P1 Lab Álgebra 1 - Gabarito

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Escola Superior de Engenharia e Gestão - ESEG São Paulo 
Rua Vergueiro, 1951 - CEP: 04101-000 - São Paulo-SP 
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Disciplina: Laboratório de Álgebra Aplicada 1 Identificação da prova: P1 - GABARITO 
Professora Responsável: Visto: Período D 
 
N 
X 
Data da prova: 
 Sabrina Saito 
Usará laboratório de 
informática para a prova? 
Sim Não X Qual software? 
Uso de Calculadora? Sim X Não Consulta de 
apontamentos próprios? 
Sim Não X 
Consulta a livros? Sim Não X Qual o nome do 
livro? 
 
NOME DO ALUNO: 
RA: Curso: Diurno Noturno 
 
 
Problema 1 (2 pontos) 
Determine uma base para o subespaço W , sendo W a reta de equação y = 2x em 2R . 
 
Resolução: Dado   Wyx , temos que xy 2 , ou seja,    2,1, xyx  . 
Assim, dado   2,1B é base para W. Deste modo, dado   Wyx, temos 
       1,2,202,1,,  yyxyxyx 
Portanto,   1,2 é base para W . 
 
 
Problema 2 (2 pontos) 
Considere os vetores    1,3,32,2,2 21  ueu de 3R e seja W o subespaço gerado pelos vetores 
21 ueu . Deste modo: 
a) Decomponha o vetor  1,1,5v como soma de um vetor Ww e um vetor Wu . 
b) Qual a distância do vetor  1,1,5v ao subespaço W? 
 
Resolução: Por Gram Schmidt temos que 



















6
2
,
6
1
,
6
1
,
3
1
,
3
1
,
3
1
B é base 
ortonormal para W. 
Logo, temos 
 1,3,3,, 2211  wwvwwvw e  0,2,2  wvu 
Portanto, a distância de v a W é dada por 8u . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Problema 3 (2 pontos) 
Determine a fatoração QR da matriz 





 31
21
 
Resolução: Utilizamos o algoritmo da fatoração QR temos 














2
1
2
1
2
1
2
1
Q e 














2
25
0
2
2
2
R 
 
Problema 4 (2 pontos) 
Encontre uma base para o complemento ortogonal do espaço linha da matriz 
 
.
11100
10211
13211
10122















A 
 
Resolução: 
Temos que (núcleo de   AlinhaespaçoA) . Logo, dado   4321 ,,, xxxxx (núcleo de A ) 
Assim, escalonando a matriz A temos: 
 
 

































 54321
5432
5431
,,,,
3
427
00000
00000
11310
42701
~...~
11100
10211
13211
10122
xxxxx
xxxx
xxxx
A 
 
     1,0,0,1,40,1,0,1,20,0,1,3,7 543  xxx 
Logo,       1,0,0,1,4,0,1,0,1,2,0,0,1,3,7  é base para  Alinhaespaço . 
 
 
Problema 5 (2 pontos) 
Mostre que se U e V são subespaços vetoriais de nR , então     VUVU . 
 
Resolução: 
Se   VUx então VveUuvux  ,0, . Se tomarmos, alternadamente, v = 0 e u = 0, 
obtemos .,0,, VveUuvxux  Logo, .  VUx 
Reciprocamente, se   VUx , então para VUvu  , temos 0,,,  vxuxvux . 
Portanto,   VUx .