algebra_linear_transformacao (1)

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARA - UECE
FACULDADE DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIAS E E LETRAS DO SERTÃO CENTRAL
4545 - ALGEBRA LINEAR I - Segunda-feira (Manhã), 22 de março de 2020
Nome Matŕıcula
Questão 1.
Justificando sua resposta, determine se a função é uma transformação linear.
(a) T : R3 −→ R, T (x, y, z) = w − 2y + 3z.
(b) T : R2 −→ R2, T (x, y) = (x+ 1, 2y).
(c) T : R3 −→ R3, T (x, y) = (ex, ey, ez).
(d) T : M2×2 −→M2×2, T (A) = AB +BA para B ∈M2×2 fixa.
(e) T : M2×2 −→ R, T (A) = det(A).
Questão 2.
Determine a transformação linear T do plano no plano que representa uma rotação anti–horária de
π
4
seguida
por uma dilatação de
√
2.
Questão 3.
Considere a transformação linear T : R2 −→ R2 definida por:
T (x, y) = (x,−y)
Seja K um triângulo de vértices A = (−1, 4), B = (3, 1) e C = (2, 6). Faça a representação gráfica da imagem
de K pela transformação T .
Questão 4.
Considere a transformação linear T : R2 −→ R2 associada a matriz:
A =
[
2 1
1 2
]
Considere o ćırculo S = {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 = 1}. Faça a representação gráfica da imagem do ćırculo pela
transformação linear T .
Questão 5.
Considere a transformação linear T : R2 −→ R2 definida por:
T (x, y) = (2x− y,−x+ 2y)
Determine uma base para cada um dos seguintes subespaços:
W = {(x, y) ∈ R2;T (x, y) = 3(x, y)}
U = {(x, y) ∈ R2;T (x, y) = (x, y)}
Questão 6.
Determine a transformação linear T : R3 −→ R3 tal que T (1, 0, 0) = (0, 0, 1), T (1, 0, 1) = (1, 1, 1) e T (0,−1, 1) =
(1, 1, 0).
Questão 7.
Determine a transformação linear T : R2 −→ P3(R) tal que T (1, 1) = x2 − 1 e T (1,−1) = x3 + 1.
Questão 8.
Determine a transformação linear T : R3 −→ P2(R) tal que T (1, 0, 0) = 1− x, T (0, 1, 0) = 1 + x e T (0, 0, 1) =
1− x2.
1
Questão 9.
Determine a transformação linear T : R3 −→ R2 tal que T (1, 0, 0) = (1, 0), T (0, 1, 0) = (1,−1) e T (0, 0, 1) =
(0, 1).
Questão 10.
Determine a matriz associada as seguintes transformações lineares.
(a) F (x, y, z) = (2x− 3z, x+ y − z, x, y − z)
(b) G(x, y, z, t) = (x− y + z + t, y + 2z − 3t)
(c) a matriz de G ◦ F .
Questão 11.
A expressão geral de um operador linear A : R2 −→ R2 é A(x, y) = (ax+ by, cx+ dy). Determine as constantes
a, b, c e d de modo que A transforme os vetores u = (1, 2) e v = (3, 4) nos vetores Au = (1, 1) e Av = (2, 2).
Questão 12.
A expressao geral de um funcional linear f : R3 −→ R é f(x, y, z) = ax+ by+ cz. Dados os vetores u = (1, 2, 3),
v = (−1, 2, 3) e w = (1,−2, 3), determine a, b e c de tal modo que se tenha f(u) = 1, f(v) = 0 e f(w) = 0.
Questão 13.
Prove que os operadores lineares E11, E12, E21, E22 : R2 −→ R2, definidos por E11(x, y) = (x, 0), E12(x, y) =
(0, x), E21(x, y) = (y, 0), E22(x, y) = (0, y), constituem uma base do espaço vetorial L(R2). Prove ainda
que outra base deste espaço pode ser formada com os operadores A, B, C, I, onde A(x, y) = (x + 3y, y),
B(x, y) = (x, 0), C(x, y) = (x+ y, x− y e I(x, y) = (x, y).
Questão 14.
Dados os espaços vetoriais E, F , prove que L(E;F ) e um subespaço vetorial de F(E;F ).
Questão 15.
Seja f : R2 −→ R um funcional linear. Sabendo que f(1, 1) = 3 e f(2, 3) = 1, calcule f(1, 0) e f(0, 1).
Questão 16.
Seja A : R2 −→ R2 o operador linear dado por A(x, y) = (ax+ by, cx+ dy), com ad− bc 6= 0. Prove:
(a) Para todo v 6= 0 em R2, tem-se A.v 6= 0.
(b) Toda reta R ⊂ R2 (variedade afim de dimensão 1) é transformada por A numa reta.
(c) A transforma retas paralelas em retas paralelas.
Questão 17.
Determine α de modo que as retas perpendiculares em R2, de equações y = αx e y = −x/α sejam transformadas
em retas perpendiculares pelo operador linear A : R2 −→ R2, dado por A(x, y) = (2x+ 3y, x− 2y).
Questão 18.
Mostre que T : R −→ R é uma transformação linear se, e somente se, existe c ∈ R tal que T (x) = cx, para todo
x ∈ R.
Questão 19.
Mostre que a função T :Mm×n −→Mn×m, definida por T (A) = At, é uma transformação linear.
Questão 20.
Dada a transformação linear T (x, y, z) = (x+ 2y − z, y + 2z, x+ 3y + z) em R3
(a) Verifique que KerT é uma reta que passa pela origem;
(b) Determine as equações paramétricas da reta obtida em (a);
(c) Verifique que ImT é um plano que passa pela origem;
(d) Determine as equações paramétricas do plano obtido em (c).
2
Questão 21.
Determine a dimensão do subespaço de P3(R), definido por {p(x) = ax3 + bx2 + cx+ d; p(−1) = 0}.
Questão 22.
Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:
(a) T : R3 −→ R2, onde T (x, y, z) = (x− y, x− z);
(b) T : R4 −→ R3, onde T (x, y, z, w) = (2x+ y − z + w, x+ 2y − w, 6x+ 2z − 3w);
(c) T : P(R) −→ P(R), onde T (p(x)) = x · p(x);
(d) T :M2×2 −→M2×2, onde T (A) = M ·A, sendo M =
[
1 −1
−4 4
]
(e) T : P2(R) −→ R4, onde T (ax2 + bx+ c) = (a+ b, 2b+ c, a+ 2b− c, c).
3