H.M 1111 ++++
=
Exemplo: Calcule a média harmônica entre 10, 10 e 1.
IMPORTANTE!!!
Em todas as médias o resultado estará entre o maior e o menor número dado.
Para os mesmos valores, a média aritmética terá o maior valor, seguida da média 
geométrica e depois a média harmônica.
Calcule a média aritmética Ma, a média geométrica Mg e a média harmônica Mh dos 
números 2 e 8 e compare os resultados.
Mediana (Md)
A mediana é o valor central dos dados estatísticos dispostos em ordem crescente ou 
decrescente. Se o número de dados do rol for par, temos que a mediana é a média aritmética 
dos dois valores centrais.
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Exemplos:
1. A mediana dos dados 1, 2, 3, 4, 5, 9, 12, 16, 17 é 5.
2. A mediana em 15, 12, 10, 2 vale 12+10( )
2
=11 .
Como definir a posição da Mediana:
 • População com nº de Elementos Ímpar:
Para a seguinte população: {1, 3, 5, 7, 9}
Para descobrir a posição do termo central basta fazer n+1. _____
 2
A mediana será o 3º elemento que é 5 
 • População com nº de Elementos Par:
Na seguinte população: {1, 2, 4, 8, 9, 10}
Para descobrir a posição dos termos centrais basta fazer n
2
 e lembrar que a mediana é a média 
deste com seu sucessor.
Não há um valor central, portanto a mediana é calculada tirando-se a média dos dois valores 
centrais (no caso, o 3º e 4º elementos).
Logo, o valor da mediana é = 4+8( )
2
= 6 
Moda (Mo)
A moda de um conjunto de números é o valor que ocorre com maior frequência. A moda pode 
não existir e também não ser única.
Exemplos:
1. O conjunto de números: 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 9 tem moda 6.
2. O conjunto de números: 7, 6, 6, 8, 8, 9 tem modas 6 e 8. É, portanto, dito bimodal.
3. Seja o rol de dados: 1, 3, 7, 9, 10. Como todos os dados têm a mesma frequência, dizemos 
que não existe moda.
 
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MEDIDAS DE DISPERSÃO
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
Variância
A variância deve ser calculada através da soma dos quadrados entre a diferença de um valor 
observado e o valor médio. A diferença serve para mostrar quanto um valor observado se 
distancia do valor médio.
Para amostra, a soma dessas diferenças deve ser dividida por n – 1, onde n é o número de 
elementos da amostra. Para população dividiremos somente por n. 
OBS.: a unidade da variância é igual a unidade de medida das observações elevada ao quadrado.
Assim:
 • Para amostra
 • Para População
VA =
(X1 −Xm)
2 + (X2 −Xm)
2 + ...+ (Xn −Xm)
2
n
Exemplo:
Calcular a variância amostral do conjunto: 1, 2, 3, 4, 5
n = 5 e xm (média) = 3
DESVIO PADRÃO
O desvio padrão é calculado extraindo a raiz quadrada da variância. 
AV.P.D =
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AMPLITUDE
É a diferença entre o maior e o menor valor que foi observado para a variável, servindo para 
caracterizar a abrangência do estudo. 
Exemplo :
Considere as notas de um teste de 3 grupos de alunos: 
Grupo 1: 3, 4, 5, 6, 7; 
Grupo 2: 1, 3, 5, 7, 9; 
Grupo 3: 5, 5, 5, 5, 5.
Amplitude (A): A=máx-min
Para os grupos, temos:
Grupo 1, A = 7 – 3 = 4
Grupo 2, A = 9 – 1 = 8
Grupo 3, A= 5 – 5 = 0
QUARTIS
Os quartis são medidas de localização que dividem a amostra (ou coleção) de dados de tipo 
já ordenada, em quatro partes, cada uma com uma percentagem de dados aproximadamente 
igual. 
O 1º quartil ou quartil inferior, representado por Q1/4 (ou Q0,25) e o 3º quartil ou quartil superior, 
representado por Q3/4 (ou Q0,75) são medidas que localizam alguns pontos da distribuição 
dos dados de tal forma que aproximadamente 25% dos dados são inferiores ou iguais a 
Q1/4, aproximadamente 25% dos dados são superiores ou iguais a Q3/4 e os restantes dados, 
aproximadamente 50%, situam-se entre Q1/4 e Q3/4. De um modo geral, quando nos referimos 
aos quartis, estamos a referir-nos ao 1º e 3º quartis, uma vez que o 2º quartil é designado por 
mediana. O cálculo é análogo ao da mediana.
Assim, os quartis são valores dados a partir do conjunto de valores ordenados em ordem 
crescente que dividem a distribuição em quatro partes iguais. 
Resumindo:
 • primeiro quartil (designado por Q1/4) = quartil inferior é o valor do conjunto que delimita 
os 25% menores valores: 25% dos valores são menores do que Qi e 75% são maiores do 
que ele.
Também pode ser chamado de 25º percentil, pois corresponde a 25% dos valores 
apresentados.
 • segundo quartil (designado por Q2/4) = mediana = é o valor até ao qual se encontra 50% da 
amostra ordenada = 50º percentil.
 
