Calculo iii

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O OPERADOR 𝛁 
Gradiente 
Rotacional do campo vetorial 
 F = f (x, y, z)i + g(x, y, z)j + h(x, y, z)k 
Divergência 
O LAPLACIANO ∇2 
O operador que resulta aplicando-se o operador a si mesmo 
é denotado por ∇2 e é chamado de operador laplaciano 
Independência do caminho, campos conservativos e funções potenciais 
Um campo gravitacional G é um campo vetorial que 
representa o efeito da gravidade em um ponto no espaço 
devido a presença de um objeto com massa. A forca 
gravitacional em um corpo de massa m posicionado no 
campo é dada por F = mG. 
Em campos gravitacionais e elétricos, a quantidade 
de trabalho exigida para mover uma massa ou carga 
de um ponto a outro depende das posições inicial e 
final do objeto e não do caminho percorrido entre 
essas posições. 
Vetores em um campo 
gravitacional apontam na 
direção do centro de massa 
que proporciona a fonte do 
campo. 
Independência do caminho 
o Seja F um campo vetorial definido em uma região aberta D no espaço. 
o Se para quaisquer dois pontos A e B em D, a integral de linha 𝐅 ∙ 𝒅𝐫𝐶 ao 
longo de um caminho C entre A e B seja a mesma para todos os caminhos 
entre A e B, 
o então, a integral 𝐅 ∙ 𝒅𝐫𝐶 é independente do caminho em D e o campo F 
é conservativo em D. 
Para alguns campos especiais, o valor da integral 𝐅 ∙ 𝒅𝐫𝐶 é o mesmo 
para todos os caminhos entre A e B. 
A palavra conservativo vem da física, na qual ela se refere a campos nos quais o 
principio de conservação de energia é valido. 
Queremos calcular 𝐅 ∙ 𝑑𝐫𝐶 
Quando F é um vetor gradiente, ou seja, F = 𝛁ƒ 
TEOREMA 1. Teorema fundamental das integrais de linha. 
Seja C uma curva lisa unindo o ponto A ao ponto B no plano ou 
no espaço e parametrizada por r(t). Seja ƒ (função potencial) 
uma função derivável com um vetor gradiente continuo F = 𝛁ƒ 
em um domínio D contendo C. Então, 𝐅 ∙ 𝑑𝐫𝐶 = 𝑓 𝐵 − 𝑓(𝐴) 
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k 
r(t) = g(t)i + h(t)j + k(t)k 
TEOREMA 1. Teorema fundamental das integrais de linha. 
Seja C uma curva lisa unindo o ponto A ao ponto B no plano ou no espaço e 
parametrizada por r(t). Seja ƒ (função potencial) uma função derivável com um 
vetor gradiente continuo F = 𝛁ƒ em um domínio D contendo C. Então, 𝐅 ∙ 𝑑𝐫𝐶 = 𝑓 𝐵 − 𝑓(𝐴) 
Encontre o trabalho realizado pelo campo conservativo F = yz i + xz j + xy k = 𝛁𝑓, onde 
ƒ(x, y, z) = xyz, ao longo de qualquer curva lisa C ligando o ponto A(–1, 3, 9) ao ponto 
B(1, 6, –4). 
TEOREMA 2. Campos conservativos são campos gradientes. 
 
Seja 𝐅 = 𝑀 𝐢 + 𝑁 𝐣 + 𝑃 𝐤 um campo vetorial cujos componentes são contínuos 
sobre uma região conexa aberta D no espaço. Então F é conservativo se, e somente se, 
F for um campo gradiente 𝛁ƒ para uma função derivável ƒ. 
TEOREMA 3. Propriedade do laço para campos conservativos 
As afirmações a seguir são equivalentes. 
 
1. ao redor de todo laco (isto é, curva fechada C) na região D. 
 
2. O campo F é conservativo na região D. 
 𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = 𝟎 
F = 𝛁ƒ sobre uma região D F é conservativo 𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = 𝟎 
sobre qualquer laço 
(curva fechada) em D 
TEOREMA 2 TEOREMA 3 
Como sabemos se um determinado campo vetorial F é conservativo? 
