Lista de Exercicios de derivadas BES 2019 2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA 
CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA EM ENERGIA E 
SUSTENTABILIDADE 
Bacharelado Interdisciplinar em Energia e Sustentabilidade 
 
 CETENS 
 
Lista de Exercícios-Cálculo Diferencial e Integral I-2019.2 
 
 
Professora: Jaqueline Alexsandra de Souza Azevedo 
 
Segunda Lista de Exercícios 
Derivada de Funções 
 
Derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 
Considere a figura abaixo, que representa o 
gráfico de uma função y = f(x), definida num 
intervalo de números reais. 
 
Observando a figura, podemos definir o 
seguinte quociente, denominado razão 
incremental da função y = f(x), quando x varia 
de x0 para x0 + Δx0 : 
 
Define- se a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0, como 
sendo o limite da razão incremental acima, quando Δx0 tende a 
zero, e é representada por f '(x0) , ou seja: 
 
 
 f '(x0) =
   
.lim 00
0 x
xfxxf
x 


 
A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos y ' 
ou dy/dx. 
Observe que quando Δx0 → 0 , o ponto Q no gráfico acima, tende a coincidir com o 
ponto P da mesma figura, definindo a reta r , que forma um ângulo β com o eixo 
horizontal (eixo das abcissas), e, neste caso, o ângulo SPQ = α .tende ao valor do 
ânguloβ. . 
Ora, quando Δx0 → 0, já vimos que o quociente Δy0 / Δx0 representa a derivada da 
função y = f(x) no ponto x0. Mas, o quociente Δy0 / Δx0 representa , como sabemos da 
Trigonometria, a tangente do ângulo SPQ = α , onde P é o vértice do ângulo. Quando 
Δx0 → 0, o ângulo SPQ = α , tende ao ângulo β . 
Assim, não é difícil concluir que a derivada 
da função y = f(x) no ponto x = x0 , é igual 
numericamente à tangente do ângulo β . 
Equação da reta tangente à curva 
representativa da função y = f(x) no ponto x 
= x0 
Considere a figura abaixo: 
Já sabemos que tg β = f '(x0) , onde β é o 
ângulo formado pela reta r com o eixo dos x 
e f '(x0) é o valor da derivada da função y = 
f(x) no ponto de abcissa x = x0. 
Também já sabemos que o valor da tg β é igual ao coeficiente angular m da reta r , 
ou seja: m = tg β . Como já sabemos que a equação da reta r, é y - y0 = m(x - x0) , vem 
imediatamente que a equação da reta tangente procurada será então dada por: 
y - y0 = f '(x0) (x - x0) 
Exercícios 
1) Calcule as derivadas abaixo através da definição 
   
.lim 00
0 x
xfxxf
x 


 
 
a)   32  xxf , no ponto x0 = 2 
b)   xxxf 22  , no ponto x0 = 3 
c) Determine a derivada de f(x) = 5x2 no ponto x0= 5. 
d) Determine a derivada de f(x) = -3x + 2 no ponto x0 = 2. 
 e) Determine a derivada de f(x) = x2 – 6x + 2 no ponto x0 = 3. 
 f) Determine a derivada de f(x) = x2 + 3x + 7 no ponto x0 = 0. 
g)Determine a derivada de f(x) = 
3 x no ponto x0 = 0. 
 
 
2) Determinar a equação da reta tangente à curva representativa da função y = 
f(x) = 4x3 + 3x2 + x + 5, no ponto de abcissa x = 0 ? 
Resposta: a equação da reta tangente à curva y = 4x3 + 3x2 + 6x + 5 , no ponto P(0,5) , 
é y = x + 5. 
3.1)Determinar a equação da reta tangente à curva representativa da função y = 
x3, 
no ponto P de abcissa x = 2. 
Resposta: y = 12x - 16. 
3.2) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x3 + x + 3 no ponto 
de abscissa x0 = 0. 
 
3.4) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x2 - 3 + 4 no ponto 
(1, f(1)). 
 