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 • terceiro quartil (designado por Q3/4) = quartil superior = valor a partir do qual se encontram 
25% dos valores mais elevados = valor aos 75% da amostra ordenada = 75º percentil
 • à diferença entre os quartis superior e inferior chama-se amplitude interquartil.
Exemplo 1: Considere as medidas das alturas de 11 pacientes, dadas e já em ordem crescente: 
1,58 1,59 1,60 1,68 1,68 1,69 1,73 1,79 1,80 1,85 1,87
Assim temos que primeiro quartil é dado por 1,60 e o terceiro quartil é 1,80 pois Q1 = (11+1).1/4 
= 12/4 = 3 , ou seja, o 3º elemento. Da mesma forma Q3 = (11+1).3/4 = 9 , ou seja, o 9º elemento.
Exemplo 2: Consideremos o conjunto de dados (já ordenados): 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 
47, 49
Ao todo temos 11 elementos logo Q1 = (11+1).1/4 = 12/4 = 3 , ou seja, o 3º elemento. Da mesma 
forma Q3 = (11+1).3/4 = 9 , ou seja, o 9º elemento.
Assim:
Q1/4 = 15
Q2/4 = 40
Q3/4 = 43 
Exemplo 3: Analisando a amostra ordenada: 7, 15, 36, 39, 40, 41
Q1/4 =(6+1).1/4 = 1,75 que arredondando é 2;então Q1/4 = 15.
Q2/4: Faz o cálculo da própria mediana:
Se N for par: Q2/4 = média dos itens na posição N/2 e (N/2)+1
Se N for ímpar: Q2/4 = item na posição (N+1)/2
Assim Q2/4 = (36+39)/2 = 37,5
Q3/4 =(6+1).3/4 = 5,25 que arrendondando é 5 ;então Q3/4 = 40.
Exemplo 4: Consideremos agora o conjunto de dados já ordenados: 1 3 6 10 14 18 21 25 29
Como o número de elementos é ímpar o segundo quartil será o elemento central, isto é 
Q2 = 5º elemento = 14.
Assim as duas metades do conjunto de dados serão:
1 3 6 10 e 18 21 25 29 (observe que a mediana foi excluída)
Assim Q1 = (3+6)/2 = 9/2 = 4,5 e Q3 = (21+25)/2 = 46/2 = 23
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Para dados agrupados, basta usar Qi = i (n) __
 4
Se forem dados agrupados em classe devemos descobrir a que classe pertence usando a 
seguinte fórmula:
Onde:
Li: limite inferior da classe
ni: frequência absoluta da classe
h: amplitude da classe
Exemplo: Para o conjunto abaixo , determinar os valores dos quartis:
Inicialmente vamos calcular as frequências acumuladas, logo:
Agora vamos determinar a localização dos quartis:
Agora vamos determinar a classe que contem o Q1 comparando a Freq.Acumulada com a 
posição desse quartil.
 •
 •
 •
 
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Intervalo-Interquartil (d)
É a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil, ou seja, d = Q3 – Q1.
Exemplo:
As idades dos jogadores de futebol de uma equipe são as seguintes:
27, 30, 22, 26, 26, 30, 28, 29, 30, 22, 29
1. Calcule a média, a moda e determine os quartis e amplitude inter-quartil.
ResoluçãoVamos organizar os dados numa tabela:
A moda é o valor mais frequente, logo, a moda é 30.
Na estatística, um quartil é qualquer um dos três valores que divide o conjunto ordenado de 
dados em quatro partes iguais, e assim cada parte representa 1/4 da amostra ou população.
Assim, para determinar os quartis vamos colocar os dados por ordem crescente:
Q1/4 = 26
Q2/4 ou mediana = 28
Q3/4 = 30
Amplitude inter-quartil = 30 – 26 = 4
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Faça você:
1. Calcule a média aritmética de idade de 10 pessoas, sendo seis pessoas com 8 anos, três pessoas 
com 10 anos e um pessoa com 11 anos:
a) 8 anos e 9 meses.
b) 8 anos e 10 meses.
c) 8 anos, 10 meses e 24 dias.
d) 8 anos, 10 meses e 8 dias.
e) 9 anos.
2. Uma amostra aleatória da quantidade de litros de combustível abastecida por 16 carros em um 
posto de combustível apresentou, em litros, o seguinte resultado:
A amplitude interquartil dessa série de observações é:
a) 3 
b) 10 
c) 13 
d) 17 
e) 22
3. O serviço de atendimento ao consumidor de uma concessionária de veículos recebe as 
reclamações dos clientes via telefone. Tendo em vista a melhoria nesse serviço, foram anotados 
os números de chamadas durante um período de sete dias consecutivos. Os resultados obtidos 
foram os seguintes:
Dia Número de chamadas
Domingo 3
Segunda 4
Terça 6
Quarta 9
Quinta 5
Sexta 7
Sábado 8
Sobre as informações contidas nesse quadro, considere as seguintes afirmativas:
 
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I – O número médio de chamadas dos últimos sete dias foi 6.
II – A variância dos dados é 4.
III – O desvio padrão dos dados é 2 .
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
d) Somente a afirmativa I é verdadeira.
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
Gabarito: 1. C 2. C 3. B
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Questões
1. (48326) CESGRANRIO – 2014 – MATEMÁTI-
CA Média Aritmética, Estatística
Uma equipe de natação é formada por 10 
atletas. A média das idades desses atletas é 
de 16,2 anos. Na última competição, a equi-
pe participou com um atleta a menos e, as-
sim, a média das idades dos atletas partici-
pantes foi de 16 anos. 
Quantos anos tem o atleta que não partici-
pou da última competição?
a) 18 
b) 20 
c) 22 
d) 24 
e) 26
2. (97966) CESGRANRIO – 2015 – MATEMÁTI-
CA Média Aritmética, Mediana
Em uma instituição financeira 55% dos 
clientes não possuem seguro, 20% possuem 
1 seguro, e o restante, 2 seguros.
A média e a mediana do número de seguros 
que cada cliente possui são, respectivamen-
te:
a) 7/30 e 1/2. 
b) 1 e 1. 
c) 7/10 e 0. 
d) 0 e 0. 
e) 1/3 e 1/2. 
3. (99283) CESGRANRIO – 2012 – MATEMÁTI-
CA Média Aritmética, Equação de 1º Grau, 
Mediana
Uma prova de matemática foi aplicada em 
uma turma com 35 alunos. A prova era for-
mada por 10 questões de múltipla escolha. 
O gráfico mostra o número de alunos por 
quantidade de acertos na prova.
Se Mo, Me e Ma indicam a moda, a media-
na e a média aritmética do número de acer-
tos dos alunos da turma, respectivamente, 
então tem-se
a) Mo < Me < Ma 
b) Mo < Ma < Me 
c) Me < Ma < Mo 
d) Mo = Ma < Me 
e) Me < Mo < Ma
4. (99383) CESGRANRIO – 2010 – MATEMÁTICA 
Média Aritmética
Uma fábrica de tecidos produziu 2.020 m 
de tecido em janeiro, 1.950 m em feverei-
ro e 2.060 m em março. Em média, quantos 
metros de tecido essa fábrica produziu, por 
mês, nesse trimestre?
a) 1.970 
b) 1.990 
c) 2.010 
d) 2.080 
e) 2.100
5. (48325) CESGRANRIO – 2014 – MATEMÁTI-
CA Representação e Análise de Dados, Esta-
tística
A Tabela a seguir apresenta a frequência 
absoluta das faixas salariais mensais dos 20 
funcionários de uma pequena empresa.
 
