APOL Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis

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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, encontre o 
comprimento do arco da curva dada por y=3x+5y=3x+5 no intervalo fechado [0,2][0,2] 
Nota: 10.0 
 
A 2√10 u.c.210u.c. 
Você acertou! 
A=∫ba√ 1+[f′(x)]2 dx=∫20√1+32dx=∫20√10 dx=2√10 u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+32dx
=∫0210dx=210u.c. 
 
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D.; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias 
variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. 
 
B 3√5 u.c.35u.c. 
 
C 4√5 u.c.45u.c. 
 
 
D 5√5 u.c.55u.c. 
 
E 6√10 u.c.610u.c. 
 
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considerando a citação e o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, assinale a 
alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da 
função f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy. 
 
 
Nota: 10.0 
 
A ∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y.∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y. 
Você acertou! 
Calculamos a derivada parcial separadamente em relação a cada variável. Assim, 
 
∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y.∂∂x(3x2+4xy
−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y. Livro-Base, p. 80 
 
B ∂f∂x=2x+5z;∂f∂y=−3y−2z;∂f∂z=−2x∂f∂x=2x+5z;∂f∂y=−3y−2z;∂f∂z=−2x 
 
C ∂f∂x=5x−2y;∂f∂y=2x+5y;∂f∂z=3x∂f∂x=5x−2y;∂f∂y=2x+5y;∂f∂z=3x 
 
D ∂f∂x=2y+5z;∂f∂y=x−z;∂f∂z=−y∂f∂x=2y+5z;∂f∂y=x−z;∂f∂z=−y 
 
E ∂f∂x=x+4;∂f∂y=x+y;∂f∂z=z∂f∂x=x+4;∂f∂y=x+y;∂f∂z=z 
 
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, responda: 
 
seja I=∫2−1∫42xydydx.I=∫−12∫24xydydx. O valor de II é... 
 
 
Nota: 10.0 
 
A 8. 
 
B 27. 
 
C 9. 
Você acertou! 
Para obter o valor de II, inicialmente integramos com respeito a variável yy (neste caso, mantemos a 
variável xx constante). Assim, 
 
∫42xydy=x∫42ydy=x(y22)∣∣∣42=x(8−2)=6x.∫24xydy=x∫24ydy=x(y22)|24=x(8−2)=6x. 
 
Finalmente, 
 
I=∫2−1∫42xydydx=∫2−16xdx=6(x22)∣∣∣2−1=6(2−12)=9.I=∫−12∫24xydydx=∫−126xdx=6(x22)|
−12=6(2−12)=9. (livro-base, p. 47) 
 
D 3. 
 
E 18. 
 
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto e a figura: 
 
Um exemplo de fractal é a Curva de Koch, que aproxima, por exemplo, o formato de uma ilha costeira. 
Este fractal é construído a partir de um segmento de reta, que é dividido em três segmentos iguais, 
substituindo – os por 4 congruentes; o intermediário, por um triângulo equilátero sem o segmento 
intermediário (que seria sua base) e assim, sucessivamente conforme a figura a seguir: 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em BARBOSA, R. M. Descobrindo a Geometria Fractal em sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. 
 
 
 
A partir da descrição da construção do fractal Curva de Koch, o termo geral da sequência formada 
pelo comprimento l de cada segmento é dado por: 
Nota: 10.0 
 
A 
 
 
B 
 
 
C 
 
Você acertou! 
 
 
D 
 
 
E 
 
 
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da 
área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela 
equação y=3x+2y=3x+2 no intervalo fechado [0,2][0,2] em torno do eixo das abscissas e assinale 
a alternativa que corresponde a esse valor. 
 
 
 
Nota: 10.0 
 
A 25π√20 u.a.25π20u.a. 
 
B 20π√10 u.a.20π10u.a. 
Você acertou! 
Solução: 
 
A=2π∫20y(x)√ 1+[y′(x)]2 dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√10 ∫20(3x+2)dxA=2π√10 3(3x+2
2)2∣∣∣20=π√103[(3⋅2+2)2−4]=60π√10 3=20π√10 u.a.A=2π∫02y(x)1+[y′(x)]2dx=2π∫02(3x
+2)1+32dx=2π10∫02(3x+2)dxA=2π103(3x+22)2|02=π103[(3⋅2+2)2−4]=60π103=20π10u.a. 
 