 
4) Usando as fórmulas de derivação, calcule as derivadas das expressões abaixo. 
Simplifique suas respostas. 
 Respostas 
a) xxy 42  R: 42  x
dx
dy
 
b)  
2
2
x
xf  R:  
3
4
x
xf  
c) 
2
3
2
3 xx
y  R:  1
2
3 2  x
dx
dy
 
d) 3 xy  R : 
3 23
1
xdx
dy
 
e)    16
1
3 





 x
x
xxf R : 
 
3
1
36
2

x
x
dx
xdf
 
f) x
ba
x
ba
x
y 




25
 R: 1
25 4





ba
x
ba
x
dx
dy
 
g) 
 
2
3
3
1
x
x
y

 R: 
   
2
52
1213
2
x
xx
dx
dy 
 
h)   2312  xxxy R:  192 2  xx
dx
dy
 
i) 
22
42
xb
x
y

 R: 
 
 222
223 24
xb
xbx
dx
dy


 
j) 
xa
xa
y


 R: 
 2
2
xa
a
dx
dy


 
k) 
3









xa
xa
y R: 
 
 4
2
6
xa
xaa
dx
dy


 
l) 
x
x
y



1
1
 R: 
  211
1
xxdx
dy

 
m)  331 xy  R: 
2
3
11









xxxdx
dy
 
n) 
2
2
1
12
xx
x
y


 R: 
 322
2
1
41
xx
x
dx
dy


 
o)  522 axy  R:  42210 axx
dx
dy
 
5) Nos exercícios abaixo encontrar a derivada das funções dadas. Simplifique suas 
respostas. 
a) f(r) =  r² 
b) f(x) = 14 – ½ x –3 
c) f(x) = (3x5 – 1) ( 2 – x4) 
d) f(x) = 7(ax² + bx + c) 
e) f(t) = 
1
15²3


t
tt
 
f) f(s) = (s² - 1) (3s-1)(5s² + 2s) 
g) f(t) = 
2
²2


t
t
 
h) 
64
2
2
1
)(
xx
xf  
 
6) Calcular a derivada. Simplifique suas respostas. 
a) f(x) = 10 (3x² + 7x +3)10 
b) f(x) = 3 )²26²3(  xx 
c) f(x) = 13
)13(2
²7
5


x
x
x
 
d) f(x) = 2e3x² + 6x + 7 
e) f(x) = 
xx
x
b
a
6²3
3

 
f) f(s) = 
2
1
 (a + bs)In(a + bs) 
g) f(x) = sen³ (3x² + 6x) 
h) f(t) = 
1
1


t
t
e
e
 
i) f(x) = 1/a (bx² + c) – Inx 
j) f(x) = sen² x + cos² x 
k) f(x) = e2x cos 3x 
l) f(x) = sen² (x/2).cos² (x/2) 
m) f(x) = log2 (3x – cos 2x) 
n) f(t) = e2 cos 2t 
 
 
 
 
 
7) Derive a função dada: 
a) f(t) = sen(3t +1) n) f(u) = 
u
u
cos1
cos

 
b) f(t) = cos2t o) 
sent
sent
tf


1
)( 
c) f(t) = sen3t p) f(t) = tg(5t + 2) 
 
d) f(t) = cos2t q) f(t) = tg(1 – t3) 
e) f(t) = sen(1-2t) r) f(t) = tg2t 
f) f(t) = sent2 s) f(t) = sec 





 t.2
2


 
g) f(t) = cos(t3 + 1) t) f(t) = sec(π – 4t)2 
h) f(t) = sen2t u) f(t) = ln.sen2t 
i) f(t) = )
2
(cos2 t

 v) f(x) = 3tg(2x + 1) + x 
j) f(t) = sen(2t + 1)2 w) f(x) = 
x
x2sec3
 
k) f(x) = cos(1 + 3x)2 y) f(x) = e2xcos3x 
l) f(x) = e-xsenx z) f(x) = -cosec2x3 
m) f(u) = ue
u
.2cos2 