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A frequência relativa de funcionários 
que ganham mensalmente menos de R$ 
2.000,00 é de
a) 0,07 
b) 0,13 
c) 0,35 
d) 0,65 
e) 0,70
6. (30132) CESGRANRIO – 2013 – MATEMÁTI-
CA Média Aritmética, Estatística
Sabe-se que a média aritmética das massas de 
5 tanques de combustível é igual a 40 tonela-
das. Dois desses cinco tanques possuem, cada 
um, massa inferior ou igual a 20 toneladas.
A soma das massas dos outros três tanques, 
em toneladas, é, no mínimo, igual a:
a) 180
b) 160
c) 120
d) 60
e) 40
7. (7191) CESGRANRIO – 2010 – MATEMÁTICA 
Mediana, Estatística
A tabela abaixo apresenta a magnitude de 
alguns terremotos registrados no mundo, 
no século XXI.
A mediana dessa distribuição é
a) 7,2
b) 7,6
c) 7,9
d) 8,0
e) 8,4
8. (18858) CESGRANRIO – 2007 – MATEMÁTI-
CA Representação e Análise de Dados, Esta-
tística
Uma entrevista foi feita com mães de até 3 
filhos. A distribuição dessas mães, de acor-
do com o número de filhos, é dada no gráfi-
co abaixo.
Juntando-se todos os filhos dessas mães, 
quantas crianças teremos?
a) 26
b) 28
c) 30
d) 32
e) 36
9. (30126) CESGRANRIO – 2013 – MATEMÁTI-
CA – Moda, Mediana, Média Aritmética, Es-
tatística
Considere o seguinte conjunto:
{15; 17; 21; 25; 25; 29; 33; 35}
A média, a mediana e a moda desse conjun-
to de dados são, respectivamente,
a) 1, 2 e 3
b) 5, 7 e 9
c) 7, 9 e 5
d) 25, 25 e 25
e) 25, 27 e 29
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Banco do Brasil - TI (Escriturário) – Probabilidade e Estatística – Dudan
10. (3923) CESGRANRIO – 2011 – MATEMÁTICA 
– Média Aritmética, Estatística
 Numa turma de 35 alunos, 3 alunos faltaram 
à prova. Sem a nota desses alunos, a média 
dos 32 alunos foi x. Os 3 alunos fizeram a 
segunda chamada da prova, e suas notas 
foram x, x + 1 e x – 1. O professor recalculou 
a média da turma, agora com 35 alunos, e 
encontrou o resultado y.
 Qual o valor da diferença y – x?
a) – 3
b) – 2
c) 0
d) 2
e) 3
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Gabarito: 1. (48326) A 2. (97966) C 3. (99283) A 4. (99383) C 5. (48325) D 6. (30132) B 7. (7191) C 8. (18858) B  
9. (30126) D 10. (3923) C
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Aula XXMódulo 2
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Fatorial
Ao produto dos números naturais começando em n e decrescendo até 1 denominamos de 
fatorial de n e representamos por n!.
n! = n.(n – 1).(n – 2).(n – 3)..... 3. 2. 1
Exemplo:
7! = 7.6.5.4.3.2.1 12! = 12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
Faça você
 Determine:
a) 5! = b) 6! = c) 4! + 2! =
d) 6! − 5! = e) 3!2! = f) 5! − 3!=
Princípio da Contagem
Os primeiros passos da humanidade na matemática estavam ligados à necessidade de contagem 
de objetos de um conjunto, enumerando seus elementos. Mas as situações se tornavam mais 
complexas, ficando cada vez mais difícil fazer contagens a partir da enumeração dos elementos.
A análise combinatória possibilita a resolução de problemas de contagem, importante no 
estudo das probabilidades e estatísticas. 
Problema: Para eleição de uma comissão de ética, há quatro candidatos a presidente (Adolfo, 
Márcio, Bernardo e Roberta) e três a vice-presidente (Luana, Diogo e Carlos).
 