 
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. 
Curitiba: Intersaberes, 2016. p. 15-20 
 
C 22π√ 12 u.a.22π12u.a. 
 
D 23π√13 u.a.23π13u.a. 
 
 
E 21π√15 u.a.21π15u.a. 
 
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, assinale a alternativa 
que corresponde às derivadas parciais da função: f(x,y)=x2y2−3xy−13.f(x,y)=x2y2−3xy−13. 
 
 
 
Nota: 10.0 
 
A ∂f∂x=2xy2−3y+13 e ∂f∂y=2x2y−3x+13.∂f∂x=2xy2−3y+13 e ∂f∂y=2x2y−3x+13. 
 
B ∂f∂x=2y2−3y e ∂f∂y=2y−3.∂f∂x=2y2−3y e ∂f∂y=2y−3. 
 
C ∂f∂x=2xy2+3y e ∂f∂y=2x2y+3x.∂f∂x=2xy2+3y e ∂f∂y=2x2y+3x. 
 
D ∂f∂x=2x−3y e ∂f∂y=2y−3x.∂f∂x=2x−3y e ∂f∂y=2y−3x. 
 
E ∂f∂x=2xy2−3y e ∂f∂y=2x2y−3x.∂f∂x=2xy2−3y e ∂f∂y=2x2y−3x. 
Você acertou! 
Calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. Assim, 
∂∂x(x2y2−3xy+13)=2xy2−3y e ∂∂y(x2y2−3xy+13)=2x2y−3x.∂∂x(x2y2−3xy+13)=2xy2−3y e 
∂∂y(x2y2−3xy+13)=2x2y−3x. p. 80 
 
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da 
integral dupla . 
 
Nota: 10.0 
 
A 8 
 
B 16 
 
C 30 
 
D 57 
Você acertou! 
 
 
E 70 
 
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considere a região RR delimitada pela reta y=x+2y=x+2 e pela parábola y=x2y=x2, conforme a 
figura abaixo: 
 
 
 
O valor da área de RR é 
 
 
Nota: 10.0 
 
A 52u.a.52u.a. 
 
B 132u.a.132u.a. 
 
C 29u.a.29u.a. 
 
D 92u.a.92u.a. 
Você acertou! 
A área da região RR pode ser obtida a partir da integral dupla: ∬R1dA.∬R1dA. 
 
Inicialmente, observamos 
que R={(x,y)∈R2; −1≤x≤2 e x2≤y≤x+2}.R={(x,y)∈R2; −1≤x≤2 e x2≤y≤x+2}. Assim, 
A=∫2−1∫x+2x21dydx=∫2−1(x+2−x2)dx=[x22+2x−x33]2−1=(2+4−83)−(12−2+13)=92u.a.A=∫−
12∫x2x+21dydx=∫−12(x+2−x2)dx=[x22+2x−x33]−12=(2+4−83)−(12−2+13)=92u.a. 
 
E 72u.a.72u.a. 
 
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia a citação: 
 
"Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado por x1, x2 
e x3, respectivamente, e a função do custo de fabricação desses três produtos é representada por C 
(x1, x2, x3) = 100 + 2x1 + 2x2 + 3x3." 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 
75-76. 
Considerando a citação e o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, 
responda: Supondo que a empresa fabrica 3 unidades do primeiro produto x1, uma unidade do 
segundo produto x2 e quatro unidades do terceiro produto x3, calcule o custo. 
Nota: 10.0 
 
A 120 
Você acertou! 
C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120 
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias 
variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.) 
 
B 150 
 
C 180 
 
D 200 
 
E 220 
 
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule a integral 
, dadas as equações paramétricas: 
 
 
Nota: 10.0 
 
A -1 
 
B 0 
Você acertou! 
 
 
C 1 
 
D 2 
 
E 3