 
Respostas 
a) f’(t) = 3cos(3t+1) b) f”(t) = -2costsent c) f’(t) = 3cos3t 
d) f”(t) = -2sen2t e) f’(t) = -2cos(1-2t) f) f’(t) = 2t.cost2 
g) f’(t) = -3t2sen(t3 + 1) h) f’(t) = 2sent.cost i) f’(t)= 











 tsent
22
cos2

 
j) f’(t) = 4cos(2t+1)2(2t+1) k) f’(x) = -6sen(1+3x)2(1+3x) 
l) f’(x) = e-x(-senx + cosx) m) f’(u) = 
).22.2cos
2
1
(2 usenue
u
 

 
n) 
2)cos1(
)('
u
senu
uf


 o) f’(t) = 
2)1(
cos
sent
t

 p) f’(t) = 5sec2(5t + 2) 
q) f’(t) = -3t2 .sec2(1 – t3) r) f’(t) = 2tgt.sec2t 
s) 











 ttgttf .2
2
.2
2
sec2)(' 



 t) f’(t)= 
)4()4()4sec(8 22 tttgt   
u) f’(t) = 2cotgt v) f’(x) = 
x
x
2
1
)12(sec6 2  
w) f’(x) = 
2
22 sec3sec6
x
xtgxx 
 y) f’(x)= e2x(2cos3x – 3 sen3x) 
z) f’(x) = 6x.cosec2x3.cotgx3 
 
 
7.1) Derive as funções dadas: 
a) f(x) = arc sec x 
b) f(t) = t.arc cos3t 
Respostas a) 
12
1
'


xx
y b) 
291
3
3arccos)('
t
t
ttf

 
 
 
7.2) Encontre dy/dx por derivaçãoimplícita. 
a) 5x + 3y = 12 
b) x2y = 1 
c) (2x+ 3y)5 = x+ 1 
Respostas: a) y’ = -5/3 b) y’ = +2y/x c) 2
)32(5
1
'
4



yx
y 
7.3) Use a derivação implícita para encontrar a inclinação da reta que é tangente à curva 
dada para o valor especificado de x. 
a) xy3 = 8; x= 1 
b) x2y – 2xy3 + 6 = 2x + 2y; x =0 
Respostas: a) -2/3 b) -28 
 
 
8) Calcule as derivadas abaixo através da definição 
   
.lim 00
0 x
xfxxf
x 


 
a) f(x) = 3x + 2 
c) f(x) = 1 – 4x2 
b) f(x) = 
2
1
x
 
d) f(x) = 2x2 – x – 1 
 
 
 
Respostas: 
a) 3 b) - 8x c) 
 22
1


x
 d) 4x – 1 
e)   34  xxf 
f)   xxf 25 
g)   32  xxf , no ponto x = 2 
h)   xxxf 22  , no ponto x = 3 
 i)   3xxf  
 
 
9) Para cada função f(x), determine a derivada f’(x) no ponto x0 indicado: 
643)()
5
5
935
)()
2
1
)()
04965)()
04)()
23)()
13)()
332)()
4)()
0
2
02
2
0
0
234
0
2
0
2
0
0
0
2












xparaxxxfi
xpara
x
xx
xfh
xpara
x
xfg
xparaxxxxxff
xparaxxfe
xparaxxxfd
xparaxxfc
xparaxxfb
xparaxxfa
 
 Respostas: a) 8 b)2 c) - 3 d) 1 e) 0 f) 9 g) - 1/4 h) 14/45 i) 9 
 
10) 10.1) Calcule )()( '' xfexf  , se existiram 
 10.2) Determine se f(x) é derivável em x1 
 10.3) Determine se f(x) é contínua em x1. 
 