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Quais são os possíveis resultados para essa eleição?
12
RESULTADOS
POSSÍVEIS
PARA ELEIÇÃO
RESULTADOS POSSÍVEIS PARA ELEIÇÃOVICE-PRESIDENTEPRESIDENTE
O esquema que foi montado recebe o nome de árvore das possibilidades, mas também 
podemos fazer uso de tabela de dupla entrada:
VICE-PRESIDENTE
↓PRESIDENTE L D C
A AL AD AC
M ML MD MC
B BL BD BC
R RL RD RC
Novamente podemos verificar que são 12 possibilidades de resultado para eleição.
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PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
Você sabe como determinar o número de possibilidades de ocorrência de um evento, sem 
necessidade de descrever todas as possibilidades?Vamos considerar a seguinte situação:
Edgar tem 2 calças (preta e azul) e 4 camisetas (marrom, verde, rosa e branca).
Quantas são as maneiras diferentes que ele poderá se vestir usando uma calça e uma camiseta?
Construindo a árvore de possibilidades:
Edgar tem duas possibilidades de escolher uma calça para cada uma delas, são quatro as 
possibilidades de escolher uma camiseta. Logo, o número de maneiras diferentes de Edgar se 
vestir é 2.4 = 8.
Como o número de resultados foi obtido por meio de uma multiplicação, dizemos que foi 
aplicado o PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO.
LOGO: Se um acontecimento ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes, de tal modo 
que:
 • p1 é o número de possibilidades da 1ª etapa;
 • p2 é o número de possibilidades da 2ª etapa;
.
.
.
 • pk é o número de possibilidades da k-ésima etapa;
Então o produto p1 . p2 ... pk é o número total de possibilidades de o acontecimento ocorrer.
 • De maneira mais simples poderíamos dizer que: Se um evento é determinado por duas 
escolhas ordenadas e há “n” opções para primeira escolha e “m” opções para segunda, o 
número total de maneiras de o evento ocorrer é igual a n.m.
De acordo com o princípio fundamental da contagem, se um evento é composto por duas ou 
mais etapas sucessivas e independentes, o número de combinações será determinado pelo 
produto entre as possibilidades de cada conjunto.
EVENTO = etapa1 x etapa2 x etapa3 x ... etapan
Exemplo: 
Vamos supor que uma fábrica produza motos de tamanhos grande, médio e pequeno, com 
motores de 125 ou 250 cilindradas de potência. O cliente ainda pode escolher as seguintes 
cores: preto, vermelha e prata. Quais são as possibilidades de venda que a empresa pode 
oferecer?
Tipos de venda: 3 . 2 . 3 = 18 possibilidades
 
CAMISETAS
 
MANEIRAS DE EDGAR SE VESTIR
 
CALÇAS
 
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Tamanho Motor Cor
Grande
125 Preta
Vermelha
Prata250
Média
125 Preta
Vermelha
Prata250
Pequena
125 Preta
Vermelha
Prata150
Listando as possibilidades, tem-se:
Grande – 125 cc – preta
Grande – 125 cc – vermelha
Grande – 125 cc – prata
Grande – 250 cc – preta
Grande – 250 cc – vermelha
Grande – 250 cc – prata
Média – 125 cc – preta
Média – 125 cc – vermelha
Média – 125 cc – prata
Média – 250 cc – preta
Média – 250 cc – vermelha
Média – 250 cc – prata
Pequena – 125 cc – preta
Pequena – 125 cc – vermelha
Pequena – 125 cc – prata
Pequena – 250 cc – preta
Pequena – 250 cc – vermelha
Pequena – 250 cc – prata
Problema:
Os números dos telefones da cidade de Porto Alegre têm oito dígitos. Determine a quantidade 
máxima de números telefônicos, sabendo que os números não devem começar com zero.
Resolução:
9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 90.000.000
Problema:
Utilizando os números 1,2,3,4 e 5, qual o total de números de cinco algarismos distintos que 
consigo formar?
Resolução: 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
1. Uma pessoa está dentro de uma sala onde há sete portas (nenhuma trancada). Calcule de 
quantas maneiras distintas essa pessoa pode sair da sala e retornar sem utilizar a mesma porta.
a) 77
b) 49
c) 42
d) 14
e) 8
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2. A figura abaixo pode ser colorida de diferentes maneiras, usando-se pelo menos duas de quatro 
cores disponíveis.
Sabendo-se que duas faixas consecutivas não podem ter cores iguais, o número de modos de 
colorir a figura é:
a) 12
b) 24
c) 48
d) 72
e) 108
3. Lucia está se preparando para uma festa e separou 5 blusas de cores diferentes (amarelo, preto, 
rosa , vermelho e azul), 2 saias (preta, branca) e dois pares de sapatos (preto e rosa). Se nem o 
sapato nem a blusa podem repetir a cor da saia, de quantas maneiras Lucia poderá se arrumar 
para ir a festa?
a) 26
b) 320
c) 14
d) 30
e) 15
Identificação
SIM NÃO
USA TUDO E EMBARALHA?
 PERMUTAÇÃO
ARRANJO COMBINAÇÃO
A ORDEM IMPORTA?
 
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Permutação
Permutação Simples
É caracterizada por envolver todos os elementos, nunca deixando nenhum de fora. Muito 
comum em questões que envolvem anagramas de palavras.
Fórmula: Pn = n!
Exemplo:
Quantos anagramas possui a palavra AMOR.
Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer permutação dessas letras, de 
modo a formar ou não palavras.
Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 
possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição. 
Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 * 3 * 2 * 1 = 24 possibilidades ou 24 
anagramas.
Pela própria fórmula faremos P4 = 4! = 4.3.2.1= 24 anagramas. 
Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA . . .
Faça você
4. Quantos anagramas possui a palavra CHAPÉU?
a) 24
b) 40
c) 120
d) 720
e) 5.060
5. Quantos anagramas possui a palavra GAÚCHOS de modo que as vogais fiquem juntas?
a) 24
b) 40
c) 120
d) 720
e) 5.060
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E se houver elementos repetidos??
Assim, temos a Permutação com Repetição na qual deveremos “descontar" os elementos 
repetidos pois a troca de posição entre dois elementos repetidos não evidencia uma nova 
estrutura.
Permutação com repetição
Faça você
6. Calcule a quantidade de anagramas da palavra BANANA.
a) 24
b) 60
c) 120
d) 720
e) 5.060
7. Uma pessoa dispõe de 4 livros de matemática, 2 livros de física e 3 livros de química, todos 
distintos entre si. O número de maneiras diferentes de arrumar esses livros numa fileira de 
modo que os livros de cada matéria fiquem sempre juntos é:
a) 1.728
b) 1.287
c) 1.872
d) 2.781
e) 2.000
 