Seja 𝑭 = 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐢 + 𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐣 + 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐤 um campo em um domínio conexo 
e simplesmente conexo, cujas funções componentes possuem derivadas parciais de 
primeira ordem continuas. Então, F é conservativo se, e somente se, 𝛁 × 𝐅 = 0 
𝛁 × 𝐅 = 𝐢 𝐣 𝐤𝜕𝜕𝑥 𝜕𝜕𝑦 𝜕𝜕𝑧𝑀 𝑁 𝑃 = 0 𝐢 − 0 𝐣 + 0 𝐤 = 𝟎 
Seja 𝑭 = 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐢 + 𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐣 + 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐤 um campo em um domínio conexo 
e simplesmente conexo, cujas funções componentes possuem derivadas parciais de 
primeira ordem continuas. Então, F é conservativo se, e somente se, 
𝜕𝑃𝜕𝑦 = 𝜕𝑁𝜕𝑧 𝜕𝑀𝜕𝑧 = 𝜕𝑃𝜕𝑥 𝜕𝑁𝜕𝑥 = 𝜕𝑀𝜕𝑦 
𝛁 × 𝐅 = 0 
Determinar se 𝐅 = (𝑒𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧)𝐢 + (𝑥𝑧 – 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦)𝐣 + (𝑥𝑦 + 𝑧)𝐤 é conservativo. 
Determinar se 𝐅 = (𝑒𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧)𝐢 + (𝑥𝑧 – 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦)𝐣 + (𝑥𝑦 + 𝑧)𝐤 é conservativo. 
Para ser conservativo tem que cumprir: 𝛁 × 𝐅 = 0 
𝛁 × 𝐅 = 𝐢 𝐣 𝐤𝜕𝜕𝑥 𝜕𝜕𝑦 𝜕𝜕𝑧𝑒𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧 𝑥𝑧 – 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑥𝑦 + 𝑧 = 𝟎 
𝛁 × 𝐅 = 𝜕(𝑥𝑦 + 𝑧)𝜕𝑦 − 𝜕(𝑥𝑧 – 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦)𝜕𝑧 𝐢 − 𝜕(𝑥𝑦 + 𝑧)𝜕𝑥 − 𝜕(𝑒𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧)𝜕𝑧 𝐣 + 𝜕(𝑥𝑧 – 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦)𝜕𝑥 − 𝜕(𝑒𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧)𝜕𝑦 𝐤 𝛁 × 𝐅 = 𝑥 − 𝑥 𝐢 − 𝑦 − 𝑦 𝐣 + 𝑧 – 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 − (– 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑧) 𝐤 𝛁× 𝐅 = 0 𝐢 − 0 𝐣 + 0 𝐤 Logo, sim é conservativo 
Verificar se o campo é conservativo 𝐅 = 𝑦 𝐢 + 𝑥 + 𝑧 𝐣 + 𝑦 𝐤 
Verificar se o campo é conservativo 𝐅 = 𝑦 𝐢 + 𝑥 + 𝑧 𝐣 + 𝑦 𝐤 
Para ser conservativo tem que cumprir: 𝛁 × 𝐅 = 0 𝛁 × 𝐅 = 𝐢 𝐣 𝐤𝜕𝜕𝑥 𝜕𝜕𝑦 𝜕𝜕𝑧𝑦 𝑥 + 𝑧 𝑦 = 𝟎 
𝛁 × 𝐅 = 𝜕𝑦𝜕𝑦 − 𝜕(𝑥 + 𝑧)𝜕𝑧 𝐢 − 𝜕𝑦𝜕𝑥 − 𝜕𝑦𝜕𝑧 𝐣 + 𝜕(𝑥 + 𝑧)𝜕𝑥 − 𝜕𝑦𝜕𝑦 𝐤 
𝛁 × 𝐅 = 1 − 1 𝐢 − 0 − 0 𝐣 + 1 − 1 𝐤 
𝛁× 𝐅 = 0 𝐢 − 0 𝐣 + 0 𝐤 Logo, sim é conservativo 
Verificar se o campo é conservativo 𝐅 = −𝑦 𝐢 + 𝑥 𝐣 
Verificar se o campo é conservativo 𝐅 = −𝑦 𝐢 + 𝑥 𝐣 
Para ser conservativo tem que cumprir: 𝛁 × 𝐅 = 0 𝛁× 𝐅 = 𝐢 𝐣 𝐤𝜕𝜕𝑥 𝜕𝜕𝑦 𝜕𝜕𝑧−𝑦 𝑥 0 = 𝟎 
𝛁 × 𝐅 = 𝜕0𝜕𝑦 − 𝜕(𝑥)𝜕𝑧 𝐢 − 𝜕0𝜕𝑥 − 𝜕(−𝑦)𝜕𝑧 𝐣 + 𝜕(𝑥)𝜕𝑥 − 𝜕(−𝑦)𝜕𝑦 𝐤 𝛁× 𝐅 = 0 − 0 𝐢 − 0 − 0 𝐣 + 1 − (−1) 𝐤 𝛁 × 𝐅 = 0 𝐢 − 0 𝐣 + 2𝐤 Logo, não é conservativo 
Sabendo que F = (ex cos y + yz)i + (xz – ex sen y)j + (xy + z)k é conservativo sobre seu 
domínio natural, encontre a função potencial. 