 
2,
2,
2,3
)()0,
0,
0,2
)()
3,
3,4
3,65
)()2,
2,118
2,32
)()
1,
1)1(
1,1
)()0,
0,
0,
)()
0,
0,1
0,1
)()3,3)()
2,
2,73
2,23
)()4,
4,6
4,2
)()
13
2
12
121
2
1212
2
11
11






























































x
xx
xx
xfjx
xx
xx
xfi
x
xx
xx
xfhx
xx
xx
xfg
x
xx
xx
xffx
xx
xx
xfe
x
xx
x
xfdxxxfc
x
xx
xx
xfbx
xx
xx
xfa
 
 
 
11) Encontre a reta tangente à curva 
x
x
y



3
6
 no ponto  2,0P 
12) Encontre a reta tangente à curva 
2
2
2 24







 
x
xx
 no ponto  4,1P 
13) Obter a derivada da função 35
23  xxy em um ponto genérico. 
14) Obter a derivada da função  22 32  xy no ponto  1,1P 
15) Obter a derivada da função 
22 axy  em um ponto genérico. 
16) Obter a derivada da função     2
1
1
1
1 


 v
v
vf no ponto  1,2P 
17)Determine uma equação da reta tangente á curva xxseny cos no ponto 
4

x 
 
18) Uma partícula se move sobre uma trajetória segundo a equação abaixo onde S é dado 
em metros e t em segundos. Determine a velocidade e aceleração nos valores 
indicados: 
a)   1102 2  tttS . Determine a velocidade no instante t = 3 s. 
b)   tttS 32  . Determine a velocidade no instante t = 2 s. 
c)   1223  ttttS . Determine a velocidade no instante t = 1 s e aceleração em t 
= 2 s. 
19) O movimento de um objeto ocorre ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a 
função horária: 
s = f(t) = t2 + 2t - 3 
 sabendo-se que a unidade de comprimento é o metro e de tempo, o segundo, calcule a 
velocidade no instante t0 = 2 s. 
 
20) Dada a função horária de um movimento retilíneo s = f(t) = 2t2 – t, determine a 
distância em km percorrida e a velocidade em km/h ao fim de 5 h. 
 
21) Determine a aceleração de uma partícula no instante t0 = 5, sabendo que sua 
velocidade obedece à função v(t) = 2t2 + 3t + 1. (velocidade: m/s; tempo: s) 
 
22) Determine a aceleração, no instante t = 1 s, de um móvel que tem velocidade variável 
segundo a expressão v(t) = t (t em segundos e v em metros/segundo). 
 
Aplicações de derivadas 
 
 Otimização é um processo de procura por uma solução que forneça o máximo 
benefício; ou seja a busca da condição ótima!! Nem sempre o ótimo é alcançado, 
embora seja sempre uma meta para o engenheiro! Em resumo: “encontrar uma 
solução ótima significa muitas vezes encontrar a melhor solução possível.” Busque 
sempre a melhor solução  
Problemas de otimização 
 Os problemas de otimização pode ser interpretado como a busca por valores de 
variáveis que resultem na maximização ou minimização de determinadas funções 
dentro de um determinado domínio, normalmente definido através de restrições 
tecnológicas (minimizar consumo, gastos, maximizar produção em menos tempo, 
aumento de eficiência de elementos estruturais...). Nosso objetivo aqui é aplicar os 
conceitos aprendidos em seu curso de Cálculo para encontrar soluções que otimizem 
as situações listadas abaixo. 
Exercícios 
 
1. Qual retângulo de perímetro de 16 metros tem maior área? 
 
2. A frente e o fundo de um terreno retangular devem ser cercados por uma cerca 
especial que custa R$ 3,00 o metro. As laterais podem ser cercadas por cerca 
comum que custa R$2,00 o metro. Sabendo que o proprietário do terreno 
dispõe de R$6.000,00 para cercar o terreno, determine quais a dimensões de 
maior área deste terreno que pode ser cercada. 
 
3. Um medicamento é fabricado por uma firma farmacêutica é vendida a granel 
por R$ 100,00 por unidade. Sabendo que o custo total da produção em reais 
for de e que a capacidade máxima de produção num 
determinado período é de, no máximo 30 unidades, quantas unidades deste 
medicamento devem ser fabricadas evendidas naquele tempo para maximizar 
o lucro? 
 