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Arranjo
É uma seleção (não se usam todos ao mesmo tempo!), em que a ordem faz diferença.
Muito comum em questões de criação de senhas, números, telefones, placas de carro, 
competições, disputas, situações em que houver hierarquia.
Dica:
Deve ser resolvido usando 
o P. F da Contagem
Fórmula: Anp = 
n!
(n−p)!
Exemplo:
Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0, 1, 2, ..., 9. O segredo do cofre é marcado 
por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas 
deverá fazer (no máximo) para conseguir abri-lo? 
Solução: As sequências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas; para 
a segunda, 9; e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio 
fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado: 
10. 9. 8 = 720.  Observe que 720 = A10,3
Faça você
8. Em uma escola está sendo realizado um torneio de futebol de salão, no qual dez times estão 
participando. Quantos jogos podem ser realizados entre os times participantes em turno e 
returno?
a) 90
b) 60
c) 45
d) 15
e) 10
9. Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam 
palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: primeiro 
lugar, Brasil; segundo lugar, Nigéria; terceiro lugar, Holanda).
 Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam 
existir?
a) 69
b) 2.024
c) 9.562
d) 12.144
e) 13.824
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10. Num curso de pós-graduação, Marcos, Nélson, Osmar e Pedro são candidatos a representantes 
da turma da qual fazem parte. Serão escolhidas duas dessas quatro pessoas: uma para 
representante e a outra para ser o auxiliar desse representante. Quantas duplas diferentes de 
representante e auxiliar podem ser formadas?
a) 24
b) 18
c) 16
d) 12
e) 6
Combinação
É uma seleção (não se usam todos ao mesmo tempo!) onde a ordem NÃO faz diferença.
Muito comum em questões de criação de grupos, comissões e agrupamentos em que não há 
distinção pela ordem dos elementos escolhidos.
Fórmula: Dica:
Só pode ser resolvido 
usando a fórmula, mas 
iremos aprender o método 
prático!
Calcule:
Exemplo Resolvido:Uma prova consta de 5 questões das quais o aluno deve resolver 2. De quantas formas ele 
poderá escolher as 2 questões?
Solução: Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que se 
trata de um problema de combinação. 
Aplicando a fórmula, chegaremos a: 
 
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C5,2 = 5! / [(5-2)! . 2!] = 5! / (3! . 2!) = 5.4.3.2.1. / 3.2.1.2! = 20/2 = 10
Método Prático e Combinação Complementar
Para não perder tempo, poderíamos aplicar o método prático:
 10
Para isso, basta usar a regra: rebobinar o “n” até o total de “p” itens e dividir pelo “p” fatorial.
Calcule pelo Método Prático:
a) C5,2 =
b) C10,4 =
c) C8,1 =
d) C7,5 =
São combinações que têm o mesmo resultado final.
Ambos tem o mesmo resultado.
Dica:
Combinações 
Complementares agilizam 
os cálculos:
C 5,2 = C 5,3 pois 2 e 3 se 
complementam para 
somar 5.
Exemplo:
a) C20, 18 = C20 , 2
b) C9, 6 = C9, 3
c) C10, 4 = C 10 ,6
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Faça você
11. Os 32 times que jogarão a Copa do Mundo 2014 no Brasil estão agrupados em oito grupos de 
quatro seleções cada. As quatro seleções de cada grupo se enfrentarão uma única vez entre si, 
formando a primeira etapa da copa. Calcule a quantidade de jogos que cada grupo terá.
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
12. As 14 crianças de uma família serão separadas em grupos de 9, para participar da gincana da 
quermesse da cidade onde vivem. De quantas maneiras as crianças poderão ser agrupadas?
a) 2.002
b) 1.540
c) 728
d) 120
e) 23
13. Uma lanchonete dispõe de seis frutas tropicais diferentes para a venda de sucos. No cardápio 
é possível escolher sucos com três ou quatro frutas misturadas. O número máximo de sucos 
distintos que essa lanchonete poderá vender é de:
a) 720
b) 70
c) 150
d) 300
e) 35
14. Numa Câmara de Vereadores, trabalham 6 vereadores do partido A, 5 vereadores do partido 
B e 4 vereadores do partido C. O número de comissões de 7 vereadores que podem ser 
formadas, devendo cada comissão ser constituída de 3 vereadores do partido A, 2 do partido B 
e 2 vereadores do partido C, é igual a
a) 7
b) 36
c) 152
d) 1.200
e) 28.800
 
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Gabarito: 1. C 2. E 3. C 4. D 5. D 6. B 7. A 8. A 9. D 10. D 11. E 12. A 13. E 14. D
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Questões
1. (57914) CESGRANRIO – 2010 – MATEMÁTI-
CA Combinação, Análise Combinatória
Certa pizzaria oferece aos clientes cinco ti-
pos de cobertura (presunto, calabresa, fran-
go, cebola e azeitona) para serem acrescen-
tadas ao queijo. Os clientes podem escolher 
uma, duas ou três coberturas. João quer ce-
bola em sua pizza, mas ainda não decidiu se 
colocará, ou não, outras coberturas. Consi-
derando-se essas informações, de quantos 
modos distintos João poderá “montar” sua 
pizza?
a) 10 
b) 11 
c) 15 
d) 16 
e) 24
2. (99278) CESGRANRIO – 2012 – MATEMÁTI-
CA Princípio da Contagem, Permutação
Um código alfanumérico é composto por 2 
letras, escolhidas entre as 26 letras do alfa-
beto, e 3 algarismos, dispostos em qualquer 
ordem. De acordo com esse padrão, quan-
tos códigos distintos podem ser escritos?
a) 468.000 
b) 676.000 
c) 4.680.000 
d) 6.760.000 
e) 9.360.000
3. (99250) CESGRANRIO – 2014 – MATEMÁTI-
CA Princípio da Contagem
Um sistema computacional listou todas as 
senhas distintas que podem ser formadas 
por 3 letras, todas maiúsculas, sendo duas 
delas vogais e uma consoante. O sistema 
considerou 5 vogais e 21 consoantes dispo-
níveis para a formação das senhas. Foi per-
mitida a repetição de vogais.
São exemplos de senhas admissíveis: FAE, 
ERE, UOW.
Quantas senhas foram listadas pelo sistema 
computacional?
a) 3150 
b) 2835 
c) 2520 
d) 1575 
e) 315
4. (99391) CESGRANRIO – 2009 – MATEMÁTI-
CA – Combinação
Um grupo é formado por 7 pessoas, dentre 
as quais estão Lúcio e Pedro. De quantas 
maneiras diferentes é possível escolher 4 
pessoas desse grupo de forma que Lúcio e 
Pedro não façam parte, simultaneamente, 
dos quatro selecionados?
a) 5 
b) 10 
c) 15 
d) 20 
e) 25
5. (49446) CESGRANRIO – 2013 – MATEMÁTI-
CA – Princípio da Contagem, Análise Combi-
natória
Uma empresa de propaganda pretende criar 
panfletos coloridos para divulgar certo produ-
to. O papel pode ser laranja, azul, preto, amare-
lo, vermelho ou roxo, enquanto o texto é escri-
to no panfleto em preto, vermelho ou branco. 
De quantos modos distintos é possível escolher 
uma cor para o fundo e uma cor para o texto 
se, por uma questão de contraste, as cores do 
fundo e do texto não podem ser iguais?
a) 13 
b) 14 
c) 16 
d) 17 
e) 18
 
