Aula 11 - Cálculo de Áreas

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Cálculo de Áreas
Prof. Ricardo P. Mesquita
Sumário
 Cálculo de áreas
 Estendendo o conceito
 Mudança de variável na integral
 Primitivas imediatas
 Integração por partes
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 Seja f contínua em [a, b], com f (x) ≥ 0 em [a, b]. Estamos 
interessados em definir a área do conjunto A do plano limitado 
pelas retas x = a, x = b, y = 0 e pelo gráfico de y = f (x).
Cálculo de Áreas
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Calcule a área do conjunto do plano limitado pelas retas x = 0, 
x = 1, y = 0 e pelo gráfico de f (x) = x2.
 Solução: 
Cálculo de Áreas
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Cálculo de Áreas
Calcule a área do conjunto
 Solução:
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Estendendo o Conceito
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Estendendo o Conceito
 Seja A o conjunto hachurado.
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Exemplos
 Calcule a área da região limitada pelo gráfico de f (x) = x3, 
pelo eixo x e pelas retas x = −1 e x = 1.
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 Calcule a área da região limitada pelas retas x = 0, x = 1, 
y = 2 e pelo gráfico de y = x2.
Exemplos
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Exemplos
 Calcule a área do conjunto de todos os pontos (x, y) tais 
que 𝑥2 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥.
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Exemplos
 Calcule a área da região compreendida entre os gráficos 
de y = x e y = x2, com 0 ≤ x ≤ 2.
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Mudança de Variável na Integral
Teorema. Seja f contínua num intervalo I e sejam a e b dois 
reais quaisquer em I. Seja g : [c, d] → I, com g′ contínua em 
[c, d], tal que g (c) = a e g (d) = b. Nestas condições:
න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න
𝑐
𝑑
𝑓 𝑔 𝑢 𝑔′ 𝑢 𝑑𝑢
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Mudança de Variável na Integral
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Calcule 0׬
1
(𝑥 − 1)10𝑑𝑥
Solução: Façamos x − 1 = u, ou seja, x = u + 1.
Exemplos
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Calcule 1׬
2
1
2𝑥 − 1𝑑𝑥
Solução: Façamos u = 2x − 1 ou 𝑥 =
1
2
𝑢 +
1
2
Exemplos
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Calcule 0׬
1 𝑥
𝑥2+1
𝑑𝑥
Solução: Fazendo u = x2 + 1, du = 2x dx. Vamos então multiplicar o 
integrando por 2 e dividir a integral por 2.
Exemplos
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Primitivas Imediatas
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Integração por Partes
 Suponhamos f e g definidas e deriváveis num mesmo intervalo 
I. Temos:
 ou
 Supondo, então, que f ′ (x) g (x) admita primitiva em I e 
observando que f (x) g (x) é uma primitiva de [f (x) g (x) ]′, 
então f (x) g′ (x) também admitirá primitiva em I e
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Integração por Partes
Regra de integração por partes:
 Fazendo u = f (x) e v = g (x) teremos du = f ′(x) dx e dv = 
g′(x) dx, o que nos permite escrever a regra na seguinte 
forma usual:
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Exemplos
Calcule ׬ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
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Exemplos
Calcule ׬ 𝑥2 sen 𝑥 𝑑𝑥
Solução:
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Dúvidas?