4. Numa fazenda, o proprietário dispõe de 200 m de cerca para cercar dois 
currais adjacentes. Quais devem ser as dimensões para que a área cercada seja 
máxima? 
 
5. Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem 
registrando a velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os 
resultados mostram que entre 13 e 18 horas, a velocidade média neste 
cruzamento é dada aproximadamente por v(t) = t 3 – 10,5 t 2 +30 t + 20 km/h, 
onde t é o número de horas após o meio-dia. Qual o instante, entre 13 e 18 
horas, em que o trânsito é mais rápido? E qual o instante em que ele é mais 
lento? 
 
6. Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio de 
900m de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio, 3.000m rio 
abaixo. O custo para estender um cabo pelo rio é de R$ 5,00 o metro, enquanto 
que para estendê-lo por terra custa R$ 4,00 o metro. Qual é o percurso mais 
econômico para o cabo? 
 
7. Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter a capacidade de 375 π cm3 . 
O custo do material usado para a base do recipiente é de R$ 0,15 por cm2 e o 
custo do material usado na lateral é de R$ 0,05 por cm2 . Se não há perda de 
material, determine as dimensões que minimizam o custo do material para 
produzi-lo. 
 
8. Um fabricante de caixas de papelão pretende fazer caixas sem tampas a partir 
de folhas quadradas de cartão com área igual a 576cm2, cortando quadrados 
iguais nos quatro cantos e dobrando os lados para cima. Determinar o lado do 
quadrado que deve ser cortado para se obter uma caixa com o maior volume 
possível. 
 
9. A função demanda para um certo tipo de barracas para acampamento é dada 
por p(x) = - 0,1x2 + x + 40, onde p é medido em dólares e x em milhares. 
Calcule a TVM do preço unitário da barraca se a quantidade em demanda 
estiver entre 2mil e 4mil barracas. 
 Resposta: US$ 0,40 
 
10. As projeções são de que o Produto Interno Bruto (PIB) de certo país seja de 
N(t) = t2 + 2t + 50 bilhões de dólares daqui a t anos. Qual será a TVM desse 
país entre 2 e 5 anos próximos? Resposta: 9 
 
11. O faturamento mensal (em dólares) obtido com a venda de certos barbeadores 
elétricos está relacionado ao preço (p) por unidade é representado através da 
equação R(p) = -0,5 p2 + 30p. Calcule o faturamento médio quando o preço de 
um barbeador estiver entre $15 e $30. Resposta: US$ 7,50. 
 
12. Dois carros partem de um cruzamento no mesmo momento. Um viaja para o 
norte a 80km|h e outro viaja para o leste a 60km|h. A que taxa aumenta a 
distância entre os doiscarros 2 horas após a partida? 
 
13. O lucro de uma empresa pela venda diária de x peças, é dado pela função: L(x) 
= -x 2 + 14x - 40. Quantas peças devem ser vendidas diariamente para que o 
lucro seja máximo? 
 
14. Um engenheiro precisa fazer um reservatório de água (espécie de tanque) 
feito com tijolo e cimento revestido de cerâmica, sem tampa, tendo na base um 
retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Calcule as dimensões 
que permitem a máxima economia de material para produzir o reservatório de 
volume de 36 m3. 
 
15. O empresário Augusto deseja lançar um novo suco em lata no mercado. Para 
isso, foi feito um contrato com uma indústria de embalagens, que deve fabricar 
recipientes cilíndricos em alumínio com capacidade de 800 cm3 . Qual deve ser 
a medida R do raio da base e a medida H da altura de cada um desses 
recipientes cilíndricos de modo que a quantidade de alumínio utilizada para 
sua fabricação seja mínima? 
 
 
16. Usando a regra de L'Hôpital, calcule o limite 
 
a) R. 
b) R. 
c) R. 1 
d) R. 
e) 
f) R. 2 
g) 
h) R. 
i) R. 0 
j) R. 
k) R. 
l) R. 
 
17. . Esboce o gráfico das funções abaixo: 
a) 
b) 
c) +8 
d) 
e) +12x-6 
f) 
g) 
h) 
i)