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6. (3526) CESGRANRIO – 2012 – MATEMÁTICA 
Princípio da Contagem, Análise Combinató-
ria
Marcelo vai passar quatro dias na praia e 
leva em sua bagagem sete camisetas (três 
camisetas brancas diferentes, uma preta, 
uma amarela, uma vermelha e uma laranja) 
e quatro bermudas (uma preta, uma cinza, 
uma branca e uma azul).
De quantos modos distintos Marcelo pode-
rá escolher uma camiseta e uma bermuda 
para vestir-se, de modo que as peças esco-
lhidas sejam de cores diferentes?
a) 14
b) 17
c) 24
d) 26
e) 28
7. (11589) CESGRANRIO – 2012 – MATEMÁTI-
CA Combinação, Análise Combinatória
A vitrinista de uma loja de roupas femininas 
dispõe de 9 vestidos de modelos diferentes 
e deverá escolher 3 para serem exibidos na 
vitrine. 
Quantas são as escolhas possíveis?
a) 84
b) 96
c) 168
d) 243
e) 504
8. (11609) CESGRANRIO – 2011 – MATEMÁTI-
CA Combinação, Análise Combinatória
Em uma loja, trabalham 8 funcionárias, 
dentre as quais Diana e Sandra. O gerente 
da loja precisa escolher duas funcionárias 
para trabalharem no próximo feriado. San-
dra e Diana trabalharam no último feriado 
e, por isso, não podem ser escolhidas.
Sendo assim, de quantos modos distintos 
esse gerente poderá fazer a escolha?
a) 15
b) 28
c) 32
d) 45
e) 56
9. (3523) CESGRANRIO – 2012 – MATEMÁTICA 
Princípio da Contagem, Análise Combinató-
ria
Para cadastrar-se em um site de com-
pras coletivas, Guilherme precisará criar 
uma senha numérica com, no mínimo, 4 
e, no máximo, 6 dígitos. Ele utilizará ape-
nas algarismos de sua data de nascimento: 
26/03/1980.
Quantas senhas diferentes Guilherme po-
derá criar se optar por uma senha sem alga-
rismos repetidos?
a) 5.040
b) 8.400
c) 16.870
d) 20.160
e) 28.560
10. (3913) CESGRANRIO – 2011 – MATEMÁTICA 
Combinação, Análise Combinatória
De um grupo de seis operadores de equipa-
mentos de produção e refino de petróleo, 
quatro serão escolhidos para trabalhar na 
mesma equipe. De quantos modos distintos 
é possível escolher os operadores que inte-
grarão esta equipe?
a) 15
b) 30
c) 60
d) 125
e) 360
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Banco do Brasil - TI (Escriturário) – Probabilidade e Estatística – Dudan
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para ter acesso gratuito aos simulados on-line. E ainda, se for assinante da Casa das 
Questões, poderá assistir ao vídeo da explicação do professor.
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Gabarito: 1. (57914) B 2. (99278) D 3. (99250) D 4. (99391) E 5. (49446) C 6. (3526) C 7. (11589) A 8. (11609)A  
9. (3523) B 10. (3913) A
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Aula XXMódulo 3
PROBABILIDADE
Definição: 
Probabilidade é o estudo das chances de obtenção de cada resultado de um experimento 
aleatório. A essas chances são atribuídos os números reais do intervalo entre 0 e 1. Resultados 
mais próximos de 1 têm mais chances de ocorrer. Além disso, a probabilidade também pode ser 
apresentada na forma percentual.
De forma resumida e direta, temos que :
Probabilidade = QUERO e como foi dito 0 < P < 1
       TENHO
QUERO: é o evento favorável, ou seja, qualquer subconjunto de um espaço amostral. Ele pode 
conter nenhum elemento (conjunto vazio) ou todos os elementos de um espaço amostral.
TENHO: é o espaço amostral , ou seja, o conjuntoformado por todos os resultados possíveis .
Há várias situações envolvendo Probabilidade, e consequentemente muitas maneiras diferen-
tes de interpretar e resolver as questões.
Alguns detalhes são muito importantes como por exemplo:
Observações: 
 • Definir o número de eventos;
 • Impor Ordem; 
 • Agir com otimismo; 
 • Lembrar que : e = x / ou = + 
Veremos a seguir alguns tipos mais comuns.
 
