Numeros Complexos

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Números Complexos
Historia
O conceito de número complexo teve um desenvolvimento gradual. Começaram a ser utilizados formalmente no século XVI em fórmulas de resolução de equações de segundo, terceiro e quarto graus.
Os primeiros que conseguiram dar soluções a equações cúbicas foram Scipione del Ferro e Tartaglia. Este último, depois de ter sido alvo de muita insistência, passou os resultados que tinha obtido a Girolamo Cardano, que prometeu não divulgá-los. Cardano, depois de conferir a exatidão das resoluções de Tartaglia, não honrou sua promessa e publicou os resultados, mencionando o autor, em sua obra Ars Magna de 1545, iniciando uma enorme inimizade.
No início, os números complexos não eram vistos como números, mas sim como um artifício algébrico útil para se resolver equações. Descartes, no século XVII, os chamaram de números imaginários.
Abraham de Moivre e Euler, no século XVIII começaram a estabelecer uma estrutura algébrica para os números complexos. Em particular, Euler denotou a raiz quadrada de -1 por {\displaystyle i.}i. Ainda no século XVIII os números complexos passaram a ser interpretados como pontos do plano (plano de Argand-Gauss), o que permitiu a escrita de um número complexo na forma polar. Com isso, conseguiu-se calcular potências e raízes de modo eficiente e claro. Ainda no século XVIII, Gauss demonstrou o Teorema Fundamental da Álgebra.
Definição
Quando vamos solucionar equações do tipo x2 + 1 = 0, nos deparamos com x = ± √−1. Como não existe raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais, convencionou-se utilizar a notação i2 = −1 para representar esse número negativo. Com isso, o resultado da equação anterior seria x = ± i. Esse número “i” é conhecido como unidade imaginária.
Assim, um número complexo, que chamamos de Z, tem a forma:
Z = a + bi, a, b ∈ R
Adição de números complexos
A adição de números complexos é realizada através da adição dos termos semelhantes, ou seja, somamos as partes reais de cada número e depois as partes imaginárias. Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1 = a + bi e z2 = c + di.
Definiremos a adição de z1 e z2 da seguinte forma:
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di)
z1 + z2 = (a + c) + (b + d) i
Exemplo:
Se z1=3+2i e z2=5−3i a soma será:
z1+z2=(3+5)+(2−3)i
z1+z2=8−i
Subtração de números complexos
A subtração de números complexos é análoga à adição. Calculamos a diferença entre as partes reais de cada número e depois as partes imaginárias.
Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1 = a + bi e z2 = c + di.
Definiremos a subtração de z1 e z2 da seguinte forma:
z1 − z2 = (a + bi) − (c + di)
z1 − z2 = (a − c) + (b − d) i
Exemplo:
Se z1 = 7 + 10i e z2 = 3 + 6i a diferença será:
z1 − z2 = (7 − 3) + (10 − 6) i
z1 − z2 = 4 − 4i
Multiplicação de números complexos
Para multiplicar números complexos utilizamos o mesmo método adotado na expansão de um produto notável, multiplicando cada termo do primeiro fator por todos os membros do segundo fator. Assim:
Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1 = a + bi e z2 = c + di.
Definiremos a multiplicação de z1 e z2 da seguinte forma:
z1 ⋅ z2 = (a + bi) ⋅ (c + di)
z1 ⋅ z2 = (a.c - b.d) + (a.d + b.c) i
Exemplo:
Se z1 = 2 + 5i e z2 = 1 + 3i o produto será:
z1 ⋅ z2 = (2 + 5i) + (1 + 3i)
z1 ⋅ z2 = (2⋅1 + 2⋅ 3i) + (5i ⋅ 1 + 5i ⋅ 3i)
z1 ⋅ z2 = 2 + 6i + 5i + 15i2
z1 ⋅ z2 = 2 + 6i +5i +(15⋅(−1))
z1 ⋅ z2 = 2 + 6i + 5i − 15
z1 ⋅ z2 = (2 − 15) + (6 + 5) i
z1 ⋅ z2 = −13 + 11i
Divisão de números complexos
Para dividir números complexos multiplicamos o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor. O conjugado de um número complexo z1 = a + bi será z1 = a − bi.
Sempre que multiplicamos um número complexo pelo seu conjugado, o denominador será um número real.
Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1 = a + bi e z2 = c + di
Definiremos a divisão de z1 e z2 da seguinte forma:
z1 / z2 = a + bi / c + di ⋅ c − di / c − di
z1 / z2 = (a + bi) ⋅ (c − di) / c2 − (di) 2 
z1 / z2 = (ac − bd) + (ad + bc)i / c2 + d2 = ac – bd / c2 + d2 + ad + bc / c2 + d2 i
Exemplo
Se z1=1+2i e z2=2+3i a divisão será:
z1z2=1+2i2+3i⋅2−3i2−3i
z1z2=(1+2i)⋅(2−3i)22−(3i)2
z1z2=8−i4+9=8−i13=813−113i
Exercícios:
1- A) Considere os seguintes números complexos z1 = 10 + 2i, z2 = 5 – 3i e z3 = – 9 + 5i e calcule a sua soma.
 B) Calcule a subtração destes dois números complexos: z1 = 12 – 3i e z2 = 15 + 2i.
2- (Unesp-SP) Se z = (2 + i) ∙ (1 + i) ∙ i, então z, o conjugado de z, será dado por.
3- UFSCar-SP) Sejam x, y R e z = x + yi um número complexo.
a) Calcule o produto (x + yi) ∙ (1 + i).
b) Determine x e y, para que se tenha (x + yi) ∙ (1 + i) = 2 
4- Resolva a equação do 2º grau: x² – 4x + 5 = 0
Respostas:
1- A) Vamos organizar os números complexos para somar de forma separada as partes reais e as partes imaginárias:
z1 + z2 + z3
(10 + 2i) + (5 – 3i) + (– 9 + 5i)
(10 + 5 – 9) + (2 – 3 + 5)i
6 + 4 i
Portanto, a soma dos complexos z1, z2 e z3 é igual a 6 + 4i.
B) Organizando os números complexos para efetuar a subtração entre eles:
z1 – z2
(12 – 3i ) – (15 + 2i)
(12 – 15) + (– 3 – 2)i
– 3 – 5i
A diferença dos complexos z1 e z2 é igual a – 3 – 5i.
2- Primeiramente vamos fazer as multiplicações necessárias em z:
z = (2 + i) ∙ (1 + i) ∙ i
z = (2 + 2i + i + i²) ∙ i
z = (2 + 3i – 1) ∙ i
z = (1 + 3i) ∙ i
z = i + 3i²
z = i + 3 ∙ (– 1)
z = – 3 + i
Agora que encontramos a forma mais simples de z, basta alterar o sinal da parte imaginária para termos seu conjugado:
z = – 3 – i
3- a) Realizando a multiplicação pedida, temos:
(x + yi) ∙ (1 + i)
x + yi + xi + yi²
x + yi + xi + y(– 1)
(x – y) + (x + y)∙i
O produto (x + yi) ∙ (1 + i) equivale a (x – y) + (x + y)∙i.
b) Podemos considerar que 2 escrito na forma complexa equivale a 2 + 0i. Como já determinamos o produto (x – y) + (x + y)∙i, basta que na equação abaixo igualemos as partes reais e também as partes imaginárias:
(x – y) + (x + y)∙i = 2 + 0i
Parte Real
x – y = 2
Parte Imaginária
x + y = 0
Podemos montar um sistema com as equações encontradas e resolvê-lo pelo método da adição:
2x = 2
x = 2 /2
 x = 1
Substituindo o valor encontrado de x na equação da parte imaginária, temos:
x + y = 0
1 + y = 0
y = – 1
Portanto, para que tenhamos (x + yi) ∙ (1 + i) = 2, é necessário que x = 1 e y = – 1.
4- Utilizaremos a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor de x:
Δ = (– 4)² – 4.1.5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
Mesmo com o resultado negativo de delta, continuaremos a procura pelo valor de x:
x = – (– 4) ± √– 4
    2.1
x = 4 ± √4.(–1)
   2
x = 4 ± 2√–1
     2
x = 4 ± 2i
     2
 x = 2 ± i
 x' = 2 + i
 x'' = 2 – i
Temos dois valores para x, são eles 2 + i e 2 – i.
Referencias:
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-complexos/
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo#Hist%C3%B3ria
https://guiadoestudante.abril.com.br/estudo/resumo-de-matematica-numeros-complexos/
https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-operacoes-com-numeros-complexos.htm#questao-4
https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-numeros-complexos.htm#questao-2
https://www.somatematica.com.br/emedio/complexos/complexos5.php