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Disciplina: Álgebra 2 Identificação da prova: Prova 1
Prof. responsável: Sérgio Tadao Martins Peŕıodo: N Data da prova:
Usará laboratório de informática para prova? Não
Uso de calculadora? Não Consulta a apontamentos próprios? Não
Consulta a livro(s)? Não
Nome:
RA: Curso: Diurno ( ) Noturno ( )
INSTRUÇÕES
(1) Preencha corretamente o cabeçalho acima com caneta (azul ou preta).
(2) Cuide da organização e legibilidade de suas respostas, já que respostas ileǵıveis serão desconsideradas. A prova
pode ser feita a lápis ou a caneta (azul ou preta).
(3) Indique explicitamente as questões ao resolvê-las. Por exemplo, ao iniciar a primeira questão escreva claramente
QUESTÃO 1. As questões podem ser resolvidas em qualquer ordem.
(4) Seja preciso e completo nas suas respostas, justificando todas as passagens.
QUESTÃO 1 [valor: 2,5] Seja V o espaço vetorial real de todas as funções f : R → R. Se f, g ∈ V e α ∈ R,
definimos
(f + g) : R → R
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
e
(αf) : R → R
(αf)(x) = αf(x).
a) Descreva do modo mais preciso posśıvel o elemento neutro 0 ∈ V e, dada f ∈ V , descreva do modo mais
preciso posśıvel o elemento oposto −f ∈ V .
b) Decida se o subconjunto U = {f ∈ V : f(0) + f(1) = 0} é um subespaço de V .
QUESTÃO 2 [valor: 2,5]
a) Sejam e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) os vetores da base canônica de R
3. Os vetores e1, e1 + e2
e e1 + e2 + e3 são linearmente independentes?
b) Se os vetores u, v e w do espaço vetorial V são linearmente independentes, prove que os vetores u, u + v
e u+ v + w também são linearmente independentes.
QUESTÃO 3 [valor: 2,5] Considere os seguintes vetores de R4:
v1 = (1, 1, 2, 4),
v2 = (2,−1,−5, 2),
v3 = (1,−1,−4, 0),
v4 = (2, 1, 1, 6).
O conjunto {v1, v2, v3, v4} é LI? Exiba uma base do subespaço [v1, v2, v3, v4] contida em {v1, v2, v3, v4}.
QUESTÃO 4 [valor: 2,5] Seja X ⊂ M3(R) o subespaço de todas as matrizes de ordem 3 simétricas? Exiba
uma base de X . Qual é a dimensão de X?