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Questões Básicas envolvendo um evento
1. (CESGRANRIO)
João reuniu-se com alguns amigos para jogar bingo. Assim que as cartelas do jogo foram dis-
tribuídas, João afirmou: “O primeiro número sorteado será um múltiplo de 4”. Nesse jogo, só 
podem ser sorteados números de 1 a 90 (inclusive), e qualquer um deles tem a mesma chance 
de ser sorteado. Qual é a probabilidade de que a afirmativa de João esteja correta?
a) 11
 45
b) 4 
 15
c) 1
 3
d) 2
 5
e) 1
 2
2. (CESGRANRIO) 
A tabela apresenta dados sobre a idade e o sexo dos alunos matriculados no Ensino Médio de 
certa escola em março de 2010.
Um desses alunos será escolhido, por sorteio, para representar a escola em um evento educa-
cional. A probabilidade de que o aluno escolhido seja uma menina com menos de 16 anos é de
a) 49
 153
b) 8 
 51
c) 9 
 25
d) 3 
 17
e) 4 
 13
Banco do Brasil - TI (Escriturário) – Probabilidade e Estatística – Dudan
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3. (CESGRANRIO)
João comprou diversos números de uma rifa que teve todos os seus 300 números vendidos. 
Se a probabilidade de um dos números de João ser sorteado é de 6%, quantos números ele 
comprou?
a) 6 
b) 12 
c) 16 
d) 18 
e) 24
4. (CESGRANRIO)
“O consumidor ainda não sente segurança na hora de pagar as contas por meio do telefone ce-
lular. É isso o que revela pesquisa divulgada hoje pela Fundação Procon de São Paulo (Procon-
-SP). De acordo com o levantamento, 75% dos entrevistados pessoalmente responderam que 
não achariam seguro utilizar o aparelho celular para pagar contas, enquanto entre os internau-
tas o porcentual atingiu 66% dos pesquisados.”
Considere que o número de entrevistados pela Internet (internautas) corresponda ao quíntu-
plo do número de entrevistados pessoalmente. Escolhendo-se, ao acaso, uma das pessoas que 
participaram dessa pesquisa, qual a probabilidade de que a pessoa escolhida tenha respondido 
à pesquisa pessoalmente e não se sinta segura ao utilizar o celular para pagar contas?
a) 6,0% 
b) 7,5% 
c) 12,5% 
d) 15,0% 
e) 27,5%
5. (CESGRANRIO)
Durante cinco dias, um supermercado distribuiu cupons aos seus clientes, que deveriam pre-
enchê-los e depositá-los em uma urna para participar do sorteio de um automóvel. A Tabela a 
seguir apresenta o número de cupons depositados na urna, em cada dia da semana, durante a 
promoção.
Dia da Semana Quantidade de Cupons
Segunda 534
Terça 566
Quarta 495
Quinta 511
Sexta 644
 
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Se todos os cupons têm a mesma chance de serem sorteados, a probabilidade de que o cupom 
sorteado tenha sido depositado na urna antes de quarta-feira é de
a) 18% 
b) 40% 
c) 42% 
d) 58% 
e) 60%
6. (CESGRANRIO)
Em uma caixa há n fichas, todas pretas, e, em um saco opaco há 144 fichas, todas vermelhas. 
Todas as fichas têm o mesmo formato e são indistinguíveis pelo tato. Metade das fichas pretas 
é retirada da caixa e colocada no saco. Desse modo, se uma ficha for retirada do saco, a proba-
bilidade de que ela seja vermelha é 8/ 9 . Qual é o valor de n?
a) 36
b) 44
c) 72
d) 126
e) 180
Questões envolvendo mais de um evento
7. (CESGRANRIO)
Em uma turma com 25 alunos, 4 são canhotos, e os demais, destros. Escolhendo-se, ao acaso, 
dois alunos dessa turma, a probabilidade de que apenas um deles seja canhoto é de
a) 14% 
b) 16% 
c) 20% 
d) 28% 
e) 40%
8. (CESGRANRIO)
Semanalmente, o gerente de um restaurante, que funciona todos os dias, escolhe, por sorteio, 
dois dias da semana nos quais oferece aos clientes descontos especiais.
A probabilidade de que, no sorteio de determinada semana, apenas um dos dias sorteados per-
tença ao final de semana (sábado ou domingo) é de
a) 2 
 7
b) 5 
 21
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c) 10 
 21
d) 2 
 49
e) 10 
 49
9. (CESGRANRIO)
O elevador de um condomínio passará por três serviços de manutenção no semestre que vem. 
Apenas duas empresas prestam tais serviços: a empresa A e a empresa B. Na ocasião da reali-
zação de cada um dos serviços, o condomínio escolherá qual das duas empresas irá realizá-lo. 
Sabe-se que a probabilidade de a empresa A ser escolhida para realizar um serviço é quatro ve-
zes maior do que a probabilidade de a empresa B ser escolhida para realizar o mesmo serviço. 
A probabilidade de todos os três serviços de manutenção, previstos para o semestre que vem, 
serem realizados por uma mesma empresa é
a) 25% 
b) 50% 
c) 52% 
d) 66% 
e) 75%
10. (CESGRANRIO)
Três urnas contêm 9 bolas numeradas de 1 a 9, cada. Um experimento consiste em selecionar 
uma bola de cada urna e verificar o número de resultados coincidentes.A probabilidade de que 
haja exatamente dois números coincidentes dentre os três números selecionados é
a) 8 
 81
b) 8 
 27
c) 19 
 27
d) 25 
 81
e) 224 
 729
 