Sabendo que F = (ex cos y + yz)i + (xz – ex sen y)j + (xy + z)k é conservativo sobre seu 
domínio natural, encontre a função potencial. 
F = 𝛁ƒ Queremos determinar a função potencial 𝑓 
Sabendo que F = (ex cos y + yz)i + (xz – ex sen y)j + (xy + z)k é conservativo sobre seu 
domínio natural, encontre a função potencial. 
Logo, g é uma função somente de z 
Seja 𝐅(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦3𝐢 + (1 + 3𝑥2𝑦2)𝐣 , encontre a função potencial 
Seja 𝐅(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦3𝐢 + (1 + 3𝑥2𝑦2)𝐣 , encontre a função potencial 
Integrando com relação a x: 
Comparando 
Integrando com relação a y, obtemos onde K é uma constante. 
Assim, a função potencial procurada é: 
r(0) = (0, 1) e r(𝜋) = (0,−𝑒𝜋). 
h(z) = K é uma constante 
+ 
Formas diferenciais exatas 
Mostre que y dx + x dy + 4 dz é exata e calcule a integral y dx + x dy + 4 dz(2,3,−1)(1,1,1) 
sobre qualquer caminho de (1, 1, 1) a (2, 3, –1). 
Mostre que y dx + x dy + 4 dz é exata e calcule a integral 
sobre qualquer caminho de (1, 1, 1) a (2, 3, –1). 
A forma diferencial 𝑀 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑑𝑦 + 𝑃 𝑑𝑧 
é exata se somente se 
Logo, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑦 + 4 𝑑𝑧 é exata. 𝑑f=𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑦 + 4 𝑑𝑧 
 y dx + x dy + 4 dz(2,3,−1)(1,1,1) 
Para, 𝑀 = 𝑦, 𝑁 = 𝑥, 𝑃 = 4. 
 𝑀𝑑𝑥 + 𝑁𝑑𝑦 + 𝑃𝑑𝑧 = 𝜕𝑓𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝑓𝜕𝑦 𝑑𝑦 + 𝜕𝑓𝜕𝑧 𝑑𝑧𝑪𝐶 
𝛁 × 𝐅 = 0 
𝛁× 𝐅 = 𝐢 𝐣 𝐤𝜕𝜕𝑥 𝜕𝜕𝑦 𝜕𝜕𝑧𝑀 𝑁 𝑃 = 0 
Mostre que y dx + x dy + 4 dz é exata e calcule a integral 
sobre qualquer caminho de (1, 1, 1) a (2, 3, –1). 
𝑑f=𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑦 + 4 𝑑𝑧 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑔(𝑥, 𝑧) 
 y dx + x dy + 4 dz(2,3,−1)(1,1,1) 
𝜕𝑓𝜕𝑥 = 𝑦 𝜕𝑔𝜕𝑥 = 0 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 + ℎ(𝑧) 
𝜕𝑓𝜕𝑥 = 𝑦 𝜕𝑓𝜕𝑦 = 𝑥 𝜕𝑓𝜕𝑧 = 4 
 𝑀𝑑𝑥 + 𝑁𝑑𝑦 + 𝑃𝑑𝑧 = 𝜕𝑓𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝑓𝜕𝑦 𝑑𝑦 + 𝜕𝑓𝜕𝑧 𝑑𝑧𝑪𝐶 
Cálculo da integral 𝜕𝑓𝜕𝑦 = 𝑥 𝑦 + 𝜕𝑔𝜕𝑥 = y 𝜕𝑓𝜕𝑧 = 4 𝜕ℎ𝜕𝑧 = 4 ℎ(𝑧) = 4𝑧 + 𝐶 𝑓 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦 + 4𝑧 + 𝐶 y dx + x dy + 4 dz(2,3,−1)(1,1,1) = 𝑓 2,3,−1 − 𝑓 1,1,1 𝑓 2,3,−1 = 2 3 + 4 −1 + 𝐶 = 2 + 𝐶 𝑓 1,1, 1 = 1 1 + 4 1 + 𝐶 = 5 + 𝐶 = 2 + 𝐶 − 5 + C = −3