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11. (CESGRANRIO)
João retirou de um baralho as 7 cartas de copas numeradas de 2 a 8 e as colocou dentro de 
um saco plástico opaco. Em seguida, pediu a seu amigo Augusto que retirasse de dentro desse 
saco, sem olhar, duas cartas. Qual é a probabilidade de que a soma dos números escritos nas 
cartas retiradas por Augusto seja maior do que 10? 
a) 3 
 7 
b) 4 
 7 
c) 13
 21 
d) 12
 49 
e) 24
 49
12. (CESGRANRIO)
Em uma determinada agência bancária, para um cliente que chega entre 15 h e 16 h, a 
probabilidade de que o tempo de espera na fila para ser atendido seja menor ou igual a 15 min 
é de 80%.Considerando que quatro clientes tenham chegado na agência entre 15 h e 16 h, qual 
a probabilidade de que exatamente três desses clientes esperem mais de 15 min na fila?
a) 0,64% 
b) 2,56% 
c) 30,72% 
d) 6,67% 
e) 10,24%
13. (CESGRANRIO)
Uma moeda não tendenciosa é lançada até que sejam obtidos dois resultados consecutivos 
iguais. Qual a probabilidade de a moeda ser lançada exatamente três vezes?
a) 1 
 8
b) 1 
 4
c) 1 
 3
d) 1 
 2
e) 3 
 4
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14. (CESGRANRIO)
Um estádio olímpico possui 4 acessos: norte, sul, leste e oeste. Quatro delegações se dirigem 
aleatoriamente ao estádio. Qual é a probabilidade de cada uma se dirigir a um acesso diferente 
das demais?
a) 1 
 256
b) 1 
 64
c) 1 
 24
d) 3 
 64
e) 3 
 32
Questões envolvendo lançamento de dado
15. (CESGRANRIO) 
Dois dados comuns, "honestos", são lançados simultaneamente. A probabilidade de que a 
soma dos resultados seja igual ou maior que 11 é
a) 11 
 12
b) 1
 6
c) 1 
 12
d) 2 
 36
e) 1 
 36 
16. (CESGRANRIO)
Pedro está jogando com seu irmão e vai lançar dois dados perfeitos. Qual a probabilidade de 
que Pedro obtenha pelo menos 9 pontos ao lançar esses dois dados?
a) 1
 9
b) 1
 4
c) 5
 9
 
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d) 5 
 18
e) 7 
 36 
17. (CESGRANRIO) 
Dois dados comuns, com as 6 faces igualmente prováveis, foram lançados simultaneamente, e 
a soma dos resultados obtidos foi igual a 8.
A probabilidade de que o resultado de um dos dados tenha sido 5, condicionada à soma dos 
dois ser igual a 8, é de:
a) 10%
b) 20%
c) 30%
d) 40%
e) 50%
18. (CESGRANRIO)
Um dado cúbico com cada uma de suas faces numeradas de 1 a 6 é dito um dado comum.
Um dado em que todos os resultados têm a mesma probabilidade de serem obtidos é chamado 
um dado honesto. Lança-se um dado comum e honesto repetidas vezes.
Qual a probabilidade de que o 6 seja obtido pela primeira vez no terceiro lançamento?
a) 1 
 216
b) 6 
 216c) 25 
 216
d) 36 
 216
e) 125 
 216
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Regra do “Pelo Menos Uma Vez”
19. (CESGRANRIO)
Um dado comum (6 faces), não viciado, teve três de suas faces pintadas de verde, duas pintadas 
de amarelo e uma, de azul. Lançando-se este dado duas vezes, qual a probabilidade de que a 
face voltada para cima seja azul em pelo menos um dos lançamentos? 
a) 1
 3 
b) 1
 6 
c) 5 
 18 
d) 11 
 36 
e) 7 
 36
Questões envolvendo Análise Combinatória
20. (CESGRANRIO)
Quatro bolas idênticas são postas em uma sacola inicialmente vazia. Numa delas, está registrado 
o número 7, em outra, o número 15, na terceira, o número 11, e na quarta, o número 3. 
Em seguida, as bolas são retiradas da sacola, uma por vez, aleatoriamente e sem reposição, 
formando uma sequência numérica.Qual a probabilidade de a sequência numérica formada 
ser uma progressão aritmética?
a) 1 
 24 
b) 1 
 12
c) 1 
 6 
d) 1 
 4 
e) 1 
 2 
 
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21. (CESGRANRIO)
Em uma urna há cinco cartões de papel com mesmo formato, cada um deles contendo uma 
única letra: três cartões contêm a letra A, e os dois cartões restantes contêm a letra R. Retiran-
do-se os cartões da urna, um a um, de forma aleatória e sem reposição, qual é a probabilidade 
da sequência retirada ser “A R A R A”?
a) 1 
 120 
b) 1 
 60 
c) 1 
 20 
d) 1 
 10 
e) 1 
 5
22. (CESGRANRIO)
Em um centro de pesquisa trabalham 30 pesquisadores, dos quais 14 são biólogos. O diretor 
comunicou aos pesquisadores que três deles seriam escolhidos para participar de um congres-
so.Considerando-se que a escolha seja feita de forma aleatória, qual a probabilidade de que 
exatamente dois biólogos sejam escolhidos?
a) 1 
 7 
b) 3 
 14 
c) 7 
 15 
 d) 52 
 145 
 e) 52 
 435
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Casos Especiais
23. (CESGRANRIO)
Sejam X o número de contratos realizados, e Y o número de contratos cancelados em uma 
determinada agência, por dia.A distribuição conjunta de X e Y é dada por:
Dado que pelo menos quatro contratos novos foram fechados, a probabilidade de que três 
contratos sejam cancelados no mesmo dia é:
a) 2 
 3
b) 1 
 3
c) 1 
 10
d) 1 
 8
e) 1 
 4
Teorema de Bayes
24. Três maquinas M1, M2 e M3, produzem 500 peças, 300 peças e 200 peças respectivamente. As 
porcentagens de produção defeituosa das maquinas são de 3%, 4% e 5%, respectivamente.
Uma peça é selecionada ao acaso. Calcule:
a) A probabilidade dela ser defeituosa
b) A probabilidade dela ter sido fabricada pela maquina M1, dado que é defeituosa. 
 
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Gabarito: 1. A 2. D 3. D 4. C 5. B 6. A 7. D 8. C 9. C 10. B 11. A 12. B 13. B 14. E 15. C 16. D 17. D  
18. C 19. D 20. B 21. D 22. D 23. E